Ogled vira Siméon-Denis Poisson

{{Infopolje Oseba}}

[[Baron]] '''Siméon-Denis Poisson''' [simeón dení poasón], [[Francozi|francoski]] [[fizik]], [[matematik]] in [[geometer]], * [[21. junij]] [[1781]], [[Pithiviers]], departma [[Loiret]], [[Francija]], † [[25. april]] [[1840]], [[Sceaux]] pri [[Pariz]]u.

== Življenje in delo ==

=== Mladost in študij ===
[[File:Poisson - Mémoire sur le calcul numerique des integrales définies, 1826 - 744791.tif|thumb|''Mémoire sur le calcul numerique des integrales définies'', 1826]]

Njegov oče Siméon Poisson je služil kot navaden [[vojak]] v [[sedemletna vojna|sedemletni vojni]]. Zaradi slabega ravnanja nadrejenih [[častnik]]ov je [[dezertacija|dezertiral]]. V [[čas]]u rojstva svojega sina Siméon-Denisa je opravljal administrativna dela. 

Mladega Poissona so najprej poslali k njegovemu stricu, kirurgu v [[Fontainebleau]]ju, kjer je poslušal predavanja iz puščanja krvi. Ker je pokazal nadarjenost za [[matematika|matematiko]], je odšel na École Centrale v Fontainebleau. Tu je imel prijaznega in dobrohotnega učitelja. Poisson ga je kmalu presegel in učitelj se je moral na novo učiti višje matematike.

Poisson je leta 1798 začel študirati na [[École Polytechnique]] v Parizu, kjer je kmalu opozoril nase. Učitelji so mu dovolili poslušati predavanja, ki si jih je sam izbiral. Leta 1800 je izdal dve znanstveni razpravi. Ena je obravnavala [[Étienne Bézout|Bézoutovo]] metodo eliminacije, druga pa število [[integral]]ov [[enačba|enačbe]] [[končna razlika|končnih razlik]]. Zadnjo sta pregledala [[Sylvestre-François Lacroix|Lacroix]] in [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]]. Predlagala sta, da jo objavijo v ''Recueil des savants étrangers'' v čast osemnajstletnemu mladeniču. S tem je Poisson postal znan v znanstveni srenji. [[Joseph-Louis de Lagrange|Lagrange]], katerega predavanja o teoriji funkcij je poslušal Poisson na École Polytechnique, je že zgodaj spoznal njegovo nadarjenost in postala sta prijatelja. [[Pierre-Simon Laplace|Laplace]], ki mu je Poisson sledil, ga je imel skoraj za svojega sina.

Kmalu po končanju študija je postal repetitor za učno snov. Leta 1802 so ga imenovali za nadomestnega profesorja (''professeur suppléant''). Leta 1806 je na École Polytechnique kot profesor matematike in [[mehanika|mehanike]] nadomestil [[Joseph Fourier|Fouriera]], ki je odšel v [[Grenoble]]. Leta 1808 je služboval kot [[astronom]] za [[Urad za dolžine]] (Bureau des Longitudes). Leta 1809 je postal profesor [[klasična mehanika|racionalne mehanike]] (''professeur de la mécanique rationelle'') na novoustanovljeni [[Faculté des Sciences]]. Leta 1812 je postal član Institutea, leta 1815 izpraševalec na vojaški šoli (''École Militaire'') v [[École Spéciale Militaire de Saint-Cyr|Saint-Cyru]], leta 1816 odhodni izpraševalec na École Polytechnique, leta 1820 svetnik univerze. Leta 1827 je kot geometer nadomestil Laplacea na Uradu za dolžine.

Leta 1817 se je poročil z Nancy de Bardi. Njegov oče, ki je zaradi prejšnjih izkušenj sovražil plemstvo, ga je vzgajal v strogem duhu prve republike. Poisson se je trdno držal družinskih načel in ni oboževal [[Napoléon Bonaparte|Napoléona]]. Ko so na oblast spet prišli [[Bourboni]], je postal legitimist. Med stotimi dnevi je bil zvest Bourbonom. Leta 1821]so ga zaradi zvestobe povzdignili v barona, vendar ni nikoli dvignil diplome ali uporabljal častnega naslova. Revolucija julija 1830 mu je skoraj vzela častni naslov, vendar je [[François Jean Dominique Arago|Aragoju]] spretno uspelo prepričati kralja [[Ludvik Filip|Ludvika Filipa]], da ni padel v nemilost. Sedem let po tem so ga zaradi znanstvenih uspehov imenovali za [[francosko perstvo|francoskega pera]].

=== Poučevanje in raziskovanje ===

Kot učitelj matematike je bil Poisson več kot uspešen, vsaj kakor je izgledalo še ko je bil repetitor na École Polytechnique. Njegovo znanstveno delo so dosegli le redki, če sploh kdo. Bil je avtor mnogih znanstvenih del s področja [[matematična fizika|matematične fizike]] in racionalne mehanike, saj jih je objavil več kot 300. Ukvarjal se je s [[Fourierov integral|Fourierovimi integrali]], [[variacijski račun|variacijskim]] in [[verjjetnostni račun|verjetnostnim računom]], s problemi iz [[elektrostatika|elektrostatike]] in [[magnetizem|magnetizma]]. Obstajata dve opazki, oziroma dve različici opazke, ki govorita o tem kako je lahko vse to dosegel. Ena pravi »''La vie n'est bonne que deux choses — à faire des mathématiques et à les professeurs''« druga pa »''La vie c'est le travail.''« (življenje je delo).

Seznam njegovih del, ki ga je sam sestavil, se nahaja na koncu Aragojevega življenjepisa. Navedba vseh del tukaj ne pride v poštev, saj je možno na kratko navesti le najpomembnejša. Na nekatera področja matematike ni prispeval. Na področjih [[uporabna matematika|uporabne matematike]] in fizike pa je njegov prispevek ogromen. Verjetno najizvirnejše in prav gotovo najvplivnejše so njegove razprave iz teorije [[elektrika in magnetizem|elektrike in magnetizma]], ki so dejansko odprle novo vejo matematične fizike.

Naslednje pomembne (za nekatere tudi najpomembnejše) so njegove razprave o [[nebesna mehanika|nebesni mehaniki]], kjer so je pokazal kot dostojen Laplaceov naslednik. Najpomebnejša od teh so ''Sur les inégalités séculaires des moyens mouvements des planètes'', ''Sur la variation des constantes arbitraires dans les questions de mécanique'', obe objavljeni v ''Journalu'' École Polytechnique (1809); ''Sur la libration de la lune'' v ''Connaiss. des temps'' (1821), etc.; in ''Sur la mouvement de la terre autour de son centre de gravité'' v ''Mém. d. l'acad.'' (1827), etc. V prvi od treh razprav je Poisson obravnaval znamenito vprašanje stabilnosti [[planet]]nih [[tir]]nic, ki ga je do prvega reda približka motenjskih [[sila|sil]] rešil Lagrange. Poisson je pokazal, da se lahko njegovi razultati razširijo na drugi približek in pokazal pot za pomemben razvoj [[planetna teorija|planetne teorije]]. Poissonova razprava je pomembna tudi zaradi tega, ker je vzpodbudila Lagrangea, da je po dolgem neaktivnem obdobju v svoji starosti sestavil eno od svojih največjih razprav, namreč ''Sur la théorie des variations des éléments des planètes, et en particulier des variations des grands axes de leurs orbites.'' Poissonovo razpravo je Lagrange cenil tako visoko, da jo je lastnoročno prepisal. Našli so jo med njegovimi papirji po njegovi smrti.

Poisson je leta 1811]izdal ''Traité de mécanique'' (2 vols. 8vo, 1811 arid 1833), ki je napisana v Laplaceovem in Lagrangeovem duhu. V njej je veliko novega, kot na primer eksplicitna raba [[impulzna kooedinata|impulznih koordinat]]:

: <math> p_i = {\partial T\over {\partial q_i\over \partial t}} \!\, , </math>

ki je pozneje navdihnila delo [[William Rowan Hamilton|Hamiltona]] in [[Carl Gustav Jakob Jacobi|Jacobija]]. 

V teoriji linearnih [[parcialna enačba|parcialnih enačb]] 2. reda ali v teoriji enačb matematične fizike je znana Poissonova enačba pri reševanju homogene [[valovna enačba|valovne enačbe]] za ''n'' = 1. Tukaj je znana tudi [[Poissonova enačba]]:

: <math> \nabla^2 \phi = - 4 \pi \rho \!\, , </math>

imenovana enačba [[teorija potenciala|teorije potenciala]], ki je tudi parcialna linearna enačba 2. reda. Če je funkcija [[Točka (geometrija)|točke]] ρ = 0, dobimo [[Laplaceova enačba|Laplaceovo enačbo]]:

: <math> \nabla^2 \phi = 0 \!\, . </math>

Leta 1812 je odkril, da Laplaceova enačba velja samo zunaj [[telo|telesa]]. Strogi dokaz za mase s spremenljivo [[gostota|gostoto]] pa je podal šele [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] leta 1839. Poisson je prvič objavil svojo enačbo leta 1813 v Bulletin de in société philomatique. Obe enačbi imata ekvivalenta v [[vektorska algebra|vektorski algebri]]. Raziskovanje [[skalarno polje|skalarnega polja]] φ iz dane
[[divergenca|divergence]] ρ(''x'', ''y'', ''z'') njegovega [[gradient]]a vede na Poissonovo enačbo v 3-[[razsežnost|razsežnem]] prostoru:

: <math> \nabla^2 \phi = \rho (x, y, z) \!\, . </math>

Na primer Poissonova enačba za površinski [[električni potencial]] Ψ, ki kaže njegovo odvisnost od gostote [[električni naboj|električnega naboja]] ρ<sub>e</sub> na določenem mestu:

: <math> \nabla^2 \Psi = {\partial ^2 \Psi\over \partial x^2 } +
                     {\partial ^2 \Psi\over \partial y^2 } +
                     {\partial ^2 \Psi\over \partial z^2 } =
                     - {\rho_{e} \over \varepsilon \varepsilon_{0}} \!\, . </math>

V [[tekočina|tekočini]] porazdelitev naboja ni znana in moramo uporabiti [[Poisson-Boltzmannova enačba|Poisson-Boltzmannovo enačbo]]:

: <math> \nabla^{2} \Psi = \frac{n_{0} e}{\varepsilon \varepsilon_{0}}
     \left( e^\frac{e\Psi (x,y,z)}{k_{\rm B}T} -
            e^\frac{e\Psi (x,y,z)}{k_{\rm B}T} \right) \!\, , </math>

ki pa jo v večini primerov ne moremo rešiti analitično in rešimo samo enačbe za posebne primere. V [[polarna kooerdinata|polarnih koordinatah]] se Poisson-Boltzmannova enačba glasi:

: <math> \frac{1}{r^{2}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r} \left( r^{2} \frac{\mathrm{d} \Psi}{\mathrm{d} r} \right) =
     \frac{n_{0} e}{\varepsilon \varepsilon_{0}}
     \left( e^\frac{e\Psi (r)}{k_{\rm B}T} - e^\frac{e\Psi (r)}{k_{\rm B}T} \right) \!\, , </math>

ki tudi ni rešljiva analitično.

Če polje φ ni [[skalar]]no, velja Poissonova enačba, kot je to lahko na primer v 4-razsežnem [[prostor Minkowskega|prostoru Minkowskega]]:

: <math> \square \phi_{ik} = \rho (x, y, z, ct) \!\, . </math>

Če je ρ(''x'', ''y'', ''z'') [[zveznost|zvezna]] funkcija in če vemo, da gre za ''r''→∞
(to se pravi, če se točka oddalji v [[neskončnost|neskončno]]) funkcija φ proti nič, in
sicer zadosti hitro, je rešitev Poissonove enačbe [[Newtonov potencial]] funkcije ρ(''x'', ''y'', ''z''):

: <math> \phi_{M} = - \frac{1}{\pi} \int \frac{\rho (x, y, z) \mathrm{d} v}{r} \!\, , </math>

kjer je ''r'' razdalja med elementom s prostornino d''v'' in točko ''M''. Integracija teče po vsem prostoru. 

Znan je tudi Poissonov integral pri konstruiranju [[Greenova funkcija|Greenove funkcije]] za Dirichletov problem Laplaceove enačbe, če je proučevano območje [[krog]]:

: <math> \phi(\xi \eta) = \frac{1}{4 \pi} \int _{0}^{2\pi}
     \frac{R^{2} - \rho^{2}}{R^{2} + \rho^{2} - 2R \rho \cos (\psi - \chi) } \phi
     (\chi) \, \mathrm{d} \chi \!\, , </math>

kjer je

: <math> \xi = \rho \cos \psi \; , \quad \eta = \rho \sin \psi \!\, . </math>

φ(χ) je na [[krožnica|krožnici]] predpisana funkcija, ki določa robne vrednosti iskane funkcije φ Laplaceove enačbe. Podobno konstruiramo Greenovo funkcijo za Dirichletov problem Laplaceove enačbe <math>\nabla^2 \phi = 0</math> v prostoru, če je proučevano območje [[sfera]] s polmerom ''R''. To pot ima Greenova funkcija obliko:

: <math> G(x,y,z;\xi,\eta,\zeta) = \frac{1}{r} - \frac{R}{r_{1} \rho} \!\, , </math>

kjer je <math>\rho = \sqrt {\xi^{2} + \eta^{2} + \zeta^{2}}</math> oddaljenost točke (ξ, η, ζ) od središča sfere, ''r'' razdalja med točkama (''x'', ''y'', ''z''), (ξ, η, ζ), ''r''<sub>1</sub> pa razdalja med točko (''x'', ''y'', ''z'') in simetrično točko ''R''ξ/ρ, ''R''η/ρ, ''R''ζ/ρ) k točki (ξ, η, ζ). Poissonov integral ima pri tem obliko z istimi oznakami:

: <math> \phi(\xi, \eta, \zeta) = \frac{1}{4 \pi} \int\!\!\!\int_{S} \frac{R^{2} - 
        \rho^{2}}{R r^{3}} \phi \, \mathrm{d} s \!\, . </math>

Poissonovi najpomembnejši razpravi iz tega področja sta ''Sur l'attraction des sphéroides'' (Connaiss. ft. temps, 1829) in ''Sur l'attraction d'un ellipsoide homogène'' (Mim. ft. l'acad., 1835). Pomembna je tudi njegova razprava o teoriji valovanja (Mém. ft. l'acad., 1825).

V verjetnostnem računu je znana Poissonova enačba. Leta 1837 je svojo [[teorija verjetnosti|teorijo verjetnosti]] izdal v ''Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matiere civile''. Če naredimo ''n'' neodvisnih poskusov in je pri vsakem izmed njih [[verjetnost]] dogodka ''A'' enaka ''p'', je verjetnost, da se dogodek ''A'' pojavi ''m'' krat enaka diskretni [[binomska porazdelitev|binomski porazdelitvi]], ki jo označimo s <math>b_{n,p}</math>:

: <math> p_{m,n} = C_n^m p^m (1 - p)^{n-m} \!\, . </math>

Ta verjetnost je največja pri <math>np + p - 1 \le m \le np + p</math>. Za velike ''m'' in ''n'', dobimo približno vrednost s [[Stirlingova enačba|Stirlingovo enačbo]], za razmeroma majhne ''n'' in majhne vrednosti ''p'' pa si pomagamo s [[Poissonova porazdelitev|Poissonovo porazdelitvijo]]. Slučajna spremenljivka ''X'' je porazdeljena po Poissonovem zakonu porazdelitve, če je pri njej za ''m'' = 0, 1, 2, ...

: <math> p(X=m) = {y^m e^{-y}\over m !} \!\, , </math>

kjer je ''y'' neko pozitivno število. S Poissonovo porazdelitvijo lahko tako aproksimiramo zgornjo binomsko porazdelitev:

: <math> p(X=m) = p(n,p,m) = C_n^m p^m (1-p)^{n-m} \!\, </math>

in dobimo:

: <math> p_{m,n} \cong {y^m e^{-y}\over m !} \!\, , </math>

kjer vzamemo ''y'' = ''np''. Za ''p'' ki so blizu 1, prav tako uporabimo Poissonovo enačbo s tem, da proučujemo nasprotni dogodek dogodku ''A'' (»ne ''A''«), ki ima majhno verjetnost ''q'' = 1 - ''p''. Tukaj je ''q'' zelo majhen. Lahko ocenimo verjetnost <math>p_{n-m,n}^{*}</math>, da se zgodi »ne ''A''« v ''n'' ponovitvah poskusa ''n''-''m''-krat:

: <math> p_{m,n} = p_{n-m,n}^* \cong {y^{n-m} e^{n-y}\over (n-m) !} \!\, . </math>

Osnova za aproksimacijo s Poissonovo porazdelitvijo je Poissonov izrek: Naj bo <math>r \in \mathbb{N}</math> in:

: <math> X_{r1~~~~}, X_{r2~~~~}, X_{r3~~~~}, \ldots </math>
: <math> X_{r+1,1}, X_{r+1,2}, X_{r+1,3}, \ldots </math>
: <math> X_{r+2,1}, X_{r+2,2}, X_{r+2,3}, \ldots </math>
: <math> \ldots\ldots\ldots\ldots </math>

niz Bernoullijevih [[zaporedje|zaporedij]]. V njej naj se verjetnost dogodka ''A'' spreminja od zaporedja do zaporedja tako, da ohrani produkt med indeksom ''n'' zaporedja in verjetnostjo <math>p_n</math> dogodka ''A'' v ''n''-tem zaporedju konstantno vrednost ''y'':

: <math> np_n = y \qquad\qquad (y > 0 \; ; \; r > y \; ; \; n = r, r+1, r+2, \ldots
     ) \!\, . </math>

Tedaj je za vsako celo nenegativno število ''m'':

: <math> \lim_{n\to\infty} p_{m,n} = p_m = {y^m e^{-y}\over m !} \!\, . </math>

Če je sedaj danih ''n'' ponovitev poskusa in majhen ''p'', imamo lahko ta ''p'' za kakšen dovolj pozen <math>p_m</math> iz zgornjega niza, seveda take, da je zanjo ''y'' = ''np''. Potem nam limita da Poissonovo aproksimacijo. Izrek ne pove nič drugega, kot da je pri velikem ''n'' in majhnem ''p'' diskretna binomska porazdelitev <math>b_{n,p}</math> skoraj taka kot diskretna Poissonova porazdelitev, ki jo označimo s <math>p_y</math>.

== Dela ==

Poleg svojih mnogih razprav je objavil še številna samostojna dela, ki niso bila nikoli del kakšnega daljšega dela: 
* ''Théorie nouvelle de l'action cappillaire'' (4to, 1831),
* ''Théorie mathématique de la chaleur'' (4to, 1835),
* Dodatek k prejšnji (4to, 1837),
* ''Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matiere civile'' (4to, 1837),
vsa objavljena v Parizu.

Poisson je leta 1815 obravnaval integrale vzdolž poti na kompleksni ravnini. Leta 1831 je neodvisno od [[Claude-Louis-Marie Henri Navier|Navierja]] izpeljal [[Navier-Stokesove enačbe]].

== Priznanja ==

=== Nagrade ===

Za svoje [[znanost|znanstvene]] dosežke je Poisson skupaj s [[Michael Faraday|Faradayjem]] leta 1832 prejel [[Copleyjeva medalja|Copleyjevo medaljo]] [[Kraljeva družba|Kraljeve družbe]] iz [[London]]a.

=== Poimenovanja ===

Po njem se imenuje [[krater]] [[Poisson (krater)|Poisson]] na [[Luna|Luni]].

== Glej tudi ==

* [[Euler-Poisson-Darbouxjeva enačba]]
* [[Poisson-Boltzmannova enačba]]
* [[Poissonov oklepaj]]
* [[Poissonov proces]]
* [[Poissonova diferencialna enačba]]
* [[Poissonova enačba]] ([[teorija potenciala]])
* [[Poissonova pega]] (Aragojeva pega, [[optika]])
* [[Poissonova porazdelitev]]
* [[Poissonova regresija]] ([[statistika]])
* [[Poissonovo jedro]] ([[teorija potenciala]])
* [[Poissonovo število]] ([[mehanika]])

== Sklici ==

{{sklici|1}}

{{-}}

{{Copleyjeva medalja}}

{{normativna kontrola}}

{{DEFAULTSORT:Poisson, Siméon-Denis}}

[[Kategorija:Rojeni leta 1781]]
[[Kategorija:Umrli leta 1840]]
[[Kategorija:Francoski fiziki]]
[[Kategorija:Francoski geometri]]
[[Kategorija:Francoski matematiki]]
[[Kategorija:Diplomiranci École Polytechnique]]
[[Kategorija:Predavatelji na École Polytechnique]]
[[Kategorija:Člani Kraljeve švedske akademije znanosti]]
[[Kategorija:Prejemniki Copleyjeve medalje]]
[[Kategorija:Francoski akademiki]]
[[Kategorija:Ljudje, po katerih so poimenovali krater na Luni]]