Ogled vira Smer padanja

Pri [[Optimizacija (matematika)|optimizaciji]] je '''smer padanja''' funkcije oziroma ''padajoča smer'' v točki <math>\mathbf{x}\in\mathbb R^n</math> vektor <math>\mathbf{p}\in\mathbb R^n</math>, za katerega velja, da vrednost ''[[Optimizacija (matematika)|namenske funkcije]]'' <math>f:\mathbb R^n\to\mathbb R</math> v tej smeri »lokalno pada«.

Bolj natančno to pomeni, da lahko najdemo takšen skalar <math>\epsilon >0 </math>, da velja

:<math>\alpha>0 \land  \alpha < \epsilon \Rightarrow f(\mathbf{x} + \alpha \mathbf{p}) < f(\mathbf{x}) </math>, je 

Če gradient funkcije ni enak nič (<math> \nabla f(\mathbf{x} \ne 0) </math>), je <math>\mathbf{p}</math> smer padanja funkcije ''f'' natanko takrat, ko je

: <math>\langle\mathbf{p}_k,\nabla f(\mathbf{x}_k)\rangle < 0</math>, 
kjer <math> \langle , \rangle </math> označuje [[skalarni produkt]].

Pri optimizacijskih algoritmih je iskanje padajočih smeri [[Optimizacija (matematika) | namenske funkcije]] pomembno, ker lahko funkcijo v takšni smeri zagotovo zmanjšamo, če uporabimo dovolj majhen korak. Negativen neničelen [[gradient]] funkcije je vedno padajoča smer, saj velja
:<math> \langle -\nabla f(\mathbf{x}_k), \nabla f(\mathbf{x}_k) \rangle = -\langle \nabla f(\mathbf{x}_k), \nabla f(\mathbf{x}_k) \rangle < 0 </math>.

To dejstvo uporabimo pri [[Metoda najstrmejšega padca|metodi najstrmejšega padca]], kjer funkcijo zaporedoma [[Minimizacija v dani smeri|minimiziramo v smeri]] negativnega gradienta. Obstajajo še druge metode za izračun smeri padanja, na primer [[metoda konjugiranih gradientov]]. Ta metoda se uporablja pogosteje od metode najstrmejšega padca, ki v resnici ni učinkovita, kar se intuitivno zdi v nasprotju z dejstvom, da funkcija v smeri negativnega gradienta najhitreje pada.

== Glej tudi ==
* [[Minimizacija v dani smeri]]

[[Kategorija:Optimizacija]]