Ogled vira Schwarzschildova metrika

{{short description|sfernosimetrična statična vakuumska singularna eksaktna rešitev Einsteinovih enačb polja z ničelno kozmološko konstanto v splošni teoriji relativnosti}}
'''Schwarzschildova métrika''' [švárcšildova ~] (znana tudi kot '''(zunanja) Schwarzschildova rešitev'''{{r|earm-1999}}) je v [[Albert Einstein|Einsteinovi]] [[splošna teorija relativnosti|splošni teoriji relativnosti]] [[matematična singularnost|singularna]] [[eksaktne rešitve v splošni teoriji relativnosti|eksaktna rešitev]] [[Einsteinove enačbe polja|Einsteinovih enačb polja]], ki opisuje [[gravitacijsko polje]] zunaj [[sfera|sferne]] [[masa|mase]], pri čemer privzema, da so [[električni naboj]] mase, [[vrtilna količina]] mase in univerzalna [[kozmološka konstanta]] enaki nič. Rešitev je uporabni približek za opis počasi [[vrtenje|vrtečih se]] [[astronomsko telo|astronomskih teles]], kot so mnoge [[zvezda|zvezde]] in [[planet]]i, vključno z [[Zemlja|Zemljo]] in [[Sonce]]m. Rešitev je našel [[Karl Schwarzschild]] leta [[1916 v znanosti|1916]].{{r|schw-1998}}{{r|schw-1916a}}{{r|schw-1916b}} Njegova rešitev ni bila samo eksaktna rešitev Einsteinovih enačb polja, ampak je bila tudi osnova za klasične [[preskusi splošne teorije relativnosti|preskuse splošne teorije relativnosti]].{{r|earm-1999}}

Po [[Birkhoffov izrek (relativnost)|Birkhoffovem izreku]] je Schwarzschildova metrika najsplošnejša [[sferna simetrija|sfernosimetrična]] [[vakuumska rešitev (splošna teorija relativnosti)|vakuumska rešitev]] Einsteinovih enačb polja. '''Schwarzschildova črna luknja''' ali '''statična črna luknja''' je [[črna luknja]], ki je brez električnega naboja in brez vrtilne količine (se ne vrti). Schwarzschildovo črno luknjo opisuje Schwarzschildova metrika in je ni moč razlikovati od druge Schwarzschildove črne luknje razen po njeni masi.

Za Schwarzschildovo črno luknjo je značilna okoliška sferna meja, imenovana [[dogodkovno obzorje]], ki se nahaja na [[Schwarzschildov polmer|Schwarzschildovem polmeru]] (<math> r_{\rm s} \!\, </math>). Polmer se pogosto imenuje polmer črne luknje. Meja ni fizična površina in oseba, ki je padla skozi dogodkovno obzorje (preden so jo raztrgale [[plimska sila|plimske sile]]), na tem mestu ne bi opazila nobene fizične površine – je matematična 'površina', ki je pomembna pri določanju značilnosti črne luknje. Vsaka nevrteča in nenabita masa, ki je manjša od Schwarzschildovega polmera, tvori črno luknjo. Rešitev Einsteinovih enačb polja velja za katero koli maso <math> M \!\, </math>, tako da bi načeloma (znotraj splošne teorije relativnosti) lahko obstajala Schwarzschildova črna luknja poljubne mase, če bi pogoji postali dovolj ugodni za njen nastanek.

V bližini Schwarzschildove črne luknje se [[prostor]] tako [[ukrivljenost|ukrivi]], da se celo [[svetloba|svetlobni]] [[žarek|žarki]] [[odklon]]ijo, zelo bližnja svetloba pa se lahko tako odkloni, da večkrat potuje okrog črne luknje.{{r|lumi-1979}}{{r|bozz-2002}}{{r|snep-2021}}

== Formulacija ==

{{glej|izpeljava Schwarzschildove rešitve}}

Schwarzschildova metrika je [[sfernosimetrični prostor-čas|sfernisimetrična Lorentzeva metrika]] (tukaj z dogovorom [[metrična signatura|metrične signature]] <math> (+ - - -) \!\, </math>), definirana na (podmnožici):

: <math> \mathbb{R}\times \left( E^{3} -O \right) \cong \mathbb{R} \times (0,\infty) \times S^{2} \!\, , </math>

kjer je <math> E^{3} </math> [[trirazsežni prostor|trirazsežni]] [[evklidski prostor]], <math> S^{2} \subset E^{3}</math> pa je [[2-sfera|dvosfera]]. [[ortogonalna grupa|Grupa vrtenj]] <math> \mathrm{SO}(3) = \mathrm{SO}(E^{3}) \!\, </math> deluje na <math> E^{3} - O \!\, </math> ali faktor <math> S^{2} \!\, </math> kot vrtenja okrog središča <math> O \!\, </math>, pri čemer pušča prvi faktor <math> \mathbb{R} \!\, </math> nespremenjen. Schwarzschildova metrika je rešitev Einsteinovih enačb polja v [[prazni prostor|praznem prostoru]], kar pomeni, da velja le ''zunaj'' gravitacijskega telesa. To za sferno telo s polmerom <math> R \!\, </math> pomeni, da rešitev velja za <math> r > R \!\, </math>. Za opis gravitacijskega polja znotraj in zunaj gravitirajočega telesa je treba Schwarzschildovo rešitev uskladiti z ustrezno notranjo rešitvijo pri <math> r = R \!\, </math>,{{r|frol-2011}} kot je na primer [[notranja Schwarzschildova metrika]].

V [[Schwarzschildove koordinate|Schwarzschildovih koordinatah]] <math> (t, r, \theta, \phi) \!\, </math> ima Schwarzschildova metrika (ali enakovredno [[invarianta|invariantni]] [[kvadrat (algebra)|kvadrat]] [[infinitezimala|infinitezimalnega]] [[ločni element|ločnega elementa]] za [[lastni čas]]) obliko:{{r|carr-1997}}

{{equation box 1
|title=
|indent=:
|equation = <math> {\operatorname{d} \! s}^{2} = c^{2} {\operatorname{d} \!  \tau}^{2} = g_{\mu\nu} \operatorname{d} \! x^{\mu} \operatorname{d} \! x^{\nu} = \gamma_{\rm s} c^{2}  \operatorname{d} \! t^{2} - \frac{\operatorname{d} \! r^{2}}{\gamma_{\rm s}} - r^{2} {\operatorname{d} \! \Omega}^{2} \!\, , </math>
|border
|border colour =#50C878
|background colour = #ECFCF4
}}

kjer je <math> {\operatorname{d} \! \Omega}^{2} \!\, </math> metrika na dvosferi, to je <math> {\operatorname{d} \! \Omega}^{2} = \operatorname{d} \! \theta^{2} + \sin^{2}\theta \operatorname{d} \! \phi^{2} \!\, </math>. Tu je naprej:

* <math> \operatorname{d} \!  \tau^{2} \!\, </math> – je pozitiven za časovne krivulje, kjer je <math> \tau \!\, </math> [[lastni čas]] (čas, ki ga meri [[ura (naprava)|ura]], [[gibanje|gibajoča se]] vzdolž iste [[svetovnica|svetovnice]] skupaj s [[testni delec|testnim delcem]]),
* <math> c \!\, </math> – [[hitrost svetlobe]] v [[vakuum]]u,
* <math> t \!\, </math> – za <math> r > r_{\rm s} \!\, </math> časovna koordinata, (ki jo meri ura, oddaljena [[neskončnost|neskončno]] stran od masivnega telesa in mirujoča glede nanj),
* <math> r \!\, </math> – za <math> r > r_{\rm s} \!\, </math> radialna koordinata, (merjena kot obseg sfere v središču okrog masivnega telesa, deljen z <math> 2 \pi \!\, </math>),
* <math> \Omega \!\, </math> – [[točka (geometrija)|točka]] na dvosferi <math> S^{2} \!\, </math>,
* <math> \theta \!\, </math> – [[kolatituda]] <math> \Omega \!\, </math> (kot od severa v enotah [[radian]]ov), definirana po poljubno izbrani ''z''-osi,
* <math> \phi \!\, </math> – [[longituda]] <math> \Omega \!\, </math> (tudi v radianih) okrog izbrane ''z''-osi,
* <math> \gamma_{\rm s} = 1 - \frac{r_{\rm s}}{r} \!\, </math>,
* <math> r_{\rm s} \!\, </math> – [[Schwarzschildov polmer]] masivnega telesa, [[skalirni faktor]], ki je povezan z njegovo maso <math> M \!\, </math> z izrazom <math> r_{\rm s} = {2GM}/{c^{2}} \!\, </math>, kjer je <math> G \!\, </math> [[gravitacijska konstanta]],{{r|land-1975}}
* <math> g_{\mu\nu} \!\, </math> – [[metrični tenzor]].{{efn|Schwarzschild je v pismu Einsteinu metriko zapisal v obliki:{{r|schw-1998}}

: <math> \operatorname{d} \! s^{2} = \left( 1 - \frac{\gamma}{r} \right) \operatorname{d} \! t^{2} - \left( 1- \frac{\gamma}{r} \right)^{-1} \operatorname{d} \! r^{2} - r^{2} {\operatorname{d} \! \Omega}^{2} \!\, . </math>

V objavljenem članku je črko <math> \gamma \!\, </math> zamenjal z <math> \alpha \!\, </math> in navedel da rešitev »vsebuje le konstanto <math> \alpha \!\, </math>, ki je odvisna od vrednosti mase v [[izvorišče|izvorišču]].«{{r|schw-1916a}}}}

Metrični tenzor se lahko zapiše kot:

: <math > g_{\mu\nu} = \begin{bmatrix}
\gamma_{\rm s} c^{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{\gamma_{\rm s}} & 0 & 0 \\
0 & 0 & -r^{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & -r^{2} \sin^{2} \theta \end{bmatrix} \!\, . </math>

Schwarzschildova metrika ima [[singularnost]] pri <math> r = 0 \!\, </math> kar je notranja ukrivljenostna singularnost. Kakor izgleda, ima singularnost tudi na dogodkovnem obzorju <math> r = r_{\rm s} \!\, </math>. Odvisno od zornega kota je tako definirana le na zunanjem območju <math> r > r_{\rm s} \!\, </math>, samo na notranji strani <math> r < r_{\rm s} \!\, </math> ali na njuni [[disjunktni množici|disjunktni]] [[unija množic|uniji]]. Vendar pa metrika dejansko ni singularna čez dogodkovno obzorje, kot je razvidno iz ustreznih koordinat (glej spodaj). Za <math> r \gg r_{\rm s} \!\, </math> je Schwarzschildova metrika asimptotična standardni Lorentzevi metriki na [[prostor Minkowskega|prostoru Minkowskega]]. Za skoraj vsa astronomska telesa je razmerje <math> r_{\rm s} / R \!\, </math> izjemno majhno. Schwarzschildov polmer Zemlje <math> r_{\rm s}^{(\text{Z})} \!\, </math> je na primer približno {{val|8.9|u=mm}}. Za Sonce, ki je za vrednost <math> 3,3 \cdot 10^{5} \!\, </math> masivnejše,{{r|tenn-1971}} je Schwarzschildov polmer <math>r_{\rm s}^{(\text{S})} \!\, </math> približno enak 3,0&nbsp;km. Razmerje postane veliko le v bližini črnih lukenj in drugih ultragostih teles, kot so [[nevtronska zvezda|nevtronske zvezde]].

Izkazalo se je, da ima radialna koordinata fizični pomen kot »lastna [[razdalja]] med dvema [[Dogodek (fizika)|dogodkoma]], ki se zgodita sočasno glede na radialno premikajoči se [[geodetka|geodetski]] uri, pri čemer dva dogodka ležita na isti radialni koordinatni črti«.{{r|gaut-1978}}

Schwarzschildova rešitev je analogna klasični [[Isaac Newton|Newtonovi]] [[splošni gravitacijski zakon|teoriji gravitacije]], ki ustreza gravitacijskemu polju okrog [[točkasti delec|točkastega delca]]. Tudi na [[zemeljsko površje|zemeljskem površju]] so popravki Newtonove gravitacije le en del v milijardi.{{r|ehle-1997}}

== Zgodovina ==

Schwarzschildova rešitev se imenuje po [[Karl Schwarzschild|Karlu Schwarzschildu]], ki je našel eksaktno rešitev leta 1915. 22. decembra je o rešitvi pisal Einsteinu{{r|schw-1998}}{{r|goen-2017}} in jo objavil januarja 1916,{{r|schw-1916a}}{{r|schw-1916b}} nekaj več kot mesec dni po objavi Einsteinove splošne teorije relativnosti. To je bila prva [[eksaktne rešitve v splošni teoriji relativnosti|eksaktna rešitev]] Einsteinovih enačb polja, razen trivialne [[prostor Minkowskega|rešitve ravnega prostora-časa]] v koordinatah <math> (t, x, y, z) \!\, </math>:

: <math> \operatorname{d} \! s^{2} = \eta_{\mu\nu} \operatorname{d} \! x^{\mu} \operatorname{d} \! x^{\nu} = c^{2} \operatorname{d} \! t^{2} - \operatorname{d} \! x^{2} - \operatorname{d} \! y^{2} - \operatorname{d} \! z^{2} \!\, , </math>

z:

: <math> \eta_{\mu\nu} = \begin{bmatrix}
c^{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \!\, , </math>

ali v [[sferni koordinatni sistem|sfernih koordinatah]] <math> (t, r, \theta, \phi) \!\, </math>:

: <math> \operatorname{d} \! s^{2} = c^{2} \operatorname{d} \! t^{2} - \operatorname{d} \! r^{2} - r^{2} \operatorname{d} \! \Omega^{2} \!\, </math>

in:

: <math > \eta_{\mu\nu} = \begin{bmatrix}
c^{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -r^{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & -r^{2} \sin^{2} \theta \end{bmatrix} \!\, . </math>

Schwarzschild je umrl kmalu po objavi njegovega članka zaradi bolezni (ki naj bi bila [[pemfigus]]). Dobil naj bi jo med služenjem v [[Nemške oborožene sile (1871–1919)|Cesarski nemški vojski]] med [[prva svetovna vojna|1. svetovno vojno]].{{r|ocon-2003}} Einstein je v pismu Schwarzschildu 29. decembra 1915 zapisal:{{r|eins-1915}}

{{citatni blok|Spoštovani kolega!<br />
Vaš izračun, ki zagotavlja edinstven dokaz problema, je izjemno zanimiv. Upam, da boste isto kmalu objavili! Nisem si mislil, da bo stroga obravnava točkovnega problema tako enostavna.}}

[[Johannes Droste]] je leta 1916{{r|dros-1917}} neodvisno našel enako rešitev in pri tem uporabil enostavnejšo in neposrednejšo izpeljavo.{{r|kox--1992}}{{r|bel--2007}}

V zgodnjih letih splošne teorije relativnosti je bilo veliko zmede glede narave singularnosti, ki se jih najde v Schwarzschildovi in drugih rešitvah Einsteinovih enačbah polja. V Schwarzschildovem izvirnem članku je postavil to, kar se sedaj imenuje dogodkovno obzorje, v izhodišče svojega koordinatnega sistema. V tem članku je kot pomožno spremenljivko uvedel tudi to, kar je sedaj znano kot Schwarzschildova radialna koordinata (<math> r \!\, </math> v zgornjih enačbah). V svojih enačbah je Schwarzschild uporabljal drugačno radialno koordinato, ki je bila nič pri Schwarzschildovem polmeru.

Popolnejšo analizo strukture singularnosti je podal [[David Hilbert]]{{r|hilb-1924}} naslednje leto in identificiral obe singularnosti pri <math> r = 0 \!\, </math> in pri Schwarzschildovem polmeru <math> r = r_{\rm s} \!\, </math>. Čeprav je obstajalo splošno soglasje, da je singularnost pri <math> r = 0 \!\, </math> 'resnična' fizična singularnost, je narava singularnosti pri <math> r = r_{\rm s} \!\, </math> ostala nejasna.{{r|earm-1999}}

Leta 1921 sta [[Paul Painlevé]] in leta 1922 [[Allvar Gullstrand]] neodvisno izdelala metriko, sfernosimetrično rešitev Einsteinovih enačb, za katero se sedaj ve, da je koordinatna transformacija Schwarzschildove metrike, [[Gullstrand-Painlevéjeve koordinate]], v kateri pri <math> r = r_{\rm s} \!\, </math> ni bilo singularnosti. Vendar pa nista prepoznala, da so bile njune rešitve le koordinatne transformacije, in sta svojo rešitev dejansko uporabila za dokazovanje, da je Einsteinova teorija napačna. Leta 1924 je [[Arthur Stanley Eddington]] izdelal prvo koordinatno transformacijo ([[Eddington-Finkelsteinove koordinate]]), ki je pokazala, da je singularnost pri <math> r = r_{\rm s} \!\, </math> koordinatni artefakt, čeprav se zdi, da se prav tako ni zavedal pomena tega odkritja. Kasneje, leta 1932, je [[Georges Lemaître]] podal drugačno koordinatno transformacijo ([[Lemaîtrejeve koordinate]]) z istim učinkom in bil prvi, ki je spoznal, da to pomeni, da singularnost pri <math> r = r_{\rm s} \!\, </math> ni fizična. Leta 1939 je [[Howard Percy Robertson]] pokazal, da bi [[prosti pad|prosto padajoči]] opazovalec, ki se spušča v Schwarzschildovi metriki, prečkal singularnost <math> r = r_{\rm s} \!\, </math> v končnem [[lastni čas|lastnem času]], čeprav bi to trajalo [[večnost|neskončno]] veliko časa v smislu [[koordinatni čas|koordinatnega časa]] <math> t \!\, </math>.{{r|earm-1999}}

Leta 1950 je [[John Lighton Synge]] napisal članek,{{r|syng-1950}} ki je pokazal največjo [[analitično nadaljevanje|analitično razširitev]] Schwarzschildove metrike in ponovno pokazal, da je singularnost pri <math> r = r_{\rm s} \!\, </math> koordinatni artefakt in da predstavlja dve obzorji. Podoben rezultat sta kasneje ponovno izpeljala [[George Szekeres]]{{r|szek-1960}} in neodvisno [[Martin David Kruskal]].{{r|krus-1960}} Nove koordinate, sedaj znane kot [[Kruskal-Szekeresove koordinate]], so bile veliko enostavnejše od Syngevih, vendar sta obe zagotovili eno množico koordinat, ki je pokrivala celoten [[prostor-čas]]. Vendar pa so morda zaradi zakotnosti revij, v katerih sta bila objavljena članka Lemaîtra in Syngea, njuni zaključki ostali neopaženi, saj so mnogi glavni akterji na tem področju, vključno z Einsteinom, verjeli, da je singularnost v Schwarzschildovem polmeru fizična.{{r|earm-1999}} Syngeva poznejša izpeljava Kruskal-Szekeresove metrične rešitve,{{r|syng-1974}} ki je bila motivirana z željo, da bi se izognilo »uporabi 'slabih' [Schwarzschildovih] koordinat za pridobitev 'dobrih' [Kruskal-Szekeresovih] koordinat«, je bila na splošno premalo cenjena v literaturi, vendar jo je prevzel [[Subrahmanyan Chandrasekhar]] v svoji monografiji o črnih luknjah leta 1983.{{r|chan-1983}}

Pravi napredek je bil dosežen v 1960-ih, ko je matematično stroga formulacija v smislu [[diferencialna geometrija|diferencialne geometrije]] vstopila na področje splošne teorije relativnosti, kar je omogočilo eksaktnejše definicije tega, kaj pomeni, da je [[Lorentzeva mnogoterost]] singularna. To je vodilo do dokončne identifikacije singularnosti <math> r = r_{\rm s} \!\, </math> v Schwarzschildovi metriki kot dogodkovnega obzorja – [[hiperploskev|hiperploskve]] v prostoru-času, ki jo je mogoče prečkati samo v eno [[smer]].{{r|earm-1999}}

== Singularnosti in črne luknje ==

Zdi se, da ima Schwarzschildova rešitev [[matematična singularnost|singularnosti]] pri <math> r = 0 \!\, </math> in <math> r = r_{\rm s} \!\, </math> – nekatere metrične komponente pri teh polmerih »eksplodirajo« (povzročijo [[deljenje z ničlo]] ali [[množenje z neskončnostjo]]). Ker se pričakuje, da bo Schwarzschildova metrika veljavna samo za tiste polmere, večje od polmera gravitirajočega telesa <math> R \!\, </math>, ni problema, dokler je <math> R > r_{\rm s} \!\, </math>. Za običajne zvezde in planete je to vedno tako. [[Sončev polmer]] je na primer približno 700.000 km, njegov Schwarzschildov polmer pa le 3 km.

Singularnost pri <math> r = r_{\rm s} \!\, </math> deli Schwarzschildove koordinate na dve [[povezanost|nepovezane]] [[koordinatna zaplata|zaplati]]. ''Zunanja Schwarzschildova rešitev'' z <math> r > r_{\rm s} \!\, </math> je tista, ki je povezana z gravitacijskimi polji zvezd in planetov. ''Notranja Schwarzschildova rešitev'' z <math> 0 \ge r < r_{\rm s} \!\, </math>, ki vsebuje singularnost pri <math> r = 0 \!\, </math>, je popolnoma ločena od zunanje zaplate s singularnostjo pri <math> r = r_{\rm s} \!\, </math>. Schwarzschildove koordinate torej ne zagotavljajo fizične povezave med obema zaplatama, ki ju je mogoče obravnavati kot ločeni rešitvi. Vendar je singularnost pri <math> r = r_{\rm s} \!\, </math> iluzija – je primer tega, kar se imenuje ''[[koordinatna singularnost]]''. Kot že ime pove, singularnost nastane zaradi slabe izbire koordinat ali [[koordinatni pogoji|koordinatnih pogojev]]. Pri spremembi v drug koordinatni sistem (na primer [[Lemaîtrejeve koordinate]], [[Eddington-Finkelsteinove koordinate]], [[Kruskal-Szekeresove koordinate]], [[koordinate Novikova]] ali [[Gullstrand-Painlevéje koordinate]]) metrika postane regularna pri <math> r = r_{\rm s} \!\, </math> in lahko razširi zunanjo zaplato na vrednosti <math> r < r_{\rm s} \!\, </math>. Z uporabo drugačne koordinatne transformacije se lahko nato poveže razširjeno zunanjo zaplato z notranjo.{{r|hugh-1990}}

Primer <math> r = 0 \!\, </math> pa je drugačen. Če se vpraša, ali je rešitev veljavna za vse <math> r \!\, </math>, se naleti na pravo fizično singularnost ali ''[[gravitacijska singularnost]]'' v izvoru. Da bi se videlo, da je to prava singularnost, je treba pogledati količine, ki so neodvisne od izbire koordinat. Ena takšnih pomembnih količin je [[Kretschmannova invarianta]], podana z izrazom:

: <math> R^{\alpha\beta\gamma\delta} R_{\alpha\beta\gamma\delta} = \frac{12 r_{\rm s}^{2}}{r^{6}} = \frac{48 G^{2} M^{2}}{c^{4} r^{6}} \!\, . </math>

Pri <math> r = 0 \!\, </math> ukrivljenost postane neskončna, kar kaže na prisotnost singularnosti. Na tej točki metrike ni mogoče razširiti na gladek način (Kretschmannova invarianta vključuje druge [[odvod]]e metrike), sam prostor-čas potem ni več dobro definiran. Poleg tega je [[Jan Joachim Sbierski|Jan Sbierski]] pokazal, da metrike ni mogoče razširiti niti na [[zvezna funkcija|zvezni]] način.{{r|sbie-2015}} Dolgo časa je veljalo, da je taka rešitev nefizična. Vendar pa je boljše razumevanje splošne teorije relativnosti vodilo do spoznanja, da so bile takšne singularnosti generična značilnost teorije in ne le eksotičen poseben primer.

Schwarzschildova rešitev, ki velja za vse <math> r > 0 \!\, </math>, se imenuje ''Schwarzschildova črna luknja''. Je popolnoma veljavna rešitev Einsteinovih enačb polja, čeprav ima (kot druge črne luknje) precej bizarne značilnosti. Pri <math> r < r_{\rm s} \!\, </math> Schwarzschildova radialna koordinata <math> r \!\, </math> r postane časovna in časovna koordinata <math> t \!\, </math> postane prostorska.{{r|pick-1999}} Krivulja pri konstantnem <math> r \!\, </math> ni več možna [[svetovnica]] delca ali opazovalca, tudi če se uporabi [[sila]], da bi jo tam obdržala – to se zgodi, ker je prostor-čas toliko ukrivljen, da smer vzroka in posledice (prihodnji [[svetlobni stožec]] delca) kaže v singularnost. Površina <math> r = r_{\rm s} \!\, </math> razmejuje ''dogodkovno obzorje'' črne luknje. Predstavlja točko, čez katero svetloba ne more več uiti gravitacijskemu polju. Vsako [[telo (fizika)|fizično telo]], katerega polmer <math> R \!\, </math> postane manjši ali enak Schwarzschildovemu polmeru <math> r_{\rm s} \!\, </math>, doživi [[gravitacijski kolaps]] in postane črna luknja.

== Alternativne koordinate ==

Schwarzschildova rešitev se lahko izrazi v nizu različnih izbir koordinat poleg zgoraj uporabljenih Schwarzschildovih koordinat. Različne izbire poudarijo različne značilnosti rešitve. Naslednja razpredelnica prikazuje nekaj priljubljenih izbir.
{|class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto;"
|+ Alternativne koordinate{{r|ni---2017}}
! [[koordinatni sistem|koordinate]]
! [[ločni element]] <math> \operatorname{d} \! s^{2} \!\, </math>
! opombe
! značilnosti
|-
| [[Eddington-Finkelsteinove koordinate|Eddington-Finkelsteinove]]<br />(''dohodne'')
| <math> \gamma \operatorname{d} \! v^{2} - 2 \operatorname{d} \! v   \operatorname{d} \! r - r^{2} \, g_{\Omega} \!\, </math>
|
| regularne na prihodnjem obzorju<br /> preteklo obzorje je v <math> v = -\infty \!\, </math>
|-
| Eddington-Finkelsteinove<br />(''izhodne'')
| <math> \gamma \operatorname{d} \! u^{2} + 2 \operatorname{d} \! u   \operatorname{d} \! r - r^{2} g_{\Omega} \!\, </math>
|
| regularne na preteklem obzorju<br />se razširjajo prek preteklega obzorja<br>prihodnje obzorje je v <math> u = \infty \!\, </math>
|-
| [[Gullstrand-Painlevéje koordinate|Gullstrand-Painlevéje]]
| <math> \gamma \operatorname{d} \! T^{2} \pm 2\sqrt\frac{r_{\rm s}}{r} \operatorname{d} \! T  \operatorname{d} \! r - \operatorname{d} \! r^{2}-r^{2} \, g_{\Omega} \!\, </math>
|
| regularne na preteklem in prihodnjem obzorju
|-
| [[izotropne koordinate|izotropne]]
| <math> \frac{ \left( 1-\frac{r_{\rm s}}{4R} \right)^{2}}{ \left( 1+\frac{r_{\rm s}}{4R} \right)^{2}} {\operatorname{d} \! t}^{2} - \left( 1 + \frac{r_{\rm s}}{4R} \right)^{4} \, \left( \operatorname{d} \! x^{2} + \operatorname{d} \! y^{2} + \operatorname{d} \! z^{2} \right) \!\, </math>
| <math> R = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \!\, </math>{{r|eddi-1924}}<br /> veljavne le zunaj dogodkovnega obzorja: <math> R > r_{\rm s}/4 \!\, </math>
| izotropni [[svetlobni stožec|svetlobni stožci]] na konstantnih časovnih rezinah
|-
| [[Kruskal-Szekeresove koordinate|Kruskal-Szekeresove]]
| <math> \frac{4r_{\rm s}^{3}}{r}e^{-\frac{r}{r_{\rm s}}} \, \left( \operatorname{d} \! T^{2} - \operatorname{d} \! R^{2} \right) - r^{2} \, g_{\Omega} \!\, </math>
| <math> T^{2} - R^{2} = \left( 1 - \frac{r}{r_{\rm s}} \right)e^{\frac{r}{r_{\rm s}}} \!\, </math>
| regularne na obzorju; regular at horizon; se maksimalno razširijo na polni prostor-čas
|-
| [[Lemaîtrejeve koordinate|Lemaîtrejeve]]
| <math> \operatorname{d} \! T^{2} - \frac{r_{\rm s}}{r}  \operatorname{d} \! R^{2} - r^{2} \, g_{\Omega} \!\, </math>
| <math> r = \left( \tfrac32(R \pm T) \right)^{\frac23} r_{\rm s}^{\frac13} \!\, </math>
| regularne tako na preteklem kot na prihodnjem obzorju
|-
| [[harmonične koordinate|harmonične]]
| <math> \frac{\rho-r_{\rm s}/2}{\rho+r_{\rm s}/2} \operatorname{d} \! t^{2} - \frac{\rho+r_{\rm s}/2}{\rho-r_{\rm s}/2} \operatorname{d} \! \rho^{2} - (\rho + r_{\rm s}/2)^{2} g_{\Omega} \!\, </math>
|<math> \rho = r - r_{\rm s}/2 \!\, </math>
|
|}
V zgornji razpredelnici je bilo zaradi kratkosti uvedeno nekaj okrajšav. Hitrost svetlobe <math> c \!\, </math> je bila [[naravne enote|nastavljena na 1]]. Zapis:

: <math> g_{\Omega} = \operatorname{d} \! \Omega^{2} = \operatorname{d} \! \theta^{2} + \sin^{2} \theta \operatorname{d} \! \phi^{2} \!\, </math>

se je uporabil za metriko [[2-sfera|2-razsežne sfere]] z [[enotski polmer|enotskim polmerom]]. Poleg tega v vsakem vnosu <math> R \!\, </math> in <math> T \!\, </math> označujeta alternativne izbire radialne in časovne koordinate za posamezne koordinate. <math> R \!\, </math> in <math> T \!\, </math> se lahko razlikujeta od vnosa do vnosa.

Kruskal-Szekeresove koordinate imajo obliko, za katero je mogoče uporabiti [[transformacija Belinskega in Zaharova|transformacijo Belinskega in Zaharova]]. To pomeni, da je Schwarzschildova črna luknja oblika [[gravitacijski soliton|gravitacijskega solitona]].

== Flammov paraboloid ==

[[slika:Flamm.svg|thumb|right|Graf [[Ludwig Flamm|Flammovega]] [[paraboloid]]a. Ne sme se ga zamenjevati z nepovezanim konceptom [[gravitacijski potencial|gravitacijske jame]].]]

Prostorsko ukrivljenost Schwarzschildove rešitve za <math> r > r_{\rm s} \!\, </math> je mogoče vizualizirati, kot prikazuje graf. Naj je konstantna časovna ekvatorialna rezina <math> H \!\, </math> skozi Schwarzschildovo rešitev s fiksiranjem <math> \theta = \pi / 2, t = \text{konst.} \!\, </math> in naj se preostali Schwarzschildovi koordinati <math> (r, \phi) \!\, </math> spreminjata. Naj zdaj obstaja dodatna evklidska razsežnost <math> w \!\, </math>, ki nima fizične realnosti (ni del prostora-časa). Nato se zamenja ravnino <math> (r, \phi) \!\, </math> s površino, vgreznjeno v smeri <math> w \!\, </math> v skladu z enačbo (''[[Ludwig Flamm|Flammov]] [[paraboloid]]''):

: <math> w = 2 \sqrt{r_{\rm s} \left(  r - r_{\rm s} \right)} \!\, . </math>

Ta površina ima značilnost, da se razdalje, izmerjene znotraj nje, ujemajo z razdaljami v Schwarzschildovi metriki, zaradi definicije <math> w \!\, </math> zgoraj:

: <math> \operatorname{d} \! w^{2} + \operatorname{d} \! r^{2} + r^{2} \operatorname{d} \! \phi^{2} = \frac{\operatorname{d} \! r^{2}}{\gamma_{\rm s}} + r^{2}  \operatorname{d} \! \phi^{2} = -\operatorname{d} \! s^{2} \!\, . </math>

Tako je Flammov paraboloid uporaben za vizualizacijo prostorske ukrivljenosti Schwarzschildove metrike. Ne sme pa se ga zamenjevati z [[gravitacijski potencial|gravitacijsko jamo]]. Noben navadni (masiven ali brezmasen) delec ne more imeti svetovnice, ki bi ležala na paraboloidu, saj so vse razdalje na njem prostorske (to je prečni presek v enem časovnem trenutku, zato bi imel vsak delec, ki se giblje po njem, neskončno [[hitrost]]). [[Tahion]] bi lahko imel prostorsko svetovnico, ki v celoti leži na enem samem paraboloidu. Vendar tudi v tem primeru njegova [[geodetka]] ni trajektorija, ki se jo dobi skozi analogijo gravitacijske jame z »gumijasto planjavo«: zlasti če je vdolbina narisana usmerjena navzgor in ne navzdol, se tahionova geodetka še vedno ukrivi proti osrednji masi in ne stran.

Flammov paraboloid se lahko izpelje na naslednji način. [[Evklidska metrika]] v [[cilindrični koordinatni sistem|cilindričnih koordinatah]] <math> (r, \phi, w) \!\, </math> je:

: <math> -\operatorname{d} \! s^{2} = \operatorname{d} \! w^{2} + \operatorname{d} \! r^{2} + r^{2} \operatorname{d} \! \phi^{2} \!\, . </math>

Če se privzame, da je površina opisana s funkcijo <math> w = w(r) \!\, </math>, se lahko evklidsko metriko zapiše kot:

: <math> -\operatorname{d} \! s^{2} = \left( 1 + \left( \frac{\operatorname{d} \! w}{\operatorname{d} \! r} \right)^{2} \right) \, \operatorname{d} \! r^{2} + r^{2}  \operatorname{d} \! \phi^{2} \!\, . </math>

Če se to primerja s Schwarzschildovo metriko v ekvatorialni ravnini <math> \theta = \pi / 2 \!\, </math> ob določenem času (<math> t = \text{konst.}, \operatorname{d} \! t = 0 \!\, </math>):

: <math> -\operatorname{d} \! s^{2} = \frac{\operatorname{d} \! r^{2}}{\gamma_{\rm s}} + r^{2}  \operatorname{d} \! \phi^{2} \!\, , </math>

sledi integralski izraz za <math> w(r) \!\, </math>:

: <math> w(r) = \int \frac{\operatorname{d} \! r}{\sqrt{-\gamma_{\rm s}}} = 2 r_{\rm s} \sqrt{-\gamma_{\rm s}} + \text{konst.} \!\, , </math>

katerega rešitev je Flammov paraboloid.

== Tirno gibanje ==

[[slika:Newton.vs.Schwarzschild.thumbnail.250px.png|thumb|right|Primerjava med [[tir]]om [[testni delec|testnega delca]] v newtonovskem (levo) in Schwarzschildovem (desno) prostoru-času. Na desni strani je nakazana velika [[apsidna precesija]].]]

{{podrobno|Schwarzschildova geodetka}}

Delec, ki kroži v Schwarzschildovi metriki, ima lahko stabilni krožni [[tir]] z <math> r > 3 r_{\rm s} \!\, </math>. Krožni tiri z <math> r \!\, </math> med <math> 1,5 r_{\rm s} \!\, </math> in <math> 3 r_{\rm s} \!\, </math> so nestabilni, za <math> r < 1,5 r_{\rm s} \!\, </math> pa krožni tiri ne obstajajo. Krožni tir najmanjšega polmera <math> 1,5 r_{\rm s} \!\, </math> ustreza [[tirna hitrost|tirni hitrosti]], ki se približuje svetlobni hitrosti. Možno je, da ima delec konstantno vrednost <math> r \!\, </math> med <math> r_{\rm s} \!\, </math> in <math> 1,5r_{\rm s} \!\, </math>, vendar le, če deluje neka sila, da ga tam obdrži.

Nekrožni tiri, kot je [[Merkur]]jeva, se zadržujejo dlje pri majhnih polmerih, kot bi se pričakovalo v [[splošni gravitacijski zakon|Newtonovi gravitaciji]]. To je mogoče videti kot manj ekstremno različico bolj dramatičnega primera, v katerem delec preide skozi dogodkovno obzorje in v njem ostane za vedno. Vmes med primerom Merkurja in primerom, ko telo pade čez dogodkovno obzorje, obstajajo eksotične možnosti, kot so tiri z nožnim robom, v katerih je mogoče [[satelit]] prisiliti, da izvede poljubno veliko število skoraj krožnih tirov, po katerih leti nazaj navzven.

== Simetrije ==

[[grupa izometrij|Izometrična grupa]] Schwarzchildove metrike je <math> \mathbb R \times \mathrm{O}(3)\times \{\pm 1\} \!\, </math>, kjer je <math> \mathrm{O}(3) \!\, </math> [[ortogonalna grupa]] [[zasuk]]ov ([[vrtenje|vrtenj]]) in [[zrcaljenje|zrcaljenj]] v treh razsežnostih, <math> \mathbb R \!\, </math> vključuje časovne [[translacija|translacije]], <math> \{\pm 1\} \!\, </math> pa je [[grupa]], ki jo ustvari obrat časa.

To je torej [[podgrupa]] [[večrazsežni prostor|desetrazsežne]] [[Poincaréjeva grupa|Poincaréjeve grupe]], ki prevzame časovno os (trajektorijo zvezde) nase. Izpušča prostorske translacije (tri razsežnosti) in potiske (tri razsežnosti). Ohranja časovne translacije (ena razsežnost) in vrtenja (tri razsežnosti). Tako ima štiri razsežnosti. Tako kot Poincaréjeva grupa ima štiri povezane komponente: komponento identitete; časovno obrnjeno komponento; komponento prostorskega obrata in komponento, ki je časovno in prostorsko obrnjena.

== Ukrivljenosti ==

[[skalar ukrivljenosti|Riccijev skalar (ukrivljenosti)]] in [[Riccijev tenzor ukrivljenosti]] sta enaka nič. Neničelne komponente [[Riemannov tenzor ukrivljenosti|Riemannovega tenzorja ukrivljenosti]] so:{{r|misn-1973}}

: <math> R^{t}{}_{rrt}=2R^{\theta}{}_{r\theta r} = 2R^{\phi}{}_{r\phi r} = \frac{r_{\rm s}}{r^{2}(r_{\rm s} - r)} \!\, ,  </math>
: <math> 2R^{t}{}_{\theta\theta t} = 2R^{r}{}_{\theta\theta r} = R^{\phi}{}_{\theta\phi\theta} = \frac{r_{\rm s}}{r} \!\, , </math>
: <math> 2R^{t}{}_{\phi\phi t} = 2R^{r}{}_{\phi\phi r}=-R^{\theta}{}_{\phi\phi\theta} = \frac{r_{\rm s} \sin^{2}(\theta)}{r} \!\, , </math>
: <math> R^{r}{}_{trt} = -2R^{\theta}{}_{t\theta t}=-2R^{\phi}{}_{t\phi t} = c^{2} \frac{r_{\rm s} (r_{\rm s} - r)}{r^{4}} \!\, . </math>

Komponente, ki jih je mogoče dobiti s simetrijami Riemannovega tenzorja, niso prikazane.

Da bi se razumelo fizikalni pomen teh količin, je koristno izraziti tenzor ukrivljenosti v ortonormirani bazi. V ortonormirani bazi opazovalca so neničelne komponente v [[sistem geometriziranih enot|geometričnih enotah]]:{{r|misn-1973}}

: <math> R^{\hat{r}}{}_{\hat{t}\hat{r}\hat{t}}= -R^{\hat{\theta}}{}_{\hat{\phi}\hat{\theta}\hat{\phi}} = -\frac{r_{\rm s}}{r^{3}} \!\, , </math>
: <math> R^{\hat{\theta}}{}_{\hat{t}\hat{\theta}\hat{t}}= R^{\hat{\phi}}{}_{\hat{t}\hat{\phi}\hat{t}} = -R^{\hat{r}}{}_{\hat{\theta}\hat{r}\hat{\theta}} = -R^{\hat{r}}{}_{\hat{\phi}\hat{r}\hat{\phi}} = \frac{r_{\rm s}}{2r^{3}} \!\, . </math>

Spet niso prikazane komponente, ki jih je mogoče dobiti s simetrijami Riemannovega tenzorja. Ti rezultati so invariantni glede na poljubni [[Lorentzev potisk]], zato se za nestatične opazovalce komponente ne spremenijo. Enačba [[geodetski odklon|geodetskega odklona]] kaže, da je plimski pospešek med dvema opazovalcema, ločenima s <math> \xi^{\hat{j}} \!\, </math>, enak:

: <math> \frac{D^{2} \xi^{\hat{j}}}{D\tau^{2}} = -R^{\hat{j}}{}_{\hat{t}\hat{k}\hat{t}} \xi^{\hat{k}} \!\, , </math>

tako da je telo dolžine <math> L </math> raztegnjeno v radialni smeri zaradi navideznega pospeška <math> (r_{\rm s}/r^{3})c^{2} L \!\, </math> in stisnjeno v pravokotnih smereh za <math> -(r_{\rm s}/(2r^{3})) c^{2} L \!\, </math>.

== Glej tudi ==

{{div col|colwidth=27em}}
* {{medjezikovna povezava|izpeljava Schwarzschildove rešitve|en|Derivation of the Schwarzschild solution}}
* {{medjezikovna povezava|Reissner-Nordströmova metrika|en|Reissner–Nordström metric}} (rešitev z nabojem in brez vrtenja)
* {{medjezikovna povezava|Kerrova metrika|en|Kerr metric}} (rešitev z nabojem in vrtenjem)
* {{medjezikovna povezava|Kerr-Newmanova metrika|en|Kerr–Newman metric}} (rešitev z nabojem in vrtenjem)
* {{medjezikovna povezava|Haywardova metrika|en|Hayward metric}} (najpreprostejša nesingularna rešitev)
* [[črna luknja]], splošni pregled
* {{medjezikovna povezava|Schwarzschildove koordinate|en|Schwarzschild coordinates}}
* {{medjezikovna povezava|Kruskal-Szekeresove koordinate|en|Kruskal–Szekeres coordinates}}
* {{medjezikovna povezava|Eddington-Finkelsteinove koordinates|en|Eddington–Finkelstein coordinates}}
* {{medjezikovna povezava|Gullstrand-Painlevéje koordinate|en|Gullstrand–Painlevé coordinates}}
* {{medjezikovna povezava|Lemaîtrejeve koordinate|en|Lemaître coordinates}} (Schwarzschildova rešitev v [[sinhrone koordinate|sinhronih koordinatah]])
* {{medjezikovna povezava|sistemska polja v splošni teoriji relativnosti|en|Frame fields in general relativity}} (Lemaîtrejevi opazovalci v Schwarzschildovem vakuumu)
* {{medjezikovna povezava|Tolman-Oppenheimer-Volkoffova enačba|en|Tolman–Oppenheimer–Volkoff equation}} (metrika in enačbe tlaka v statičnem in sfernosimetričnem telesu izotropne snovi)
* [[Planckova dolžina]]
{{div col end}}

== Opombe ==

{{seznam opomb}}

== Sklici ==

{{refbegin|2|normalfont=yes}}
{{sklici|refs=
<ref name="bel--2007">{{sktxt|Bel|2007}}.</ref>
<ref name="chan-1983">{{sktxt|Chandrasekhar|1983}}.</ref>
<ref name="bozz-2002">{{sktxt|Bozza|2002}}.</ref>
<ref name="carr-1997">{{sktxt|Carroll|1997}}.</ref>
<ref name="dros-1917">{{sktxt|Droste|1917}}.</ref>
<ref name="earm-1999">{{sktxt|Earman|1999}}.</ref>
<ref name="eddi-1924">{{sktxt|Eddington|1924}}.</ref>
<ref name="ehle-1997">{{sktxt|Ehlers|1997}}.</ref>
<ref name="eins-1915">{{sktxt|Einstein|1915}}.</ref>
<ref name="frol-2011">{{sktxt|Frolov|Zelnikov|2011}}.</ref>
<ref name="gaut-1978">{{sktxt|Gautreau|Hoffmann|1978}}.</ref>
<ref name="goen-2017">{{sktxt|Goenner|2017}}.</ref>
<ref name="hilb-1924">{{sktxt|Hilbert|1924}}.</ref>
<ref name="hugh-1990">{{sktxt|Hughston|Tod|1990}}.</ref>
<ref name="kox--1992">{{sktxt|Kox|1992}}.</ref>
<ref name="krus-1960">{{sktxt|Kruskal|1960}}.</ref>
<ref name="land-1975">{{sktxt|Landau|Lifšic|1975}}.</ref>
<ref name="lumi-1979">{{sktxt|Luminet|1979}}.</ref>
<ref name="misn-1973">{{sktxt|Misner|Thorne|Wheeler|1973}}.</ref>
<ref name="ni---2017">{{sktxt|Ni|2017}}.</ref>
<ref name="ocon-2003">{{sktxt|O'Connor|Robertson|2003}}.</ref>
<ref name="pick-1999">{{sktxt|Pickover|1999}}.</ref>
<ref name="sbie-2015">{{sktxt|Sbierski|2015}}.</ref>
<ref name="schw-1916a">{{sktxt|Schwarzschild|1916a}}.</ref>
<ref name="schw-1916b">{{sktxt|Schwarzschild|1916b}}.</ref>
<ref name="schw-1998">{{sktxt|Schwarzschild|1998}}.</ref>
<ref name="snep-2021">{{sktxt|Sneppen|2021}}.</ref>
<ref name="syng-1950">{{sktxt|Synge|1950}}.</ref>
<ref name="syng-1974">{{sktxt|Synge|1974}}.</ref>
<ref name="szek-1960">{{sktxt|Szekeres|1960}}.</ref>
<ref name="tenn-1971">{{sktxt|Tennent|1971}}.</ref>
}}
{{refend}}

== Viri ==

{{refbegin|1|normalfont=yes}}
* {{citat|last1= Adler|first1= Ronald|last2= Bazin |first2= Maurice|authorlink2= Maurice Bazin|last3= Schiffer|first3= Menahem Max|authorlink3= Menahem Max Schiffer|title= Introduction to General Relativity|date= 1975|publisher= [[McGraw-Hill]]|location= New York|edition= 2.|at= § 6|isbn= 978-0-07-000423-8|cobiss= 57188|oclc= 1046135|url= https://archive.org/details/introductiontoge0000adle|url-access= registration}}
* {{citat|last1= Bozza|first1= Valerio|authorlink1= Valerio Bozza|title= Gravitational lensing in the strong field limit|journal= [[Physical Review D]]|date= 2002-11-22|volume= 66|issue= 10|pages= 103001|doi= 10.1103/PhysRevD.66.103001|arxiv= gr-qc/0208075|bibcode= 2002PhRvD..66j3001B|s2cid= 119476658}}
* {{citat|last1= Carroll|first1= Sean Michael|authorlink1= Sean Michael Carroll|title= Lecture Notes on General Relativity|date= december 1997|lang= en|bibcode= 1997gr.qc....12019C|arxiv= gr-qc/9712019|doi= 10.48550/arXiv.gr-qc/9712019|url= https://ned.ipac.caltech.edu/level5/March01/Carroll3/Carroll_contents.html|accessdate= 2024-09-05}}
* {{citat|last1= Chandrasekhar|first1= Subrahmanyan|authorlink1= Subrahmanyan Chandrasekhar|title= The mathematical theory of black holes|date= 1983|publisher= [[Clarendon Press]]; [[Oxford University Press]]|location= Oxford; New York|series= (International Series of Monograph Physics)|volume= 69|isbn= 978-0-19-851291-2<!--ISBN-10:0198512910-->|cobiss= 1177127|bibcode= 1983mtbh.book.....C|LCCN= 82-7920|oclc= 450607588}}
* {{citat|last1= Droste|first1= Johannes|authorlink1= Johannes Droste|title= The field of a single centre in Einstein's theory of gravitation, and the motion of a particle in that field|journal= [[Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Science]]|date= 1917|volume= 19|issue= 1|pages= 197–215|bibcode= 1917KNAB...19..197D|url= http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00012325.pdf}}
* {{citat|last1= Earman|first1= John|authorlink1= John Earman|chapter= The Penrose–Hawking singularity theorems: History and Implications|date= 1999|chapter-url=https://books.google.com/books?id=5mGZno8CvnQC&pg=PA236|page= 236–|editor-last1= Goenner|editor-first1= Hubert F. M.|editor-last2= Renn|editor-first2= Jürgen|editor-link2= Jürgen Renn|editor-last3= Ritter|editor-first3= Jim|editor-last4= Sauer|editor-first4= Tilman|editor-link4= Tilman Sauer|title= The expanding worlds of general relativity|publisher= [[Birkhäuser]]|location= Boston{{*}} Basel{{*}} Berlin|isbn= 978-0-81-764060-6|cobiss= <!--0-->|oclc= 39498449}}
* {{citat|last1= Eddington|first1= Arthur Stanley|authorlink1= Arthur Stanley Eddington|title= The Mathematical Theory of Relativity|date= 1924|edition= 2.|publisher= [[Cambridge University Press]]|page= 93|cobiss= <!-- 0 -->}}
* {{citat|last1= Ehlers|first1= Jürgen|authorlink1= Jürgen Ehlers|title= Examples of Newtonian limits of relativistic spacetimes|journal= [[Classical and Quantum Gravity]]|date= januar 1997|volume= 14|issue= 1A|pages= A119–A126|bibcode= 1997CQGra..14A.119E|doi= 10.1088/0264-9381/14/1A/010|hdl= 11858/00-001M-0000-0013-5AC5-F|s2cid= 250804865|url= http://pubman.mpdl.mpg.de/pubman/item/escidoc:153004:1/component/escidoc:153003/328699.pdf|hdl-access= free}}
* {{citat|last1= Einstein|first1= Albert|authorlink1= Albert Einstein|chapter= Pismo Karlu Schwarzschildu 29. decembra 1915 iz Berlina; doc. no. 176|pages= 231|volume= 8A|date= 1915|title= [[Einstein Papers Project|The Collected papers of Albert Einstein]] (ECP)|chapter-url= https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol8a-doc/303}}
* {{citat|last1= Eisenstaedt|first1= Jean|authorlink1= Jean Eisenstaedt|title= Histoire et singularités de la solution de Schwarzschild: 1915–1923|journal= [[Archive for History of Exact Sciences]]|date= 1982|volume= 27|pages= 157–198|issn= 0003-9519|jstor= 41133669}}
* {{citat|last1= Eisenstaedt|first1= Jean|chapter= On the history of the Schwarzschild singularity: 1915 - 1923|date= 1986|title= In Proceedings of the Fourth Marcel Grossmann Meeting|editor-last1= Ruffini|editor-first1= Remo|editor-link1= Remo Ruffini|publisher= Elsevier Science Publishers B.V.|location= Rim|pages= 1827–1828}}
* {{citat|last1= Eisenstaedt|first1= Jean|title= Trajectoires et Impasses de la Solution de Schwarzschild|journal= Archive for History of Exact Sciences|date= 1987|volume= 37|pages= 275–357|issn= 0003-9519|doi= 10.1007/BF00417007}}
* {{citat|last1= Eisenstaedt|first1= Jean|chapter= The early interpretation of the Schwarzschild solution|date= 1989|title= Einstein and the History of General Relativity. Proceedings of the 1986 Osgood Hill Conference. Einstein Studies, Vol 1|editor-last1= Stachel|editor-first1= John|editor-link1= John Stachel|editor-last2= Howard|editor-first2= Don|publisher= Birkhäuser|location= Boston|pages= 213–233}}
* {{citat|last1= Flamm|first1= Ludwig|authorlink1= Ludwig Flamm|title= Beiträge zur Einstein'schen Gravitationstheorie|journal= [[Physikalische Zeitschrift]]|date= 1916|volume= 17|pages= 448–454}}
* {{citat|last1= Frolov|first1= Valerij Pavlovič|authorlink1= Valerij Pavlovič Frolov|last2= Zelnikov|first2= Andrej Ivanovič|authorlink2= Andrej Ivanovič Zelnikov|title= Introduction to Black Hole Physics|date= 2011|publisher= Oxford University Press|location= Oxford{{*}} New York|page= [https://archive.org/details/introductiontobl00frol_255/page/n188 168]|isbn= 978-0-19-969229-3|cobiss= 3085668|oclc= 760114487|url= https://archive.org/details/introductiontobl00frol_255 |url-access= limited}}
* {{citat|last1= Gautreau|first1= Ronald|last2= Hoffmann|first2= Banesh|authorlink2= Banesh Hoffmann|title= The Schwarzschild radial coordinate as a measure of proper distance|journal= Physical Review D|date= 1978-05-15|volume= 17|issue= 10|pages= 2552|bibcode= 1978PhRvD..17.2552G|doi= 10.1103/PhysRevD.17.2552}}
* {{citat|last1= Goenner|first1= Hubert F. M.|authorlink1= Hubert Goenner|title= General relativity and the growth of a sub-discipline “gravitation” in Germany|journal= [[European Physical Journal H]]|date= 2017|volume= 42|pages= 395–430|issn= 2102-6459|doi= 10.1140/epjh/e2017-70057-4|arxiv= 1607.03324}}
* {{citat|last1= Heinzle|first1= J. Mark|last2= Steinbauer|first2= Roland|authorlink2= Roland Steinbauer|title= Remarks on the distributional Schwarzschild geometry|journal= [[Journal of Mathematical Physics]]|date= 2002|volume= 43|issue= 3|pages= 1493–1508|arxiv= gr-qc/0112047|bibcode= 2002JMP....43.1493H|doi= 10.1063/1.1448684|s2cid= 119677857}}
* {{citat|last1= Hilbert|first1= David|authorlink1= David Hilbert|title= Die Grundlagen der Physik|journal= [[Mathematische Annalen]]|date= 1924<!-- Ta članek je reprint in kombinira opombe, prvič objavljene leta 1915 in 1917 -->|volume= 92|number= 1–2|pages= 1–32|publisher= Springer-Verlag|doi= 10.1007/BF01448427|s2cid= 179177367}}
* {{citat|last1= Hughston|first1= Lane Palmer|authorlink1= Lane Palmer Hughston|last2= Tod|first2= Kenneth Paul|authorlink2= Kenneth Paul Tod|title= An introduction to general relativity|date= 1990|publisher= Cambridge University Press|location= Cambridge{{*}} New York{{*}} [...]|at= § 19|series= (London Mathematical Society Student Texts)|volume= 5|isbn= 978-0-52-133943-8|cobiss= <!--0-->|oclc= 23136150|url= https://archive.org/details/introductiontoge0000hugh|url-access= registration}}
* {{citat|last1= Kox|first1= Anne Jacob|authorlink1= Anne Jacob Kox|chapter= General Relativity in the Netherlands: 1915–1920|page= 41|editor1-last= Eisenstaedt|editor1-first= Jean|editor2-last= Kox|editor2-first= Anne Jacob|title= Studies in the History of General Relativity|date= 1992|publisher= [[Birkhäuser]]|isbn= 978-0-8176-3479-7|cobiss= <!--0-->|chapter-url= https://books.google.com/books?id=vDHCF_3vIhUC&pg=PA39}}
* {{citat|last= Kruskal|first1= Martin David|authorlink1= Martin David Kruskal|title= Maximal extension of Schwarzschild metric|journal= [[Physical Review]]|date= 1960|volume= 119|issue= 5|pages= 1743–1745|bibcode= 1960PhRv..119.1743K|doi= 10.1103/PhysRev.119.1743}}
* {{citat|last1= Landau|first1= Lev Davidovič|authorlink1= Lev Davidovič Landau|last2= Lifšic|first2= Jevgenij Mihajlovič|authorlink2= Jevgenij Mihajlovič Lifšic|title= The Classical Theory of Fields|date= 1975|orig-year= 1951|edition= 4. prenovljena angleška |series= ([[Course of Theoretical Physics]])|volume= 2|publisher= [[Pergamon Press]]|isbn= 978-0-08-025072-4|cobiss= 34001664|oclc= 1385253437|at= § 12}}
* {{citat|last1= Luminet|first1= Jean-Pierre|authorlink1= Jean-Pierre Luminet|title= Image of a spherical black hole with thin accretion disk|journal= [[Astronomy and Astrophysics]]|date= 1979-05-01|volume= 75|pages= 228–235|issn= 0004-6361|bibcode= 1979A&A....75..228L}}
* {{citat|last1= Misner|first1= Charles William|authorlink1= Charles William Misner|last2= Thorne|first2= Kip Stephen|authorlink2= Kip Stephen Thorne|last3= Wheeler|first3= John Archibald|authorlink3= John Archibald Wheeler|title= [[Gravitation (knjiga)|Gravitation]]|date= 1973|publisher=[[W. H. Freeman]]|location= San Francisco|at= § 31 in 32|isbn= 978-0-71-670344-0|cobiss= 3330821|oclc= 585119}}
* {{citat|editor-last1= Ni|editor-first1= Wei-Tou|title= One Hundred Years of General Relativity: From Genesis and Empirical Foundations to Gravitational Waves, Cosmology and Quantum Gravity|date= 2017-05-26|volume= 1|page= I-126|publisher= [[World Scientific]]|isbn= 978-9-81-463514-1|cobiss= <!-- e-knjiga-->|url= https://books.google.com/books?id=lvUnDwAAQBAJ&pg=PAI-126}}
* <!--O'Connor; Robertson (2003)-->{{mactutor|id=Schwarzschild|title=Karl Schwarzschild|date=2003}}
* {{citat|last1= Pickover|first1= Clifford Alan|authorlink1= Clifford Alan Pickover|title= Time: A Traveler's Guide.|date= 1999|publisher= Oxford University Press, Incorporated|isbn= 978-0-19-992992-4|cobiss= <!-- 0 -->|oclc= 1109816974|quote= Če pogledate črne luknje, metrika znotraj dogodkovnega obzorja obrne prostorske in časovne koordinate. Polmer začne delovati kot čas, čas pa kot prostor.}}
* {{citat|last1= Sbierski|first1= Jan|authorlink1= Jan Joachim Sbierski|title= The ''C''<sup>0</sup>-inextendibility of the Schwarzschild spacetime and the spacelike diameter in Lorentzian Geometry|date= 2015|arxiv= 1507.00601<!--|class= gr-qc-->|doi= 10.48550/arXiv.1507.00601}}
* {{citat|last1= Schwarzschild|first1= Karl|authorlink1= Karl Schwarzschild|title= Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie|journal= [[Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften]]|date= 1916a|volume= 7|pages= 189–196|bibcode= 1916AbhKP1916..189S|url= https://archive.org/stream/sitzungsberichte1916deutsch#page/188/mode/2up}}
:* [http://de.wikisource.org/wiki/%C3%9Cber_das_Gravitationsfeld_eines_Massenpunktes_nach_der_Einsteinschen_Theorie besedilo izvirnega članka v Wikiviru]
:* prevod v angleščino: {{navedi arXiv|last1= Antoci|first1= S.|last2= Loinger|first2= A.|title= On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory|date= 1999|eprint= physics/9905030}}
:* komentar članka z enostavnejšo izpeljavo: {{navedi arXiv|last1= Bel|first1= Lluís|title= Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktesnach der Einsteinschen Theorie|date= 2007|class= gr-qc|eprint= 0709.2257}}
* {{citat|last1= Schwarzschild|first1= Karl|title= Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit|journal= Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften|date= 1916b|volume= 1|pages= 424|url= https://archive.org/stream/sitzungsberichte1916deutsch#page/424/mode/2up}}
:* [https://de.wikisource.org/wiki/Gravitationsfeld_einer_Kugel_aus_inkompressibler_Fl%C3%BCssigkeit besedilo izvirnega članka v Wikiviru]
:* prevod v angleščino: {{navedi arXiv|last1= Antoci|first1= S.|title= On the gravitational field of a sphere of incompressible fluid according to Einstein's theory|date= 1999|eprint= physics/9912033}}
* {{citat|last1= Schwarzschild|first1= Karl|chapter= Pismo Albertu Einsteinu 22. decembra 1915 z ruske fronte; doc. no. 169|pages= 224|volume= 8A|date= 1998|title= [[Einstein Papers Project|The Collected papers of Albert Einstein]] (ECP)|chapter-url= https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol8a-doc/296}}
* {{citat|last1= Sneppen|first1= Albert|authorlink1= Albert Sneppen|title= Divergent reflections around the photon sphere of a black hole|journal= [[Scientific Reports]]|date= 2021-07-09|volume= 11|issue= 1|pages= 14247|lang= en|issn= 2045-2322|doi= 10.1038/s41598-021-93595-w|pmid= 34244573|pmc= 8270963|bibcode= 2021NatSR..1114247S}}
* {{citat|last1= Strnad|first1= Janez|authorlink1= Janez Strnad|title= Na pot k Schwarzschildu|date= 1991|publisher= [[Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije|DMFA S]]|location= Ljubljana|series= (Zbirka izbranih poglavij iz fizike)|volume= 25|cobiss= 28112640}}
* {{citat|last1= Synge|first1= John Lighton|authorlink1= John Lighton Synge|title= The gravitational field of a particle|journal= [[Proceedings of the Royal Irish Academy]]|date= 1950|volume= 53|issue= 6|pages= 83–114|doi= 10.1038/164148b0|pmid= 18210531|s2cid= 4108538}}
* {{citat|last1= Synge|first1= John Lighton|title= Model universes with spherical symmetry|journal= [[Annali di Matematica Pura ed Applicata]]|date= 1974|volume= 98|issue= 1|pages= 239–255|issn= 0373-3114}}
* {{citat|last1= Szekeres|first= George|authorlink1= George Szekeres|title= On the singularities of a Riemannian manifold|journal= [[Publicationes Mathematicae Debrecen]]|date= 1960|volume= 7|pages= 285–300|issn= 0033-3883|doi= 10.1023/A:1020744914721|bibcode= 2002GReGr..34.2001S|s2cid= 118200205}}
* {{citat|last1= Taylor|first1= Edwin Floriman|authorlink1= Edwin Floriman Taylor|last2= Wheeler|first2= John Archibald|title= Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity|date= 2000|publisher= [[Addison-Wesley]]|location= San Francisco|isbn= 0-201-38423-X|cobiss= 1455201}}
* {{citat|editor-last1= Tennent|editor-first1= Ralph Martin|title= Science Data Book|date= 1971|publisher= [[Oliver & Boyd]]|location= [[Edinburg]]|isbn= 978-0-05-002487-4|cobiss= <!--0-->|oclc= 16209039}}
* {{citat|last1= Weinberg|first1= Steven|authorlink1= Steven Weinberg|title= Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity|date= 1972|at= § 8|publisher= [[John Wiley & Sons]]|location= New York{{*}} [...]|isbn= 978-0-47-192567-5|cobiss= 8804|oclc= 329615|lccn= 78037175|url= https://archive.org/details/gravitationcosmo00stev_0|url-access= registration}}
{{refend}}

{{črne luknje}}

{{letvica portalov|Znanost|Astronomija}}

[[Kategorija:Splošna teorija relativnosti]]
[[Kategorija:Črne luknje]]
[[Kategorija:1916 v znanosti]]