Ogled vira Regge-Wheeler-Zerillijevi enačbi

{{short description|par enačb, ki opisujeta gravitacijske motnje Schwarzschildove črne luknje}}
[[slika:Regge-Wheeler-Zerilli potentials.pdf|thumb|right|300x300px|Regge-Wheelerjevi [[potencial]]i (rdeče) in Zerillijevi potenciali (modro)]]
'''Regge-Wheeler-Zerillijevi enačbi''' sta v [[splošna teorija relativnosti|splošni teoriji relativnosti]] par enačb, ki opisujeta [[gravitacija|gravitacijske]] [[teorija motenj|motnje]] [[Schwarzschildova metrika|Schwarzschildove]] [[črna luknja|črne luknje]]:

: <math> {\operatorname{d} s}^{2} = c^{2} \, {\operatorname{d} \tau}^{2} = \gamma c^{2} \, \operatorname{d} t^{2} - \frac{\operatorname{d} r^{2}}{\gamma} - r^{2} {\operatorname{d} \Omega}^{2} = g_{\mu\nu} \operatorname{d} x^{\mu} \operatorname{d} x^{\nu} \!\, . </math>

Imenujeta se po [[Tullio Regge|Tulliu Reggeju]], [[John Archibald Wheeler|Johnu Archibaldu Wheelerju]] in [[Frank J. Zerilli|Franku J. Zerilliju]].{{r|regg-1957}}{{r|zeri-1970}} Motnje Schwarzchildove metrike so razvrščene v dva tipa – ''aksialne'' in ''polarne'' motnje. To izrazje je uvedel [[Subrahmanyan Chandrasekhar]]. Aksialne motnje inducirajo [[povlek prostora]] tako, da črni luknji posredujejo [[vrtenje|vrtenja]] in spremenijo predznak, ko se azimutna smer obrne, medtem ko polarne motnje ne povzročijo vrtenj in ne spremenijo predznaka pri obratni azimutni smeri. Enačba za aksialne motnje se imenuje '''Regge-Wheelerjeva enačba''', enačba, ki ureja polarne motnje, pa se imenuje '''Zerillijeva enačba'''.

Enačbi imata enako obliko kot [[enorazsežni prostor|enorazsežna]] [[Schrödingerjeva enačba]]:{{r|chan-1983}}

: <math> \left( \frac{\operatorname{d}^{2}}{\operatorname{d} r_{*}^{2}} + \sigma^{2} \right) Z^{\pm} = V^{\pm} Z^{\pm} \!\, , </math>

kjer <math> Z^{+} \!\, </math> označuje polarne motnje, <math> Z^{-} \!\, </math> pa aksialne. Tu je <math> r_{*}=r+2M\ln(r/2M-1) \!\, </math> [[Eddington-Finkelsteinove koordinate#Želvja koordinata|želvja koordinata]] (pri tem je <math> G=c=1 \!\, </math>), <math> r \!\, </math> pripada Schwarzschildovim koordinatam <math> (t,r,\theta,\varphi) \!\, </math>, <math> 2M \!\, </math> je [[Schwarzschildov polmer]], <math> \sigma \!\, </math> pa predstavlja časovno [[frekvenca|frekvenco]] motenj, ki se pojavljajo v obliki <math> e^{i\sigma t} \!\, </math>.{{r|zalu-2016}} Regge-Wheelerjev [[potencial]] in Zerillijev potencial sta:

: <math> V^{-}= \frac{2(r^{2}-2Mr)}{r^{5}} \left[ (n+1)r-3M \right] \!\, , </math>
: <math> V^{+}= \frac{2(r^{2}-2Mr)}{r^{5}(nr+3M)^{2}} \left[ n^{2}(n+1)r^{3}+3Mn^{2}r^{2}+9M^{2}nr + 9M^{3} \right] \!\, , </math>

kjer <math> 2n=(l-1)(l+2) \!\, </math> in <math> l=2,3,4,\dots \!\, </math> označujeta lastni način za koordinato <math> \theta \!\, </math>. Za gravitacijske motnje sta načina <math> l=0,\,1 \!\, </math> nepomembna, ker se ne razvijata s časom. Fizikalno gravitacijske motnje z <math> l=0 \!\, </math> (monopolni) način predstavljajo spremembo [[masa|mase]] črne luknje, <math> l=1 \!\, </math> pa (dipolni) način ustreza premiku v legi in vrednosti [[vrtilna količina|vrtilne količine]] črne luknje. Oblika zgornjih potencialov je prikazana na sliki.

Treba je pripomniti, da želvja koordinata <math>r_{*} \rightarrow -\infty \!\, </math> označuje [[dogodkovno obzorje]], <math>r_{*} \rightarrow \infty \!\, </math> pa je enakovredna <math> r \rightarrow \infty \!\, </math>, to je do [[razdalja|razdalj]] zelo stran od črne luknje. Potenciala imata kratki doseg saj pojenjata hitreje kot <math> 1/r_{*} \!\, </math>. Ko gre <math>r_{*} \rightarrow \infty \!\, </math>, je <math> V^{\pm} \rightarrow 2(n+1)/r^{2} \!\, </math>, in pri <math> r_{*} \rightarrow -\infty \!\, </math> je <math> V^{\pm}\sim e^{r_{*}/2M} \!\, </math>. Zaradi tega je asimptotično obnašanje rešitev za <math> r_{*} \rightarrow \pm\infty \!\, </math> enako <math> e^{\pm i\sigma r_{*}} \!\, </math>.

== Zgodovina ==

Problem [[stabilnost]]i za Schwarzschildovo črno luknjo v obliki »čiste metrične« perturbacijske analize sta rešila Regge in Wheeler v kanoničnem članku iz leta 1957.{{r|regg-1957}}{{r|vish-1996}}{{r|thor-2020}} Glavni praktični dosežek tega dela je bila nedvomno formulacija pristopa umeritvene transformacije, ki omogoča popolno radialno/kotno ločitev [[Einsteinove enačbe polja|Einsteinovih enačb polja]] v dveh primerih lihe in sode [[parnost (fizika)|parnosti]]. Regge-Wheelerjeva enačba je dala formalno rešitev v aksialnem (ali [[magnetno polje|magnetnem]]) primeru.{{r|cruc-1999}} Tedaj pojem črnih lukenj še ni bil točno znan.{{r|thor-2020}}

Zaradi matematičnih zapletov je bila popolna analiza končana šele trinajst let pozneje, po delu [[Jon Mathews|Jona Mathewsa]],{{r|math-1962}} Lesterja A. Edelsteina in [[C. V. Visheshwara|C. V. Vishveshware]]{{r|edel-1970}}{{r|vish-1970}} in Zerillija,{{r|zeri-1970}} ki je zagotovilo ali strogi pristop k uporabi [[tenzor]]skih [[harmonik]]ov ali razrešilo nekatere težave z združljivostjo v analitično obravnavo sistema ali pa zagotovilo končno obliko enačbe v Zerrillijevi enačbi za radialne perturbacijske funkcije v polarnem (ali [[električno polje|električnem]]) primeru.

== Odnosi med obema problemoma ==

Leta 1975 sta Chandrasekhar in [[Steven Detweiler]] odkrila enolično preslikavo med obema enačbama, kar je pripeljalo do posledice, da sta spektra, ki ustrezata obema potencialoma, enaka.{{r|chan-1975}} Ta dva potenciala se lahko zapišeta tudi kot:

: <math> V^{\pm} = \pm 6M \frac{\operatorname{d} f}{\operatorname{d} r_{*}} +  (6Mf)^{2} + 4n(n+1) f, \quad f = \frac{r^{2}-2Mr}{2r^{3}(nr+3M)} \!\, . </math>

Zveza med <math> Z^{+} \!\, </math> in <math> Z^{-} \!\, </math> je dana z izrazom:{{r|chan-1983}}

: <math> \left[ 4n(n+1)\pm 12 i \sigma M \right] Z^{\pm} = \left[ 4n(n+1) + \frac{72M^{2}(r^{2}-2Mr)}{r^{3}(2nr+6M)}\right] Z^{\mp} \pm 12M \frac{\operatorname{d} Z^{\mp}}{\operatorname{d} r_{*}} \!\ . </math>

== Koeficienta odbojnosti in prepustnosti ==

[[slika:RWZreflect.pdf|thumb|right|300x300px|[[koeficient odbojnosti|Koeficienti odbojnosti]] zaradi Regge-Wheeler-Zerillijevih potencialov]]

Tu sta <math> V^{\pm} \!\, </math> vedno pozitivna in problem je [[odboj]] in [[prenos]] [[valovanje|valovanj]], ki vpadajo iz <math> r_{*} \rightarrow \infty \!\, </math> v <math> r_{*} \rightarrow -\infty \!\, </math>. Problem je v bistvu enak problemu odboja in prenosa s [[pravokotna potencialna ovira|potencialno oviro]] v [[kvantna mehanika|kvantni mehaniki]]. Naj bo vpadno valovanje z enotsko [[amplituda|amplitudo]] <math> e^{+i\sigma r_{*}} \!\, </math>, potem so asimptotična obnašanja rešitve podana z:

: <math> Z^{\pm} = e^{+i\sigma r_{*}} + R^{\pm} e^{-i\sigma r_{*}} \quad \text{pri} \quad r_{*} \rightarrow +\infty \!\, , </math>
: <math> Z^{\pm} =  T^{\pm} e^{i\sigma r_{*}} \quad \text{pri} \quad r_{*} \rightarrow -\infty \!\, , </math>

kjer sta <math> R=R(\sigma) \!\, </math> in <math> T=T(\sigma) \!\, </math> sta amplitudi odboja in prenosa. V drugi enačbi se je upoštevala fizikalna zahteva, da valovanja ne izvirajo z dogodkovnega obzorja.

''[[koeficient odbojnosti|Koeficienta odbojnosti]]'' in ''[[koeficient prepustnosti|prepustnosti]]'' sta potem definirana kot:

: <math> \mathcal{R}^{\pm}=|R^{\pm}|^{2}, \quad \mathcal{T}^{\pm}=|T^{\pm}|^{2} \!\, , </math>

podvržena pogoju <math> \mathcal{R}^{\pm}+ \mathcal{T}^{\pm}=1 \!\, </math>. Zaradi inherentne povezave med obema enačbama, kot je opisano v prejšnjem razdelku, se izkaže, da velja{{r|chan-1983}}

: <math> T^{+}=T^{-},\quad R^{+} = e^{i\delta}R^{-}, \quad e^{i\delta}=\frac{n(n+1)-3i\sigma M}{n(n+1)+3 i\sigma M} \!\,</math>

in s tem, ker se <math> R^{+} \!\, </math> in <math> R^{-} \!\, </math> razlikujeta samo v svojih fazah, izhaja:

: <math> \mathcal{T}\equiv \mathcal{T}^{+}=\mathcal{T}^{-}, \quad \mathcal{R}\equiv\mathcal{R}^{+}=\mathcal{R}^{-} \!\, . </math>

Iz slike za koeficient odbojnosti je razvidno, da črna luknja zlahka odbije nizkofrekvenčne motnje, visokofrekvenčne pa jih absorbira.

== Kvazinormalni načini ==

[[Kvazinormalni način]]i ustrezajo čistim tonom črne luknje. Opisuje poljubne, a majhne motnje, kot je padec telesa v črno luknjo, [[akrecija]] snovi, ki jo obdaja, zadnja stopnja rahlo asferičnega sesedanja itd. Za razliko od problema koeficienta odbojnosti in prepustnosti so za kvazinormalne načine značilne kompleksne vrednosti <math> \sigma \!\, </math> z dogovorm <math> \mathrm{Re}\{\sigma\}>0 \!\, </math>. Zahtevana robna pogoja sta:

: <math> Z^{\pm} = A^{\pm} e^{-i\sigma r_{*}} \quad \text{pri} \quad r_{*} \rightarrow +\infty \!\, , </math>
: <math> Z^{\pm} = e^{i\sigma r_{*}} \quad \text{pri} \quad r_{*} \rightarrow -\infty \!\, , </math>

kar kaže, da obstajajo čisto odhajajoča valovanja z amplitudo <math> A^{\pm} \!\, </math> in čisto vhodna valovanja na obzorju.

Problem postane problem [[lastna vrednost|lastne vrednosti]]. Kvazinormalni načini so tipa dušenja v času, čeprav se ta valovanja v prostoru razhajajo kot <math> r^{*} \to \pm\infty \!\, </math> (to je posledica implicitne predpostavke, da je motnja v kvazinormalnih načinih v daljni preteklosti 'neskončna').{{r|chan-1983}} Spet zaradi omenjenega razmerja med obema problemoma sta spektra <math> Z^{+} \!\, </math> in <math> Z^{-} \!\, </math> enaka in je zato dovolj, da se upošteva spekter <math>Z^{-} \!\, </math>. Problem se poenostavi z uvedbo izraza:{{r|chan-1975}}

: <math> Z^{-}=\exp \left( i\int^{r_{*}} \phi \, \operatorname{d} r_{*} \right) \!\, . </math>

Problem nelinearne lastne vrednosti je podan z:

: <math> i \frac{\operatorname{d} \phi}{\operatorname{d} r_{*}} + \sigma^{2} - \phi^{2} - V^{-} = 0, \quad \phi(-\infty) = +\sigma, \quad \phi(+\infty) = -\sigma \!\, . </math>

Ugotovljeno je, da rešitev obstaja samo za diskretno množico vrednosti <math> \sigma \!\, </math>.{{r|noll-1993}}

Ta enačba implicira tudi identiteto:

: <math> -2i\sigma + \int_{-\infty}^{+\infty} (\sigma^{2}-\phi^{2}) \operatorname{d} r_{*} = \int_{-\infty}^{+\infty} V^{-} \operatorname{d} r_{*} = \frac{4n+1}{4M} \!\, . </math>

== Glej tudi ==

{{div col|colwidth=27em}}
* {{medjezikovna povezava|Chandrasekhar-Pageovi enačbi|en|Chandrasekhar–Page equations}}
* {{medjezikovna povezava|enačbe Teukolskega|en|Teukolsky equations}}
{{div col end}}

== Sklici ==

{{refbegin|4|normalfont=yes}}
{{sklici|refs=
<ref name ="chan-1975">{{sktxt|Chandrasekhar|Detweiler|1975}}.</ref>
<ref name="chan-1983">{{sktxt|Chandrasekhar|1983}}.</ref>
<ref name="cruc-1999">{{sktxt|Cruciani|1999}}.</ref>
<ref name="edel-1970">{{sktxt|Edelstein|Vishveshwara|1970}}.</ref>
<ref name="math-1962">{{sktxt|Mathews|1962}}.</ref>
<ref name="noll-1993">{{sktxt|Nollert|1993}}.</ref>
<ref name="regg-1957">{{sktxt|Regge|Wheeler|1957}}.</ref>
<ref name="thor-2020">{{sktxt|Thorne|2020}}.</ref>
<ref name="vish-1970">{{sktxt|Vishveshwara|1970}}.</ref>
<ref name="vish-1996">{{sktxt|Vishveshwara|1996}}.</ref>
<ref name="zalu-2016">{{sktxt|Zalutskiy|2016}}.</ref>
<ref name="zeri-1970">{{sktxt|Zerilli|1970}}.</ref>
}}
{{refend}}

== Viri ==

{{refbegin|1|normalfont=yes}}
* {{navedi disertacijo|last1= Berti|first1= Emanuele|authorlink1= Emanuele Berti|title= Gravitational waves from perturbed stars|date= 2001|type= doktorska disertacija|publisher= Fakulteta za matematične, fizikalne in naravoslovne vede, [[Rimska univerza La Sapienza]]|url= https://pages.jh.edu/eberti2/research/phd.pdf}}
* {{citat|last1= Chandrasekhar|first1= Subrahmanyan|authorlink1= Subrahmanyan Chandrasekhar|last2= Detweiler|first2= Steven|authorlink2= Steven Detweiler|title= The quasi-normal modes of the Schwarzschild black hole|journal= [[Proceedings of the Royal Society|Proceedings of the Royal Society of London]]. Series A. Mathematical and Physical Sciences|date= avgust 1975|volume= 344|issue= 1639|pages= 441–452|doi= 10.1098/rspa.1975.0112|bibcode= 1975RSPSA.344..441C}}
* {{citat|last1= Chandrasekhar|first1= Subrahmanyan|title= The mathematical theory of black holes|date= 1983|publisher= [[Clarendon Press]]; [[Oxford University Press]]|location= Oxford; New York|series= (International Series of Monograph Physics)|volume= 69|isbn= 978-0-19-851291-2<!--ISBN-10:0198512910-->|cobiss= 1177127|bibcode= 1983mtbh.book.....C|LCCN= 82-7920|oclc= 450607588}}
* {{citat|last1= Cornell|first1= Alan S.|last2= Herbst|first2= Sheldon R.|last3= Noshad|first3= Hajar|last4= Ncube|first4= Anele M.|title= Solving the Regge-Wheeler and Teukolsky equations: supervised vs. unsupervised physics-informed neural networks|date= 2024|doi= 10.48550/arXiv.2402.11343|arxiv= 2402.11343}}
* {{citat|last1= Cruciani|first1= Gianluca|title= Deriving the Regge-Wheeler and Zerilli equations in the general static spherically-symmetric case with Mathematica and MathTensor|date= 1999|doi= 10.48550/arXiv.gr-qc/9911101|arxiv= gr-qc/9911101}}
* {{citat|last1= Edelstein|first1= Lester A.|last2= Vishveshwara|first2= C. V.|title= Differential Equations for Perturbations on the Schwarzschild Metric|journal= Physical Review D|date= 1970-06-15|volume= 1|pages= 3514–3517|doi= 10.1103/PhysRevD.1.3514|bibcode= 1970PhRvD...1.3514E}}
* {{citat|last1= Fiziev|first1= Plamen Petkov|authorlink1= Plamen Petkov Fiziev|title= Exact Solutions of Regge-Wheeler Equation and Quasi-Normal Modes of Compact Objects|journal= [[Classical and Quantum Gravity]]|date= 2006-03-17|volume= 23|issue= 7|pages= 2447–2468|issn= 0264-9381|doi= 10.1088/0264-9381/23/7/015|arxiv= gr-qc/0509123}}
* {{citat|last1= Fiziev|first1= Plamen Petkov|title= Exact solutions of Regge-Wheeler equation|journal= [[Journal of Physics: Conference Series]]|date= 2007|volume= 66|issue= 1|pages= 012016|issn= 1742-6588|doi= 10.1088/1742-6596/66/1/012016|arxiv= gr-qc/0702014}}
* {{citat|last1= Fiziev|first1= Plamen Petkov|title= Classes of Exact Solutions to Regge-Wheeler and Teukolsky Equations|date= februar 2009|doi= 10.48550/arXiv.0902.1277|bibcode= 2009arXiv0902.1277F|arxiv= 0902.1277}}
* {{citat|last1= Giorgi|first1= Elena|title= Electromagnetic-gravitational perturbations of Kerr–Newman spacetime: The Teukolsky and Regge–Wheeler equations|journal= [[Journal of Hyperbolic Differential Equations]]|date= 2022|volume= 19|issue= 1|pages= 1–139|issn= 0219-8916|doi= 10.1142/S0219891622500011}}
* {{citat|last1= Hess|first1= Peter O.|last2= López-Moreno|first2= Enrique|title= Regge–Wheeler and Zerilli equations within a modified theory of general relativity|journal= [[Astronomische Nachrichten]]|date= januar–marec 2019|volume= 340|issue= 1–3|pages= 89–94|doi= 10.1002/asna.201913567}}
* {{navedi disertacijo|last1= Konjik|first1= Nikola|title= Fenomenologija nekomutativnog skalarnog polja u ravnom i zakrivljenom prostoru|date= 2019|type= doktorska disertacija|publisher= [[Fakulteta za fiziko v Beogradu|Fakulteta za fiziko]], [[Univerza v Beogradu]]|url= http://www.ff.bg.ac.rs/Fakultet/Referati/Disertacije/Nikola_Konjik_disertacija_FIF.pdf}}
* {{citat|last1= Mano|first1= Shuhei|last2= Suzuki|first2= Hisao|last3= Takasugi|first3= Eiichi|title= Analytic Solutions of the Regge-Wheeler Equation and the Post-Minkowskian Expansion|journal= [[Progress of Theoretical Physics]]|date= september 1996|volume= 96|issue= 3|pages= 549–565|doi= 10.1143/PTP.96.549}}
* {{citat|last1= Mathews|first1= Jon|authorlink1= Jon Mathews|title= Gravitational Multipole Radiation|journal= [[SIAM Journal on Applied Mathematics|Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics]]|date= december 1962|volume= 10|issue= 4|pages= 768–780|doi= 10.1137/0110059}}
* {{citat|last1= Nollert|first1= Hans-Peter|authorlink1= Hans-Peter Nollert|title= Quasinormal modes of Schwarzschild black holes: The determination of quasinormal frequencies with very large imaginary parts|journal= [[Physical Review D]]|date= 1993-06-15|volume= 47|issue= 12|pages= 5253–5258|doi= 10.1103/PhysRevD.47.5253|bibcode= 1993PhRvD..47.5253N}}
* {{citat|last1= O’Toole|first1= Conor|last2= Ottewill|first2= Adrian|last3= Wardell|first3= Barry|title= Characteristic formulation of the Regge-Wheeler and Zerilli Green functions|journal= Physical Review D|date= 2021-06-15|volume= 103|issue= 12|pages= 124022|doi= 10.1103/PhysRevD.103.124022}}
* {{citat|last1= Regge|first1= Tullio|authorlink1= Tullio Regge|last2= Wheeler|first2= John Archibald|authorlink2= John Archibald Wheeler|title= Stability of a Schwarzschild singularity|journal= [[Physical Review]]|date= 1957-11-15|volume= 108|issue= 4|pages= 1063–1069|doi= 10.1103/PhysRev.108.1063|bibcode= 1957PhRv..108.1063R}}
* {{citat|last1= Sarbach|first1= Olivier|last2= Tiglio|first2= Manuel|title= Gauge-invariant perturbations of Schwarzschild black holes in horizon-penetrating coordinates|journal= Physical Review D|date= 2001-09-25|volume= 64|issue= 084016|doi= 10.1103/PhysRevD.64.084016}}
* {{citat|last1= Sasaki|first1= Misao|last2= Nakamura|first2= Takeshi|title= The Regge-Wheeler equation with sources for both even and odd parity perturbations of the Schwarzschild geometry|journal= [[Physics Letters A]]|date= 1981-12-28|volume= 87|issue= 3|pages= 85–88|doi= 10.1016/0375-9601(81)90568-5}}
* {{citat|last1= Spallicci|first1= Alessandro D. A. M.|authorlink1= Alessandro Spallicci|chapter= Analytic Solution of Regge-Wheeler Differential Equation for Black Hole Perturbations in Radial Coordinate and Time Domains|title= Recent Developments in General Relativity|date= 2000|pages= 373–378|editor-last1= Casciaro|editor-first1= B.|editor-last2= Fortunator|editor-first2= D.|editor-last3= Francaviglia|editor-first3= M.|editor-last4= Masiello|editor-first4= A.|publisher= Springer-Verlag|location= Milano}}
* {{citat|last1= Thorne|first1= Kip Stephen|authorlink1= Kip Stephen Thorne|chapter= Introduction to Regge and Wheeler “Stability of a Schwarzschild Singularity”|title= Tullio Regge an Eclectic Genius: From Quantum Gravity to Computer Play|date= 2020|pages= 3–12|publisher= World Scientific|location= Singapur|chapter-url= https://www.its.caltech.edu/~kip/PubScans/II-175.pdf}}
* {{citat|last1= Vishveshwara|first1= C. V.|authorlink1= C. V. Visheshwara|title= Scattering of Gravitational Radiation by a Schwarzschild Black-hole|journal= [[Nature]]|date= 1970|volume= 227|issue= 5261| pages= 936–938|publisher= Springer Science and Business Media LLC|issn= 0028-0836|doi= 10.1038/227936a0|pmid= 16058209|bibcode= 1970Natur.227..936V|s2cid= 4160946|url= https://www.nature.com/articles/227936a0}}
* {{citat|last1= Vishveshwara|first1= C. V.|title= On the black hole trail ...: A personal journey|journal= [[Current Science]]|date= 1996-12-10|volume= 71|issue= 11|pages= 824–830|url= http://prints.iiap.res.in/bitstream/handle/2248/2931/visweswara.pdf<!--https://citeseerx.ist.psu.edu/document?repid=rep1&type=pdf&doi=782b35dead115c80fda760f7e66a2b298d95e0a8-->}}
* {{citat|last1= Vishveshwara|first1= C. V.|title= Leaves from an unwritten diary : S. Chandrasekhar: Reminiscences and reflections|journal= Current Science|date= 2020-04-25|volume= 78|issue= 8|pages= 1025–1032|url= http://prints.iiap.res.in/bitstream/handle/2248/3080/visweswara.pdf}}
* {{navedi disertacijo|last1= Zalutskiy|first1= Maxim P.|title= Investigations of black-hole spectra: purely-imaginary modes and Kerr ringdown radiation|date= avgust 2016|type= doktorska disertacija|publisher= [[Univerza Wake Forest]]|url= 
https://wakespace.lib.wfu.edu/bitstream/handle/10339/62634/Zalutskiy_wfu_0248D_10936.pdf}}
* {{citat|last1= Zerilli|first1= Frank J.|authorlink1= Frank J. Zerilli|title= Effective potential for even-parity Regge-Wheeler gravitational perturbation equations|journal= [[Physical Review Letters]]|date= januar 1970|volume= 24|issue= 13|pages= 737–738|doi= 10.1103/PhysRevLett.24.737|bibcode= 1970PhRvL..24..737Z}}
{{refend}}

{{DEFAULTSORT:Regge-WheelerZerillijevi enačbi}}

[[Kategorija:Astrofizika]]
[[Kategorija:Eponimske enačbe fizike]]
[[Kategorija:Splošna teorija relativnosti]]
[[Kategorija:Navadne diferencialne enačbe]]