Ogled vira Polmer

{{short description|daljica v krožnici (krogu) ali sferi (krogli) iz središča do oboda krožnice ali površine sfere ali njegova dolžina}}
[[slika:Circle-withsegments.svg|thumb|right|[[Krožnica]] ([[krog]]) z [[obseg]]om <math> C \!\, </math> (črno), [[premer]]om <math> D \!\, </math> (modro), polmerom <math> R \!\, </math> (rdeče) in [[središče]]m <math> O \!\, </math> (zeleno)]]
'''Polmér''' (tudi '''pôlmér''' in '''pólmér'''{{r|spl00}}) ali '''rádij'''{{r|spl01}}{{r|spl02}} [[krožnica|krožnice]] ([[krog]]a) ali [[sfera|sfere]] ([[krogla|krogle]] je v [[klasična geometrija|klasični]] [[geometrija|geometriji]] poljubna [[daljica]] od [[središče|središča]] do [[obod]]a kroga ali [[površina|površine]] sfere, v modernejši rabi pa tudi [[dolžina]] daljice ([[razdalja]]). V [[znanost]]i in [[tehnika|tehniki]] se izraz [[polmer ukrivljenosti]] pogosto rabi kot sopomenka za polmer.

Polmer ima lahko za različne [[geometrijska figura|geometrijske figure]] tudi več specifičnih definicij, kot na primer za [[elipsa|elipso]].

Ime ''radij'' je [[tujka]], prevzeta prek [[nemščina|nemške]] besede ''Radius'', ta pa izhaja iz [[latinščina|latinske]] besede [[:en:wikt:radius|radius]], kar pomeni ''polmer'', ''(sončni)'' ''[[žarek (geometrija)|žarek]]'', pa tudi ''[[napera|napero]] ([[špica|špico]]) [[kolo|kolesa]] [[voz]]a'', ''[[merilna palica]]''.{{r|snoj-2015}}{{r|spl03}} Izraz se prvič sreča leta 1569 pri francoskem znanstveniku [[Petrus Ramus|Petrusu Ramusu]], nekoliko kasneje pri [[François Viète|Françoisu Viètu]], splošno sprejet pa je postal šele konec 17. stoletja.

Tipična okrajšava in ime [[spremenljivka|matematične spremenljivke]] za polmer je <math> r \!\, </math> ali <math> R \!\, </math>. Z razširitvijo je [[premer]] <math> d \!\, </math> ali <math> D \!\, </math> opredeljen kot dvakratni polmer:{{r|spl04}}

: <math> d \doteq 2r \quad \Rightarrow \quad r = \frac{d}{2} \!\, . </math>

Če objekt nima središča, se izraz lahko nanaša na polmer njegove [[očrtana krožnica|očrtane krožnice]] ali [[očrtana sfera|očrtane sfere]]. V obeh primerih je lahko polmer večji od polovice premera, ki je običajno opredeljen kot največja razdalja med poljubnima [[točka (geometrija)|točkama]] figure. Polmer [[včrtana krožnica|včrtane krožnice]] geometrijske figure je običajno polmer največje krožnice kroga ali sfere, ki jo vsebuje. Notranji polmer [[obroč]]a, [[cev]]i ali drugega votlega objekta je polmer njegove votline.

Za [[pravilni mnogokotnik|pravilne mnogokotnike]] je polmer enak polmeru njegove očrtane krožnice.{{r|rich-2008}} Polmer pravilnemu mnogokotniku včrtane krožnice se imenuje tudi [[apotema]].

V [[teorija grafov|teoriji grafov]] je [[polmer grafa]] minimum vseh [[točka (teorija grafov)|točk]] <math> u \!\, </math> največje [[razdalja (teorija grafov)|razdalje]] od <math> u \!\, </math> do poljubne druge točke [[graf (matematika)|grafa]].{{r|gros-2006}}

== Formule ==

Pri mnogih geometrijskih figurah ima polmer dobro definirano razmerje z drugimi merami figure.

=== Krožnica in krog ===

{{glej tudi|ploščina kroga}}

Polmer krožnice (kroga) z [[obseg]]om <math> o \!\, </math> je:

: <math> r = \frac{o}{2\pi} \!\, . </math>

Polmer kroga s [[ploščina|ploščino]] <math> p \!\, </math> je:

: <math> r = \sqrt{\frac{p}{\pi}} \!\, . </math>

Polmer krožnice, ki poteka skozi tri [[kolinearnost|nekolinearne]] točke <math> P_{1} \!\, </math>, <math> P_{2} \!\, </math> in <math> P_{3} \!\, </math>, je podan z izrazom:

: <math> r= \frac{|\vec{OP_{1}} - \vec{OP_{3}}|}{2\sin\theta} \!\, , </math>

kjer je <math> \theta \!\, </math> [[kot]] <math> \angle P_{1} P_{2} P_{3} \!\, </math>. Ta formula uporablja [[sinusni izrek]]. Če so tri točke podane s svojimi koordinatami <math> (x_{1}, y_{1}) \!\, </math>, <math> (x_{2}, y_{2}) \!\, </math> in <math>(x_{3}, y_{3}) \!\, </math>, se lahko polmer izrazi kot:

: <math> r = \frac{\sqrt{ \bigl( (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} \bigr) \bigl( (x_{2} - x_{3})^{2} + (y_{2} - y_{3})^{2} \bigr) \bigl( (x_{3} - x_{1})^{2} + (y_{3} - y_{1})^{2} \bigr) }}{2 \bigl| x_{1}  y_{2} + x_{2} y_{3} + x_{3} y_{1} - x_{1} y_{3} - x_{2} y_{1} - x_{3} y_{2} \bigr| } \!\, . </math>

=== Elipsa ===

{{glavni|elipsa}}
{{glej tudi|velika polos|mala polos|izsrednost}}

[[slika:Ellipse affinite2.png|thumb|right|[[elipsa|Elipsi]] [[očrtana krožnica|očrtana]] in [[včrtana krožnica]]]]

Za elipso se lahko opredeli več pojmov polmera, pojmov, ki vračajo klasični polmer v primeru krožnice.

* [[velika polos]] [[elipsa|elipse]] <math> a \!\, </math> se interpretira kot polmer elipsi očrtane krožnice ali [[glavna krožnica|glavne krožnice]], in [[mala polos]] kot polmer elipsi včrtane krožnice ali sekundarne krožnice. Kot '''povprečni polmer''' se lahko definira [[aritmetična sredina]] teh dveh polmerov:

:: <math> r_{1} = \frac{a + b}{2} \!\, . </math>

* '''površinski polmer''' je polmer kroga s površino, enako površini elipse. Enak je [[kvadratni koren|kvadratnemu korenu]] produkta obeh [[polos]]i elipse:

:: <math> r_{2} = \sqrt{ab} = a\sqrt[4]{1-e^{2}} \!\, , </math>

: kjer je <math> e \!\, </math> [[izsrednost]] elipse. To je torej [[geometrična sredina]] obeh njenih polosi.

* še en izjemen polmer elipse je povprečna razdalja od točke, ki se [[gibanje|giblje]] po elipsi s konstantno [[hitrost]]jo, do [[gorišče|gorišča]] te elipse. Ta polmer, ki je po definiciji enak:

:: <math> r_{3} = \frac{\int_{0}^{2\pi} \sqrt{(a(\cos E - e)^{2} + b^{2}\sin^{2} E} \, \sqrt{a^{2}\sin^{2} E + b^{2}\cos^{2} E} \operatorname{d} \! E}{\int_{0}^{2\pi} \sqrt{a^{2}\sin^{2} E + b^{2}\cos^{2} E} \operatorname{d} \! E} \!\, , </math>

: se poenostavi na vrednost velike polosi <math> r_{3} = a \!\, </math>.

* povprečna razdalja od točke, ki se giblje po elipsi s konstantno hitrostjo, do ''središča'' te elipse:

:: <math> r_{4} = \frac{\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{a^{2}\cos^{2} E + b^{2}\sin^{2} E} \, \sqrt{a^{2}\sin^{2} E + b^{2}\cos^{2} E} \operatorname{d} \! E}}{\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{a^{2}\sin^{2} E + b^{2}\cos^{2} E} \operatorname{d} \! E}} \!\, . </math>

: Izraz ne daje enostavne vrednosti.

* povprečna razdalja do ''središča'' elipse pri konstantni hitrosti [[ekscentrična anomalija|ekscentrične anomalije]]  <math> E \!\, </math>:

:: <math> r_{5} = \frac{1}{2\pi}{\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{a^{2}\cos^{2} E + b^{2}\sin^{2} E} \operatorname{d} \! E}} \!\, </math>

: je enaka <math> \frac{o}{2\pi} \!\, </math>, kjer je <math> o \!\, </math> obseg elipse. To je torej polmer krožnice z obsegom, enakim polmeru elipse.

* lahko se upošteva tudi [[standardni odklon]] razdalje med dvema točkama znotraj elipse:

:: <math> \sqrt{\frac{\iint (M_{1} M_{2})^{2} \operatorname{d} \! M_{1} \operatorname{d} \! M_{2}}{\iint \operatorname{d} \! M_{1} \operatorname{d} \! M_{2}}} \!\, , </math>

: ali:

:: <math> \sqrt{\frac{\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2\pi}((ar_{1}\cos E_{1} - br_{2}\cos E_{2})^{2} + (ar_{1}\cos E_{1} - br_{2}\cos E_{2})^{2})r_{1}r_{2} \operatorname{d} \! r_{1} \operatorname{d} \! r_{2} \operatorname{d} \! E_{1} \operatorname{d} \! E_{2}}{\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2\pi}r_{1}r_{2} \operatorname{d} \! r_{1} \operatorname{d} \! r_{2} \operatorname{d} \! E_{1} \operatorname{d} \! E_{2}}} \!\, , </math> 

: kar se poenostavi na [[kvadratna sredina|kvadratno sredino]] obeh polosi <math> r_{6} = \sqrt {\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} \!\, </math>.

=== Pravilni mnogokotniki ===

{{glej tudi|očrtana krožnica}}

{| class="wikitable floatright"
! <math> n \!\, </math>
! <math> R_{n} \!\, </math>
|-
|  3 || <math> \frac{\sqrt{3}}{3} = 0,577 \, 350 \ldots \!\, </math>
|-
|  4 || <math> \frac{\sqrt{2}}{2} = 0,707 \, 106 \ldots \!\, </math>
|-
|  5 || <math> 0,850 \, 650 \ldots \!\, </math>
|-
|  6 || <math> 1 \!\, </math>
|-
|  7 || <math> 1,152 \, 382 \ldots \!\, </math>
|-
|  8 || <math> 1,306 \, 562 \ldots \!\, </math>
|-
|  9 || <math> 1,461 \, 902 \ldots \!\, </math>
|-
| 10 || <math> 1,618 \, 033 \ldots \!\, </math>
|-
| 11 || <math> 1,774 \, 732 \ldots \!\, </math>
|}
[[slika:Regular polygon radius square.png|thumb|ight|Zgled za [[kvadrat (geometrija)|kvadrat]] <math>(n = 4) \!\, </math>]]

Polmer <math> r_{n} \!\, </math> [[pravilni mnogokotnik|pravilnega mnogokotnika]] z <math> n \!\, </math> [[stranica]]mi dolžine <math> s_{n} \!\, </math> je podan z <math> r_{n} = R_{n} s_{n} \!\, </math>, kjer je:

: <math> R_{n} = \frac{1}{2 \sin \displaystyle{\frac{\pi}{n}}} \!\, . </math>

Vrednosti <math> R_{n} \!\, </math> za majhne vrednosti <math> n \!\, </math> so podane v razpredelnici. Če je <math> s = 1 \!\, </math>, so te vrednosti tudi polmeri ustreznih pravilnih mnogokotnikov.

Z dolžinami [[apotema|apotem]] <math> r_{{\rm a}, n} \!\, </math> so polmeri enaki:

: <math> r_{n} = \frac{r_{{\rm a}, n}}{\cos \displaystyle{\frac{\pi}{n}}} \!\, . </math>

=== Elipsoid ===

{{glavni|elipsoid}}

Za [[elipsoid]] s polosmi <math> a \geqslant b \geqslant c \!\, </math> se lahko definira več pojmov polmera.

==== Povprečni polmer ====

'''Povprečni polmer''' elipsoida je enak aritmetični sredini vseh njegovih treh polosi:

: <math> r_{1} = \frac{a + b + c}{3} \!\, . </math>

==== Volumetrični polmer ====

'''Volumetrični polmer''' elipsoida je enak polmeru navidezne krogle s [[prostornina|prostornino]], enako prostornini obravnavanega elipsoida. Je enak geometrični sredini vseh njegovih treh polosi:

:  <math> r_{2} = \sqrt[3]{abc} \!\, . </math>

==== Avtalni polmer ====

'''Avtalni polmer''' (enakopovršinski polmer) elipsoida je enak polmeru navidezne krogle s površino, enako površini obravnavanega elipsoida <math> P \!\, </math>:

: <math> r_{3} = \sqrt{\frac{P}{\pi}} \!\, . </math>

V primeru [[podolgovati sferoid|podolgovatega]] [[sferoid]]a ([[vrtenje]] elipse okrog glavne [[os vrtenja|osi]]) je polmer na primer enak:

: <math> r_{3} = \sqrt{\frac{b^{2}}{2} + \frac{ab}{2}\frac{\arcsin e}{e}} \!\, . </math>

=== Hiperkocke ===

Polmer [[večrazsežni prostor|<math> d \!\, </math>-razsežne]] [[hiperkocka|hiperkocke]] ([[n-kocka|<math> d \!\, </math>-kocke]]) z dolžino stranice <math> s_{d} \!\, </math> je:

: <math> r_{d} = \frac{s_{d}}{2}\sqrt{d} \!\, . </math>

== Raba v koordinatnih sistemih ==

=== Polarni koordinati ===

{{glavni|polarni koordinatni sistem}}

[[Polarni koordinatni sistem]] <math> (r, \phi) \!\, </math> je [[dvorazsežni prostor|dvorazsežni]] [[koordinatni sistem]], v katerem je vsaka točka na [[ravnina|ravnini]] določena z razdaljo od fiksne točke in kotom od fiksne smeri.

Fiksna točka (analogna [[koordinatno izhodišče|izhodišču]] [[kartezični koordinatni sistem|kartezičnega koordinatnega sistema]]) se imenuje ''[[pol]]'', žarek iz pola v fiksni smeri pa je ''[[polarna os]]''. Razdalja od pola se imenuje ''[[radialna koordinata]]'' ali ''radij'', kot pa ''[[kotna koordinata]]'', ''[[polarni kot]]'' ali ''[[azimut]]''.{{r|brow-1997}}

=== Cilindrične koordinate ===

{{glavni|cilindrični koordinatni sistem}}

V [[cilindrični koordinatni sistem|cilindričnem koordinatnem sistemu]] <math> (r, \phi, z) \!\, </math> sta izbrana referenčna os in izbrana referenčna ravnina, [[pravokotnost|pravokotna]] na to os. ''Izhodišče'' sistema je točka, kjer so lahko vse tri koordinate podane kot nič. To je [[presečišče]] med referenčno ravnino in osjo.

Os se različno imenuje ''cilindrična'' ali ''vzdolžna'' os, da se jo loči od ''polarne osi'' &ndash; [[premica#žarek|žarka]], ki leži v referenčni ravnini in se začne pri izhodišču in kaže v referenčni smeri.

Razdalja od osi se imenuje ''radialna razdalja'' ali ''radij'', medtem ko se kotna koordinata včasih imenuje ''kotna lega'' ali ''azimut''. Radij in azimut se skupaj imenujeta ''polarni koordinati'', saj ustrezata dvorazsežnemu  polarnemu koordinatnemu sistemu v ravnini skozi točko, ki je vzporedna z referenčno ravnino. Tretja koordinata se imenuje ''[[višina]]'' ali ''[[altituda]]'' (če je referenčna ravnina [[vodoravnost|vodoravna]]), ''vzdolžna lega''{{r|kraf-2002}} ali ''osna lega''.{{r|groi-1997}}

=== Sferne koordinate ===

{{glavni|sferni koordinatni sistem}}

V [[sferni koordinatni sistem|sfernem koordinatnem sistemu]] <math> (r, \theta, \phi) \!\, </math> radij <math> r \!\, </math> opisuje razdaljo točke od fiksnega koordinatnega izhodišča. Njegovo [[krajevni vektor|lego]] opredeljuje polarni kot, izmerjen med radialno smerjo in fiksno smerjo [[zenit]]a, in azimutni kot, kot med pravokotno projekcijo radialne smeri na referenčno ravnino, ki poteka skozi koordinatno izhodišče in je pravokotna na zenit in fiksno referenčno smer v tej ravnini.

== Glej tudi ==

{{div col|colwidth=27em}}
* [[atomski polmer]]
* [[akcijski radij]]
* [[Schwarzschildov polmer]]
* [[krajevni vektor]]
* {{medjezikovna povezava|upogibni polmer|en|bend radius}}
* {{medjezikovna povezava|ekvivalentni polmer|en|equivalent radius}}
* [[konvergenčni polmer]]
* [[polmer konveksnosti]]
* {{medjezikovna povezava|polmer ukrivljenosti|en|radius of curvature}}
* [[vztrajnostni polmer]]
* {{medjezikovna povezava|polpremer|en|semidiameter}}
* [[Sončev polmer]]
* [[Zemljin polmer]]
{{div col end}}

== Sklici ==

{{refbegin|2|normalfont=yes}}
{{sklici|refs=
<ref name="brow-1997">{{sktxt|Brown|1997}}.</ref>
<ref name="groi-1997">{{sktxt|Groisman|Steinberg|1997}}.</ref>
<ref name="gros-2006">{{sktxt|Gross|Yellen|2006}}.</ref>
<ref name="kraf-2002">{{sktxt|Krafft|Volokitin|2002}}.</ref>
<ref name="rich-2008">{{sktxt|Rich|Thomas|2008}}.</ref>
<ref name="snoj-2015">{{sktxt|Snoj|2015}}.</ref>

<ref name="spl00">{{citat|title= polmér|website= fran.si|publisher= [[Fran (jezikovni portal)|Fran]], [[Slovar slovenskega knjižnega jezika]]|url= https://fran.si/133/sskj2-slovar-slovenskega-knjiznega-jezika-2/4513397/polmer?View=1&Query=polmer|accessdate= 2024-09-23}}</ref>
<ref name="spl01">{{citat|title= rádij|website= fran.si|publisher= Fran, Slovar slovenskega knjižnega jezika|url= https://fran.si/133/sskj2-slovar-slovenskega-knjiznega-jezika-2/4523476/radij?View=1&Query=radij|accessdate= 2024-09-23}}</ref>
<ref name="spl02">{{citat|title= radius|website= merriam-webster.com|publisher= [[Merriam-Webster]]|lang= en|url= http://www.merriam-webster.com/dictionary/radius|accessdate= 2012-05-22}}</ref>
<ref name="spl03">{{citat|title= radius|website= dictionary.com|publisher= [[Dictionary.com]]|lang= en|url= https://www.dictionary.com/browse/Radius|accessdate= 2009-08-08}}</ref>
<ref name="spl04">{{citat|title= Radius of a Circle or Sphere|website= mathwords.com|lang= en|url= http://www.mathwords.com/r/radius_of_a_circle_or_sphere.htm|accessdate= 2009-08-08}}</ref>
}}
{{refend}}

== Viri ==

{{refbegin|1|normalfont=yes}}
* {{citat|last1= Brown|first= Richard G.|editor-last1= Gleason|editor-first1= Andrew Mattei|editor-link1= Andrew Mattei Gleason|title= Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis|date= 1997|publisher= McDougal Littell|location= Evanston, Illinois|isbn= 0-395-77114-5|cobiss= <!--0-->|oclc= 36836350|url= https://archive.org/details/advancedmathemat00rich_0|url-access= registration}}, {{isbn|978-0-39-577114-3}}
* {{citat|last1= Groisman|first1= Alexander|last2= Steinberg|first2= Victor|title= Solitary Vortex Pairs in Viscoelastic Couette Flow|journal= [[Physical Review Letters]]|date= 1997-02-24|volume= 78|issue= 8|pages= 1460–1463|publisher= [[Ameriško fizikalno društvo]] (APS)|issn= 0031-9007|doi= 10.1103/physrevlett.78.1460|arxiv= patt-sol/9610008|bibcode= 1997PhRvL..78.1460G|s2cid= 54814721|quote= <nowiki>[...]</nowiki>kjer so ''r'', ''θ'' in ''z'' cilindrične koordinate <nowiki>[...]</nowiki> kot funkcija osne lege<nowiki>[...]</nowiki>}}
* {{citat|last1= Gross|first1= Jonathan L.|last2= Yellen|first2= Jay|title= Graph theory and its applications|date= 2006|edition= 2.|pages= 779|publisher= Chapman & Hall/CRC|location= Boca Raton|isbn= 1-58488-505-X|cobiss= 27163909|oclc= 61458362|url= https://books.google.com/books?id=unEloQ_sYmkC|accessdate= 2009-08-08}}, {{isbn|978-1-58-488505-4}}
* {{citat|last1= Krafft|first1= Catherine|last2= Volokitin|first2= Alexander S.|title= Resonant electron beam interaction with several lower hybrid waves|journal= [[Physics of Plasmas]]|date= 2002-06-01|volume= 9|issue= 6|pages= 2786–2797|doi= 10.1063/1.1465420|url= http://pop.aip.org/resource/1/phpaen/v9/i6/p2786_s1?isAuthorized=no|archive-url= https://archive.today/20130414005110/http://pop.aip.org/resource/1/phpaen/v9/i6/p2786_s1?isAuthorized=no|url-status= dead|archive-date= 2013-04-14|accessdate= 2013-02-09|issn= 1089-7674 |quote= ...v cilindričnih koordinatah (''r'',''θ'',''z'') ... in Z=v<sub>bz</sub>t je vzdolžna lega... |bibcode= 2002PhPl....9.2786K }}
* {{citat|last1= Rich|first1= Barnett|last2= Thomas|first2= Christopher|title= Schaum's Outline of Geometry|date= 2008|edition= 4.|pages= 326|publisher= McGraw-Hill Professional|isbn= 0-07-154412-7|cobiss= <!--0-->|oclc= 
299054572|url= https://books.google.com/books?id=ab8lZG2yubcC|accessdate= 2009-08-08}}, {{isbn|978-0-07-154412-2}}
* {{citat|last1= Snoj|first1= Marko|authorlink1= Marko Snoj|title= rādij|date= 2015|website= fran.si|publisher= Fran, [[Slovenski etimološki slovar]]|url= https://fran.si/193/marko-snoj-slovenski-etimoloski-slovar/4291108/radij?View=1&Query=radij|accessdate= 2024-09-23}}
* {{citat|last1= Stöcker|first1= Horst|authorlink1= Horst Stöcker|title= Matematični priročnik z osnovami računalništva|date= 2006|pages= 53, 59|publisher= [[Tehniška založba Slovenije]]|location= Ljubljana|isbn= 86-365-0587-9|cobiss= 229576192|oclc= 449201276}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==

{{Wikislovar|polmer|Polmer}}
* {{MathWorld|id=Radius|title=Radius|lang=en}}

{{normativna kontrola}}

[[Kategorija:Krog]]