Ogled vira Podgrupa

'''Podgrupa''' dane grupe za neko [[dvočlena operacija|dvočleno operacijo]]&nbsp;* je H [[podmnožica]]  množice G se imenuje '''podgrupa''' G, če H tudi tvori grupo za  [[dvočlena operacija|dvočleno operacijo]]&nbsp;*. Če smo bolj natančni je H je podgrupa množice G, če so [[funkcija (matematika)|omejitve]], ki veljajo za * H x H grupna operacija za H. To se pogosto piše kot ''H'' ≤ ''G'', in bere kot   "''H'' je podgrupa za ''G''".  

== Osnovne značilnosti podgrup ==

* Podmnožica H grupe G je podgrupa za G, če in samo, če ni prazna in je zaprta za produkt in obratne vrednosti. Zaprtost pomeni naslednje: kadar sta a in b v H in sta v H tudi ab in ''a''<sup>&minus;1</sup> tudi v H. Ta dva pogoja lahko kombiniramo v enakovredno trditev: kadar sta a in b v H, potem je tudi  ''ab''<sup>&minus;1</sup> je tudi v ''H''. Kadar je H končen, je H podgrupa samo, [[če in samo če]] je H zaprt za zmnožek. V tem primeru vsak element iz H generira končno vrtilno grupo za H in obratna vrednost za a je enaka ''a''<sup>&minus;1</sup> = ''a''<sup>''n'' &minus; 1</sup>, kjer ''n'' red za ''a''. 
* Zgornjo trditev lahko izrazimo s pomočjo [[homomorfizem|homomorfizma]]. To pomeni, da je H podgrupa grupe G samo, če in samo, če je H podmnožica od G. 
* [[Nevtralni element]] podgrupe je nevtralni element grupe. Kadar ima G nevtralni element ''e''<sub>''G''</sub>in je ''H'' podgrupa za ''G'' z nevtralnim elementom ''e''<sub>''H''</sub>,  potem je ''e''<sub>''H''</sub> = ''e''<sub>''G''</sub>.
* [[inverzni element|Obratna vrednost]] elementa v podgrupi je obratna vrednost elementa v grupi. Kadar je H podgrupa grupe G in sta a in b elementa H tako, da je ab =ba = e<sub>H</sub>, potem je ab = ba =e<sub>G</sub>.
* [[presek množic|Presek]] podgrup A in B je tudi podgrupa <ref>Jacobson (2009), str. 41</ref>. [[unija množic|Unija]] podgrup A in B je  podgrupa, če in samo če vsebujeta A ali B tudi drugega, ker sta primera 2 in 3 uniji  2Z in 3Z, njuna vsota 5 pa ni. Naslednji primer je unija x-osi in y-osi v ravnini. To služi kot primer dveh podgrup, katerih presek je natančno nevtralni element.     
* Če je S podmnožica za G, potem obstoja najmanjša podgrupa, ki vsebuje S, ki jo najdemo tako, da vzamemo presek vseh podgrup, ki vsebujejo S. Označimo jo z <''S''> in zanjo pravimo, da je to [[generirana množica grup|podgrupa, ki jo generira S]]. Element iz G  je v S je samo in samo, takrat  ko je končni zmnožek elementov iz S, katerih presek je natančno nevtralni element.    
* Vsak element grupe G generira ciklično podgrupo <''a''>. Kadar je <''a''> [[grupni izomorfizem|izomorfen]] za x '''Z'''/''n'''''Z''' za vsako pozitivno celo število, je ''n'' najmanjše pozitivno celo število za ''a''<sup>''n''</sup> = ''e'' in ''n'' se za ''a'' imenuje ''red'' . Kadar je <a> izomorfen za '''Z''', pravimo, da ima ''a'' ''neskončni red''.    
* Podgrupe vsake dane grupe tvorijo [[popolna mreža|popolno mrežo]] pod inkluzijo, ki jo imenujemo [[mreža podgrupe|mreža podgrup]]. Kadar je nevtralni element za G, takrat je trivialna grupa {e} [[relacija urejenosti|minimalna]] vrednost podgrupe za G. Pri tem pa je [[relacija urejenosti|maksimalna]] vrednost sama po sebi  že grupa. 

== Koseti in Lagrangeev izrek == 

Za dano podgrupo H in poljuben a v lahko definiramo '''levi''' [[koset]] aH = {ah :h v H}. Ker je preslikava obrnljiva ''H'' → ''aH'' in je dana z φ(''h'') = ''ah'' je to [[bijektivna preslikava|bijekcija]]. Vsak element v G se nahaja natančno v enem levem kosetu od H. Levi koset je enakovreden razred, ki odgovarja [[ekvivalenčna relacija|ekvivalenčni relaciji]] ''a''<sub>1</sub> ~ ''a''<sub>2</sub>, če in samo, če je  ''a''<sub>1</sub><sup>−1</sup>''a''<sub>2</sub> v ''H''. Število levih kosetov za H se imenuje [[indeks podgrupe|indeks]] za H v G. Označujemo ga z [G : H].

[[Lagrangeev izrek (matematična analiza)|Lagrangeev izrek]] trdi, da je za končne grupe v podgrupi:
:<math> [ G : H ] = { |G| \over |H| } </math>
kjer |G| in |H| označujeta [[red (teorija grup)|red]] za G oziroma za H. Pti tem mora biti red vsake grupe za G ter red vsakega elementa od G [[delitelj]] za G.

'''Desni koseti''' so definirani podobno Ha = {ha : h v H}. To so tudi ekvivalenčni razredi za odgovarjajoče ekvivalenčne relacije. Njihovo število je enako [G : H]. 

Kadar je aH = Ha za vsak a v G, pravimo, da je  H [[normalna podgrupa]]. Vsaka podgrupa z indeksom  dva je normalna. Levi in desni koset je podgrupa in njegov komplement. Bolj splošno to povemo tako,  da takrat, ko je p prvo praštevilo, ki deli red končne grupe G, potem je vsak indeks podgrupe, če ta obtoja, običajen. 							

== Zgled za podgrupe Z<sub>8</sub>==
Naj bo G [[ciklična grupa]], ki ima elemente
: <math>G=\left\{0,2,4,6,1,3,5,7\right\}</math>
in z grupno operacijo [[modularna aritmetika|seštevanje po modulu osem]]. Pripadajoča [[Caleyjeva tabela]] je 

{| border="2" cellpadding="7"
!style="background:#FFFFAA;"| +
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:red;">0</span>
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:red;">2</span>
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:red;">4</span>
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:red;">6</span>
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:blue;">1</span>
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:blue;">3</span>
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:blue;">5</span>
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:blue;">7</span>
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:red;">0</span>
| <span style="color:orange;">0</span> || <span style="color:red;">2</span> || <span style="color:orange;">4</span> || <span style="color:red;">6</span> || <span style="color:blue;">1</span> || <span style="color:blue;">3</span> || <span style="color:blue;">5</span> || <span style="color:blue;">7</span>
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:red;">2</span>
| <span style="color:red;">2</span> || <span style="color:red;">4</span> || <span style="color:red;">6</span> || <span style="color:red;">0</span> || <span style="color:blue;">3</span> || <span style="color:blue;">5</span> || <span style="color:blue;">7</span> || <span style="color:blue;">1</span>
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:red;">4</span>
| <span style="color:orange;">4</span> || <span style="color:red;">6</span> || <span style="color:orange;">0</span> || <span style="color:red;">2</span> || <span style="color:blue;">5</span> || <span style="color:blue;">7</span> || <span style="color:blue;">1</span> || <span style="color:blue;">3</span>
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:red;">6</span>
| <span style="color:red;">6</span> || <span style="color:red;">0</span> || <span style="color:red;">2</span> || <span style="color:red;">4</span> || <span style="color:blue;">7</span> || <span style="color:blue;">1</span> || <span style="color:blue;">3</span> || <span style="color:blue;">5</span>
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:blue;">1</span>
| <span style="color:blue;">1</span> || <span style="color:blue;">3</span> || <span style="color:blue;">5</span> || <span style="color:blue;">7</span> || <span style="color:red;">2</span> || <span style="color:red;">4</span> || <span style="color:red;">6</span> || <span style="color:red;">0</span>
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:blue;">3</span>
| <span style="color:blue;">3</span> || <span style="color:blue;">5</span> || <span style="color:blue;">7</span> || <span style="color:blue;">1</span> || <span style="color:red;">4</span> || <span style="color:red;">6</span> || <span style="color:red;">0</span> || <span style="color:red;">2</span>
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:blue;">5</span>
| <span style="color:blue;">5</span> || <span style="color:blue;">7</span> || <span style="color:blue;">1</span> || <span style="color:blue;">3</span> || <span style="color:red;">6</span> || <span style="color:red;">0</span> || <span style="color:red;">2</span> || <span style="color:red;">4</span>
|-
!style="background:#FFFFAA;"| <span style="color:blue;">7</span>
| <span style="color:blue;">7</span> || <span style="color:blue;">1</span> || <span style="color:blue;">3</span> || <span style="color:blue;">5</span> || <span style="color:red;">0</span> || <span style="color:red;">2</span> || <span style="color:red;">4</span> || <span style="color:red;">6</span>
|}
Ta grupa ima par  netrivialnih podgrup <span style="color:orange;">''J''={0,4}</span> in <span style="color:red;">''H''={0,2,4,6}</span>, kjer je ''J'' tudi podgrupa za ''H''.  Caylejeva tabela za ''H'' zgornji levi kvadrant Caylejeve tabele za  ''G''.  Grupa ''G'' je [[ciklična grupa|ciklična]]. Takšne so tudi njene podgrupe.  V splošnem so tudi podgrupe cikličnih grup tudi ciklične.

== Zgled za podgrupe Z<sub>4</sub>==
Vsaka grupa kot ima tudi toliko majhnih podgrup ter nevtralnih elementov na glavni diagonali:

[[Trivialna grupa]] ter grupa dveh elementov je Z<sub>2</sub>. Te majhne podgrupe niso navedene v spodnji tabeli.
 
{| style="width:100%"
| style="vertical-align:top;"|[[Slika:Symmetric group 4; Cayley table; numbers.svg|thumb|left|595px|[[Simetrična grupa]] S<sub>4</sub> kaže [[permutacija|permutacije]] 4 elementov]]
| style="vertical-align:top;"|
{{multiple image
 | align = right
 | image1 = Symmetric group S4; lattice of subgroups Hasse diagram; all 30 subgroups.svg
 | width1 = 250
 | image2 = Symmetric group S4; lattice of subgroups Hasse diagram; 11 different cycle graphs.svg
 | width2 = 185
 | footer = [[Hassejev  diagram]] [[mreža podgrup|mreže podgrup]] za S<sub>4</sub>
}}
|}

== 12 elementov ==
[[Slika:Alternating group 4; Cayley table; numbers.svg|thumb|left|323px|[[w:Alternativna grupa|Alternativna grupa]] A<sub>4</sub> kaže [[w:parity of a permutation|sode permutacije]]<br><br>Podgrupe:<br>[[Slika:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,7,16,23).svg|70px]]<br>[[Slika:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,3,4).svg|60px]][[Slika:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,11,19).svg|60px]]  [[Slika:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,15,20).svg|60px]]  [[Slika:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,8,12).svg|60px]]]]
<br clear=all>
== 8 elementov ==
{| 
|-
|[[Slika:Dihedral group of order 8; Cayley table (element orders 1,2,2,2,2,4,4,2); subgroup of S4.svg|thumb|233px|[[w:Diedrska grupa|Diedrska grupa]] [[diedrska grupa reda 8|reda 8]]<br><br>Podgupe:<br>[[Slika:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,1,6,7).svg|70px]][[Slika:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,7,16,23).svg|70px]][[Slika:Cyclic group 4; Cayley table (element orders 1,2,4,4); subgroup of S4.svg|70px]]]] || &nbsp; ||[[Slika:Dihedral group of order 8; Cayley table (element orders 1,2,2,4,2,2,4,2); subgroup of S4.svg|thumb|233px|Diedrska grupa reda 8<br><br>Podgrupe:<br>[[Slika:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,5,14,16).svg|70px]][[Slika:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,7,16,23).svg|70px]][[Slika:Cyclic group 4; Cayley table (element orders 1,4,2,4); subgroup of S4.svg|70px]]]] || &nbsp; ||[[Slika:Dihedral group of order 8; Cayley table (element orders 1,2,2,4,4,2,2,2); subgroup of S4.svg|thumb|233px|Diedrska grupa reda 8<br><br>Podgrupe:<br>[[Slika:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,2,21,23).svg|70px]][[Slika:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,7,16,23).svg|70px]][[Slika:Cyclic group 4; Cayley table (element orders 1,4,4,2); subgroup of S4.svg|70px]]]]
|}
<br clear=all>

== 6 elementov ==
{| 
|-
|[[Slika:Symmetric group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,1,2,3,4,5).svg|thumb|187px|[[w:Simetrična grupa|Simetrična grupa]] [[w:Simetrična grupa|S<sub>3</sub>]]<br>Podgrupe:<br>[[Slika:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,3,4).svg|60px]]]]||  [[Slika:Symmetric group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,5,6,11,19,21).svg|thumb|187px|Simetrična grupa S<sub>3</sub><br>Podgrupe:<br>[[Slika:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,11,19).svg|60px]]]]  ||[[Slika:Symmetric group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,1,14,15,20,21).svg|thumb|187px|Simetrična grupa S<sub>3</sub><br>Podgrupe:<br>[[Slika:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,15,20).svg|60px]]]] ||[[Slika:Symmetric group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,2,6,8,12,14).svg|thumb|187px|Simetrična grupa S<sub>3</sub><br>Podgrupe:<br>[[Slika:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,8,12).svg|60px]]]]
|}
<br clear=all>

== 4 elementi ==
{|
|-
| [[Slika:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,1,6,7).svg|thumb|142px|[[Kleinova štiri grupa]]]] || [[Slika:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,5,14,16).svg|thumb|142px|Kleinova štiri grupa]] || [[Slika:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,2,21,23).svg|thumb|142px|Kleinova štiri grupa]] || [[Slika:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,7,16,23).svg|thumb|142px|Kleinova štiri grupa]]
|}
<br clear=all>
{|
|-
| [[Slika:Cyclic group 4; Cayley table (element orders 1,2,4,4); subgroup of S4.svg|thumb|142px|[[w:Ciklična grupa  |Ciklična grupa]] Z<sub>4</sub>]] || [[Slika:Cyclic group 4; Cayley table (element orders 1,4,2,4); subgroup of S4.svg|thumb|142px|Ciklična grupa Z<sub>4</sub>]] || [[Slika:Cyclic group 4; Cayley table (element orders 1,4,4,2); subgroup of S4.svg|thumb|142px|Ciklična grupa  Z<sub>4</sub>]]
|}
<br clear=all>

== 3 elementi ==
{|
|-
| [[Slika:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,3,4).svg|thumb|120px|[[w:Ciklična grupa|Ciklična grupa]] Z<sub>3</sub>]] || [[Slika:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,11,19).svg|thumb|120px|Ciklična grupa Z<sub>3</sub>]] || [[Slika:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,15,20).svg|thumb|120px|Ciklična grupa Z<sub>3</sub>]] || 
[[Slika:Cyclic group 3; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,8,12).svg|thumb|120px|ciklična grupa Z<sub>3</sub>]]
|}

== Glej tudi ==
* [[Cartanova podgrupa]]
* [[Fittingova grupa]]
* [[grupa z operatorji|stabilna podgrupa]]

== Opombe in sklici ==
{{opombe}}

== Zunanje povezave ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Subgroup.html Podgrupa na [[MathWorld]] ] {{ikona en}}
* [http://help.linkedin.com/app/answers/detail/a_id/1771 Kreiranje podgrupe] {{ikona en}}
* [http://www.math.csusb.edu/notes/advanced/algebra/gp/node5.html Podgrupe] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130129041703/http://www.math.csusb.edu/notes/advanced/algebra/gp/node5.html |date=2013-01-29 }} {{ikona en}}

[[Kategorija:Teorija grup]]