Ogled vira Riemannova domneva

[[Slika:RiemannCriticalLine.svg|thumb|right|250px|Realni (rdeče) in imaginarni del (modro) [[Riemannova funkcija zeta|Riemannove funkcije ζ]] vzdolž kritične premice <math>\Re (s) = 1/2\, </math>. Prve netrivialne [[ničla funkcije|ničle]] so v [[točka (geometrija)|točka]]h <math>\Im (s) = \pm 14,135, \pm 21,022\, </math> in <math>\pm 25,011\, </math>.]]

'''Riemannova domneva''' je v [[matematika|matematiki]] [[domneva]], da imajo vse netrivialne [[ničla funkcije|ničle]] [[Riemannova funkcija zeta|Riemannove funkcije ζ]] [[realni del]] enak [[polovica|1/2.]] Predlagal jo je [[Bernhard Riemann]] leta [[1859 v znanosti|1859]].<ref name="riemann_1859">{{sktxt|Riemann|1859}}.</ref> Ime domneve je povezano tudi z nekaterimi drugimi zelo sorodnimi pojmi, kot na primer [[lokalna funkcija zeta|Riemannova domneva o krivuljah v končnih obsegih]].

Riemannova domneva obsega rezultate o porazdelitvi [[praštevilo|praštevil]]. Skupaj z ustreznimi posplošitvami jo imajo nekateri matematiki za najpomembnejši [[nerešeni matematični problemi|nerešeni problem]] v [[čista matematika|čisti matematiki]].<ref name="bombieri_2000">{{sktxt|Bombieri|2000}}.</ref> Riemannova domneva je skupaj z [[Goldbachova domneva|Goldbachovo domnevo]] del [[Hilbertov osmi problem|Hilbertovega osmega problema]] na [[David Hilbert|Hilbertovem]] seznamu [[Hilbertovi problemi|23-ih nerešenih problemov]] iz leta 1900. Kot edini problem s Hilbertovega seznama je uvrščena tudi med [[problemi tisočletne nagrade]] [[Clayjev matematični inštitut|Clayjevega matematičnega inštituta]].

Riemannova funkcija ζ(''s'') je [[funkcija]], katere [[argument funkcije|argument]] ''s'' je lahko poljubno [[kompleksno število]] različno od [[1 (število)|1]] in katere vrednosti so tudi kompleksne. Njene ničle se pojavljajo pri [[negativno število|negativnih]] [[sodo število|sodih]] [[celo število|celih številih]] – <math>\zeta (s) = 0\, </math>, kadar je <math>s = -2n = -2, -4, -6, \ldots\, </math> Te ničle se imenujejo '''trivialne ničle'''. [[Odvod]] Riemannove funkcije ζ v trivialnih ničlah je dan analitično:<ref>{{sktxt|Broughan|Barnett|2002}}.</ref><ref name="wolf_2009">{{sktxt|Wolf|2009}}.</ref>

: <math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} n} \zeta(-2n) = (-1)^{n} \frac{n(2n-1)!}{(2\pi)^{2n}} \zeta (2n+1) \!\, , </math>

tako da se predznak odvoda izmenično spreminja. Vendar te ničle niso edine vrednosti za katere je vrednost funkcije ζ enaka [[0|nič]]. Druge ničle se imenujejo ''netrivialne ničle''. Riemannova domneva zadeva lege teh netrivialnih ničel in pravi:

: da je realni del vseh netrivialnih ničel Riemannove funkcije ζ enak&nbsp;{{sfrac|2}} (<math>\sigma \equiv \Re(s) = \frac{1}{2}\, </math>), oziroma enakovredno, <math>\zeta (s) \ne 0\, </math> za <math>\sigma > \frac{1}{2}\, </math>.<ref>{{sktxt|Christ|2013}}.</ref>

V novejšem času se k zgornji definiciji doda pogoj, da so netrivialne ničle enostavne, kar pomeni, da je v njih odvod različen od nič:<ref name="wolf_2009" />

: <math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \zeta(s) \ne 0 \!\, .</math>

Če je domneva pravilna, tako vse netrivialne ničle ležijo na '''kritični premici''', ki vsebuje kompleksna števila <math>s = \sigma + it\, </math>, kjer je ''t'' [[realno število]], ''i'' pa [[imaginarna enota]], in so enostavne. Zapis <math>s = \sigma + it\, </math> je standarden že od Riemannovega izvirnega članka.<ref name="aim_2004">{{navedi splet|title= Riemann hypothesis|url= http://www.aimath.org/WWN/rh/|work= [[Ameriški matematični inštitut]]|date= 2004-06-17|accessdate= 2015-06-19|language= en}}</ref> Sicer se rabijo tudi drugačni zapisi, na primer še posebej za netrivialne ničle <math>\rho = \beta + i\gamma\, </math>. Prve vrednosti ''t'' so:

{| class="wikitable"
|-
! ''n'' <br /> &nbsp;
! <math>t_{n}\, </math> <br /> &nbsp;
! [[Spletna enciklopedija celoštevilskih zaporedij|OEIS]] <br /> &nbsp;
! <math> \lfloor t_{n} \rfloor \, </math> <br /> {{OEIS2|id=A013629}}
! <math> \lfloor t_{n} \rceil \, </math> <br />  {{OEIS2|id=A002410}}
! <math> \lceil t_{n} \rceil \, </math> <br />  {{OEIS2|id=A092783}}
! <math> \lfloor t_{n+1} - t_{n} \rfloor\, </math> <br /> {{OEIS2|id=A153595}}
! <math> \lfloor t_{n+1} - t_{n+1} \rceil\, </math> <br /> {{OEIS2|id=A161914}}
|-
|   1 || 14,134725141734... || {{OEIS2C|id=A058303}} || 14 || 14 || 15 || 14 || 14
|-
|   2 || 21,022039638771... || {{OEIS2C|id=A065434}} || 21 || 21 || 22 ||  6 ||  7
|-
|   3 || 25,010857580145... || {{OEIS2C|id=A065452}} || 25 || 25 || 26 ||  3 ||  4
|-
|   4 || 30,424876125859... || {{OEIS2C|id=A065453}} || 30 || 30 || 31 ||  5 ||  5
|-
|   5 || 32,935061587739... || {{OEIS2C|id=A192492}} || 32 || 33 || 33 ||  2 ||  3
|-
|   6 || 37,586178158825... || {{OEIS2C|id=A305741}} || 37 || 38 || 38 ||  4 ||  5
|-
|   7 || 40,918719012147... || {{OEIS2C|id=A305742}} || 40 || 41 || 41 ||  3 ||  3
|-
|   8 || 43,327073280914... || {{OEIS2C|id=A305743}} || 43 || 43 || 44 ||  2 ||  2
|-
|   9 || 48,005150881167... || {{OEIS2C|id=A305744}} || 48 || 48 || 49 ||  4 ||  5
|-
|  10 || 49,773832477672... || {{OEIS2C|id=A306004}} || 49 || 50 || 50 ||  1 ||  2
|}

Iz prvih vrednosti je razvidno, da je <math>t_{n} > n\, </math>, vendar se pri ''n''&nbsp;9137 neenakost obrne, saj je:<ref name="wolf_2014">{{sktxt|Wolf|2014|pp=7}}.</ref>

: <math> t_{9137} = 9136,6792 \ldots \, </math>
: <math> t_{9136} = 9136,1396 \ldots \, </math>

Naslednja ničla je spet večja od ''n'' pri <math>t_{9138}\, </math>. Potem naprej vse do ''n''&nbsp;10<sup>7</sup> neenakost spet velja in se verjame, da velja naprej.

Riemannova funkcija ζ in njen [[logaritemski odvod]] sta povezana:<ref>{{sktxt|Lagarias|Mehta|2015|pp=10}}.</ref>

: <math> \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \zeta (s)}{\zeta (s)} = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda (n)}{n^{s}} \!\, , </math>

kjer je Λ [[von Mangoldtova funkcija]].

Ničle se lahko zapišejo z [[zaporedje]]m:

: <math> t_{n} = \Re(t_{n}) + i \Im(t_{n}), \qquad ( n \in \mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, \ldots \} ) \!\, . </math>

[[Hans Adolph Rademacher|Rademacher]] je [[pogojni dokaz|dokazal]], da če je Riemannova domneva pravilna, imaginarni deli tega zaporedja tvorijo enakomerno porazdeljeno zaporedje. [[Edmund Hlawka|Hlawka]] je [[matematični dokaz|pokazal]] kako se lahko Rademacherjev rezultat dokaže brez privzetka o pravilnosti Riemannove domneve.<ref>{{sktxt|Calude|Hertling|Khoussainov|1997}}.</ref> [[Rademacher-Hlawkov izrek]] pravi, da so za vsako realno število <math>t\ne 0\, </math> ulomljeni deli <math>f_{n}(t)\, </math> zaporedja:

: <math> \frac{1}{2\pi} \Im (s_{n}) \!\, </math>

enakomerno porazdeljeni v smislu, da za vsak podinterval <math> [a, b] \subseteq [0, 1] \!\, </math> del točk <math>f_{0}(t), \ldots , f_{N}(t)\, </math> iz podintervala težijo k <math>b - a\, </math>, ko gre <math>N \to \infty\, </math>.

O Riemannovi domnevi obstaja več netehničnih knjig, kot npr. avtorjev: [[John Derbyshire|Derbyshire]],<ref>{{sktxt|Derbyshire|2003}}.</ref> Rockmore,<ref>{{sktxt|Rockmore|2005}}.</ref> [[Karl Sabbagh|Sabbagh]],<ref>{{sktxt|Sabbagh|2003a}}.</ref><ref>{{sktxt|Sabbagh|2003b}}.</ref> [[Marcus du Sautoy|du Sautoy]].<ref>{{sktxt|du Sautoy|2003}}.</ref> Knjige avtorjev: [[Harold Mortimer Edwards|Edwards]],<ref name="edwards_1974">{{sktxt|Edwards|1974}}.</ref> Patterson,<ref name="patterson_1988">{{sktxt|Patterson|1988}}.</ref>, [[Peter Borwein|Borwein]] ''idr.'',<ref>{{sktxt|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.</ref> in [[Barry Mazur|Mazur]]; [[William Arthur Stein|Stein]]<ref>{{sktxt|Mazur|Stein|2015}}.</ref> podajajo matematični uvod, [[Edward Charles Titchmarsh|Titchmarsh]],<ref name="titchmarsh_1986">{{sktxt|Titchmarsh|1986}}.</ref> [[Aleksandar Ivić|Ivić]],<ref name="ivic_1985">{{sktxt|Ivić|1985}}.</ref> in [[Anatolij Aleksejevič Karacuba|Karacuba]]; Voronin<ref>{{sktxt|Karacuba|Voronin|1992}}.</ref> pa so naprednejše monografije.

== Riemannova funkcija ζ ==

Riemannova funkcija ζ je definirana za kompleksni ''s'' z realnim delom večjim od 1 z [[absolutna konvergenca|absolutno konvergentno]] [[neskončna vrsta|neskončno vrsto]]:

: <math> \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots \!\, . </math>

[[Leonhard Euler]] je pokazal, da je ta vrsta enaka [[Eulerjev produkt|Eulerjevemu produktu]]:

: <math> \begin{align}
\zeta(s) &= \prod_{p \in \mathbb{P}} \frac{1}{1 - \frac{1}{p^{s}}} = \prod_{p \in \mathbb{P}} \frac{1}{1 - p^{-s}} =
            \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots \\
         & = \left(1 + \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{2^{2s}} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{3^{2s}} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^{s}} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots \!\, , \end{align} </math>

kjer [[neskončni produkt]] poteka po vseh praštevilih ''p'' in spet konvegira za kompleksni ''s'' z realnim delom večjim od 1. [[Limita funkcije|Konvergenca]] Eulerjevega produkta kaže, da funkcija ζ(''s'') nima ničel v tem območju, saj je vsak faktor brez ničel.

Riemannova domneva obravnava ničle zunaj območja konvergence te vrste, zato mora zanjo obstajati [[analitično nadaljevanje]] na vse kompleksne ''s''. To se lahko doseže, da se jo razvije z [[Dirichletova funkcija eta|Dirichletovo funkcijo η]] kot sledi. Če je realni del ''s'' večji od 1, za funkcijo ζ velja:

: <math> \left(1-\frac{2}{2^s}\right)\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} = \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \cdots \!\, . </math>

Vendar vrsta na desni konvergira ne samo, kadar je ''s'' večji od 1, ampak splošneje kadar ima ''s'' pozitivni realni del. Ta alternativna vrsta razširja funkcijo ζ iz območja {{nowrap|Re(''s'') > 1}} v večjo območje {{nowrap|Re(''s'') > 0}} in izključuje ničle <math>s = 1 + 2\pi in/\ln(2)</math> funkcij <math>1-2/2^s</math>. Tudi funkcija ζ se lahko razširi na te vrednosti z limitami, ki dajo končno vrednost za vse vrednosti ''s'' s pozitivnim realnim delom , razen za [[enostavni pol]] v ''s''&nbsp;=&nbsp;1.

V traku {{nowrap|0 < Re(''s'') < 1}} za funkcijo ζ velja [[funkcijska enačba]]:

: <math> \zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s) \!\, , </math>
kjer je Γ [[funkcija gama|funkcija Γ]]. Lahko se definira ζ(''s'') za vsa preostala kompleksna števila ''s'', če se privzame, da ta enačba velja tudi zunaj traku in, da je funkcija ζ(''s'') enaka desni strani enačbe, kadar ''s'' nima pozitivnega realnega dela. Če je ''s'' negativno celo število, potem je ζ(''s'') = 0, ker se faktor sin(π''s''/2) poniči – to so trivialne ničle funkcije ζ.{{efn|Če je ''s'' pozitivno celo število, ta argument ne velja, ker se ničle funkcije [[trigonometrična funkcija|sinus]] poničijo s poli funkcije Γ, ker zavzame negativne celoštevilske argumente.}} Vrednost [[1 + 1 + 1 + 1 + · · ·|ζ(0)&nbsp;=&nbsp;−1/2]] ni določena s funkcijsko enačbo, ampak je limitna vrednost funkcije ζ(''s''), ko se ''s'' približuje ničli. Iz funkcijske enačbe tudi sledi, da funkcija ζ nima ničel z negativnim realnim delom razen trivialnih ničel, in tako vse netrivialne ničle ležijo na kritični premici, kjer ima ''s'' realni del med 0 in 1.

== Ozadje in zgodovina ==

{{quote box|align=right|width=30%|quote=»{{jezik|de|…es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.}}«<br /><br />»…zelo verjetno je, da so vse ničle realne. Seveda je želja imeti tukaj dokaz; sam sem do sedaj po nekaj bežnih neuspešnih poskusih začasno dal na stran iskanje zanj, ker je verjetno nebistven za naslednji cilj moje raziskave.«|source=Riemannova izjava Riemannove domneve iz članka.<ref name="riemann_1859" /> (Obravnaval je različico funkcije ζ, modificirano tako, da so njene ničle realne in ne ležijo na kritični premici.)}}
[[Slika:Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse.pdf|thumb|right|250px|Prva stran [[Bernhard Riemann|Riemannovega]] članka ''O številu praštevil, manjših od dane velikosti'' (''Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse'') iz leta 1859]]

V svojem članku iz leta 1859 ''O številu praštevil, manjših od dane velikosti'' (''Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse'') je Riemann našel [[eksplicitne formule (L-funkcija)|eksplicitne formule]] za [[število praštevil]] π(''x'') manjše od danega števila ''x''. Njegova formula je dana s pomočjo povezane funkcije:

: <math> \begin{align}\Pi(x) &= \pi(x) +\tfrac{1}{2}\pi(x^{\frac{1}{2}}) +\tfrac{1}{3}\pi(x^{\frac{1}{3}}) +\tfrac{1}{4}\pi(x^{\frac{1}{4}}) \\ &\ \ \ \ +\tfrac{1}{5}\pi(x^{\frac{1}{5}}) +\tfrac{1}{6}\pi(x^{\frac{1}{6}}) +\cdots \!\, , \end{align} </math>

ki šteje praštevila in praštevilske potence do ''x'', praštevilske potence ''p''<sup>''n''</sup> kot 1/''n'' praštevila. Število praštevil se lahko izvede iz te funkcije z:

: <math> \begin{align} \pi(x) &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n}\Pi(x^{\frac{1}{n}}) \\ &= \Pi(x) -\frac{1}{2}\Pi(x^{\frac{1}{2}}) -\frac{1}{3}\Pi(x^{\frac{1}{3}})  -\frac{1}{5}\Pi(x^{\frac{1}{5}}) + \frac{1}{6}\Pi(x^{\frac{1}{6}}) -\cdots \!\, , \end{align}</math>

kjer je μ [[Möbiusova funkcija]]. Riemannova formula je potem:

: <math> \Pi_0(x) = \operatorname{Li}(x) - \sum_{t} \operatorname{Li}(x^{t}) -\ln 2) + \int_x^\infty\frac{\mathrm{d} t}{t(t^2-1)\ln t} \!\, , </math>

kjer vsota poteka po netrivialnih ničlah funkcije ζ in kjer je Π<sub>0</sub> malo modificirana različica Π, ki zamenja njegovo vrednost v točkah neveznosti s povprečjem njegove zgornje in spodnje limite:

: <math> \Pi_0(x) = \lim_{\varepsilon \to 0}\frac{\Pi(x-\varepsilon)+\Pi(x+\varepsilon)}2 \!\, . </math>

Vsota Riemannove formule ni absolutno konvergenta, lahko pa se izračuna z ničlami ''t'' po velikosti absolutne vrednosti njihovega imaginarnega dela. Funkcija Li, ki se pojavlja v prvem členu, je funkcija ([[ordinatni logaritemski integral|ordinatnega]]) [[logaritemski integral|logaritemskega integrala]], ki je dan s [[jeva glavna vrednost|Cauchyjevo glavno vrednostjo]] divergentnega integrala:

: <math> \operatorname{Li} (x) = \int_0^{x} \frac{\mathrm{d} t}{\ln t} \!\, . </math>

Člene funkcije Li(''x''<sup>ρ</sup>), ki vsebujejo ničle funkcije ζ, je treba previdno definirati, ker ima funkcija Li [[vejišče|vejišči]] v 0 in 1, in so definirani (za ''x''&nbsp;>&nbsp;1) z analitičnim nadaljevanjem kompleksne spremenljivke ρ v območju Re(ρ)&nbsp;>&nbsp;0, kar pomeni, da jih je treba obravnavati kot [[eksponentni integral|Ei]](ρ ln ''x''). Tudi drugi členi odgovarjajo ničlam: prevladujoči člen funkcije Li(''x'') izhaja iz pola v ''s''&nbsp;=&nbsp;1, če se ga obravnava kot ničla multiplikativnosti −1, preostali manjši členi pa izhajajo iz trivialnih ničel. Za nekatere grafe vsot prvih členov te vrste glej Riesel; Göhl<ref>{{sktxt|Riesel|Göhl|1970}}.</ref> ali Zagier.<ref>{{sktxt|Zagier|1977}}.</ref>

Ta formula pravi, da ničle Riemannove funkcije ζ nadzorujejo nihanja praštevil okrog njihovih »pričakovanih« leg. Riemann je vedel, da so netrivialne ničle funkcije ζ simetrično porazdeljene okrog premice {{nowrap|''s'' {{=}} 1/2 + ''it'',}} prav tako je vedel, da morajo vse njene netrivialne ničle ležati v območju {{nowrap|0 ≤ Re(''s'') ≤ 1.}} Preveril je, da nekatere ničle ležijo na kritični premici z realnim delom enakim 1/2 in predlagal, da vse ležijo tam, kar je tudi domneva sama.

== Posledice Riemannove domneve ==

Praktična raba Riemannove domneve vključuje več predlogov, ki veljajo, če je Riemannova domneva pravilna, in tiste, ki naj bi bili njej enakovredni.

=== Porazdelitev praštevil ===

[[eksplicitne formule (L-funkcija)|Riemannova eksplicitna formula]] za število praštevil, manjših od danega števila, s členi vsote prek vseh ničel Riemannove funkcije ζ pravi, da velikost nihanj praštevil okrog njihovih pričakovanih leg nadzorujejo realni deli ničel funkcije ζ. Še posebej je člen napake v [[praštevilski izrek|praštevilskem izreku]] tesno povezan z legami ničel. Na primer [[supremum]] realnih delov ničel je [[infimum]] takšnih števil β, da je napaka O(''x''<sup>β</sup>).<ref>{{sktxt|Ingham|1932}}.</ref>

[[Helge von Koch|Von Koch]] je leta 1901 dokazal, da Riemannova domneva nakazuje »najbolj možno« mejo napake za praštevilski izrek.<ref>{{sktxt|von Koch|1901}}.</ref>

Točna različica von Kochovega rezultata po {{sktxt|Schoenfeld|1976}} pravi, da Riemannova domneva nakazuje:

: <math> |\pi(x) - \operatorname{Li}(x)| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \log(x), \qquad (x \ge 2657) \!\, . </math>

[[Lowell Schoenfeld|Schoenfeld]] je leta 1976 tudi pokazal, da Riemannova domneva nakazuje:

: <math> |\psi(x) - x| < \frac{1}{8\pi} \sqrt{x} \log^2(x), \qquad (x \ge 73,2) \!\, , </math>

kjer je  ψ(''x'') [[funkcija Čebišova|druga funkcija Čebišova]].

=== Rast aritmetičnih funkcij ===

Riemannova domneva nakazuje močne meje rasti mnogo drugih [[aritmetična funkcija|aritmetičnih funkcij]] poleg funkcije števila praštevil.

En zgled je Möbiusova funkcija μ. Izjava, da enačba:

: <math> \frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s} \!\, </math>

velja za vsak ''s'' z realnim delom večjim od 1/2, kjer vsota na desni konvergira, je enakovredna Riemannovi domnevi. Od tod se lahko zaključi tudi, da, če je [[Mertensova funkcija]] definirana kot:

: <math> M(x) = \sum_{n \le x} \mu(n) \!\, , </math>

potem je trditev, da:

: <math> M(x) = \mathcal{O} (x^{\frac{1}{2}+\varepsilon}) \!\, </math>

za vsak pozitiven ε, enakovredna Riemannovi domnevi.{{efn|[[John Edensor Littlewood|Littlewood]], 1912; glej na primer razdelek 14.25 v Titchmarshevem delu.<ref name="titchmarsh_1986" />}}{{efn|Za pomen teh simbolov glej [[O notacija|Landauov simbol]].}} Determinanta [[Redhefferjeva matrika|Redhefferjeve matrike]] reda ''n'' je enaka ''M''(''n''), tako da se lahko Riemannova domneva izrazi kot pogoj za rast teh determinant. Riemannova domneva da precej ozko mejo rasti ''M'', ker sta [[Andrew Michael Odlyzko|Odlyzko]] in [[Herman te Riele|te Riele]] leta 1985 dokazala nepravilnost malo močnejše [[Mertensova domneva|Mertensove domneve]]:<ref>{{sktxt|Odlyzko|te Riele|1985}}.</ref>

: <math> |M(x)| \le \sqrt x \!\, . </math>

Riemannova domneva je enakovredna mnogim drugim domnevam o stopnji rasti drugih aritmetičnih funkcij poleg Möbiusove funkcije μ(''n''). Tipični zgled je [[Robinov izrek]],<ref name="robin_1984">{{sktxt|Robin|1984}}.</ref> ki pravi, da, če je σ(''n'') funkcija [[vsota deliteljev|vsote deliteljev]], podana z:

: <math> \sigma(n) = \sum_{d\mid n} d \!\, , </math>

potem velja:

: <math> \sigma(n) < e^\gamma n \log \log n , \qquad (n \ge 5040) \!\, , </math>

[[če in samo če]] je Riemannova domneva pravilna. Tu je γ [[Euler-Mascheronijeva konstanta]].

Drug primer je našel [[Jérôme Franel]] in ga razširil [[Edmund Landau|Landau]].<ref>{{sktxt|Franel|Landau|1924}}.</ref> Riemannova domneva je enakovredna več izjavam, ki kažejo, da so členi [[Fareyjevo zaporedje|Fareyjevega zaporedja]] regularni. Ena takšna ekvivalenca je: če je ''F''<sub>''n''</sub> Fareyjevo zaporedje reda ''n'' in se začne z 1/''n'' in konča z 1/1, potem je trditev, da za vse ε > 0:

: <math> \sum_{i=1}^m|F_n(i) - \tfrac{i}{m}| = \mathcal{O} (n^{\frac{1}{2}+\varepsilon}) \!\, </math>

enakovredna Riemannovi domnevi. Tukaj je:

: <math> m = \sum_{i=1}^n\phi(i) \!\, </math>

število členov v Fareyjevem zaporedju reda ''n''.

Za zgled iz [[teorija grup|teorije grup]], če je ''g''(''n'') [[Landauova funkcija]] podana z največjim redom elementov [[simetrična grupa|simetrične grupe]] ''S''<sub>''n''</sub> stopnje ''n'', potem je Riemannova domneva enakovredna meji:<ref>{{sktxt|Massias|Nicolas|Robin|1988}}.</ref>

: <math> \log g(n) < \sqrt{\operatorname{Li}^{-1}(n)} \!\, </math>

za vse dovolj velike ''n''.

=== Lindelöfova domneva in rast funkcije ζ ===

Riemannova domneva ima tudi več šibkejših posledic. Ena je [[Lindelöfova domneva]]<ref>{{sktxt|Lindelöf|1908}}.</ref> o stopnji rasti funkcije ζ na kritični premici iz leta 1908, ki pravi, da za vsak <math>\varepsilon > 0\, </math> velja:

: <math> \zeta\left(\frac{1}{2} + it\right) = \mathcal{O} (t^\varepsilon) \!\, , </math>

ko gre <math>t \to \infty\, </math>.

Iz Riemannove domneve izhajajo tudi precej ostre meje za stopnjo rasti funkcije ζ v drugih območjih kritičnega traku. Na primer:

: <math> e^\gamma\le \limsup_{t\rightarrow +\infty}\frac{|\zeta(1+it)|}{\log\log t}\le 2e^\gamma \!\, </math>
: <math> \frac{6}{\pi^2}e^\gamma\le \limsup_{t\rightarrow +\infty}\frac{1/|\zeta(1+it)|}{\log\log t}\le \frac{12}{\pi^2}e^\gamma \!\, , </math>

tako da bi bila stopnja rasti ζ(1+''it'') in njenega inverza znana vse do faktorja 2.<ref name="titchmarsh_1986" />

=== Domneva velikih praštevilskih vrzeli ===
[[Slika:Wikipedia primegaps.png|thumb|right|250px|[[praštevilska vrzel|Vrzeli]] med zaporednimi [[praštevilo|praštevili]] do <math>10^{20}\,</math>]]

Po praštevilskem izreku je povprečno [[praštevilska vrzel|vrzel]] med praštevilom <math>p_{n}\, </math> in naslednjim praštevilom <math>p_{n+1}\, </math> enaka:

: <math> g_{n} = p_{n+1} - p_{n} = \log p \!\, . </math>

Nekatere vrzeli pa so lahko veliko večje od povprečja. [[Harald Cramér|Cramér]] je dokazal, da je ob privzetku pravilnosti Riemannove domneve vsaka vrzel enaka:

: <math> g_{n} = \mathcal{O} (\sqrt{p} \log p) \!\, . </math>

To je primer, v katerem je tudi najboljša meja, ki se jo lahko dokaže s pravilnostjo Riemannove domneve, veliko šibkejša od tistega, kar se zdi resnično: [[Cramérjeva domneva]] pravi, da je vsaka vrzel med zaporednima prašteviloma enaka:

: <math> g_{n} = \mathcal{O} ((\log p_n)^2) \!\, , </math>

ki je sicer večja od povprečne vrzeli, vendar veliko manjša od meje, ki sledi iz Riemannove domneve. Numerični računi podpirajo Cramérjevo domnevo.<ref>{{sktxt|Nicely|1999}}.</ref>

=== Kriteriji enakovredni Riemannovi domnevi ===

Obstaja več kot sto izjav, ki so enakovredne Riemannovi domnevi, vendar do sedaj nobena ni vodila k napredku pri njenem dokazovanju (ali ovržbi). Sledijo nekateri tipični zgledi. Drugi vključujejo funkcijo [[število deliteljev|števila deliteljev σ(''n'')]].

[[Rieszov kriterij]] je podal [[Marcel Riesz]] leta 1916.<ref>{{sktxt|Riesz|1916}}.</ref> Meja:

: <math> -\sum_{k=1}^\infty \frac{(-x)^k}{(k-1)! \zeta(2k)}= \mathcal{O} \left(x^{\frac{1}{4}+\varepsilon}\right) \!\, </math>

velja za vse <math>\varepsilon > 0\, </math>, če in samo če je Riemannova domneva pravilna.

Nyman<ref>{{sktxt|Nyman|1950}}.</ref> je leta 1950 dokazal, da je Riemannova domneva pravilna, če in samo če je prostor funkcij oblike:

: <math> f(x) = \sum_{\nu=1}^nc_\nu\rho \left(\frac{\theta_\nu}{x} \right) \!\, , </math>

kjer je ρ(''z'') ulomljeni del ''z'', {{nowrap|0 ≤ θ<sub>ν</sub> ≤ 1}}, in je:

: <math> \sum_{\nu=1}^nc_\nu\theta_\nu=0 \!\, , </math>

gosta v [[Hilbertov prostor|Hilbertovem prostoru]] ''L''<sup>2</sup>(0,1) kvadratnointegrabilnih funkcij v [[enotski interval|enotskem intervalu]]. [[Arne Beurling|Beurling]]<ref>{{sktxt|Beurling|1955}}.</ref> je leta 1955 to razširil in pokazal, da funkcija ζ nima ničel z realnim delom večjim od 1/''p'', če in samo če je ta funkcijski prostor gost v ''L<sup>p</sup>''(0,1).

[[Weilov kriterij]] je izjava, da je pozitivnost določene funkcije enakovredna Riemannovi domnevi. [[Enrico Bombieri|Bombieri]] in [[Jeffrey Lagarias|Lagarias]] sta pokazala, da sorodni [[Lijev kriterij|Li-Keiperjev kriterij]] sledi iz Weilovega kriterija za [[posplošena Riemannova domneva|posplošeno Riemannovo domnevo]]. Li-Keiperjev kriterij je izjava o pozitivnosti določenega zaporedja števil, ki je enakovredna Riemannovi domnevi.<ref>{{sktxt|Li|1997}}.</ref> Vse vrednosti členov [[zaporedje|zaporedja]] λ<sub>''n''</sub>&nbsp;&gt;&nbsp;0 za vse pozitivne ''n''. Števila  <math>\lambda_n\, </math>, imenovana Li-Keiperjeve konstante<ref name="coffey_2007">{{sktxt|Coffey|2007}}.</ref> ali Keiper-Lijevi koeficienti,<ref>{{sktxt|Arias de Reyna|2011}}.</ref> se lahko izrazijo z netrivialnimi ničlami Riemannove funkcije ζ:

: <math> P_{n} (\gamma_{0}, \ldots , \gamma_{n-1}) = \lambda_n = \sum_{\rho} \left[1- \left(1-\frac{1}{\rho}\right)^n\right] \!\, , </math>

kjer vsota poteka po ρ, netrivialnih ničlah Riemannove funkcije ζ po vrsti <math>|\Im(\rho)|</math>, <math>P_{n}\, </math> pa je [[polinom]] končno mnogo [[Stieltjesove konstante|Steiltjesovih konstant]].<ref name="matijasevič_2014">{{sktxt|Matijasevič|2014}}.</ref> To [[pogojna konvergenca|pogojno konvergentno]] vsoto je treba razumeti v smislu, ki se po navadi rabi v [[teorija števil|teoriji števil]], tako da velja limita:

: <math> \sum_{\rho} = \lim_{N\to\infty} \sum_{|\Im(\rho)|\le N} \rho \!\, . </math>

[[Andreas Speiser|Speiser]]<ref>{{sktxt|Speiser|1934}}.</ref> je leta 1934 dokazal, da je Riemannova domneva enakovredna izjavi, da odvod funkcije ζ(''s''):

: <math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \zeta(s)\!\, </math>

nima ničel v traku:

: <math> 0 < \Re(s) < \frac12 \!\, . </math>

Da ima funkcija ζ le enostavne ničle na kritični premici, je enakovredno dejstvu, da njen odvod nima ničel na kritični premici.

==== Integralski kriteriji ====

[[Raphaël Salem|Salem]]<ref>{{sktxt|Salem|1953}}.</ref> je leta 1953 pokazal, da je Riemannova domneva pravilna, če in samo če [[integralska enačba]]:

: <math> \int_{0}^\infty\frac{z^{-\sigma-1}\phi(z) \, \mathrm{d} z}{{e^{x/z}}+1}=0 \!\, </math>

nima netrivialnih omejenih rešitev <math>\phi\, </math> za <math>1/2<\sigma\, <1</math>.

Volčkov<ref>{{sktxt|Volčkov|1995}}.</ref><ref>{{sktxt|He|Jejjala|Minic|2015}}.</ref> je leta 1995 podal ekvivalent Riemannove domneve v obliki eksaktnega integrala:

: <math> \int_{0}^{\infty} \frac{1-12t^{2}}{(1+4t^{2})^{3}} \, \mathrm{d} t \int_{\frac1{2}}^{\infty} \ln | \zeta (\sigma + it) | \, \mathrm{d} \sigma = \frac {\pi(3-\gamma)}{32} \!\, , </math>

kjer je <math>\gamma\, </math> [[Euler-Mascheronijeva konstanta]]. Od tedaj so odkrili več enakovrednih formulacij Riemannove domneve z integrali logaritmov funkcije ζ. Posebna primera sta naslednja kriterija:

* Balazard-Saias-Yorov kriterij: Riemannova domneva je enakovredna integralu:

:: <math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln | \zeta (\frac1{2} + it) |} {\frac1{4} + t^{2}} \, \mathrm{d} t = 0 \!\, . </math>

* kriterij Volčkova: Riemannova domneva je enakovredna integralu:

:: <math> \int_{0}^{\infty} \frac{2t \arg | \zeta (\frac1{2} + it) |} {(\frac1{4} + t^{2})^{2}} \, \mathrm{d} t = \pi (\gamma - 3) \!\, . </math>

==== Elementarni kriteriji ====

Leta 1915 je [[Srinivasa Ajangar Ramanudžan|Ramanudžan]] s privzetkom o pravilnosti Riemannove domneve dokazal, da velja (Robinova neenakost):

: <math> \sigma(n) < e^\gamma n \log \log n \!\, </math>

za dovolj velike ''n''.<ref>{{sktxt|Ramanudžan|1997}}.</ref> Leta 1984 je [[Guy Robin|Robin]] dokazal, da neenakost velja za vse ''n''&nbsp;≥&nbsp;5041, če je Riemannova domneva pravilna (Robinov izrek).<ref name="robin_1984" /> Največje znano število, za katerega neenakost ne velja, je ''n''&nbsp;=&nbsp;5040. Če je Riemannova domneva pravilna, ne obstaja večja izjema. Če je Riemannova domneva nepravilna, je Robin pokazal, da obstaja neskončno mnogo vrednosti ''n'', za katera neenakost ne velja. Znano je, da mora biti najmanjše takšno število ''n''&nbsp;≥&nbsp;5041 [[superobilno število]].<ref>{{sktxt|Akbary|Friggstad|2009}}.</ref> Neenakost velja za velika liha in [[deljivost brez kvadrata|s kvadratom nedeljiva]] cela števila, Riemannova domneva pa je enakovredna neenakosti le za ''n'' deljive s peto potenco praštevila.<ref>{{sktxt|Choie|Lichiardopol|Moree|Solé|2007}}.</ref>

Lagarias<ref>{{sktxt|Lagarias|2002}}.</ref> je leta 2000 podal podoben elementarni kriterij. Riemannova domneva je enakovredna neenakostim:<ref>{{sktxt|Cisło|Wolf|2008}}.</ref>

: <math> \sigma (n) \equiv \sum_{d | n} d \le H_{n} + e^{H_{n}} \log H_{n}, \qquad (n > 0) \!\, , </math>

kjer je <math>H_{n}\, </math> ''n''-to [[harmonično število]]:

: <math> H_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \!\, , </math>

<math>\sigma(n)\, </math> pa je funkcija vsote vseh deliteljev ''n''. Enakost velja le za ''n''&nbsp;=&nbsp;1.

Robin je tudi brezpogojno dokazal, da velja neenakost:

: <math>\ \sigma(n) < e^{\gamma} n \log \log n + \frac{0,6483\ n}{\log \log n}, \qquad (n \ge 3) \!\, , </math>

Lagarias pa je dal še malo manjšo oceno:

: <math> H_{n} + e^{H_{n}} \log H_{n} \le e^{\gamma} n \log \log n + \frac{7n}{\log n}, \qquad (n \ge 20) \!\, . </math>

=== Posledice posplošene Riemannove domneve ===

Več uporab rabi posplošeno Riemannovo domnevo za [[Dirichletova L-funkcija|Dirichletovo ''L''-vrsto]] ali funkcije ζ številskih obsegov namesto samo Riemannove domneve. Več osnovnih značilnosti Riemannove funkcije ζ se lahko preprosto posploši na vse Dirichletove L-vrste, tako da je smiselno, da bo metoda, ki dokaže Riemannovo domnevo za Riemannovo funkcijo ζ, delovala tudi za posplošeno Riemannovo domnevo za Dirichletove ''L''-funkcije. Več rezultatom, ki so bili dokazani s pomočjo posplošene Riemannove domneve, so kasneje dali dokaze brez nje, čeprav so bili po navadi veliko težji. Več posledic na naslednjem seznamu je vzetih iz Conradovega dela.<ref>{{sktxt|Conrad|2010}}.</ref>
* [[Thomas Hakon Grönwall|Grönwall]] je leta 1913 pokazal, da posplošena Riemannova domneva nakazuje, da je [[Carl Friedrich Gauss|Gaussov]] [[problem razrednega števila|seznam imaginarnih kvadratnih številskih obsegov z razrednim številom 1]] poln, čeprav so Baker, Stark in Heegner kasneje podali brezpogojne dokaze za to brez posplošene Riemannove domneve.
* [[Godfrey Harold Hardy|Hardy]] in Littlewood sta leta 1917 pokazala, da iz posplošene Riemannove domneve izhaja domneva Čebišova:

:: <math> \lim_{x\to 1^-}\sum_{p>2}(-1)^{(p+1)/2}x^p=+\infty \!\, , </math>

: ki pravi, da so v nekem smislu praštevila 3 mod 4 običajnejša od praštevil 1 mod 4.
* Hardy in Littlewood sta leta 1923 pokazala, da iz posplošene Riemannove domneve izhaja šibka oblika [[Goldbachova domneva|Goldbachove domneve]] za liha števila: da je vsako dovolj veliko liho število vsota treh praštevil. [[Ivan Matvejevič Vinogradov|Vinogradov]] pa je leta 1937 za to podal brezpogojni dokaz. [[Jean-Marc Deshouillers|Deshouillers]], Effinger, te Riele in Zinovjev so leta 1997 pokazali, da iz posplošene Riemannove domneve izhaja, da je vsako liho število večje od 5 vsota treh praštevil.
* [[Sarvadaman Čovla|Čovla]] je leta 1934 pokazal, da iz posplošene Riemannove domneve izhaja, da je prvo praštevilo v [[aritmetično zaporedje|aritmetičnem zaporedju]] ''a'' mod ''m'' je vsaj ''Km''<sup>2</sup>log(''m'')<sup>2</sup> za neko določeno konstanto ''K''.
* [[Christopher Hooley|Hooley]] je leta 1967 pokazal, da iz posplošene Riemannove domneve izhaja [[Artinova domneva o primitivnih korenih]].
* [[Peter Jay Weinberger|Weinberger]] je leta 1973 pokazal, da obstaja vsaj še eno [[idonejsko število]] in, da iz posplošene Riemannove domneve izhaja, da je Eulerjev in Gaussov seznam 65-ih idonejskih števil poln.
* Weinberger<ref>{{sktxt|Weinberger|1973}}.</ref> je leta 1973 pokazal, da iz posplošene Riemannove domneve za funkcije ζ  vseh obsegov argebrskih števil izhaja, da je vsak obseg z razrednim številom 1 ali [[evklidska domena|evklidski]] ali imaginarni kvadratni številski obseg diskriminant −19, −43, −67 ali −163.
* [[Gary Lee Miller|Miller]] je leta 1976 pokazal, da iz posplošene Riemannove domneve izhaja, da se lahko iz [[test praštevilskosti|testa praštevilskosti]] v polinomskem času preskusi ali je število praštevilo s pomočjo [[Miller-Rabinov test praštevilskosti|Miller-Rabinovega testa]]. [[Manindra Agraval|Agraval]], [[Niradž Kajal|Kajal]] in [[Nitin Saksena|Saksena]] so leta 2002 dokazali ta rezultat brezpogojno s pomočjo [[test praštevilskosti AKS|testa praštevilskosti AKS]].
* Odlyzko<ref>{{sktxt|Odlyzko|1990}}.</ref> je leta 1990 obravnaval, kako se lahko posplošeno Riemannovo domnevo uporabi za ostrejše ocene diskriminant in [[razredno število|razrednega števila]] številskih obsegov.
* [[Ken Ono|Ono]] in [[Kannan Soundararajan|Soundararajan]]<ref>{{sktxt|Ono|Soundararajan|1997}}.</ref> sta leta 1997 pokazala, da iz posplošene Riemannove domneve izhaja, da obstaja točno 18 lihih celih števil, ki niso oblike [[Ramanudžanova tričlena kvadratna forma|Ramanudžanove integralske kvadratne forme]] ''x''<sup>2</sup> +''y''<sup>2</sup> + 10''z''<sup>2</sup>: 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391, 679, 2719.

=== Izključena tretja možnost ===

Nekatere posledice Riemannove domneve so tudi posledice njene negacije, in so zato izreki. V svoji razpravi o izrekih Hecheja, Deuringa, Mordella in Heilbronna Ireland in [[Michael Ira Rosen|Rosen]] pravita:<ref>{{sktxt|Ireland|Rosen|1990|p=359}}.</ref>

<blockquote>»Tukaj je metoda dokaza resnično neverjetna. Če je posplošena Riemannova domneva pravilna, potem je izrek pravilen. Če je posplošena Riemannova domneva nepravilna, potem je izrek pravilen. Zato je izrek pravilen!!« &nbsp; &nbsp; (klicaja sta v izvirniku)</blockquote>

Treba je biti previden pri razumevanju kaj je mišljeno, da je posplošena Riemannova domneva nepravilna: treba je točno navesti kateri razred Dirichletovih vrst ima [[protiprimer]].

==== Littlewoodov izrek ====

Izrek obravnava predznak napake v praštevilskem izreku. Izračunali so, da je funkcija števila praštevil π(''x'') < Li(''x'') za vse ''x'' ≤ 10<sup>23</sup>. Ni znana nobena vrednost ''x'', za katero bi veljalo π(''x'') > Li(''x'').

Littlewood je leta 1914 dokazal, da obstajajo poljubno velike vrednosti ''x'' za katere velja:

: <math> \pi(x)>\operatorname{Li}(x) +\frac13\frac{\sqrt x}{\log x}\log\log\log x \!\, , </math>

in, da obstajajo poljubno velike vrednosti ''x'' za katere velja:

: <math> \pi(x)<\operatorname{Li}(x) -\frac13\frac{\sqrt x}{\log x}\log\log\log x \!\, . </math>

Tako razlika med funkcijama π(''x'') − Li(''x'') spremeni predznak neskončno mnogokrat. Ogromno [[Skewesovo število]] je ocena vrednosti ''x'', ki bi odgovarjala prvi spremembi predznaka.

Littlewoodov dokaz je razdeljen na dva primera: v prvem Riemannova domneva velja za nepravilno (približno pol strani v Inghamovem delu<ref>{{sktxt|Ingham|1932|loc=§V}}.</ref>), v drugem pa naj bi bila pravilna (več ducatov strani).

==== Gaussova domneva o razrednem številu ====

To je [[problem razrednega števila|domneva]] (prvič navedena v članku 303 Gaussovega dela ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]''), da obstaja le končno število imaginarnih kvadratnih obsegov z danim razrednim številom. Ena pot dokaza bi bila, da se pokaže, da, ko gre diskriminanta ''D'' → −∞, gre razredno število ''h''(''D'') →  ∞.

Naslednji niz izrekov, ki vsebujejo Riemannovo domnevo, je opisan v delu Irelanda in Rosena:<ref>{{sktxt|Ireland|Rosen|1990|pp=358–361}}.</ref>

<blockquote>Izrek (Hecke; 1918). Naj bo ''D'' < 0 diskriminanta imaginarnega kvadratnega številskega obsega ''K''. Privzame se posplošena Riemannova domneva za ''L''-funkcije vseh imaginarnih kvadratnih Dirichletovih karakterjev. Potem obstaja takšna konstanta ''C'', da velja:

: <math> h(D) > C\frac{\sqrt{|D|}}{\log |D|} \!\, . </math></blockquote>

<blockquote>Izrek (Deuring; 1933). Če je Riemannova domneva nepravilna, potem je ''h''(''D'') > 1, če je |''D''| dovolj velika.</blockquote>
<blockquote>Izrek (Mordell; 1934). Če je Riemannova domneva nepravilna, potem gre ''h''(''D'') → ∞, ko gre ''D'' → −∞.</blockquote>
<blockquote>Izrek (Heilbronn; 1934). Če je posplošena Riemannova domneva nepravilna za ''L''-funkcijo kakšnega imaginarnega kvadratnega Dirichletovega karakterja, potem gre ''h''(''D'') → ∞, ko gre ''D'' → −∞.
{{efn|V delu Heckeja in Heilbronna so edine ''L''-funkcije, ki se pojavljajo, tiste povezane z imaginarnim kvadratnim karakterjem, in le tistim ''L''-funkcijam, za katere je posplošena Riemannova domneva pravilna ali nepravilna, je namenjena; nepravilnost splošne Riemannove domneve za ''L''-funkcije kubičnega Dirichletovega karakterja bi strogo govoreč pomenilo, da je splošna Riemannova domneva nepravilna, vendar takšne vrste nepravilnosti splošne Riemannove domneve Heilbronn ni imel v mislih, tako da je bil njegov privzetek bolj omejen kot le to, da je splošna Riemannova domneva napravilna.}}</blockquote>

[[Carl Siegel|Siegel]] je leta 1935 podal močnejši rezultat brez kakršnekoli rabe Riemannove ali posplošene Riemannove domneve.

==== Rast Eulerjeve funkcije φ ====

[[Jean-Louis Nicolas|Nicolas]] je leta 1983 dokazal, da velja:<ref>{{sktxt|Ribenboim|1996|pp=320}}</ref>

: <math> \varphi(n) < e^{-\gamma}\frac  {n} {\log \log n} \!\, </math>

za neskončno mnogo ''n'', kjer je φ(''n'') [[Eulerjeva funkcija fi|Eulerjeva funkcija φ]].
 
[[Paulo Ribenboim|Ribenboim]] je pripomnil, da:
 
<blockquote>»je metoda dokaza zanimiva v smislu, da neenakost velja pod privzetkom pravilnosti Riemannove domneve, in drugič pod nasprotnim privzetkom.«</blockquote>

== Posplošitve in analogoni Riemannove domneve ==

=== Dirichletova L-vrsta in drugi obsegi ===

Riemannova domneva se lahko posploši z zamenjavo Riemannove funkcije ζ s formalno podobnimi, vendar veliko splošnejšimi globalnimi [[L-funkcija|''L''-funkcijami]]. V tem širšem pogledu se pričakuje, da imajo netrivialne ničle globalnih ''L''-funkcij realni del enak 1/2. Te domneve namesto klasične Riemannove domneve le za Riemannovo funkcijo ζ kažejo resnično pomembnost Riemannove domneve v matematiki.

Posplošena Riemannova domneva razširi Riemannovo domnevo na vse Dirichletove ''L''-funkcije. Iz nje še posebej izhaja, da [[Sieglova ničla|Sieglove ničle]] (ničle ''L''-funkcij med 1/2 in 1) ne obstajajo.

[[Razširjena Riemannova domenva]] razširi Riemannovo domnevo za vse [[Dedekindova funkcija zeta|Dedekindove funkcije ζ]] [[obseg algebrskih števil|obsegov algebrskih števil]]. Razširjena Riemannova domneva za abelovsko razširitev [[racionalno števil|racionalnih števil]] je enakovredna posplošeni Riemannovi domnevi. Tudi Riemannovo domnevo se lahko razširi na ''L''-funkcije [[Heckejev karakter|Heckejevih karakterjev]] obsegov.

[[Velika Riemannova domneva]] razširi Riemannovo domnevo na vse [[avtomorfna L-funkcija|avtomorfne funkcije ζ]], kot so [[Mellinova transformacija|Mellinove transformacije]] Heckejevih [[lastna forma|lastnih form]].

=== Funkcijski obsegi in funkcije ζ varietet končnih obsegov ===

[[Emil Artin|Artin]]<ref>{{sktxt|Artin|1924}}.</ref> je leta 1924 vpeljal globalne funkcije ζ (kvadratnih) [[funkcijski obseg algebrske varietete|funkcijskih obsegov]] in zanje postavil analogon Riemannove domneve. Dokazal ga je [[Helmut Hasse|Hasse]] za primer roda 1, v splošnem pa [[André Weil|Weil]] leta 1948.<ref>{{sktxt|Weil|1948}}.</ref> Dejstvo, da je absolutna vrednost [[kvadratna Gaussova vsota|Gaussove vsote]] kvadratnega karakterja [[končni obseg|končnega obsega]] velikosti ''q'' (kjer je ''q'' lih) enaka:

: <math> \sqrt{q} \!\, , </math>

je dejansko vrsta Riemannove domneve v okvirju funkcijskega obsega. To je vodilo Weila,<ref>{{sktxt|Weil|1949}}.</ref> da je leta 1949 domneval podobno izjavo za vse [[algebrska varieteta|algebrske varietete]]; [[Weilove domneve]] je dokazal [[Pierre Deligne|Deligne]] leta 1974 in 1980.<ref name="deligne_1974">{{sktxt|Deligne|1974}}.</ref><ref name="deligne_1980">{{sktxt|Deligne|1980}}.</ref>

=== Aritmetična funkcija ζ aritmetičnih shem in njihovi ''L''-faktorji ===

[[aritmetična funkcija zeta|Aritmetične funkcije ζ]] posplošijo Riemannovo in Dedekindove funkcije ζ kakor tudi funkcije ζ varietet čez končne obsege na vsako aritmetično shemo ali shemo končnega tipa čez cela števila. Aritmetična funkcija ζ regularno povezane [[enakorazsežnost|enakorazsežne]] aritmetične sheme s Kroneckerjevo razsežnostjo ''n'' se lahko faktorizira v produkt ustrezno definiranih ''L''-faktorjev in pomožnega faktorja.<ref>{{sktxt|Serre|1969–1970}}.</ref> Če se privzame funkcijska enačba in meromorfno nadaljevanje, posplošena Riemannova domneva za ''L''-faktor pravi, da njegove ničle znotraj kritičnega traku <math>\Re(s)\in (0,n)</math> ležijo na osrednji premici. Ustrezno temu posplošena Riemannova domneva za aritmetično funkcijo ζ regularno povezane enakorazsežne aritmetične sheme pravi, da njene ničle znotraj kritičnega traku ležijo na navpičnih premicah <math>\Re(s)=1/2,3/2,\dots,n-1/2</math> in njeni poli znotraj kritičnega traku na navpičnih premicah <math>\Re(s)=1, 2, \dots,n-1</math>. To je znano za sheme v pozitivni karakteristiki in izhaja iz Deligneovega rezultata,<ref name="deligne_1974" /><ref name="deligne_1980" />, vendar ostaja popolnoma neznano za ničelno karakteristiko.

=== Selbergove funkcije ζ ===
{{glavni|Selbergova funkcija zeta}}

[[Atle Selberg|Selberg]]<ref>{{sktxt|Selberg|1956}}.</ref> je leta 1956 vpeljal [[Selbergova funkcija zeta|Selbergovo funkcijo ζ]] [[Riemannova ploskev|Riemannove ploskve]]. Te so podobne Riemannovi funkciji ζ: imajo funkcijsko enačbo in neskončni produkt podoben Eulerjevemu produktu, vendar ta poteka čez sklenjene [[geodetka|geodetke]] in ne čez praštevila. [[Selbergova sledna formula]] je analogon za te funkcije [[eksplicitna formula (L-funkcija)|eksplicitnih formul]] v teoriji praštevil. Selberg je dokazal, da za Selbergovo funkcijo ζ velja analogon Riemannove domneve, z imaginarnimi deli njihovih ničel, ki so povezane z lastnimi vrednostmi [[Laplaceov operator|Laplaceovega operatorja]] Riemannove ploskve.

=== Iharove funkcije ζ ===

[[Iharova funkcija zeta|Iharova funkcija ζ]] končnega grafa je analogon Selbergove funkcije ζ, ki jo je prvič uvedel [[Jasutaka Ihara|Ihara]] v kontekstu diskretnih [[podgrupa|podgrup]] p-adične specialne linearne grupe dva krat dva. Regularni končni graf je [[Ramanudžanov graf]], matematični model učinkovitih komunikacijskih mrež, če in samo če za Iharovo funkcijo ζ velja analogon Riemannove domneve, kot je pokazal [[Tošikazu Sunada|Sunada]].

=== Montgomeryjeva domneva o parni korelaciji ===

[[Hugh Lowell Montgomery|Montgomery]] je leta 1973<ref>{{sktxt|Montgomery|1973}}.</ref> predlagal [[Montgomeryjeva domneva o parni korelaciji|domnevo o parni korelaciji]], da je lahko korelacijska funkcija (ustrezno normaliziranih) ničel funkcije ζ enaka kot tiste lastnih vrednosti [[slučajna matrika|slučajne]] [[hermitska matrika|hermitske matrike]]. Odlyzko<ref name="odlyzko_1987">{{sktxt|Odlyzko|1987}}.</ref> je leta 1987 pokazal, da to podpirajo numerični izračuni velikega obsega teh korelacijskih funkcij.

Montgomery je (s privzetkom Riemannove domneve) pokazal, da je vsaj 2/3 od vseh ničel enostavnih. Povezana domneva je, da so vse ničle funkcije ζ enostavne (oziroma bolj splošno nimajo netrivialnih celoštevilskih linearnih relacij med svojimi imaginarnimi deli). Dedekindove funkcje ζ obsegov algebrskih števil, ki posplošijo Riemannovo funkcijo ζ, imajo običajno mnogokratne kompleksne ničle.<ref>{{sktxt|Radziejewski|2007}}.</ref> To je zato, ker se Dedekindove funkcije ζ faktorizirajo kot produkt potenc [[Artinova L-funkcija|Artinovih ''L''-funkcij]], tako da Artinove ''L''-funkcije včasih dajo mnogokratne ničle Dedekindovih funkcij ζ. Drug primer funkcij ζ z mnogokratnimi ničlami so ''L''-funkcije kakšnih [[eliptična krivulja|eliptičnih krivulj]]: te imajo lahko mnogokratne ničle v realni točki svoje kritične premice; [[Birch-Swinnerton-Dyerjeva domneva]] predvideva, da je multiplikativnost te ničle rang eliptične krivulje.

=== Druge funkcije ζ ===

Obstaja [[funkcija zeta|več drugih primerov]] funkcij ζ z analogoni Riemannove domneve, od katerih so nekateri že dokazani. [[Gossova funkcija zeta|Gossove funkcije ζ]] funkcijskih obsegov imajo Riemannovo domnevo, ki jo je dokazal Sheats<ref name="sheats_1998">{{sktxt|Sheats|1998}}.</ref> leta 1998. [[glavna domneva Ivasavove teorije|Glavna domneva]] [[Ivasavova teorija|Ivasavove teorije]], ki sta jo dokazala Mazur in [[Andrew Wiles|Wiles]] za [[ciklotomski obseg|ciklotomske obsege]], in Wiles za [[totalni realni številski obseg|totalno realne obsege]], istoveti ničle ''p''-adične ''L''-funkcije z lastnimi vrednostmi operatorja, zato se jo lahko obravnava kot analogon [[Hilbert-Pólyeva domneva|Hilbert-Pólyeve domneve]] za [[p-adična L-funkcija|''p''-adične ''L''-funkcije]].<ref>{{sktxt|Wiles|2000}}.</ref>

== Poskusi dokaza Riemannove domneve ==

Več matematikov je reševalo Riemannovo domnevo, vendar nobenega njihovega poskusa še niso sprejeli za pravilno rešitev. Watkins<ref>{{sktxt|Watkins|2007}}.</ref> navaja nekatere nepravilne rešitve, več pa [http://arxiv.org/find/grp_math/1/AND+ti:+AND+Riemann+hypothesis+subj:+AND+General+mathematics/0/1/0/all/0/1 jih pogosto najavijo].

=== Teorija operatorjev ===
{{glavni|Hilbert-Pólyeva domneva}}

Hilbert in [[George Pólya|Pólya]] sta predlagala eno pot za rešitev Riemannove domneve, kjer bi se našel [[sebiadjungirani operator]], iz katerega obstoja bi izhajala izjava o realnih delih funkcije ζ(''s''), če bi se uporabil kriterij na realne [[lastna vrednost|lastne vrednosti]]. Ena podpora te zamisli izhaja iz več analogonov Riemannove funkcije ζ, katere ničle odgovarjajo lastnim vrednostim kakšnega operatorja: ničle funkcije ζ varietete čez končni obseg odgovarjajo lastnim vrednostim [[Frobeniusov element|Frobeniusovega elementa]] na grupi [[kohomologija étale|kohomologije étale]], ničle Selbergove funkcije ζ so lastne vrednosti Laplaceovega operatoraja Riemannove ploskve, ničle [[p-adična funkcija zeta|''p''-adične funkcije ζ]] pa odgovarjajo lastnim vrednostim Galoisove akcije na [[grupa idealnega razreda|grupah idealnih razredov]].

Odlyzko<ref name="odlyzko_1987" /> je leta 1987 pokazal, da porazdelitev ničel Riemannove funkcije ζ deli nekatere statistične značilnosti z lastnimi vrednostmi [[slučajna matrika|slučajnih matrik]], izvedenih iz [[gaussovski enotski ansambel|gaussovskega enotskega ansambla]]. To da nekaj podpore Hilbert-Pólyevi domnevi.

[[Michael Victor Berry|Berry]] in [[Jon Keating|Keating]] sta leta 1999 domnevala, da obstaja neka neznana kvantizacija <math>\hat H\, </math> klasične [[Hamiltonova funkcija|Hamiltonove funkcije]] ''H'' = ''xp'', da velja:

: <math> \zeta (1/2+i\hat H) = 0 \!\, </math>

in še močneje, da ničle Riemannove funkcije ζ sovpadajo s spektrom operatorja <math>1/2 + i \hat H\, </math>. To je v nasprotju s [[kanonična kvantizacija|kanonično kvantizacijo]], kar vodi do Heisenbergovega [[načelo nedoločenosti|načela nedoločenosti]] <math>[x,p]=1/2\, </math> in [[naravno število|naravnim številom]] kot spektru [[kvantni harmonični oscilator|kvantnega harmoničnega oscilatorja]]. Odločilna točka je, da mora biti Hamiltonova funkcija sebiadjungirani operator, da bo kvantizacija uresničitev Hilbert-Pólyevega programa. V povezavi s tem kvantnomehanskim problemom sta Berry in Connes predlagala, da je inverz potenciala Hamiltonove funkcije povezan s polodvodom funkcije:

: <math> N(s)= \frac{1}{\pi}\operatorname{Arg}\xi(1/2+i\sqrt s) \!\, , </math>

potem v Berry-Connesovem pristopu velja:<ref name="#1">{{sktxt|Connes|1999}}.</ref>

: <math> V^{-1}(x) = \sqrt{4\pi} \frac{\mathrm{d}^{1/2}N(x)}{\mathrm{d} x^{1/2}} \!\, . </math>

To vodi do Hamiltonove funkcije, katere lastne vrednosti so kvadrat imaginarnega dela ničel Riemannove funkcije ζ in tudi funkcijska determinanta tega Hamiltonovega operatorja je samo [[Riemannova funkcija ksi|Riemanova funkcija ξ]]. Dejansko bo Riemannova funkcija ξ sorazmerna s funkcijsko determinanto (Hadamardov produkt):

: <math> \det(H+1/4+s(s-1)) \!\, , </math>

kakor so dokazali Connes in drugi, v tem pristopu velja:

: <math> \frac{\xi(s)}{\xi(0)}=\frac{\det(H+s(s-1)+1/4)}{\det(H+1/4)} \!\, . </math>

Analogija z Riemannovo domnevo čez končne obsege nakazuje, da bi Hilbertov prostor, ki vsebuje lastne vektorje odgovarjajoče ničlam, lahko bil neke vrste prva kohomološka grupa [[spekter kolobarja|spektra]] Spec('''Z''') celih števil. [[Christopher Deninger|Deninger]]<ref>{{sktxt|Deninger|1998}}.</ref> je leta 1998 opisal nekatere poskuse iskanja takšne teorije kohomologije.<ref>{{sktxt|Leichtnam|2005}}.</ref>

[[Don Zagier|Zagier]]<ref>{{sktxt|Zagier|1981}}.</ref> je leta 1981 skonstruiral naravni prostor invariantnih funkcij na zgornji polravnini, ki ima lastne vrednosti pod Laplaceovim operatorjem, ki odgovarjajo ničlam Riemannove funkcije ζ. Pripomnil je, da bi se z malo verjetnostjo lahko pokazal obstoj ustreznega pozitivno definitnega [[skalarni produkt|notranjega produkta]] na tem prostoru, od koder bi izhajala Riemannova domneva. [[Pierre Emile Jean Cartier|Cartier]]<ref>{{sktxt|Cartier|1982}}.</ref> je leta 1982 obravnaval povezan soroden primer, kjer je zaradi nenavadnega hrošča računalniški program navedel ničle Riemannove funkcije ζ kot lastne vrednosti istega Laplaceovega operatorja.

Schumayer in [[John Irwin Hutchinson|Hutchinson]]<ref>{{sktxt|Schumayer|Hutchinson|2011}}.</ref> sta leta 2011 podala pregled poskusov konstrukcije ustreznega fizikalnega modela povezanega z Riemannovo funkcijo ζ.

=== Lee-Yangov izrek ===

[[Lee-Yangov izrek]] pravi, da vse ničle določenih [[particijska funkcija|particijskih funkcij]] v statistični mehaniki ležijo na »kritični premici« z realnim delom enakim 0. To je vodilo do razglabljanja o povezavi z Riemannovo domnevo.<ref>{{sktxt|Knauf|1999}}.</ref>

=== Turánov rezulat ===

[[Pál Turán|Turán]]<ref>{{sktxt|Turán|1948}}.</ref> je leta 1948 pokazal, da če funkcije:

: <math> \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^{s}} \!\, </math>

nimajo ničel, ko je realni del ''s'' večji od 1, potem velja:

: <math> T(x) = \sum_{n=1}^{x} \frac{\lambda(n)}{n} \ge 0 \!\, , </math>

kjer je λ(''n'') [[Liouvillova funkcija]] podana za (−1)<sup>''r''</sup>, če ima ''n'' ''r'' prafaktorjev. Pokazal je, da bi iz tega po vrsti izhajala pravilnost Riemannove domneve. Vendar je Haselgrove<ref>{{sktxt|Haselgrove|1958}}.</ref> leta 1958 dokazal, da je ''T''(''x'') negativna za neskončno mnogo ''x'' (in tudi ovrgel tesno povezano [[Pólyeva domneva|Pólyevo domnevo]]), [[Peter Borwein]], Ferguson in Mossinghoff<ref>{{sktxt|Borwein|Ferguson|Mossinghoff|2008}}.</ref> pa so leta 2008 pokazali, da je najmanjši takšen ''x'' enak 72&nbsp;185&nbsp;376&nbsp;951&nbsp;205. Spira<ref>{{sktxt|Spira|1968}}.</ref> je leta 1968 z numeričnim izračunom pokazal, da ima zgornja končna Dirichletova vrsta nad ''N''&nbsp;=&nbsp;19 ničlo z realnim delom večjim od 1. Turán je tudi pokazal, da bi iz nekoliko šibkejšega privzetka, neobstoj ničel z realnim delom večjim od <math>1 + N^{-1/2 + \varepsilon}\, </math> za velike ''N'' v zgornji končni Dirichletovi vrsti, tudi izhajala Riemannova domneva. Vendar je Montgomery<ref>{{sktxt|Montgomery|1983}}.</ref> leta 1983 pokazal, da imajo za vse dovolj velike ''N'' te vrste ničle z realnim delom večjim od <math>1 + (\log \log N)/(4 \log N)\, </math>. Tako je Turánov rezultat [[prazna resnica|prazno pravilen]] in ga ni moč uporabiti za dokaz Riemannove domneve.

=== Nekomutativna geometrija ===

[[Alain Connes|Connes]]<ref name="#1"/><ref>{{sktxt|Connes|2000}}.</ref> je leta 1999 in 2000 opisal povezavo med Riemannovo domnevo in [[nekomutativna geometrija|nekomutativno geometrijo]]. Pokazal je, da bi iz ustreznega analogona Selbergove sledne formule za akcijo [[adelska algebrska grupa|idelske razredne grupe]] na adelski razredni prostor izhajala Riemannova domneva. Nekaj od teh zamisli izčrpno navaja Lapidus.<ref>{{sktxt|Lapidus|2008}}.</ref>

=== Hilbertovi prostori celih funkcij ===

[[Louis de Branges|De Branges]]<ref>{{sktxt|de Branges|1992}}.</ref> je leta 1992 pokazal, da bi Riemannova domneva izhajala iz kriterija pozitivnosti na določenem Hilbertovem prostoru [[cela funkcija|celih funkcij]]. Vendar sta [[Brian Conrey|Conrey]] in [[Xian-Jin Li|Li]]<ref>{{sktxt|Conrey|Li|2000}}.</ref> leta 2000 pokazala, da potrebni kriteriji pozitivnosti ne veljajo.

=== Kvazikristali ===

Iz Riemannove domneve izhaja, da ničle funkcije ζ tvorijo [[kvazikristal]], kar pomeni porazdelitev nezvezne opore, katere [[Fourierova transformacija]] ima tudi nezvezno oporo. [[Freeman John Dyson|Dyson]]<ref>{{sktxt|Dyson|2009}}.</ref> je leta 2009 predlagal poskus dokaza Riemannove domneve s klasifikacijo, oziroma vsaj z raziskovanjem 1-razsežnih kvazikristalov, ki imajo dosti bogatejšo vsebino od na primer trirazsežnih. Nekateri menijo, da njegova definicija kvazikristalov ni ustrezna.

=== Aritmetične funkcije ζ modelov eliptičnih krivulj številskih obsegov ===

Če se prestopi iz geometrične razsežnosti 1, na primer obsega algebrskih števil, na geometrično razsežnost 2, na primer model eliptične krivulje čez številski obseg, dvorazsežni del posplošene Riemannove domneve za aritmetično funkcijo ζ modela obravnava pole funkcije ζ. V razsežnosti 1 raziskovanje integrala ζ v [[tateova disertacija|tateovi disertaciji]] ne vodi do novih pomembnih informacij o Riemannovi domnevi. V nasprotju s tem, [[Ivan Borisovič fesenko|Fesenkovo]] delo v razsežnosti 2 o dvorazsežni posplošitvi Tateove disertacije vsebuje integralsko reprezentacijo integrala ζ, ki je tesno povezan s funkcijo ζ. V teh novih razmerah, ki v razsežnosti 1 niso možne, se lahko poli funkcije ζ raziskujejo prek integrala ζ in priključenih adelskih grup. Sorodna Fesenkova domneva<ref>{{sktxt|Fesenko|2010}}.</ref> iz leta 2010 o pozitivnosti četrtega odvoda mejne funkcije povezane z integralom ζ bistveno nakazuje polov del posplošene Riemannove domneve. Suzuki <ref>{{sktxt|Suzuki|2011}}.</ref> je leta 2011 dokazal, da zadnje skupaj z nekaterimi tehničnimi privzetki nakazuje Fesenkovo domnevo.

=== Mnogokratne funkcije ζ ===

Delignejev dokaz Riemannove domneve čez končne obsege je uporabil funkcije ζ produktov varietet, katerih ničle in poli odgovarjajo vsotam ničel in polov izvirne funkcije ζ, da bi se omejili realni deli ničel izvirne funkcije ζ. Po analogiji je Kurokava<ref>{{sktxt|Kurokava|1992}}.</ref> leta 1992 uvedel mnogokratne funkcije ζ, katerih ničle in poli odgovarjajo vsotam ničel in polov Riemannove funkcije ζ. Da bi vrsta konvergirala, je omejil vsote ničel ali polov z nenegativnim imaginarnim delom. Do sedaj znane meje ničel ali polov mnogokratnih funkcij ζ niso dovolj močne, da bi dale ocene za ničle Riemannove funkcije ζ.

== Značilnosti ničel in njihova lega ==

=== Število ničel ===

Funkcijska enačba kombinirana z [[načelo argumenta|načelom argumenta]] nakazuje, da je število ničel funkcije ζ z imaginarnim delom med 0 in ''T'' dano z izrazom:

: <math> N(T)=\frac{1}{\pi}\mathop{\mathrm{Arg}}(\xi(s)) = \frac{1}{\pi}\mathop{\mathrm{Arg}}(\Gamma(\tfrac{s}{2})\pi^{-\frac{s}{2}}\zeta(s)s(s-1)/2) \!\, </math>

za ''s''=1/2+i''T'', kjer je argument definiran s stalnim spreminjanjem vzdolž premice  z Im(''s'')=''T'', z začetnim argumentom 0 v ∞+i''T''. To je vsota velikega, vendar dobro znanega člena:

: <math> \frac{1}{\pi}\mathop{\mathrm{Arg}}(\Gamma(\tfrac{s}{2})\pi^{-s/2}s(s-1)/2) = \frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi}-\frac{T}{2\pi} + 7/8 + \mathcal{O} (1/T) \!\, </math>

in manjšega, vendar skrivnostnega člena:

: <math> S(T) = \frac{1}{\pi}\mathop{\mathrm{Arg}}(\zeta(1/2+iT)) = \mathcal{O} (\log(T)) \!\, . </math>

Tako je gostota ničel z imaginarnim delom blizu ''T'' približno enaka log(''T'')/2π, funkcija ''S'' pa opiše majhne odklone od tega. Funkcija ''S''(''t'') skače po 1 v vsaki ničli funkcije ζ, in za {{nowrap|''t'' ≥ 8}} monotono pada med ničlami z odvodom blizu −log ''t''.

Karacuba je leta 1996 dokazal, da vsak interval (''T'', ''T''+''H''] za <math>H \ge T^{\frac{27}{82}+\varepsilon}</math> vsebuje vsaj:

: <math> H(\ln T)^{\frac{1}{3}}e^{-c\sqrt{\ln\ln T}} \!\, </math>

točk, kjer funkcija ''S''(''t'') spremeni predznak.

Selberg<ref name="#2">{{sktxt|Selberg|1946}}.</ref> je leta 1946 pokazal, da so povprečni momenti sodih potenc funkcije ''S'' dani z:

: <math> \int_0^T|S(t)|^{2k}dt = \frac{(2k)!}{k!(2\pi)^{2k}}T(\log \log T)^k + \mathcal{O} (T(\log \log T)^{k-1/2}) \!\, . </math>

To nakazuje, da je ''S''(''T'')/(log log ''T'')<sup>1/2</sup> podobno [[normalna porazdelitev|gaussovski slučajni spremenljivki]] s [[srednja vrednost|povprečjem]] 0 in [[varianca|varianco]] 2π<sup>2</sup>. To dejstvo je dokazal Ghosh leta 1983.<ref>{{sktxt|Ghosh|1983}}.</ref> Še posebej je |''S''(''T'')| po navadi približno okrog (log log ''T'')<sup>1/2</sup>, občasno pa je veliko večja. Točna stopnja rasti ''S''(''T'') ni znana. Ne obstaja brezpogojna izboljšava Riemannove izvirne meje ''S''(''T'')&nbsp;=&nbsp;''O''(log ''T''), čeprav iz Riemannove domneve izhaja rahlo manjša meja ''S''(''T'')&nbsp;=&nbsp;''O''(log ''T''/log log ''T'').<ref name="titchmarsh_1986" /> Prava stopnja velikosti je lahko malo manjša od tega, ker imajo slučajne funkcije z enako porazdelitvijo kot ''S''(''T'') rast reda približno log(''T'')<sup>1/2</sup>. V drugi smeri ne more biti premajhna: Selberg<ref name="#2"/> je leta 1946 pokazal, da {{nowrap|''S''(''T'') ≠ o((log ''T'')<sup>1/3</sup>/(log log ''T'')<sup>7/3</sup>)}}, in s privzetkom pravilnosti Riemannove domneve je Montgomery pokazal, da {{nowrap|''S''(''T'') ≠ o((log ''T'')<sup>1/2</sup>/(log log ''T'')<sup>1/2</sup>)}}.

Numerični izračuni potrjujejo, da ''S'' raste zelo počasi: |''S''(''T'')|&nbsp;&lt;&nbsp;1 za {{nowrap|''T'' < 280}}, |''S''(''T'')|&nbsp;&lt;&nbsp;2 za ''T''&nbsp;&lt;&nbsp;6&nbsp;800&nbsp;000, največja vrednost |''S''(''T'')| najdena do sedaj je veliko večja kot 3.<ref>{{sktxt|Odlyzko|2002}}.</ref>

Iz Riemannove ocene ''S''(''T'')&nbsp;=&nbsp;''O''(log ''T'') izhaja, da so vrzeli med ničlami omejene. Littlewood je to malenkost izboljšal in pokazal, da vrzeli med njihovimi imaginarnimi deli težijo k 0.

=== Hadamardov in La Vallée Poussinov izrek ===

[[Jacques Salomon Hadamard|Hadamard]]<ref>{{sktxt|Hadamard|1896}}.</ref> in [[Charles-Jean de La Vallée Poussin|La Vallée Poussin]]<ref>{{sktxt|La Vallée Poussin|1896}}.</ref> sta leta 1896 neodvisno dokazala, da nobena ničla ne more ležati na premici Re(''s'') = 1. Skupaj s funkcijsko enačbo in dejstvom, da ne obstaja nobena ničla z realnim delom večjim od 1, je to pokazalo, da morajo vse netrivialne ničle ležati v notranjosti kritičnega traku {{nowrap|0 < Re(''s'') < 1}}. To je bil odločilni korak v njihovih prvih dokazih praštevilskega izreka.

Oba izvirna dokaza, da funkcija ζ nima ničel z realnim delom enakim 1, sta podobna, in sta odvisna od razkritja, da, če se <math>\zeta (1+it)\, </math> izniči, potem je <math>\zeta (1+2it)\, </math> edina, kar ni možno. En način za to je z uporabo neenakosti:

: <math> |\zeta(\sigma)^3\zeta(\sigma+it)^4\zeta(\sigma+2it)|\ge 1 \!\, , </math>

za σ > 1, ''t'' realno število in iskanje limite, ko gre σ → 1. Ta neenakost sledi, če se vzame realni del logaritma Eulerjevega produkta:

: <math> |\zeta(\sigma+it)| = \exp\Re\sum_{p^n}\frac{p^{-n(\sigma+it)}}{n}=\exp\sum_{p^n}\frac{p^{-n\sigma}\cos(t\log p^n)}{n} \!\, , </math>

kjer vsota poteka po vseh praštevilskih potencah ''p''<sup>''n''</sup>, tako da je:

: <math> |\zeta(\sigma)^3\zeta(\sigma+it)^4\zeta(\sigma+2it)| = \exp\sum_{p^n}p^{-n\sigma}\frac{3+4\cos(t\log p^n)+\cos(2t\log p^n)}{n} \!\, , </math>

kar je vsaj enako  1, ker so vsi členi v vsoti pozitivni, zaradi neenakosti:

: <math> 3 + 4\cos \theta + \cos (2\theta) = 2 (1 + \cos(\theta))^2 \ge 0 \!\, . </math>

=== Območja brez ničel ===
[[Slika:Zero-free region for the Riemann zeta-function.svg|right|thumb|250px|Razen trivialnih ničel Riemannova funkcija ζ nima ničel desno od <math>\sigma = 1\, </math> in levo od <math>\sigma = 0\, </math>. Ničle tudi ne morejo ležati preblizu teh dveh premic. Poleg tega so netrivialne ničle simetrične glede na realno os in kritično premico <math>\sigma = 1/2\, </math>. Po Riemannovi domnevi vse ležijo na njej.]]

La Vallée Poussin<ref>{{sktxt|La Vallée Poussin|1899–1900}}.</ref> je med letoma 1899 in 1900 dokazal, da če je <math>\sigma + i \, t\, </math> ničla Riemannove funkcije ζ, potem velja {{nowrap|1 − σ ≥ <big>{{sfrac|''C''|log(''t'')}}</big>}} za kakšno pozitivno konstanto ''C''. Z drugimi besedami ničle ne morejo biti preblizu premici {{nowrap|σ {{=}} 1:}} tam obstaja območje brez ničel blizu te premice. To območje brez ničel je več avtorjev povečalo z metodami, kot je na primer [[izrek Vinogradova o srednji vrednosti]]. Ford<ref>{{sktxt|Ford|2002}}.</ref> je leta 2002 podal različico z eksplicitnimi številskimi konstantami: <math>\zeta (\sigma + i \, t) \ne 0\, </math>, kadar je {{nowrap begin}}|''t''&thinsp;| ≥ 3{{nowrap end}} in:

: <math> \sigma\ge 1-\frac{1}{57.54(\log{|t|})^{2/3}(\log{\log{|t|}})^{1/3}} \!\, . </math>

== Ničle na kritični premici ==

Hardy<ref>{{sktxt|Hardy|1914}}.</ref> in Littlewood<ref>{{sktxt|Hardy|Littlewood|1921}}.</ref> sta leta 1914 in 1921 pokazala, da obstaja neskončno mnogo ničel na kritični premici z upoštevanjem momentov določenih funkcij povezanih s funkcijo ζ. Selberg<ref name="#3">{{sktxt|Selberg|1942}}.</ref> je leta 1942 dokazal, da vsaj (majhen) pozitiven delež ničel leži na premici. [[Norman Levinson|Levinson]]<ref>{{sktxt|Levinson|1974}}.</ref> je leta 1974 izboljšal to na eno tretjino ničel s povezavo ničel funkcije ζ s tistimi iz odvoda. Conrey<ref>{{sktxt|Conrey|1989}}.</ref> je leta 1989 to še izboljšal na dve petini ničel.

Večina ničel leži blizu kritične premice. [[Harald Bohr|Bohr]] in Landau<ref>{{sktxt|Bohr|Landau|1914}}.</ref> sta leta 1914 točneje pokazala, da za vsak pozitiven ε, vse ničle, razen neskončno majhnega deleža ničel, leži znotraj razdalje ε od kritične premice. Ivić<ref name="ivic_1985" /> je leta 1985 dal več točnejših različic tega rezultata, in jih imenoval ''ocene z ničelno gostoto''. Te omejujejo ničle v območjih z imaginarnim delom največ ''T'' in realnim delom vsaj 1/2&nbsp;+&nbsp;ε.

=== Hardy-Littlewoodove domneve ===

Hardy je leta 1914 dokazal, da ima <math>\zeta\left(\tfrac{1}{2}+it\right)\, </math> neskončno mnogo realnih ničel.

Naj je ''N''(''T'') celotno število realnih ničel, <math>N_0(T)\, </math> celotno število ničel lihega reda funkcije:

: <math> \zeta\left(\tfrac{1}{2}+it\right) \!\, , </math>

ki ležijo na intervalu (0, ''T''].

Naslednji dve domnevi Hardyja  in Littlewooda o razdalji med realnimi ničlami funkcije <math>\zeta\left(\tfrac{1}{2}+it\right)\, </math> in o gostoti ničel funkcije <math>\zeta\left(\tfrac{1}{2}+it\right)\, </math> na intervalih (''T'', ''T''+''H''] za dovolj velike ''T'' > 0, <math>H = T^{a + \varepsilon}\, </math> in z najmanjšo možno vrednostjo ''a'' > 0, kjer je ε > 0 poljubno majhno število, sta odprli nove smeri pri raziskovanju Riemannove funkcije ζ:

: 1. za poljubni ε > 0 obstaja takšen <math>T_0 = T_0(\varepsilon) > 0\, </math>, da za <math>T \geq T_0\, </math> in <math>H=T^{0,25+\varepsilon}\, </math> interval <math>(T,T+H]\, </math> vsebuje ničlo lihega reda funkcije <math>\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)\, </math>.

: 2. za poljubni ε > 0 obstajata takšna <math>T_0 = T_0(\varepsilon) > 0\, </math> in ''c'' = ''c''(ε) > 0, da za <math>T \geq T_0\, </math> in <math>H=T^{0,5+\varepsilon}\, </math> velja neenakost <math>N_0(T+H)-N_0(T) \geq cH\, </math>.

=== Selbergova domneva  ===

: Ta razdelek ni o [[Selbergova domneva o 1/4|Selbergovi domnevi o 1/4]] ampak o [[Selbergova domneva o funkciji zeta|Selbergovi domnevi o funkciji ζ]].
Selberg<ref name="#3"/> je leta 1942 raziskal Hardy-Littlewoodov problem 2 in dokazal, da za poljubni <math>\varepsilon > 0\, </math> obstajata takšna <math>T_{0} = T_{0}(\varepsilon) > 0\, </math> in <math>c = c(\varepsilon) > 0\, </math>, da bo za <math>T \geq T_0\, </math> in <math>H=T^{0,5+\varepsilon}\, </math> veljala neenakost <math>N(T+H)-N(T) \geq cH\log T\, </math>. Selberg je domneval, da se to lahko zoži na <math>H=T^{0,5}\, </math>. Karacuba<ref>{{sktxt|Karacuba|1984a}}.</ref><ref>{{sktxt|Karacuba|1984b}}.</ref><ref>{{sktxt|Karacuba|1985}}.</ref> je med letoma 1984 in 1985 dokazal, da za fiksni <math>\varepsilon\, </math>, za katerega velja pogoj <math>0 < \varepsilon < 0,001\, </math>, dovolj veliki <math>Tq, </math> in <math>H = T^{a+\varepsilon}\, </math>, <math>a = \tfrac{27}{82} = \tfrac{1}{3} -\tfrac{1}{246}\, </math>, interval <math>(T, T+H)\, </math> vsebuje vsaj <math>cH \ln T\, </math> realnih ničel Riemannove funkcije <math>\zeta\left(\tfrac{1}{2}+it\right)\, </math> in tako potrdil Selbergovo domnevo. Selbergove in Karacubove ocene se ne dajo izboljšati glede na stopnjo rasti, ko gre <math>T \to \infty\, </math>.

Karacuba<ref>{{sktxt|Karacuba|1992}}.</ref> je leta 1992 dokazal, da analogon Selbergove domneve velja za skoraj vse intervale <math>(T, T+H ]\, </math>, <math>H = T^{\varepsilon}\, </math>, kjer je <math>\varepsilon\, </math> poljubno majhno fiksno pozitivno število. Karacubova metoda dovoljuje raziskavo ničel Riemannove funkcije ζ na »superkratkih« intervalih kritične premice, to je na intervalih <math>(T, T+H ]\, </math>, dolžina <math>H\, </math>, ki se povečuje počasneje kot katerakoli, četudi poljubno majhna stopnja <maath>T\, </math>. Dokazal je še posebej, da za poljuno število <math>\varepsilon\, </math>, <math>\varepsilon_{1}\, </math>, za katerega veljajo pogoji <math>0 < \varepsilon, \varepsilon_{1} < 1\, </math>, skoraj vsi intervali <math>(T, T+H] \, </math> za <math>H \ge \exp{\{(\ln T)^{\varepsilon}\}}\, </math> vsebujejo vsaj <math>H(\ln T)^{1-\varepsilon_{1}}\, </math> ničel funkcije <math>\zeta\left(\tfrac{1}{2}+it\right)\, </math>. Ta ocena je zelo blizu tisti, ki izhaja iz Riemannove domneve.

=== Numerični izračuni ===
[[Slika:Riemann zeta function absolute value.png|thumb|right|250px|Absolutna vrednost Riemannove funkcije ζ]]

Funkcija:

: <math> \pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\tfrac{s}{2})\zeta(s) \!\, </math>

ima enake ničle kot funkcija ζ na kritičnem traku, in je realna na kritični premici zradi funkcijske enačbe, tako da se lahko dokaže obstoj ničel točno na realni premici med dvema točkama z numeričnim preverjanjem, ali ima funkcija nasprotna predznaka v teh točkah. Po navadi se zapiše:

: <math> \zeta(\tfrac{1}{2} +it) = Z(t)e^{-i\theta(t)} \!\, </math>

kjer sta Hardyjeva funkcija [[funkcija Z|''Z'']] in [[Riemann-Sieglova funkcija theta|Riemann-Sieglova funkcija θ]] posebno definirani s tem in s pogojem, da sta gladki realni funkciji z vrednostjo <math>\theta (0) = 0\, </math>. Z iskanjem več intervalov, kjer funkcija ''Z'' spremeni predznak, se lahko pokaže, da obstaja mnogo ničel na kritični premici. Da se preveri Riemannova domneva do danega imaginarnega dela <math>T\, </math> ničel, je treba preveriti tudi, da ne obstajajo druge ničle zunaj premice v tem območju. To se lahko doseže z računanjem celotnega števila ničel v območju in s preverjanjem, ali je enako kot število ničel najdenih na premici. Na ta način se lahko preveri Riemannova domneva do poljubne vrednosti <math>T\, </math> (s tem, da se zagotovi, da so vse ničle funkcije ζ v tem območju enostavne in na kritični premici).

Nekateri izračuni ničel funkcije ζ so navedeni v spodnji razpredelnici. Do sedaj vse preverjene ničle ležijo na kritični premici in so enostavne.{{efn|Mnogokratne ničle bi povzročile težave za algoritme iskanja ničel, ki so odvisni od iskanja sprememb predznaka med ničlami.}} Za razpredelnice ničel glej delo Haselrovea in Millerja<ref>{{sktxt|Haselgrove|Miller|1960}}</ref> ali delo Odlyzka.<ref>{{harvnb|Odlyzko}}.</ref>
{| class="wikitable"
|-
! leto
! število ničel
! avtor
|-
|1859?
|3
|[[Bernhard Riemann|B. Riemann]] je uporabil [[Riemann-Sieglova formula|Riemann-Sieglovo formulo]] (neobjavljeno, vendar navedeno v Siglovem delu<ref>{{sktxt|Siegel|1932}}.</ref>).
|-
|1903
|15
|[[Jørgen Pedersen Gram|J. P. Gram]]<ref>{{sktxt|Gram|1903}}.</ref> je uporabil [[Euler-Maclaurinova formula|Euler-Maclaurinovo vsoto]] in odkril Gramov zakon. Pokazal je, da vseh 10 ničel z imaginarnim delom največ 50 leži na kritični premici z realnim delom enakim 1/2 z računanjem vsote inverza 10-ih potenc korenov, ki jih je našel.
|-
|1914
|79 (γ<sub>''n''</sub> ≤ 200)
|R. J. Backlund<ref>{{sktxt|Backlund|1914}}.</ref> je uvedel boljšo metodo za preverjanje vseh ničel do dane točke ali ležijo na premici z raziskovanjem argumenta ''S''(''T'') funkcije ζ.
|-
|1925
|138 (γ<sub>''n''</sub> ≤ 300)
|[[John Irwin Hutchinson|J. I. Hutchinson]]<ref>{{sktxt|Hutchinson|1925}}.</ref> je našel prvo neskladje z Gramovim zakonom, v Gramovi točki ''g''<sub>126</sub>.
|-
|1935
|195
|[[Edward Charles Titchmarsh|E. C. Titchmarsh]]<ref>{{sktxt|Titchmarsh|1935}}.</ref> je uporabil nedavno ponovno odkrito [[Riemann-Sieglova formula|Riemann-Sieglovo formulo]], ki je veliko hitrejša od Euler-Maclaurinove vsote. Potrebno je približno ''O''(''T''<sup>3/2+ε</sup>) korakov za preverbo ničel z imaginarnim delom manjšim od ''T'', Euler-Maclaurinova metoda pa zahteva približno ''O''(''T''<sup>2+ε</sup>) korakov.
|-
|1936
|1041
|E. C. Titchmarsh<ref>{{sktxt|Titchmarsh|1936}}.</ref> in L. J. Comrie sta bila zadnja, ki sta iskala ničle na roke.
|-
|1953
|1104
|[[Alan Turing|A. M. Turing]]<ref name="turing_1953">{{sktxt|Turing|1953}}.</ref> je našel učinkovitejši način preverjanja, da so vse ničle do neke točke upoštevane z ničlami na premici, tako da se preveri ali ima funkcija ''Z'' pravilni predznak v več zaporednih Gramovih točkah in z uporabo dejstva, da je srednja vrednost ''S''(''T'') enaka 0. To ne zahteva skoraj nobenega dodatnega dela, ker je predznak funkcije ''Z'' v Gramovih točkah že znan iz iskanja ničel. Ta metoda se običajno še vedno uporablja. To je bila prva raba digitalnega računalnika za izračun ničel.
|-
|1956
|15 000
|[[Derrick Henry Lehmer|D. H. Lehmer]]<ref name="lehmer_1956">{{sktxt|Lehmer|1956}}.</ref> je odkril nekaj primerov, kjer ima funkcija ζ ničle, ki ležijo »komaj« na premici: dve ničli funkcije ζ sta tako blizu skupaj, da je izredno težko najti spremembo predznaka med njima. To se imenuje »[[Lehmerjev par]]« in se prvič pojavi pri ničlah z imaginarnima deloma 7005,063 in 7005,101, ki se razlikujeta le za 0,04, medtem ko je povprečna vrzel med drugimi ničlami blizu te točke približno enaka 1.
|-
|1956
|25 000
|D. H. Lehmer
|-
|1958
|35 337
|N. A. Meller
|-
|1966
|250 000
|[[Russell Sherman Lehman|R. S. Lehman]]
|-
|1968
|3 500 000
|Rosser, Yohe in Schoenfeld<ref name="#4">{{sktxt|Rosser|Yohe|Schoenfeld|1969}}.</ref> so navedli Rosserjevo pravilo (opisano spodaj).
|-
|1977
|40 000 000
|[[Richard Peirce Brent|R. P. Brent]]
|-
|1979
|81 000 001
|R. P. Brent
|-
|1982
|200 000 001
|R. P. Brent, [[Johan van de Lune|J. van de Lune]], [[Herman te Riele|H. J. J. te Riele]], D. T. Winter
|-
|1983
|300 000 001
|J. van de Lune, H. J. J. te Riele
|-
|1986
|1 500 000 001
|J. van de Lune, H. J. J. te Riele in D. T. Winter<ref>{{sktxt|van de Lune|te Riele|Winter|1986}}.</ref> so podali nekaj statističnih podatkov o ničlah in izdelali več grafov funkcije ''Z'' na mestih kjer se neobičajno obnaša.
|-
|1987
|nekaj z veliko višino (~10<sup>12</sup>)
|[[Andrew Michael Odlyzko|A. M. Odlyzko]]<ref name="odlyzko_1987" /> je izračunal majhno število ničel z veliko večjo višino, približno 10<sup>12</sup>, do visoke točnosti za preverbo [[Montgomeryjeva domneva o parni korelaciji|Montgomeryjeve domneve o parni korelaciji]].
|-
|1992
|nekaj z veliko višino (~10<sup>20</sup>)
|A. M. Odlyzko<ref>{{sktxt|Odlyzko|1992}}.</ref> je izračunal 175 milijonov ničel z višinami približno 10<sup>20</sup> in nekaj z višinami približno 2{{e|20}}, in podal obširno razpravo o rezultatih.
|-
|1998
|10000 z veliko višino (~10<sup>21</sup>)
|A. M. Odlyzko<ref>{{sktxt|Odlyzko|1998}}.</ref> je izračunal nekaj ničel z višino približno 10<sup>21</sup>
|-
|2001
|10 000 000 000
|J. van de Lune (neobjavljeno)
|-
|2004
|900 000 000 000
|S. Wedeniwski (distribuirano računanje [[ZetaGrid]])
|-
|2004
|10 000 000 000 000 in nekaj z velikimi višinami (do ~10<sup>24</sup>)
|X. Gourdon<ref>{{sktxt|Gourdon|2004}}.</ref> in Patrick Demichel sta uporabila [[Odlyzko-Schönhageov algoritem]]. Preverila sta tudi dve milijardi ničel z višinami približno 10<sup>13</sup>, 10<sup>14</sup>, ... , 10<sup>24</sup>.
|}

=== Gramove točke ===

[[Gramova točka]] je točka na kritični premici 1/2&nbsp;+&nbsp;''it'', kjer je funkcija ζ realna in neničelna. S pomočjo izraza za funkcijo ζ na kritični premici ζ(1/2&nbsp;+&nbsp;''it'') = ''Z''(''t'')e<sup>&nbsp;−&nbsp;''i''θ(''t'')</sup>, kjer je Hardyjeva funkcija ''Z'' realna za realni ''t'', θ pa je Riemann-Sieglova funkcija θ, se vidi, da je funkcija ζ realna, ko je sin(θ(''t'')) = 0. Iz tega izhaja, da je θ(''t'') celoštevilski mnogokratnik števila ''π'', kar omogoča, da se lega Gramovih točk izračuna dokaj preprosto z inverzom formule za θ. Po navadi so označene z ''g''<sub>''n''</sub> za ''n'' = 0, 1, ..., kjer je ''g''<sub>''n''</sub> edina rešitev θ(''t'') = ''n''π.

Gram je opazil, da je bila med dvema Gramovima točkama pogosto točno ena ničla funkcije ζ. Hutchinson je poimenoval to opažanje Gramov zakon. Obstaja več drugih tesno povezanih izjav, ki se včasih tudi imenujejo Gramov zakon, na primer: 
* (−1)<sup>''n''</sup>''Z''(''g''<sub>''n''</sub>) je po navadi pozitiven, ali 
* funkcija ''Z''(''t'') ima po navadi nasprotni predznak v naslednjih Gramovih točkah.
Imaginarni deli γ<sub>''n''</sub> prvih ničel (modro) in prvih nekaj Gramovih točk ''g''<sub>''n''</sub> podaja naslednja razpredelnica
{| class="wikitable"
|-
|
|
|''g''<sub>−1</sub>
|style="background: #eef"|γ<sub>1</sub>
|''g''<sub>0</sub>
|style="background: #eef"|γ<sub>2</sub>
|''g''<sub>1</sub>
|style="background: #eef"|γ<sub>3</sub>
|''g''<sub>2</sub>
|style="background: #eef"|γ<sub>4</sub>
|''g''<sub>3</sub>
|style="background: #eef"|γ<sub>5</sub>
|''g''<sub>4</sub>
|style="background: #eef"|γ<sub>6</sub>
|''g''<sub>5</sub>
|-
|0,000
|3,436
|9,667
|style="background: #eef"|14,135
|17,846
|style="background: #eef"|21,022
|23,170
|style="background: #eef"|25,011
|27,670
|style="background: #eef"|30,425
|31,718
|style="background: #eef"|32,935
|35,467
|style="background: #eef"|37,586
|38,999
|}
[[Slika:Zeta polar.svg|thumb|right|250px|Prikaz vrednosti <math>\zeta (1/2+it)\, </math> v kompleksni ravnini za <math>0 \le t \le 34\, </math>. (Za <math>t =0\, </math> vrednost <math>\zeta (1/2) \approx -1,460\, </math> odgovarja najbolj levi točki na rdeči krivulji.) Gramov zakon pravi, da krivulja po navadi prečka realno os enkrat med ničlami.]]

Prvo neskladje Gramovega zakona se pojavi pri 127-i ničli in Gramovi točki ''g''<sub>126</sub>, ki sta v »nepravilnem« vrstnem redu.

{| class="wikitable"
|-
|''g''<sub>124</sub>
|style="background: #eef"|γ<sub>126</sub>
|''g''<sub>125</sub>
|''g''<sub>126</sub>
!style="background: #eef"|γ<sub>127</sub>
|style="background: #eef"|γ<sub>128</sub>
|''g''<sub>127</sub>
|style="background: #eef"|γ<sub>129</sub>
|''g''<sub>128</sub>
|-
|279,148
|style="background: #eef"|279,229
|280,802
|282,455
!style="background: #eef"|282,465
|style="background: #eef"|283,211
|284,104
|style="background: #eef"|284,836
|285,752
|}

Gramova točka ''t'' je dobra, če je funkcija ζ pozitivna v 1/2 + ''it''. Indeksi »slabih« Gramovih točk, kjer ima funkcija ''Z'' »napačni« predznak, so: 126, 134, 195, 211 ... {{OEIS|id=A114856}}. Gramov blok je interval omejen z dvema dobrima Gramovima točkama, tako da so vse Gramove točke med njimi slabe. Izboljšava Gramovega zakona, imenovana Rosserjevo pravilo<ref name="#4"/> pravi, da je v Gramovih blokih pogosto pričakovano število ničel (enako kot število Gramovih intervalov), četudi v katerem od posameznih Gramovih intervalov v bloku mogoče ni točno ene ničle. Interval omejen s točkama ''g''<sub>125</sub> in ''g''<sub>127</sub> je na primer Gramov blok, ki vsebuje edino slabo Gramovo točko ''g''<sub>126</sub>, in vsebuje pričakovano število dveh ničel, čeprav v nobenem od njegovih dveh Gramovih intervalov ni posamezne ničle. Rosser je s sodelavci preveril izjeme v Rosserjevem pravilu v prvih treh milijonih ničel, čeprav obstaja neskončno mnogo izjem Rosserjevega pravila na celi funkciji ζ.

Gramov zakon in Rosserjevo pravilo oba pravita, da v nekem smislu ničle ne zaidejo predaleč od svojih pričakovanih leg. Razdaljo ničle od njene pričakovane lege podaja funkcija ''S'' definirana zgoraj. Ta raste izredno počasi: njena povprečna vrednost je reda (log log ''T'')<sup>1/2</sup> in doseže vrednost 2 šele za T približno 10<sup>24</sup>. To pomeni, da obe pravili veljata večino časa za majhne ''T'', pogosto pa ne veljata. Trudgian<ref>{{sktxt|Trudgian|2011}}.</ref> je leta 2011 res pokazal, da Gramov zakon in Rosserjevo pravilo ne veljata v pozitivnem deležu primerov. Pričakuje se, da bosta v približno 73 % primerov posamezno ničlo obkrožali dve zaporedni Gramovi točki, v 14 % primerov nobena, v 13 % primerov pa sta sčasoma dve ničli v takšnem Gramovem intervalu.

== Argumenti za Riemannovo domnevo in proti njej ==

Matematični članki o Riemannovi domnevi so o njeni pravilnosti previdno zadržani. Od avtorjev, ki izrazijo mnenje, jih večina, kot na primer Riemann<ref name="riemann_1859" /> ali Bombieri<ref name="bombieri_2000" /> nakaže, da pričakujejo (ali vsaj upajo), da je pravilna. Med avtorji, ki izražajo resnični dvom o njej, sta Ivić,<ref name="ivic_2008">{{sktxt|Ivić|2008}}.</ref> ki navaja nekatere razloge za dvom, in Littlewood,<ref>{{sktxt|Littlewood|1962}}.</ref> ki naravnost navaja svoje prepričanje, da je nepravilna in, da zanjo ne obstaja noben dokaz in predstavljiv vzrok za pravilnost. Med avtorji, ki so dvomili o pravilnosti Riemannove domneve, je bil tudi Turing.<ref name="turing_1953" /><ref name="wolf_2009" /> V svojem članku je zapisal: »Naredili so se izračuni v optimističnem upanju, da bi se našla ničla zunaj kritične premice.« Turing je našel, da vse ničle do <math>t = 1540\, </math> ležijo na kritični premici. [[Pregledni članek|Pregledni članki]] so si enotni, da je pokazateljev zanjo precej, vendar ne ogromno, tako da, medtem ko je verjetno pravilna, obstaja več upravičenih dvomov.<ref name="bombieri_2000" /><ref name="conrey_2003">{{sktxt|Conrey|2003}}.</ref><ref name="sarnak_2008">{{sktxt|Sarnak|2008}}.</ref>

Nekatere argumente za (ali proti) Riemannovi domnevi so navedli [[Peter Sarnak|Sarnak]],<ref name="sarnak_2008" /> Conrey<ref name="conrey_2003" /> in Ivić.<ref name="ivic_2008" /> Med njimi so naslednji razlogi:
* dokazali so že več analogonov Riemannove domneve. Deligneov dokaz za varietete čez končne obsege<ref name="deligne_1974" /> je verjetno najmočnejši posamezen teoretični razlog v prid Riemannovi domnevi. To zagotavlja nekaj pokazateljev za splošnejšo domnevo, da za vse funkcije ζ, povezane z avtomorfnimi formami, velja Riemannova domneva, ki vsebuje klasično Riemannovo domnevo kot posebni primer. Podobno za Selbergove funkcije ζ velja analogon Riemannove domneve in so na nek način podobne Riemannovi funkciji ζ s funkcijsko enačbo in razvoj v neskončni produkt podoben razvoju v Eulerjev produkt. Obstaja pa nekaj večjih razlik: niso na primer podane s kakšno Dirichletovo vrsto. Riemannovo domnevo za Gossovo funkcijo ζ je dokazal Sheats.<ref name="sheats_1998" /> Z razliko od teh pozitivnih primerov za nekatere [[Epsteinova funkcija zeta|Epsteinove funkcije ζ]] Riemannova domneva ne velja, četudi imajo neskončno število ničel na kritični premici.<ref name="titchmarsh_1986" /> Te funkcije so zelo podobne Riemannovi funkciji ζ, lahko se jih razvije s kakšno Dirichletovo vrsto in imajo funkcijsko enačbo, vendar tiste, za katere ne velja Riemannova domneva, nimajo Eulerjevega produkta in niso neposredno povezane z [[avtomorfna reprezentacija|avtomorfnimi reprezentacijami]].
* kot prvo se numerično preverjanje, da mnogo ničel leži na premici, zdi močan pokazatelj. Vendar je bilo v analitični teoriji števil veliko domnev, ki so jih podpirale velike količine numeričnih izračunov, pa so bile nepravilne. Glej [[Skewesovo število]] za značilni zgled, kje se prva izjema verjetni domnevi povezani z Riemannovo domnevo morda lahko pojavi pri približno številu 10<sup>316</sup>; protiprimer Riemannovi domnevi z imaginarnim delom takšne velikosti bi bil precej daleč proč od tega, kar se trenutno lahko izračuna z neposrednim pristopom. Problem je, ker na obnašanje velikokrat vplivajo zelo počasi naraščajoče funkcije, kot je npr. log log ''T'', in težijo k neskončnosti, vendar zelo počasi, kar je nemogoče zaznati z računanjem. Takšne funkcije se pojavljajo v teoriji funkcij ζ in od njih je odvisno obnašanje njihovih ničel. Zgornja funkcija ''S''(''T'') ima na primer povprečno velikost (log log ''T'')<sup>1/2</sup>. Kot vrednost funkcije ''S''(''T'') naraste vsaj za 2 v kakšnem protiprimeru Riemannove domneve, bi bilo pričakovati, da se bodo protiprimeri Riemannove domneve začeli pojavljati le kadar vrednost funkcije ''S''(''T'') postane velika. Njena vrednost ni skoraj nikoli dosti večja od 3, kakor kažejo dosedanji izračuni, vendar je znano, da je neomejena, kar nakazuje, da izračuni še niso dosegli območja značilnega obnašanja funkcije ζ.
* [[Arnaud Denjoy|Denjoy]]ev verjetnostni argument za Riemannovo domnevo<ref name="edwards_1974" /> temelji na opažanju, da, če je μ(''x'') naključno zaporedje števil »1« in »−1«, potem so za vsak {{nowrap|ε > 0}} [[delna vsota|delne vsote]]:

:: <math> M(x) = \sum_{n \le x} \mu(n) \!\, </math>

: (vrednosti, ki so lege v [[enostavni naključni sprehod|enostavnem naključnem sprehodu]]) omejene z:

:: <math> M(x) = \mathcal{O} (x^{1/2+\varepsilon}) </math>

: z [[skoraj gotovo|verjetnostjo enako 1]]. Riemannova domneva je enakovredna tej meji za Möbiusovo funkcijo&nbsp;μ in Mertensovo funkcijo ''M'', ki sta izpeljani iz nje na enak način. IZ drugimi besedami je v nekem smislu Riemannova domneva enakovredna izjavi, da se μ(''x'') obnaša kot naključno zaporedje metanja kovancev. Kadar je μ(''x'') neničelna, njen predznak da parnost števila prafaktorjev ''x'', in tako Riemannova domneva neformalno pravi, da se parnost števila prafaktorjev celega števila obnaša naključno. Takšni verjetnostni argumenti v teoriji števil velikokrat dajo pravilen odgovor, vendar jih je težko strogo definirati, včasih pa dajo tudi nepravilen odgovor za kakšne rezultate, kot na primer za [[Maierjev izrek]].
* Odlyzkovi izračuni<ref name="odlyzko_1987" /> kažejo, da se ničle funkcije ζ obnašajo zelo podobno kot lastne vrednosti slučajne hermitske matrike, kar nakazuje, da so lastne vrednosti kakšnega sebiadjungiranega operatorja, od koder bi lahko izhajala pravilnost Riemannove domneve. Vsi poskusi najti takšen operator pa so do sedaj spodleteli.
* obstaja več izrekov, kot je na primer [[Goldbachova šibka domneva]] za dovolj velika liha števila, ki so bili najprej dokazani s privzetkom o pravilnosti posplošene Riemannove domneve, kasneje pa so se pokazali, da so pravilni brezpogojno. To se lahko obravnava kot šibek pokazatelj za pravilnost posplošene Riemannove domneve, saj se je več njenih »predvidenj« izkazalo za pravilne.
* [[Lehmerjev par]],<ref name="lehmer_1956" /> kjer sta dve ničli včasih zelo blizu skupaj, je včasih dan kot razlog za nepravilnost Riemannove domneve. Vendar se to pričakuje, da se to slučajno pojavi le občasno četudi bi bila Riemannova domneva pravilna. Odlyzkovi izračuni nakazujejo, da se bližnji pari ničel pojavljajo ravno tako pogosto kot napoveduje Montgomeryjeva domneva o parni korelaciji. Ni znano ali obstaja neskončno mnogo Lehmerjevih parov.
* Patterson<ref name="patterson_1988" /> predlaga, da je najbolj brezpogojen razlog za Riemannovo domnevo za večino matematikov upanje, da so praštevila porazdeljena enakomerno kot je mogoče.

== Glej tudi ==

* [[razširjena Riemannova domneva]]
* [[posplošena Riemannova domneva]]
* [[velika Riemannova domneva]]
* [[Hilbertov osmi problem]]
* [[problemi tisočletne nagrade]]
* [[lokalna funkcija zeta]]

== Opombe ==
{{notelist}}

== Sklici ==
{{sklici|3}}

== Viri ==

{{refbegin|3}}
* {{citat|last1= Akbary|first1= Amir|last2= Friggstad|first2= Zachary|title= Superabundant numbers and the Riemann hypothesis|url= http://webdocs.cs.ualberta.ca/~zacharyf/Papers/superabundant.pdf|journal= [[American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]]|date= 2009|volume= 116|issue= 3|pages= 273–275|doi= 10.4169/193009709X470128|accessdate= 2015-06-26|archive-date= 2014-04-11|archive-url= https://web.archive.org/web/20140411041855/http://webdocs.cs.ualberta.ca/~zacharyf/papers/superabundant.pdf|url-status= dead}}
* {{navedi arXiv|last1= Arias de Reyna|first1= Juan|title= X-Ray of Riemann zeta-function|date= 2003-09-26|arxiv= math/0309433|class= math.NT}}
* {{citat|last1= Arias de Reyna|first1= Juan|title= Asymptotics of Keiper-Li Coefficients|date= 2011-01-31|url= http://personal.us.es/arias/56-2RHB.pdf}} 
* {{citat|last1= Artin|first1= Emil|authorlink1= Emil Artin|title= Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil|doi= 10.1007/BF01181075|date= 1924|journal= [[Mathematische Zeitschrift]]|volume= 19|issue= 1|pages= 207–246}}
* {{citat|last1= Backlund|first1= R. J.|title= Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann|journal= C. R. Acad. Sci. Paris|date= 1914|volume= 158|pages= 1979–1981|url= http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3111d/f1983.image}}
* {{citat|last1= Beurling|first1= Arne|authorlink1= Arne Beurling|title= A closure problem related to the Riemann zeta-function|mr= 0070655|date= 1955|journal= [[Proceedings of the National Academy of Sciences|Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]]|volume= 41|issue= 5|pages= 312–314|doi= 10.1073/pnas.41.5.312}}
* {{citat|last1= Bohr|first1= Harald|authorlink1= Harald Bohr|last2= Landau|first2= Edmund|authorlink2= Edmund Landau|title= Ein Satz über Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die ζ-Funktion und die ''L''-Funktionen|doi= 10.1007/BF03014823|journal= [[Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo]]|volume= 37|issue= 1|date= 1914|pages= 269–272}}
* {{citat|last1= Bombieri|first1= Enrico|authorlink1= Enrico Bombieri|url= http://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf|format= PDF|title= The Riemann Hypothesis – official problem description|publisher= [[Clayjev matematični inštitut]]|date= 2000|accessdate= 2008-10-25|archive-date= 2015-12-22|archive-url= https://web.archive.org/web/20151222090027/http://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf|url-status= dead}} Ponatisnjeno v {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{citat|title= The Riemann Hypothesis: A Resource for the {{sic|Af|ficionado|hide=y}} and Virtuoso Alike |series= CMS Books in Mathematics|publisher= Springer|location= New York|date= 2008|editor1-first= Peter|editor1-last= Borwein|editor1-link= Peter Borwein|editor2-first= Stephen|editor2-last= Choi|editor3-first= Brendan|editor3-last= Rooney |editor4-first= Andrea|editor4-last= Weirathmueller|display-editors= etal|isbn= 978-0-387-72125-5|doi= 10.1007/978-0-387-72126-2}}
* {{citat|last1= Borwein|first1= Peter|authorlink1= |last2= Ferguson|first2= Ron|last3= Mossinghoff|first3= Michael J.|title= Sign changes in sums of the Liouville function|doi= 10.1090/S0025-5718-08-02036-X|mr= 2398787|date= 2008|journal= [[Mathematics of Computation]]|volume= 77|issue= 263|pages= 1681–1694}}
* {{citat|last1= de Branges|first1= Louis|authorlink1= Louis de Branges|title= The convergence of Euler products|doi= 10.1016/0022-1236(92)90103-P|mr= 1165869|date= 1992|journal= Journal of Functional Analysis|volume= 107|issue= 1|pages= 122–210}}
* {{citat|last1= Broughan|first1= Kevin A.|last2= Barnett|first2= A. Ross|title= The holomorphic flow of the Riemann Zeta function|url= http://www.math.waikato.ac.nz/~kab/papers/zeta.pdf|date= april 2002}}
* {{citat|last1= Calude|first1= Cristian S.|last2= Hertling|first2= Peter H.|last3= Khoussainov|first3= Bakhadyr|title= Do the Zeros of Riemann's Zeta-Function Form a Random Sequence ?|url= http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS//researchreports/032crisRR.pdf|date= april 1997}}
* {{citat|last1= Cartier|first1= Pierre Emile Jean|authorlink1= Pierre Emile Jean Cartier|title= Seminar on Number Theory, Paris 1980–81 (Paris, 1980/1981)|publisher= Birkhäuser Boston|location= Boston, MA|series= Progr. Math.|mr= 693308|date= 1982|volume= 22|chapter= Comment l'hypothèse de Riemann ne fut pas prouvée|pages= 35–48}}
* {{citat|last1= Choie|first1= YoungJu|authorlink1= YoungJu Choie|last2= Lichiardopol|first2= Nicolas|last3= Moree|first3= Pieter|authorlink3= Pieter Moree|last4= Solé|first4= Patrick|title= On Robin's criterion for the Riemann hypothesis|url= http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_2007__19_2_357_0|mr= 2394891|zbl= 1163.11059|arxiv= math.NT/0604314|date= 2007|journal= Journal de théorie des nombres de Bordeaux|issn= 1246-7405|volume= 19|issue= 2|pages= 357–372|doi= 10.5802/jtnb.591}}
* {{navedi arXiv|last1= Christ|first1= Thomas|title= Value-distribution of the Riemann zeta-function and related functions near the critical line|date= 2013|arxiv= 1405.1553|class= math.NT}} Doktorska disertacija, Univerza v Würzburgu.
* {{navedi arXiv|last1= Cisło|first1= Jerzy|last2= Wolf|first2= Marek|title= Criteria equivalent to the Riemann Hypothesis|date= 2008-08-13|arxiv= 0808.0640|class= math.NT}}
* {{citat|last1= Coffey|first1= Mark W.|title= The theta-Laguerre calculus formulation of the Li/Keiper constants|date= junij    2007|journal= [[Journal of Approximation Theory]]|volume= 146|issue= 2|pages= 267–275|doi= 10.1016/j.jat.2006.10.006}}
* {{citat|last1= Connes|first1= Alain|authorlink1= Alain Connes|title= Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function|doi= 10.1007/s000290050042|arxiv= math/9811068|mr= 1694895|date= 1999|journal= Selecta Mathematica. New Series|volume= 5|issue= 1|pages= 29–106}}
* {{citat|last1= Connes|first1= Alain|authorlink1= |title= Mathematics: frontiers and perspectives|publisher= [[Ameriško matematično društvo]]|location= Providence, R.I.|mr= 1754766|date= 2000|chapter= Noncommutative geometry and the Riemann zeta function|pages= 35–54}}
* {{citat|last1= Conrey|first1= John Brian|authorlink1= Brian Conrey|title= More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line|journal= [[Journal für die Reine und Angewandte Mathematik|J. Reine angew. Math.]]|volume= 399|date= 1989|pages= 1–16|url= http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002206781|doi= 10.1515/crll.1989.399.1|mr= 1004130}}
* {{citat|last1= Conrey|first1= John Brian|authorlink1= |title= The Riemann Hypothesis|journal= Notices of the American Mathematical Society|date= 2003|pages= 341–353|url= http://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf|format= PDF}} Ponatisnjeno v {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{citat|last1= Conrey|first1= John Brian|authorlink1= |last2= Li|first2= Xian-Jin|authorlink2= Xian-Jin Li|title= A note on some positivity conditions related to zeta and L-functions|doi= 10.1155/S1073792800000489|arxiv= math/9812166|mr= 1792282|date= 2000|journal= International Mathematics Research Notices|issue= 18|pages= 929–940|volume= 2000}}
* {{citat|last1= Deligne|first1= Pierre|authorlink1= Pierre Deligne|title= La conjecture de Weil. I|url= http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__43__273_0|mr= 0340258|date= 1974|journal= [[Publications Mathématiques de l'IHÉS]]|volume= 43|pages= 273–307|doi= 10.1007/BF02684373}}
* {{citat|last1= Deligne|first1= Pierre|authorlink1= |title= La conjecture de Weil : II|url= http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1980__52__137_0|date= 1980|journal= Publications Mathématiques de l'IHÉS|volume= 52|pages= 137–252|doi= 10.1007/BF02684780}}
* {{citat|last1= Deninger|first1= Christopher|authorlink1= Christopher Deninger|title= Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998)|url= http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/documenta/xvol-icm/00/Deninger.MAN.html|mr= 1648030|date= 1998|series= Documenta Mathematica|chapter= Some analogies between number theory and dynamical systems on foliated spaces|pages= 163–186}}
* {{citat|last1= Derbyshire|first1= John|authorlink1= John Derbyshire|title= [[Prime Obsession]]|publisher= Joseph Henry Press, Washington, DC|isbn= 978-0-309-08549-6|mr= 1968857|date= 2003}}
* {{citat|last1= Dyson|first1= Freeman John|authorlink1= Freeman John Dyson|title= Birds and frogs|url= http://www.ams.org/notices/200902/rtx090200212p.pdf|mr= 2483565|date= 2009|journal= [[Notices of the American Mathematical Society]]|volume= 56|issue= 2|pages= 212–223}}
* {{citat|last1= Edwards|first1= Harold Mortimer|authorlink1= Harold Mortimer Edwards|title= Riemann's Zeta Function|publisher= [[Dover Publications]]|location= New York|isbn= 978-0-486-41740-0|mr= 0466039|date= 1974}}
* {{citat|last1= Fesenko|first1=Ivan Borisovič|authorlink1= Ivan Borisovič Fesenko|title= Analysis on arithmetic schemes. II|date= 2010|journal= Journal of K-theory|volume= 5|issue= 3|pages= 437–557|doi= 10.1017/is010004028jkt103}}
* {{citat|last1= Ford|first1= Kevin|title= Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function|doi= 10.1112/S0024611502013655|mr= 1936814|date= 2002|journal= Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series|volume= 85|issue= 3|pages= 565–633}}
* {{citat|last1= Franel|first1= Jérôme|authorlink1= Jérôme Franel|last2= Landau|first2=Edmund|authorlink2= Edmund Landau|title= Les suites de Farey et le problème des nombres premiers" (Franel, 198–201); "Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel (Landau, 202–206)|journal= Göttinger Nachrichten|pages= 198–206|date= 1924}}
* {{citat|last1= Ghosh|first1= Amit|title= On the Riemann zeta function—mean value theorems and the distribution of &#124;S(T)&#124;|journal= [[Journal of Number Theory|J. Number Theory]]|date= 1983|volume= 17|issue= |pages= 93–102|doi= 10.1016/0022-314X(83)90010-0}}
* {{citat|last1= Gourdon|first1= Xavier|url= http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeros1e13-1e24.pdf|format= PDF|title= The 10<sup>13</sup> first zeros of the Riemann Zeta function, and zeros computation at very large height|date= 2004}}
* {{citat|last1= Gram|first1= Jørgen Pedersen|authorlink1= Jørgen Pedersen Gram|title= Note sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann|journal= Acta Mathematica|date= 1903|volume= 27|pages= 289–304|doi= 10.1007/BF02421310}}
* {{citat|last1= Granville|first1= Andrew|authorlink1= Andrew Granville|last2= Martin|first2= Greg|title= Prime Number Races
|journal= Amer. Math. Monthly|date= 2006|volume= 113|issue= |pages= 1–33|arxiv=math/0408319}}
* {{citat|last1= Hadamard|first1= Jacques Salomon|authorlink1= Jacques Salomon Hadamard|title= Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques|journal= Bulletin Société Mathématique de France|date= 1896|volume= 14|pages= 199–220|url= http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1896__24__199_1}} Ponatisnjeno v {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{citat|last1= Hardy|first1= Godfrey Harold|authorlink1= Godfrey Harold Hardy|title= Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann|journal= C. R. Acad. Sci. Paris|date= 1914|volume= 158|pages= 1012–1014|url= http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3111d.image.f1014.langEN|jfm= 45.0716.04}} Ponatisnjeno v {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{citat|last1= Hardy|first1= Godfrey Harold|authorlink1= |last2= Littlewood|first2= John Edensor|authorlink2= John Edensor Littlewood|title= The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line|journal= Math. Z.|date= 1921|volume= 10|pages= 283–317|doi= 10.1007/BF01211614|issue= 3–4}}
* {{citat|last1= Haselgrove|first1= Colin Brian|authorlink1= Colin Brian Haselgrove|title= A disproof of a conjecture of Pólya|mr= 0104638|date= 1958|journal= Mathematika|volume= 5|pages= 141–145|doi= 10.1112/S0025579300001480|issue= 2|issn= 0025-5793|zbl= 0085.27102}} Ponatisnjeno v {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{citat|last1= Haselgrove|first1= Colin Brian|authorlink1= |last2= Miller|first2= Jeffrey Charles Percy|authorlink2= Jeffrey Charles Percy Miller|title= Tables of the Riemann zeta function|publisher= [[Cambridge University Press]]|series= Royal Society Mathematical Tables, Vol. 6|mr= 0117905|date= 1960|isbn= 978-0-521-06152-0}} [http://www.jstor.org/stable/2003098 Pregled]
* {{navedi arXiv|last1= He|first1= Yang-Hui|last2= Jejjala|first2= Vishnu|last3= Minic|first3= Djordje|title= From Veneziano to Riemann: A String Theory Statement of the Riemann Hypothesis|date= 2015-01-08|arxiv= 1501.01975|class= hep-th}}
* {{citat|last1= Hutchinson|first1= John Irwin|authorlink1= John Irwin Hutchinson|title= On the Roots of the Riemann Zeta-Function|jstor= 1989163|date= 1925|journal= [[Transactions of the American Mathematical Society]]|volume= 27|pages= 49–60|doi= 10.2307/1989163|issue= 1}}
* {{citat|last1= Ingham|first1= Albert Edward|authorlink1= Albert Edward Ingham|title= The Distribution of Prime Numbers|publisher= Cambridge University Press|series= Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics|volume= 30|date= 1932}}. Ponatisnjeno 1990, ISBN 978-0-521-39789-6, {{MathSciNet|1074573}}
* {{citat|last1= Ireland|first1= Kenneth|last2= Rosen |first2= Michael Ira|authorlink2= Michael Ira Rosen|title= A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition)|publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]]|location= New York|date= 1990|isbn= 0-387-97329-X}}
* {{citat|last1= Ivić|first1=Aleksandar|authorlink1= Aleksandar Ivić|title= The Riemann Zeta Function|publisher= [[John Wiley & Sons]]|location= New York|isbn= 978-0-471-80634-9|mr= 0792089|date= 1985}} (Ponatisnjeno Dover 2003)
* {{citat|last1= Ivić|first1= Aleksandar|authorlink1= |chapter= On some reasons for doubting the Riemann hypothesis|isbn= 978-0-387-72125-5|pages= 131–160|title= The Riemann Hypothesis: A Resource for the {{sic|Af|ficionado|hide=y}} and Virtuoso Alike|series= CMS Books in Mathematics|publisher= Springer|location= New York|date= 2008|editor1-last= Borwein|editor1-first= Peter|editor2-last= Choi|editor2-first= Stephen|editor3-last= Rooney|editor3-first=Brendan|editor4-last= Weirathmueller|editor4-first= Andrea|display-editors= etal|arxiv= math.NT/0311162}}
* {{citat|last1= Karacuba|first1= Anatolij Aleksejevič|authorlink1= Anatolij Aleksejevič Karacuba|title= Zeros of the function ζ(s) on short intervals of the critical line|pages= 569–584|journal= Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat.|volume= 48|issue= 3|date= 1984a|mr= 0747251|language= ru}}
* {{citat|last1= Karacuba|first1= Anatolij Aleksejevič|authorlink1= |title= Distribution of zeros of the function ''ζ''(1/2&nbsp;+&nbsp;''it'')|pages= 1214–1224|journal= Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat.|volume= 48|issue= 6|date= 1984b|mr= 0772113|language= ru}}
* {{citat|last1= Karacuba|first1= Anatolij Aleksejevič|authorlink1= |title= Zeros of the Riemann zeta-function on the critical line|pages= 167–178|journal= Trudy Mat. Inst. Steklov.|issue= 167|date= 1985|mr= 0804073|language= ru}}
* {{citat|last1= Karacuba|first1= Anatolij Aleksejevič|authorlink1= |title= On the number of zeros of the Riemann zeta-function lying in almost all short intervals of the critical line|pages= 372–397|journal= Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat.|volume= 56|issue= 2|date= 1992|language= ru|mr= 1180378}}
* {{citat|last1= Karacuba|first1= Anatolij Aleksejevič|authorlink1= |last2= Voronin|first2= Sergej Mihajlovič|title= The Riemann zeta-function|publisher= Walter de Gruyter & Co.|location= Berlin|series= de Gruyter Expositions in Mathematics|isbn= 978-3-11-013170-3|mr= 1183467|date= 1992|volume= 5|cobiss= 2634073}}
* {{citat|last1= Keating|first1= Jonathan P.|last2= Snaith|first2= Nina C.|authorlink2= Nina Snaith|title= Random matrix theory and ''ζ''(1/2&nbsp;+&nbsp;''it'')|doi= 10.1007/s002200000261|mr= 1794265|date= 2000|journal= Communications in Mathematical Physics|volume= 214|issue= 1|pages= 57–89}}
* {{citat|last1= Knauf|first1= Andreas|title= Number theory, dynamical systems and statistical mechanics|mr= 1714352|date= 1999|journal= Reviews in Mathematical Physics. A Journal for Both Review and Original Research Papers in the Field of Mathematical Physics|volume= 11|issue= 8|pages= 1027–1060|doi= 10.1142/S0129055X99000325}}
* {{citat|last1= von Koch|first1= Helge|authorlink1= Helge von Koch|doi= 10.1007/BF02403071|title= Sur la distribution des nombres premiers|journal= Acta Mathematica|volume= 24|date= 1901|pages= 159–182}}
* {{citat|last1= Kurokava|first1= Nobušige|title= Zeta functions in geometry (Tokyo, 1990)|publisher= Kinokuniya|location= Tokio|series= Adv. Stud. Pure Math.|mr= 1210791|date= 1992|volume= 21|chapter= Multiple zeta functions: an example|pages= 219–226}}
* {{citat|last1= Lagarias|first1= Jeffrey Clark|authorlink1= Jeffrey Lagarias|title= An elementary problem equivalent to the Riemann Hypothesis|journal= Amer. Math. Monthly|date= 2002|volume= 109|issue= |pages= 534–543}}
* {{navedi arXiv|last1= Lagarias|first1= Jeffrey Clark|authorlink1= |last2= Mehta|first2= Harsh|title= Products of Farey fractions|date= 2015-03-01|arxiv= 1503.00199|class= math.NT}}
* {{citat|last1= Lapidus|first1= Michel L.|title= In search of the Riemann zeros|publisher= Ameriško matematično društvo|location= Providence, R.I.|isbn= 978-0-8218-4222-5|mr= 2375028|date= 2008}}
* {{citat|last1= Lavrik|first1= A. F.|contribution= Zeta-function|date= 2001|editor1-last= Hazewinkel|editor1-first= Michiel|title= Encyclopedia of Mathematics|publisher= Springer|isbn= 978-1-55608-010-4}}
* {{citat|last1= Lehmer|first1= Derrick Henry|authorlink1= Derrick Henry Lehmer|title= Extended computation of the Riemann zeta-function|mr= 0086083|date= 1956|journal= Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics|volume= 3|pages= 102–108|doi= 10.1112/S0025579300001753|issue= 2}}
* {{citat|last1= Leichtnam|first1= Eric|authorlink1= Eric Leichtnam|contribution= An invitation to Deninger's work on arithmetic zeta functions|location= Providence, RI|mr= 2180209|pages= 201–236|publisher= Ameriško matematično društvo|series= Contemp. Math.|title= Geometry, spectral theory, groups, and dynamics|volume= 387|date= 2005}}
* {{citat|last1= Levinson|first1= Norman|authorlink1= Norman Levinson|title= More than one-third of the zeros of Riemann's zeta function are on σ = 1/2|journal= Adv. In Math.|volume= 13|date= 1974|pages= 383–436|mr= 0564081|doi= 10.1016/0001-8708(74)90074-7|issue= 4}}
* {{citat|last1= Li|first1= Xian-Jin|title= The positivity of a sequence of numbers and the Riemann hypothesis|journal=[[Journal of Number Theory|J. Number Theory]]|date= 1997|volume= 65|issue= 2|pages=325–333|doi= 10.1006/jnth.1997.2137|MR=98d.11101}}
* {{citat|last1= Lindelöf|first1= Ernst Leonard|authorlink1= Ernst Leonard Lindelöf|title= Quelques remarques sur la croissance de la fonction ζ(s)|date= 1908|journal= Bull. Sci. Math.|volume= 32|pages= 341–356}}
* {{citat|last1= Littlewood|first1= John Edensor|authorlink1= John Edensor Littlewood|title= The scientist speculates: an anthology of partly baked idea|chapter= The Riemann hypothesis|date= 1962|publisher= Basic books|location= New York}}
* {{citat|last1= van de Lune|first1= J.|last2= te Riele|first2= Herman J. J.|authorlink2= Herman te Riele|last3= Winter|first3= D. T.|title= On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip. IV|jstor= 2008005|mr= 829637|date= 1986|journal= Mathematics of Computation|volume= 46|issue= 174|pages= 667–681|doi= 10.2307/2008005}}
* {{citat|last1= Massias|first1= J.-P.|last2= Nicolas|first2= Jean-Louis|authorlink2= Jean-Louis Nicolas|last3= Robin|first3= Guy|title= Évaluation asymptotique de l'ordre maximum d'un élément du groupe symétrique|url= http://matwbn.icm.edu.pl/tresc.php?wyd=6&tom=50&jez=|mr= 960551|date= 1988|journal= Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny. Acta Arithmetica|volume= 50|issue= 3|pages= 221–242}}
* {{citat|last1= Matijasevič|first1= Jurij Vladimirovič|authorlink1= Jurij Vladimirovič Matijasevič|title= Yet another representation for the sum of reciprocals of the nontrivial zeros of the Riemann zeta-function|date=2014-10-26|arxiv=1410.7036}}
* {{citat|last1= Mazur|first1= Barry|authorlink1= Barry Mazur|last2= Stein|first2= William Arthur|authorlink2= William Arthur Stein|date= 2007|url= http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/notes/rh.pdf|format= PDF|title= What is Riemann’s Hypothesis?|accessdate= 2015-06-26|archive-date= 2009-03-27|archive-url= https://web.archive.org/web/20090327181331/http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/notes/rh.pdf|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Mazur|first1= Barry|authorlink1= |last2= Stein|first2= William Arthur|authorlink2= |date= 2015|title= Prime Numbers and the Riemann Hypothesis|url= http://modular.math.washington.edu/rh/|accessdate= 2015-06-26|archive-date= 2015-06-27|archive-url= https://web.archive.org/web/20150627021846/http://modular.math.washington.edu/rh/|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Montgomery|first1= Hugh Lowell|authorlink1= Hugh Lowell Montgomery|title= Analytic number theory|series= Proc. Sympos. Pure Math.|volume= XXIV|publisher= Ameriško matematično društvo|location= Providence, R.I.|mr= 0337821|date= 1973|chapter= The pair correlation of zeros of the zeta function|pages= 181–193}} Ponatisnjeno v {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{citat|last1= Montgomery|first1= Hugh Lowell|authorlink1= |editor1-last= Erdős|editor1-first= Paul|editor1-link= Paul Erdős|title= Studies in pure mathematics. To the memory of Paul Turán|publisher= Birkhäuser|location= Basel, Boston, Berlin|isbn= 978-3-7643-1288-6|mr= 820245|date= 1983|chapter= Zeros of approximations to the zeta function|pages= 497–506}}
* {{citat|last1= Nicely|first1= Thomas R.|title= New maximal prime gaps and first occurrences|doi= 10.1090/S0025-5718-99-01065-0|mr= 1627813|journal= Mathematics of Computation|date= 1999|volume= 68|issue= 227|pages= 1311–1315|url= http://www.trnicely.net/gaps/gaps.html}}
* {{citat|last1= Nyman|first1= Bertil|title= On the One-Dimensional Translation Group and Semi-Group in Certain Function Spaces|publisher= Univerza v Uppsali|location= Univerza v Uppsali|series= PhD Thesis|mr= 0036444|date= 1950}}
* {{citat|last1= Odlyzko|first1= Andrew Michael|authorlink1= Andrew Michael Odlyzko|last2= te Riele|first2= Herman J. J.|authorlink2= Herman te Riele|title= Disproof of the Mertens conjecture|url= http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262633|mr= 783538|date= 1985|journal= [[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]|volume= 357|issue= 357|pages= 138–160|doi= 10.1515/crll.1985.357.138}}
* {{citat|last1= Odlyzko|first1= Andrew Michael|authorlink1= |title= On the distribution of spacings between zeros of the zeta function|jstor= 2007890|mr= 866115|date= 1987|journal= Mathematics of Computation|volume= 48|issue= 177|pages= 273–308|doi= 10.2307/2007890}}
* {{citat|last1= Odlyzko|first1= Andrew Michael|authorlink1= |title= Bounds for discriminants and related estimates for class numbers, regulators and zeros of zeta functions: a survey of recent results|url= http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1990__2_1_119_0|mr= 1061762|date= 1990|journal= Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux|series= Série 2|volume= 2|issue= 1|pages= 119–141|doi= 10.5802/jtnb.22}}
* {{citat|last1= Odlyzko|first1= Andrew Michael|authorlink1= |title= The 10<sup>20</sup>-th zero of the Riemann zeta function and 175 million of its neighbors|date= 1992|url= http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/unpublished/zeta.10to20.1992.pdf}} Ta neobjavljena knjiga opisuje implementacijo algoritma in podrobno obravnava rezultate.
* {{citat|last1= Odlyzko|first1= Andrew Michael|authorlink1= |title= The 10<sup>21</sup>st zero of the Riemann zeta function|date= 1998|url= http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/unpublished/zeta.10to21.pdf}}
* {{citat|last1= Odlyzko|first1= Andrew Michael|authorlink1= |title= An improved bound for the de Bruijn-Newman constant|journal= Numerical Algorithms|date= 2000|volume= 25|issue= 1|pages= 293–303}}
* {{citat|last1= Ono|first1= Ken|authorlink1= Ken Ono|last2= Soundararajan|first2= Kannan|authorlink2= Kannan Soundararajan|date= 1997|title= Ramanujan's ternary quadratic form|journal= [[Inventiones Mathematicae]]|volume= 130|issue= 3|pages= 415–454|doi= 10.1007/s002220050191|url= http://www.mathcs.emory.edu/~ono/publications-cv/pdfs/025.pdf|accessdate= 2015-06-26|archive-date= 2015-09-15|archive-url= https://web.archive.org/web/20150915212626/http://www.mathcs.emory.edu/~ono/publications-cv/pdfs/025.pdf|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Patterson|first1= S. J.|title= An introduction to the theory of the Riemann zeta-function|publisher= Cambridge University Press|series= Cambridge Studies in Advanced Mathematics|isbn= 978-0-521-33535-5|mr= 933558|date= 1988|volume= 14}}
* {{citat|last1= Radziejewski|first1 = Maciej|doi= 10.1090/S0002-9947-06-04078-5|issue= 5|journal= Transactions of the American Mathematical Society|mr= 2276625|pages = 2383–2394|quote= Obstaja neskončno mnogo neizomorfnih obsegov algebrskih števil katerih Dedekindove funkcije ζ imajo neskončno mnogo netrivialnih mnogokratnih ničel.|title= Independence of Hecke zeta functions of finite order over normal fields|volume= 359|date= 2007}}
* {{citat|last1= Ramanudžan|first1= Srinivasa Ajangar|authorlink1= Srinivasa Ajangar Ramanudžan|title= Highly composite numbers, annotated by [[Jean-Louis Nicolas]] and [[Guy Robin]]|doi= 10.1023/A:1009764017495|mr= 1606180|date= 1997|journal= The Ramanujan Journal|issn= 1382-4090|volume= 1|issue= 2|pages= 119–153}}
* {{citat|last1= Ribenboim|first1= Paulo|authorlink1 = Paulo Ribenboim|title= The New Book of Prime Number Records|publisher= [[Springer Science+Business Media|Springer]]|location= New York|date= 1996|isbn= 0-387-94457-5}}
* {{citat|last1= Riemann|first1= Bernhard|authorlink1= Bernhard Riemann|url= http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/|title= {{sic|hide=y|Ueber}} die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen {{sic|hide=y|Grösse}}|date= 1859|journal= Monatsberichte der Berliner Akademie}}. V ''Gesammelte Werke'', Teubner, Leipzig (1892), ponatisnjeno Dover, New York (1953). [http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/1859_manuscript/ Izvirni rokopis] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130523061451/http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/1859_manuscript/ |date=2013-05-23 }} (z angleškim prevodom). Ponatisnjeno v {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}} in {{harv|Edwards|1974}}
* {{citat|last1= Riesel|first1= Hans|authorlink1= Hans Riesel|last2= Göhl|first2= Gunnar|title= Some calculations related to Riemann's prime number formula|doi= 10.2307/2004630|mr= 0277489|date= 1970|journal= Mathematics of Computation|volume= 24|issue= 112|pages= 969–983|jstor= 2004630}}
* {{citat|last1= Riesz|first1= Marcel|authorlink1= Marcel Riesz|title= Sur l'hypothèse de Riemann|journal= Acta Mathematica|date= 1916|volume= 40|pages= 185–190|doi= 10.1007/BF02418544}}
* {{citat|last1= Robin|first1= Guy|authorlink1= Guy Robin|title= Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann|mr= 774171|date= 1984|journal= [[Journal de Mathématiques Pures et Appliquées]]|series= Neuvième Série|volume= 63|issue= 2|pages= 187–213}}
* {{citat|last1= Rockmore|first1= Dan|title= Stalking the Riemann hypothesis|publisher= Pantheon Books|isbn= 978-0-375-42136-5|mr= 2269393|date= 2005}}
* {{citat|last1= Rosser|first1= John Barkley|authorlink1= John Barkley Rosser|last2= Yohe|first2= J. M.|last3= Schoenfeld|first3= Lowell|authorlink3= Lowell Schoenfeld|title= Information Processing 68 (Proc. IFIP Congress, Edinburgh, 1968), Vol. 1: Mathematics, Software|publisher= North-Holland|location= Amsterdam|mr= 0258245|date= 1969|chapter= Rigorous computation and the zeros of the Riemann zeta-function. (With discussion)|pages= 70–76}}
* {{citat|last1= Rudin|first1= Walter|authorlink1= Walter Rudin|title= Functional Analysis, 1st edition (January 1973)|publisher= [[McGraw-Hill]]|location= New York|date= 1973|isbn= 0-070-54225-2}}
* {{citat|last1= Sabbagh|first1= Karl|authorlink1= Karl Sabbagh|title= The Riemann hypothesis|publisher= Farrar, Straus and Giroux|location= New York|isbn= 978-0-374-25007-2|mr= 1979664|date= 2003a}}
* {{citat|last1= Sabbagh|first1= Karl|authorlink1= |title= Dr. Riemann's zeros|publisher= Atlantic Books|location= London|isbn= 978-1-843-54101-1|date= 2003b|url= http://books.google.com/?id=JesSAQAAMAAJ}}
* {{citat|last1= Salem|first1= Raphaël|authorlink1= Raphaël Salem|title= Sur une proposition équivalente à l'hypothèse de Riemann|mr= 0053148|date= 1953|journal= [[Les Comptes rendus de l'Académie des sciences]]|volume= 236|pages= 1127–1128}}
* {{citat|last1= Sarnak|first1= Peter|authorlink1= Peter Sarnak|url= http://www.claymath.org/sites/default/files/sarnak_rh_0.pdf|format= PDF|chapter= Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis|pages= 107–115|isbn= 978-0-387-72125-5|editor1-last= Borwein|title= The Riemann Hypothesis: A Resource for the {{sic|Af|ficionado|hide=y}} and Virtuoso Alike|series= CMS Books in Mathematics|publisher= Springer|location= New York|date= 2008|editor1-first= Peter|editor2-first= Stephen|editor2-last= Choi|editor3-first= Brendan|editor3-last= Rooney|editor4-first= Andrea|editor4-last= Weirathmueller|display-editors= etal|accessdate= 2015-06-26|archive-date= 2016-04-13|archive-url= https://web.archive.org/web/20160413060551/http://www.claymath.org/sites/default/files/sarnak_rh_0.pdf|url-status= dead}}
* {{citat|last1= du Sautoy|first1= Marcus|authorlink1= Marcus du Sautoy|title= The music of the primes|publisher= HarperCollins Publishers|isbn= 978-0-06-621070-4|mr= 2060134|date= 2003}}
* {{citat|last1= Schoenfeld|first1= Lowell|authorlink1= Lowell Schoenfeld|title= Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II|doi= 10.2307/2005976|mr= 0457374|date= 1976|journal= Mathematics of Computation|volume= 30|issue= 134|pages= 337–360|jstor= 2005976}}
* {{navedi arXiv|last1= Schumayer|first1= Daniel|last2= Hutchinson|first2= David A. W.|title= Physics of the Riemann Hypothesis|date= 2011|arxiv= 1101.3116|class= math-ph}}
* {{citat|last1= Selberg|first1= Atle|authorlink1= Atle Selberg|title= On the zeros of Riemann's zeta-function|journal= Skr. Norske Vid. Akad. Oslo I.|date= 1942|volume= 10|pages= 59 pp|mr= 0010712}}
* {{citat|last1= Selberg|first1= Atle|authorlink1= |title= Contributions to the theory of the Riemann zeta-function|mr= 0020594|date= 1946|journal= Arch. Math. Naturvid.|volume= 48|issue= 5|pages= 89–155}}
* {{citat|last1= Selberg|first1= Atle|authorlink1= |title= Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series|mr= 0088511|date= 1956|journal= J. Indian Math. Soc. (N.S.)|volume= 20|pages= 47–87}}
* {{citat|last1= Serre|first1= Jean-Pierre|authorlink1= Jean-Pierre Serre|title= Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (définitions et conjectures)|journal= Séminaire Delange-Pisot-Poitou|date= 1969–1970|volume= 19|url= https://eudml.org/doc/110758}}
* {{citat|last1= Sheats|first1= Jeffrey T.|title= The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for '''F'''<sub>q</sub>[T]|doi= 10.1006/jnth.1998.2232|mr= 1630979|journal= [[Journal of Number Theory|J. Number Theory]]|date= 1998|volume= 71|issue= 1|pages= 121–157}}
* {{citat|last1= Siegel|first1= Carl Ludwig|authorlink1= Carl Ludwig Siegel|title= Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie|journal= Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2|pages= 45–80|date= 1932}} Ponatisnjeno v Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
* {{citat|last1= Speiser|first1= Andreas|authorlink1= Andreas Speiser|title= Geometrisches zur Riemannschen Zetafunktion|date= 1934|journal= [[Mathematische Annalen]]|volume= 110|pages= 514–521|doi= 10.1007/BF01448042|jfm= 60.0272.04|url= http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0110&DMDID=DMDLOG_0032&L=1|accessdate= 2015-06-26|archive-date= 2015-06-27|archive-url= https://web.archive.org/web/20150627115412/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0110&DMDID=DMDLOG_0032&L=1|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Spira|first1= Robert|journal= [[Mathematics of Computation]]|mr= 0228456|pages= 163–173|title= Zeros of sections of the zeta function. II|volume= 22|date= 1968|doi= 10.2307/2004774}}
* {{citat|last1= Suzuki|first1= Masatoši|title= Positivity of certain functions associated with analysis on elliptic surfaces|journal= [[Journal of Number Theory|J. Number Theory]]|date= 2011|volume= 131|issue= 10|pages= 1770–1796|doi= 10.1016/j.jnt.2011.03.007}}
* {{citat|last1= Titchmarsh|first1= Edward Charles|authorlink1= Edward Charles Titchmarsh|title= The Zeros of the Riemann Zeta-Function|jstor= 96545|publisher= Kraljeva družba|date= 1935|journal= Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences|volume= 151|issue= 873|pages= 234–255|doi= 10.1098/rspa.1935.0146}}
* {{citat|last1= Titchmarsh|first1= Edward Charles|authorlink1= |title= The Zeros of the Riemann Zeta-Function|jstor= 96692|publisher= Kraljeva družba|date= 1936|journal= Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences|volume= 157|issue= 891|pages= 261–263|doi= 10.1098/rspa.1936.0192}}
* {{citat|last1= Titchmarsh|first1= Edward Charles|authorlink1= |title= The theory of the Riemann zeta-function|publisher= The Clarendon Press Oxford University Press|edition= 2.|isbn= 978-0-19-853369-6|mr= 882550|date= 1986}}
* {{citat|last1= Trudgian|first1= Timothy|title= On the success and failure of Gram's Law and the Rosser Rule|date= 2011|journal= Acta Arithmetica|volume= 125|issue= 3|pages= 225–256|doi= 10.4064/aa148-3-2}}
* {{citat|last1= Turán|first1= Paul|authorlink1= Pál Turán|title= On some approximative Dirichlet-polynomials in the theory of the zeta-function of Riemann|mr= 0027305|date= 1948|journal= Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd.|volume= 24|issue= 17|pages= 36}} Ponatisnjeno v {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{citat|last1= Turing|first1= Alan Mathison|authorlink1= Alan Turing|title= Some calculations of the Riemann zeta-function|doi= 10.1112/plms/s3-3.1.99|mr= 0055785|date= 1953|journal= [[Proceedings of the London Mathematical Society|Proc. London Math. Soc.]]. Third Series|volume= 3|issue= 1|pages= 99–117}}
* {{citat|last1= La Vallée Poussin|first1= Charles-Jean de|authorlink1= Charles-Jean de La Vallée Poussin|title= Recherches analytiques sur la théorie des nombers premiers|journal= Ann. Soc. Sci. Bruxelles|volume= 20|date= 1896|pages= 183–256}}
* {{citat|last1= La Vallée Poussin|first1= Charles-Jean de|authorlink1= |title= Sur la fonction ζ(s) de Riemann et la nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée|journal= Mem. Couronnes Acad. Sci. Belg.|volume= 59|issue= 1|date= 1899–1900}} Ponatisnjeno v {{harv|Borwein|Choi|Rooney|Weirathmueller|2008}}.
* {{citat|last1= Volčkov|first1= V. V.|title= On an equality equivalent to the Riemann hypothesis|journal= Ukrainian Mathematical Journal|date= marec 1995|volume= 47|issue= 3|pages= 491–493|doi= 10.1007/BF01056314}}
* {{citat|last1= Weil|first1= André|authorlink1= André Weil|title= Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduisent|publisher= Hermann et Cie., Paris|series= Actualités Sci. Ind., no. 1041 = Publ. Inst. Math. Univ. Strasbourg 7 (1945)|mr= 0027151|date= 1948}}
* {{citat|last1= Weil|first1= André|authorlink1= |title= Numbers of solutions of equations in finite fields|doi= 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4|mr= 0029393|date= 1949|journal= [[Bulletin of the American Mathematical Society]]|volume= 55|pages= 497–508|issue= 5}} Ponatisnjeno v in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by Andre Weil ISBN 0-387-90330-5
* {{citat|last1= Weinberger|first1= Peter Jay|authorlink1= Peter Jay Weinberger|title= Analytic number theory ( St. Louis Univ., 1972)|publisher= Ameriško matematično društvo|location= Providence, R.I.|series= Proc. Sympos. Pure Math.|mr= 0337902|date= 1973|volume= 24|chapter= On Euclidean rings of algebraic integers|pages= 321–332}}
* {{citat|last1= Wiles|first1= Andrew|authorlink1= Andrew Wiles|title= Mathematics: frontiers and perspectives|publisher= Ameriško matematično društvo|location= Providence, R.I.|isbn= 978-0-8218-2697-3|mr= 1754786|date= 2000|chapter= Twenty years of number theory|pages= 329–342}}
* {{navedi arXiv|last1= Wolf|first1= Marek|authorlink1= Marek Wolf|title= Failed attempt to disproof the Riemann Hypothesis|date= 2009-10-08|arxiv= 0910.1534|class= math.NT}}
* {{navedi arXiv|last1= Wolf|first1= Marek|authorlink1= |title= Will a physicists prove the Riemann Hypothesis?|date= 2014-10-09|arxiv= 1410.1214|class= math-ph}}
* {{citat|last1= Zagier|first1= Don|authorlink1= Don Zagier|url= http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/misc/zagier-the_first_50_million_prime_numbers.pdf|format= PDF|publisher= Springer|location= |mr= 643810|date= 1977|volume= 0|title= The first 50 million prime numbers|pages= 7–19|journal= Math. Intelligencer|doi= 10.1007/BF03039306|accessdate= 2015-06-26|archive-date= 2009-03-27|archive-url= https://web.archive.org/web/20090327181245/http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/misc/zagier-the_first_50_million_prime_numbers.pdf|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Zagier|first1= Don|authorlink1= |title= Automorphic forms, representation theory and arithmetic (Bombay, 1979)|publisher= Tata Inst. Fundamental Res., Bombay|series= Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math.|mr= 633666|date= 1981|volume= 10|chapter= Eisenstein series and the Riemann zeta function|pages= 275–301}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==

{{wikinavedek}}
* [[Ameriški matematični inštitut]], [http://www.aimath.org/WWN/rh/ Riemann hypothesis] {{ikona en}}
* {{citat|last1= Apostol|first1= Tom Mike|authorlink1= Tom Mike Apostol|url= http://www.math.wisc.edu/~robbin/funnysongs.html#Zeta|title=Where are the zeros of zeta of s?|language= en}} Pesem o Riemannovi domnevi, [http://www.olimu.com/RIEMANN/Song.htm avtor] [[John Derbyshire]].
* {{citat|last1= Borwein|first1= Peter|authorlink1= Peter Borwein|title= The Riemann Hypothesis|url= http://oldweb.cecm.sfu.ca/~pborwein/COURSE/MATH08/LECTURE.pdf|format= PDF|language= en|accessdate= 2015-06-26|archive-date= 2009-03-27|archive-url= https://web.archive.org/web/20090327181245/http://oldweb.cecm.sfu.ca/~pborwein/COURSE/MATH08/LECTURE.pdf|url-status= dead}} (diapozitivi za predavanje)
* {{citat|last1= Conrad|first1= K.|title= Consequences of the Riemann hypothesis|url= http://mathoverflow.net/questions/17232|year= 2010|language= en}}
* {{citat|last1= Conrey|first1= J. Brian|last2= Farmer|first2= David W.|title= Equivalences to the Riemann hypothesis|url= http://aimath.org/pl/rhequivalences|language= en|accessdate= 2015-06-26|archive-date= 2010-03-16|archive-url= https://web.archive.org/web/20100316235054/http://aimath.org/pl/rhequivalences|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Gourdon|first1= Xavier|first2= Pascal|last2= Sebah|url= http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeroscompute.html|title= Computation of zeros of the Zeta function|year= 2004|language= en}} (Pregledi domneve GUE, priložena je tudi obsežna bibliografija).
* {{citat|last1= Odlyzko|first1= Andrew Michael|authorlink1= Andrew Michael Odlyzko|url= http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/|title= Home page|language= en}} vključno s [http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/zeta.html članki o ničlan funkcije zeta] in [http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/index.html razpredelnicami ničel funkcije zeta]
* {{citat|last1= Odlyzko|first1= Andrew Michael|authorlink1= |title= Zeros of the Riemann zeta function: Conjectures and computations|year= 2002|url= http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/talks/riemann-conjectures.pdf|format= PDF|language= en}} Diapozitivi predavanja
* {{citat|last1= Pegg|first1= Ed|authorlink1= Ed Pegg|url= http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_10_18_04.html|title= Ten Trillion Zeta Zeros|year= 2004|publisher= Math Games website|language= en|accessdate= 2015-06-26|archive-date= 2004-11-02|archive-url= https://web.archive.org/web/20041102173644/http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_10_18_04.html|url-status= dead}}. razprava o izračunu Xavierja Gourdona prvih deset bilijonov netrivialnih ničel
* {{citat|last1= Pugh|first1= Glen|url= http://web.viu.ca/pughg/RiemannZeta/RiemannZetaLong.html|title= The Riemann Hypothesis in a Nutshell, Java applet for plotting Z(t)|language= en|accessdate= 2015-06-26|archive-date= 2015-06-30|archive-url= https://web.archive.org/web/20150630024946/https://web.viu.ca/pughg/RiemannZeta/RiemannZetaLong.html|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Rubinstein|first1= Michael|url= http://pmmac03.math.uwaterloo.ca/~mrubinst/l_function_public/L.html|title= algorithm for generating the zeros|language= en|accessdate= 2015-06-26|archive-date= 2007-04-27|archive-url= https://web.archive.org/web/20070427221654/http://pmmac03.math.uwaterloo.ca/~mrubinst/l_function_public/L.html|url-status= dead}}
* {{citat|last1= du Sautoy|first1= Marcus|authorlink1= Marcus du Sautoy|url= http://www.seedmagazine.com/news/2006/03/prime_numbers_get_hitched.php|title= Prime Numbers Get Hitched|publisher= Seed Magazine|year= 2006|language= en|accessdate= 2015-06-26|archive-date= 2017-09-22|archive-url= https://web.archive.org/web/20170922145127/http://seedmagazine.com/content/article/prime_numbers_get_hitched/|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Stein|first1= William Arthur|authorlink1= William Arthur Stein|url= http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/index.html|title= What is Riemann's hypothesis|language= en|accessdate= 2015-06-26|archive-date= 2009-01-04|archive-url= https://web.archive.org/web/20090104104251/http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/index.html|url-status= dead}}
* {{citat|last1= de Vries|first1= Andreas|url= http://math-it.org/Mathematik/Riemann/RiemannApplet.html|title= The Graph of the Riemann Zeta function ζ(s)|year= 2004|language= en}}, preprosti animirani Java applet.
* {{citat|last1= Watkins|first1= Matthew R.|url= http://secamlocal.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/RHproofs.htm|title= Proposed proofs of the Riemann Hypothesis|date= 2007-07-18|language= en}}{{Slepa povezava|date=oktober 2022 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* ''[http://www.zetagrid.net/ Zetagrid]'' (2002) Distribuirani računalniški projekt, ki je poskušal ovreči Riemannovo domnevo; zaključen novembra 2005 {{ikona en}}

{{-}}

{{L-funkcije}}

{{normativna kontrola}}
{{zvezdica}}
[[Kategorija:Funkcije zeta in L-funkcije]]
[[Kategorija:Matematične domneve]]
[[Kategorija:Hilbertovi problemi]]
[[Kategorija:Nerešeni matematični problemi]]
[[Kategorija:Problemi tisočletne nagrade]]
[[Kategorija:Analitična teorija števil]]
[[Kategorija:Bernhard Riemann]]
[[Kategorija:1859 v znanosti]]