Ogled vira Pi

:''Za grško črko Π π glej: [[Pi (črka)]]''
[[Slika:Pi-CM.svg|75px|thumb|left|Mala črka ''π'', ki se uporablja za konstanto]]<br />
{| class="infobox bordered" cellpadding=5
| colspan="2" align="center" | {{iracionalna števila}}
|-
|[[dvojiški številski sistem|dvojiško]]
| {{gaps|11,0010|0100|0011|1111|0110|...}}
|-
| [[desetiški številski sistem|desetiško]]
| {{gaps|3,14159|26535|89793|23846|...}}
|-
| [[dvanajstiški številski sistem|dvanajstiško]]
| {{gaps|3,1848|0949|3B91|864...}}
|-
| [[šestnajstiški številski sistem|šestnajstiško]]
| {{gaps|3,243F|6A88|85A3|08D3|1319|...}}
|-
| [[šestdesetiški številski sistem|šestdesetiško]]
| 3; 08, 29, 44, 00, 47, 25, 53, 07, ...
|-
| [[verižni ulomek]]
| <math> [3; 7, 15, 1, 292, \cdots] </math><br />{{small|Verižni ulomek <math> \pi \!\, </math> je [[periodični verižni ulomek|neperiodičen]].}}
|}
[[Slika:Pi-unrolled-720.gif|thumb|290px|right|Pri premeru '''1''' je obseg kroga enak '''π''']]

[[Število]] '''pi''' (označeno z malo [[grščina|grško]] [[črka|črko]] '''''[[Pi (črka)|π]]''''') je [[matematična konstanta]], ki se pojavlja na mnogih področjih [[matematika|matematike]], [[fizika|fizike]] in drugod. Imenuje se tudi '''[[Arhimed]]ova konstanta''', '''Ludolfovo število''' ali '''krožna konstanta''' in je enaka razmerju med [[obseg]]om [[krog]]a in njegovim [[premer]]om. <big>π</big> se lahko določi tudi kot [[ploščina|ploščino]] kroga s [[polmer]]om [[1 (število)|1]]. <br />
Opombe: V [[neevklidska geometrija|neevklidski geometriji]], geometriji na neravni površini, se razmerja razsežnosti kroga določajo drugače. Na krogli je razmerje med obsegom in polmerom kroga manjše od ''π'', na [[Sedlasta točka|sedlu]] pa večje. Sicer je ''π'' tudi najmanjše [[pozitivno število]] ''x'', za katerega je [[trigonometrična funkcija|sin]] ''x'' = 0 (''x'' v [[radian]]ih).

Število ''π'' je [[iracionalno število|iracionalno]], ker se ga ne da točno zapisati kot razmerje dveh naravnih števil. [[Sveto pismo|Svetopisemski]] približek za ''π'' je ''π'' = 3, iz davnine pa sta znana še približka: ''π'' = 22/7 in ''π'' = 355/113.

Vrednost ''π'' točna na prvih [[64 (število)|štiriinšestdeset]] [[števka|števk]] je {{OEIS|id=A000796}}:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 592...

== Značilnosti ==

Število ''π'' je [[iracionalno število]], kar pomeni, da se ga ne da zapisati kot razmerje dveh [[celo število|celih števil]]. To značilnost je dokazal leta 1761 [[Johann Heinrich Lambert|Lambert]]. V bistvu je število [[transcendentno število|transcendentno]], kar je dokazal leta 1882 [[Ferdinand Lindemann|Lindemann]]. To pomeni, da ne obstaja [[polinom]] s celimi (ali [[racionalno število|racionalnimi]]) [[koeficient]]i, katerega [[Kvadratni koren|koren]] je ''π''. Zaradi tega se ne da izraziti ''π'' samo s končnim številom celih števil, [[ulomek|ulomkov]] ali njihovih korenov. Ta značilnost ''π'' reši znameniti starogrški problem [[kvadratura kroga|kvadrature kroga]]: samo z uporabo neoznačenega [[ravnilo|ravnila]] in [[šestilo|šestila]] je nemogoče [[geometrijska konstrukcija|konstruirati]] [[kvadrat (geometrija)|kvadrat]], katerega [[ploščina]] je enaka ploščini danega kroga. Saj so koordinate vseh [[Točka (geometrija)|točk]], ki se jih lahko skonstruira samo z ravnilom in šestilom posebna [[algebrsko število|algebrska števila]].

== Enačbe, ki vsebujejo π ==

=== [[Geometrija]] ===

:[[Obseg]] kroga s [[polmer]]om ''r'': ''O'' = 2 π ''r'' 
:[[Obseg]] kroga s [[premer]]om ''d'': ''O'' = ''d'' π
:[[Površina]] kroga s polmerom ''r'': ''S'' = π ''r''<sup>2</sup>
: Površina [[elipsa|elipse]] z glavnima osema ''a'' in ''b'': ''S'' = π ''ab''
:[[Prostornina]] [[krogla|krogle]] s polmerom ''r'': ''V'' = (4/3) π ''r''<sup>3</sup>
: Površina krogle s polmerom ''r'': ''S'' = 4 π ''r''<sup>2</sup>
:[[Kot]]i: 180 stopinj ustreza π [[radian]]om

=== [[matematična analiza|Analiza]] ===

: 1/1 - 1/3 + 1/5 -1/7 +1/9 - ... = π/4 ([[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibnizeva]] enačba)

: <math> \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} </math> ([[John Wallis|Wallisov]] [[Wallisov produkt|produkt]] ([[1655]]))

: <math> \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} </math> ([[Leonhard Euler|Euler]])

: <math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>

: <math> \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} </math>
: <math> n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n </math> ([[fakulteta|Stirlingova enačba]])
: <math> e^{\pi i} + 1 = 0\; </math> ([[Eulerjeva enakost]], imenovana tudi »najpomembnejša enačba na svetu«)

=== [[verižni ulomek|Verižni ulomki]] ===

''π'' se lahko lepo izrazi s [[posplošeni verižni ulomek|posplošenim]] [[verižni ulomek|verižnim]] [[ulomek|ulomkom]]:

: <math> \frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1^{2}}{3 + \frac{2^{2}}{5 + \frac{3^{2}}{7 + \frac{4^{2}}{9 + \frac{5^{2}}{11 + \frac{6^{2}}{13 + ...}}}}}} = [1;3,5,7,9,11,13, ...]</math>

ali z ulomkom, ki ga je na podlagi Wallisovega produkta leta 1655 sestavil lord [[William Brouncker]]:

: <math> {4\over \pi} = {1 + {1^{2}\over 2 + {3^{2}\over 2 +
                                    {5^{2}\over 2 +
                                    {7^{2}\over 2 +
                                    {9^{2}\over 2 + 
                                    {11^{2}\over 2 + ... }}}}}}} = [1;2,2,2,2,2,2, ...] </math>

(Za drugih 11 izrazov glej [http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/] )

=== [[Teorija števil]] ===

: Verjetnost, da sta dve naključno izbrani celi števili [[tuje število|tuji]] je 6/π<sup>2</sup>.
: Verjetnost, da je naključno izbrano celo število [[deljivost brez kvadrata|deljivo brez kvadrata]] je 6/π<sup>2</sup>.
: Povprečno število načinov zapisa pozitivnega celega števila kot vsote dveh [[popolni kvadrat|popolnih kvadratov]], kjer je vrstni red pomemben, je π/4.

=== [[Dinamični sestav]]i / [[Ergodična teorija]] ===

: <math> \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi} </math>

: za skoraj vsak ''x''<sub>0</sub> iz [0, 1], kjer so ''x''<sub>''i''</sub> ponovitve/iteracije [[logistična karta|logistične karte]] za ''r''=4.

[[Fizika]]:

: <math> \delta x \, \delta p  \ge \frac{h}{4\pi} </math> (Heisenbergovo [[načelo nedoločenosti]])

: <math> R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi \kappa \over c^4} T_{ik} </math> ([[Albert Einstein|Einsteinova]] [[enačba polja|enačba gravitacijskega polja]] v [[splošna teorija relativnosti|splošni teoriji relativnosti]])

=== [[Verjetnost]] in [[statistika]] ===

: <math>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}}</math> (Funkcija verjetnostne gostote za [[normalna porazdelitev|normalno porazdelitev]].)

== Zgodovina računanja vrednosti ''π'' ==

: Glej ''[[zgodovina števila π]]''.

== Zanimivosti ==
=== Približki ===
Poleg najbolj pogostega približka 3,14 in malo točnejšega približka 22/7 = '''3,14'''285714 je zelo dober približek ulomek 355/113 = '''3,141592'''92035. Sam ulomek si zapomnimo takole: zapišimo 113355 in zadnje tri številke delimo s prvimi!

=== Dan pi  ===
{{glavni|Dan pi}}

Ljubitelji števila '''pi''' praznujejo ''Dan pi'', to je [[14. marec]] (v angleškem zapisu 3.14), nekateri pa tudi [[22. julij]] (22/7 je dober enostaven približek).
=== Tekmovanja v pomnjenju števila ''π'' ===
[[Slika:PiDigits.svg|thumb|350px|V zadnjem desetletju se je rekordni dosežek v pomnjenju decimalk π hitro povečeval.]]

Leta 2006 naj bi [[Akira Haraguči]], upokojeni japonski inženir, brez napake zrecitiral 100.000 decimalk.<ref name="japantimes">{{navedi novice|first=Tomoko|last=Otake|url=http://search.japantimes.co.jp/print/fl20061217x1.html|title=How can anyone remember 100,000 numbers?|work=[[The Japan Times]]|date=2006-12-17|accessdate=2007-10-27|archiveurl=https://archive.today/20120714174124/http://www.japantimes.co.jp/text/fl20061217x1.html%23.UAGvMqgo9Rw|archivedate=2012-07-14|url-status=live}}</ref> Ta rekord še ni potrjen in vpisan v [[Guinnessova knjiga rekordov|Guinnessovo knjigo rekordov]]. Guinness priznava rekord 67.890 decimalk, ki ga je dosegel Chao Lu, 24-letni podiplomski študent iz Kitajske, 20. novembra leta 2005<ref>{{navedi splet|url=http://www.pi-world-ranking-list.com/news/index.htm|title=Pi World Ranking List|accessdate=2007-10-27}}</ref> Za recitiranje je porabil 24 ur in 4 minute.<ref>{{navedi novice|url=http://www.newsgd.com/culture/peopleandlife/200611280032.htm|title=Chinese student breaks Guiness record by reciting 67,890 digits of pi|work=News Guangdong|date= 28. november 2006|accessdate= 27. oktobra 2007}}</ref>

==== Slovensko tekmovanje v pomnjenju števila ''π'' ====

Slovensko praznovanje dneva pi se je začelo leta 2007. Prvi zmagovalec v deklamiranju decimalk ''π'' je bil Simon Čopar s 150 decimalkami. Zmagoval je še večkrat, leta 2011 z dosežkom 767 decimalk. Leta 2015 je naslov prvaka in slovenskega rekorderja prevzel študent Nik Škrlec s 1694 decimalkami.<ref>{{navedi novice |url=http://val202.rtvslo.si/2015/03/torta-za-stevilo-pi/ |title=AVDIO: Recitiranje števila pi |work=[[Val202]] |date=5. marec 2015 |accessdate=14. marca 2015 |archive-date=2015-03-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150330110953/http://val202.rtvslo.si/2015/03/torta-za-stevilo-pi/ |url-status=dead }}</ref>

=== [[Mnemotehnika]] ===

Kako si zapomniti π ?

V številnih jezikih so ustvarili verze, ki s številom črk na posamezno besedo ponazarjajo števke števila π. Seveda je to pi-ezija, ne poezija{{podatek}}!

Slovenski dosežek piezije je:

:Kdo o tebi z glavo razmišlja da spomni števk teh?
:(3,141592653...)

Za različice v drugih jezikih glej npr. [https://web.archive.org/web/20080920034519/http://www.geocities.com/capecanaveral/lab/3550/pimnem.htm Pi Mnemonics] in [http://mathworld.wolfram.com/PiWordplay.html Wordplay].

=== TeX ===

[[TeX|T<sub>E</sub>Xove]] različice Knuth številči takole: 3, 3.1, 3.14, 3.141, različice Metafonta pa številči z decimalkami e. Sicer pa opozarja uporabnike njegovih programov: »''Pazite se hroščev v programu, jaz sem samo dokazal, da deluje pravilno, nisem pa ga preskusil!''«

=== Google ===

* [http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com]
* [http://pidifferent.pi.funpic.de/index-en.html Pi-memory] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080319051557/http://pidifferent.pi.funpic.de/index-en.html |date=2008-03-19 }}

== Sklici ==

{{sklici|2}}

== Zunanje povezave ==

{{Wikislovar|pi|Pi}}
* [[Eric Wolfganf Weisstein|Weisstein, Eric Wolfgang]], [http://mathworld.wolfram.com/Pi.html ''Pi''] na [[MathWorld]] {{ikona en}}

{{-}}

{{iracionalno število}}
{{mnogokotniki}}

{{normativna kontrola}}

[[Kategorija:Pi| ]]
[[Kategorija:Matematične konstante]]
[[Kategorija:Transcendentna števila]]