Ogled vira Rombiikozidodekaeder


{| class=wikitable width=320 style="float:right;margin-left:1em"
! style="background-color:#e7dcc3;" colspan=2 | {{PAGENAME}}
|-
| style="text-align:center;" colspan=2 | [[slika:Rhombicosidodecahedron.jpg|250px]] <br /> [[:slika:Rhombicosidodecahedron.gif|(animacija)]]
|-
| style="background-color:#e7dcc3;" width=105| vrsta || [[arhimedsko telo]] <br /> [[uniformni polieder]]
|-
| style="background-color:#e7dcc3;" | [[Eulerjeva karakteristika|elementi]] || ''F'' = 62, ''E'' = 120, <br /> ''V'' = 60 (χ = 2)
|-
| style="background-color:#e7dcc3;" | [[stranska ploskev|stranske ploskve]] na stran || 20{[[enakostranični trikotnik|3]]} + 30{[[kvadrat (geometrija)|4]]} + 12{[[petkotnik|5]]}
|-
| style="background-color:#e7dcc3;" | [[Conwayjeva notacija poliedrov|Conwayjev zapis]] || eD ali aaD
|-
| rowspan=2 style="background-color:#e7dcc3" | [[Schläflijev simbol|Schläflijevi simboli]] || rr{5,3} ali <math>r\begin{Bmatrix} 5 \\ 3 \end{Bmatrix}</math>
|-
|| t<sub>0,2</sub>{5,3}
|-
| style="background-color:#e7dcc3;" | [[Wythoffov simbol]] || 3 5 &#124; 2
|-
| style="background-color:#e7dcc3;" | [[Coxeter-Dinkinov diagram]] || {{CDD|node_1|5|node|3|node_1}}
|-
| style="background-color:#e7dcc3;" | [[seznam grup sferne simetrije|simetrija]] || [[ikozaedrska simetrija|I<sub>h</sub>]], H<sub>3</sub>, [5,3], (*532), red 120
|-
| style="background-color:#e7dcc3;" | [[točkovne grupe v treh razsežnostih|vrtilna grupa]] || [[ikozaedrska simetrija|I]], [5,3]<sup>+</sup>, (532), red 60
|-
| style="background-color:#e7dcc3;" | [[diedrski kot]] || 3-4: 159°05′41″ (159,09°) <br /> 4-5: 148°16′57″ (148,28°)
|-
| style="background-color:#e7dcc3;" |[[uniformni polieder|sklici]] || [[uniformni polieder|U]]<sub>27</sub>, [[Harold Scott MacDonald Coxeter|C]]<sub>30</sub>, [[seznam modelov Wenningerjevih poliedrov|W]]<sub>14</sub>
|-
| style="background-color:#e7dcc3;" | značilnosti || [[konveksni polieder|konveksen]] <br /> [[polpravilni polieder|polpravilen]] 
|-
| style="text-align:center;" | [[slika:Small rhombicosidodecahedron.png|120px]] <br /> obarvane stranske ploskve
| style="vertical-align:top;text-align:center;" | [[slika:Small rhombicosidodecahedron vertfig.png|140px]] <br /> 3.4.5.4 <br /> ([[slika oglišč]])
|-
| style="vertical-align:top;text-align:center;" | [[slika:Deltoidalhexecontahedron.jpg|120px]] <br /> [[deltoidni heksekontaeder]] <br /> ([[dualni polieder]])
| style="text-align:center;" | [[slika:Rhombicosidodecahedron flat.png|140px]] <br /> [[mreža telesa]]
|}
'''Rombiikozidodekaeder''' ali '''mali rombiikozidodekaeder''' je v [[geometrija|geometriji]] [[konveksni polieder|konveksni]] [[polieder]]. Je [[arhimedsko telo]], eno od trinajstih konveksnih [[izogonalna oblika|izogonalnih]] [[prizma|neprizmatičnih]] [[geometrijsko telo|teles]] skonstruirano z dvema ali več vrstami [[pravilni mnogokotnik|pravilnih mnogokotniških]] [[stranska ploskev|stranskih ploskev]].

Ima [[62 (število)|dvainšestdeset]] pravilnih stranskih ploskev, od tega dvajset [[enakostranični trikotnik|enakostraničnotrikotniških]], trideset [[kvadrat (geometrija)|kvadratnih]] in dvanajst [[petkotnik|petkotniških]], ter 120 [[rob (geometrija)|rob]]ov in 60 [[oglišče|oglišč]].

Ime 'rombiikozidodekaeder' se nanaša na dejstvo, da 30 kvadratnih ploskev leži v istih [[ravnina]]h kot 30 ploskev [[rombski triakontaeder|rombskega triakontaedra]] (rombitriakontaedra), ki je [[dualni polieder|dual]] [[ikozidodekaeder|ikozidodekaedra]].

Lahko se imenuje tudi ''[[razširitev (geometrija)|razširjeni]]'' ali ''[[kantelacija (geometrija)|kantelirani]]'' dodekaeder ali ikozaeder iz operacij [[prisekanost (geometrija)|prisekavanja]] na [[uniformni polieder]].

== Geometrijski odnosi ==

Če se razširi [[ikozaeder]] s pravšnjim premikanjem stranskih ploskev stran od [[koordinatno izhodišče|izhodišča]] brez spreminjanja usmerjenosti ali velikost stranskih ploskev, in enako za njegov dual [[dodekaeder]], ter se zapolnijo nastale kvadratne luknje, se dobi rombiikozidodekaeder. Zaradi tega ima enako število [[trikotnik]]ov kot ikozaeder (20) in enako število petkotnikov kot dodekaeder (12), s kvadratom za vsak rob obeh likov.

Rombiikozidodekaeder ima skupno [[razvrstitev oglišč]] z [[mali zvezdni prisekan dodekaeder|malim zvezdnim prisekanim dodekaedrom]] in [[poliedrski sestav#Uniformni sestavi|uniformnimi sestavi]] šestih ali dvanajstih [[pentagramska prizma|pentagramskih prizem]].

Orodja [[Zometool]] za izdelavo [[geodetska kupola|geodetskih kupol]] in drugih poliedrov kot povezave uporablja preluknjane kroglice. Kroglice so »razširjeni« rombiikozidodekaedri, kjer so namesto kvadratov pravokotniki. Razširjanje je izbrano tako, da so nastali pravokotniki [[zlati pravokotnik|zlati]].

Dvanajst od 92 [[Johnsonovo telo|Johnsonovih teles]] je izvedeno iz rombiikozidodekaedra, štiri z [[vrtenje|zasukom]] ene ali več [[petstrana kupola|petstranih kupol]]: [[girorombiikozidodekaeder]], [[para dvojni girorombiikozidodekaeder|paradvojni]], [[meta dvojni girorombiikozidodekaeder|metadvojni]] in [[trojni girorombiikozidodekaeder]]. Osem drugih se lahko skonstruira z odstanitvijo do treh [[kupola (geometrija)|kupol]], včasih tudi z zasukom ene ali več drugih kupol.

== Kartezične koordinate ==

[[kartezični koordinatni sistem|Kartezične koordinate]] 60 oglišč rombiikozidodekaedra s središčem v [[koordinatno izhodišče|izhodišču]] z dolžino robu enako 2 so vse [[parnost permutacije|sode permutacije]]:<ref>{{mathworld|id=IcosahedralGroup|title=Icosahedral group}}</ref>
: <math> ( \pm 1, \pm 1, \pm \Phi^{3} \!\, , </math>
: <math> ( \pm \Phi^{2}, \pm \Phi, \pm 2\Phi) \!\, , </math>
: <math> ( \pm (2 + \Phi), 0, \pm \Phi^{2}) \!\, , </math>
kjer je: <math> \Phi= \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\, </math> [[število zlatega reza]].

== Površina in prostornina ==

[[Površina]] ''P'' in [[prostornina]] ''V'' rombiikozidodekaedra z dolžino roba ''a'' sta:

: <math> P = \left( 30+5\sqrt{3}+3\sqrt{25+10\sqrt{5}} \right) a^{2} \approx 59,30598284 a^{2} \!\, , </math>
: <math> V = \frac{1}{3} \left( 60+29\sqrt{5} \right) a^{3} \approx 41,61532378 a^{3} \!\, . </math>

== Pravokotne projekcije ==

Rombiikozidodekaeder ima pet posebnih [[pravokotna projekcija|pravokotnih projekcij]] usrediščenih na oglišče, dve vrsti robov in tri vrste stranskih ploskev (enakostranični trikotniki, kvadrati in petkotniki). Zadnji dve odgovarjata [[Coxeterjev element#Coxeterjeva ravnina|Coxeterjevima ravninama]] A<sub>2</sub> in H<sub>2</sub>.
{|class=wikitable width=640
|+ [[projekcija (linearna algebra)#Pravokotna projekcija|Pravokotne projekcije]]
|-
! usrediščeno na
! [[oglišče]]
! [[rob (geometrija)|rob]] <br /> 3-4
! rob <br /> 5-4
! [[stranska ploskev|stransko ploskev]] – <br /> [[kvadrat (geometrija)|kvadrat]]
! stransko ploskev – <br /> [[enakostranični trikotnik]]
! stransko ploskev – <br /> [[petkotnik]]
|-
! slika
| [[slika:Dodecahedron t02 v.png|100px]]
| [[slika:Dodecahedron t02 e34.png|100px]]
| [[slika:Dodecahedron t02 e45.png|100px]]
| [[slika:Dodecahedron t02 f4.png|100px]]
| [[slika:Dodecahedron t02 A2.png|100px]]
| [[slika:Dodecahedron t02 H3.png|100px]]
|- align=center
! projektivna <br /> simetrija
| [2]
| [2]
| [2]
| [2]
| [6]
| [10]
|-
! [[deltoidni heksekontaeder|deltoidni <br /> heksekontaeder]]
| [[slika:Dual dodecahedron t02 v.png|100px]]
| [[slika:Dual dodecahedron t02 e34.png|100px]]
| [[slika:Dual dodecahedron t02 e45.png|100px]]
| [[slika:Dual dodecahedron t02 f4.png|100px]]
| [[slika:Dual dodecahedron t02 A2.png|100px]]
| [[slika:Dual dodecahedron t02 H3.png|100px]]
|}

== Sferno tlakovanje ==

Rombiikozidodekaeder se lahko predstavi tudi kot [[sferna teselacija|sferno tlakovanje]] in projicira na ravnino s [[stereografska projekcija|stereografsko projekcijo]]. Ta projekcija je [[konformna preslikava|konformna]] in ohranja [[kot]]e ne pa tudi [[ploščina|ploščin]] ali [[dolžina|dolžin]]. [[premica|Premice]] na [[sfera|sferi]] se projicirajo kot [[krožni lok]]i na ravnino.
{|class=wikitable
|- align=center valign=top
| [[slika:Uniform tiling 532-t02.png|160px]]
| [[slika:rhombicosidodecahedron stereographic projection pentagon'.png|160px]]<br />usrediščeno na [[petkotnik]]
| [[slika:rhombicosidodecahedron stereographic projection triangle.png|160px]]<br />usrediščeno na [[enakostranični trikotnik]]
| [[slika:rhombicosidodecahedron stereographic projection square.png|160px]]<br />usrediščeno na [[kvadrat (geometrija)|kvadrat]]
|-
! [[ortografska projekcija]]
! colspan=3|[[stereografska projekcija|stereografske projekcije]]
|}

== Sorodni poliedri in tlakovanja ==
[[slika:P4-A11-P5.gif|thumb|[[razširitev (geometrija)|Razširjenje]] tako [[dodekaeder|dodekaedra]] ali [[ikozaeder|ikozaedra]] da rombiikozidodekaeder.]]
{{ikozaedrska prisekavanja}}

=== Spremembe simetrije ===

Ta polieder je [[topologija|topolško]] povezan z nizom [[kantelacija (geometrija)|kanteliranih]] poliedrov s [[slika oglišč|sliko oglišč]] (3.4.n.4), ki se nadaljuje kot [[teselacija|tlakovanje]] [[hiperbolični prostor|hiperbolične ravnine]]. Te [[izogonalna oblika|ogliščno prehodne oblike]] imajo zrcalno [[notacija orbifold|simetrijo]] (*n32).

{{mala tabela razširjenih tlakovanj}}

=== Johnsonova telesa ===

Obstaja 13 sorodnih [[Johnsonovo telo|Johnsonovih teles]], 5 z zmanjšanjem in 8, ki vključujejo giracije:
{| class=wikitable
|+ Zmanjšani
|- align=center
| [[petstrana kupola|J5]]<br />[[slika:Pentagonal cupola.png|100px]]
| [[izginjajoč rombiikozidodekaeder|76]]<br />[[slika:Diminished rhombicosidodecahedron.png|100px]]
| [[para dvojno izginjajoč rombiikozidodekaeder|80]]<br />[[slika:Parabidiminished rhombicosidodecahedron.png|100px]]
| [[meta dvojno izginjajoč rombiikozidodekaeder|81]]<br />[[slika:Metabidiminished rhombicosidodecahedron.png|100px]]
| [[Trojno izginjajoč rombiikozidodekaeder|83]]<br />[[slika:Tridiminished rhombicosidodecahedron.png|100px]]
|}
{| class=wikitable
|+ Girirani in/ali zmanjšani
|- align=center
| [[girorombiikozidodekaeder|72]]<br />[[slika:Gyrate rhombicosidodecahedron.png|100px]]
| [[para dvojni girorombiikozidodekaeder|73]]<br />[[slika:Parabigyrate rhombicosidodecahedron.png|100px]]
| [[meta dvojni girorombiikozidodekaeder|74]]<br />[[slika:Metabigyrate rhombicosidodecahedron.png|100px]]
| [[trojni girorombiikozidodekaeder|75]]<br />[[slika:Trigyrate rhombicosidodecahedron.png|100px]]
|- align=center
| [[para giro izginjajoč rombiikozidodekaeder|77]]<br />[[slika:Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron.png|100px]]
| [[meta giro izginjajoč rombiikozidodekaeder|78]]<br />[[slika:Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron.png|100px]]
| [[dvojno giro izginjajoči rombiikozidodekaeder|79]]<br />[[slika:Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron.png|100px]]
| [[giro dvojno izginjajoč rombiikozidodekaeder|82]]<br />[[slika:Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron.png|100px]]
|}

=== Razvrstitev oglišč ===

Rombiikozidodekaeder ima skupno [[razvrstitev oglišč]] s tremi [[nekonveksni uniformni polieder|nekonveksnimi uniformnimi poliedri]]: [[mali zvezdni prisekan dodekaeder|malim zvezdnim prisekanim dodekaedrom]], [[mali dodeciikozidodekaeder|malim dodeciikozidodekaedrom]] (skupne so trikotniške in petkotniške stranske ploskve) in [[mali rombidodekaeder|malim rombidodekaedrom]] (skupne so kvadratne stranske ploskve).

Ima tudi skupno razvrstitev oglišč z [[poliedrski sestav#Uniformni sestavi|uniformnimi sestavi]] [[sestav šestih pentagramskih prizem|šestih]] ali [[sestav dvanajstih pentagramskih prizem|dvanajstih pentagramskih prizem]].

{|class="wikitable" style="width:400px; vertical-align:top; text-align:center;"
|-
| [[slika:Small rhombicosidodecahedron.png|100px]]<br />rombiikozidodekaeder
| [[slika:Small dodecicosidodecahedron.png|100px]]<br />[[mali dodeciikozidodekaeder]]
| [[slika:Small rhombidodecahedron.png|100px]]<br />[[mali rombidodekaeder]]
|-
| [[slika:Small stellated truncated dodecahedron.png|100px]]<br />[[mali zvezdni prisekan dodekaeder|mali zvezdni prisekani dodekaeder]]
| [[slika:UC36-6 pentagrammic prisms.png|100px]]<br />[[sestav šestih pentagramskih prizem]]
| [[slika:UC37-12 pentagrammic prisms.png|100px]]<br />[[sestav dvanajstih pentagramskih prizem]]
|}

== Glej tudi ==

* [[rombiikozidodekaedrski graf]]
* [[prisekani rombiikozidodekaeder]]

== Sklici ==

{{sklici|1}}

== Viri ==

* {{citat|last1= Cromwell|first1= Peter Richard|authorlink1= Peter Richard Cromwell|title= Polyhedra|date= 1997|publisher= Cambridge University Press|location= Cambridge, New York|pages=79-86|chapter= Archimedean solids|isbn=0-521-55432-2|cobiss= 6472537}}
* {{citat|last1= Williams|first1= Robert Edward|authorlink1= Robert Edward Williams|title= The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design|date= 1979|publisher= Dover Publications, Inc|location= |isbn= 0-486-23729-X|chapter= Section 3-9}}

== Zunanje povezave ==

* {{MathWorld|id=SmallRhombicosidodecahedron|title=Small Rhombicosidodecahedron}}
* {{MathWorld|id=ArchimedeanSolid|title=Archimedean solid}}
* Klitzing, Richard, 3D convex uniform polyhedra, [http://www.bendwavy.org/klitzing/dimensions/polyhedra.htm x3o5x - srid] {{ikona en}}
* [http://www.dr-mikes-math-games-for-kids.com/polyhedral-nets.html?net=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&name=Rhombicosidodecahedron#applet Editable printable net of a Rhombicosidodecahedron with interactive 3D view] {{ikona en}}
* [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra] {{ikona en}}
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] The Encyclopedia of Polyhedra {{ikona en}}
* [http://www.rhombicosidodec.rack111.com/index.html The Rhombi-Cosi-Dodecahedron Website] {{ikona en}}
* [http://web.me.com/c.biebow/Website/Karhombo.html The Rhombicosidodecahedron as a 3D puzzle] {{ikona en}}

{{-}}

{{poliedri}}

[[Kategorija:Arhimedska telesa]]