Ogled vira Soliton

'''Solitón''' je [[val]], ki po [[medij]]u potuje s konstantno [[hitrost]]jo in nespremenjeno obliko. Pogoj za nastanek takega vala sta [[nelinearna optika|nelinearen]] odziv [[snov]]i in [[disperzija (optika)|disperzivnost]]. Najbolj znani so solitoni v [[hidrodinamika|hidrodinamiki]] (npr. [[cunami]]ji) in v [[optika|optiki]] (v [[optična vlakna|optičnih vlaknih]]). Matematično dobimo solitone kot rešitve nelinearnih [[parcialna diferencialna enačba|parcialnih]] [[diferencialna enačba|diferencialnih enačb]].

== Fizika solitonov ==

[[Slika:Soliton hydro.jpg|thumb|right|300px|Soliton v hidrodinamiki.]]
V disperzivnem sredstvu je hitrost razširjanja [[valovanje|valovanja]] odvisna od njegove [[valovna dolžina|valovne dolžine]]. Za [[valovni paket]], ki je sestavljen iz valovanj z različnimi [[frekvenca]]mi, to pomeni, da se pri potovanju skozi tako snov razširi, saj različni deli vala potujejo z različno hitrostjo. Če pa je snov hkrati še nelinearna, kar pomeni, da je [[lomni količnik]] za dano frekvenco odvisen tudi od [[intenziteta|intenzitete]] valovanja, pa lahko pride do izničenja vpliva disperzije in nelinearnosti: zaostali del valovnega paketa nelinearni pojavi pohitrijo, prehitevajoči del paketa pa upočasnijo. Tako dobimo val, ki po snovi potuje z nespremenljivo obliko - soliton.

Zanimivo je obnašanje dveh solitonov ob [[trk]]u. Za razliko od običajnega valovanja, ki ob srečanju [[interferenca|interferirata]], solitoni po trku nemoteno potujejo naprej z nespremenjeno hitrostjo in obliko, spremeni se jim le [[faza]]. Prav tako lahko en val prehiti drugega in oba nemoteno potujeta naprej.

Za razliko od običajnega valovanja, ki mu [[amplituda]] in hitrost pojema v odvisnosti od razdalje od izvora, se soliton na dolge razdalje propagira s konstantno hitrostjo in obliko/amplitudo.

== Zgodovina ==

Kot prvi je opazil solitone škotski pomorski inženir [[John Scott Russel]] (1808-1882) leta 1834 na kanalu z imenom Union Canal v bližini [[Edinburg]]a, kjer je opazoval premikanje [[čoln]]a na vodi. Ko se je čoln ustavil, je ustvaril val, ki se je z nespremenjeno obliko (približno pol metra visok in 10 metrov dolg) in hitrostjo (približno 16 km/h) širil po kanalu 2-3 km daleč. Scott Russel ga je prvotno poimenoval translacijski val.

[[Slika:Scott Russell aqueduct, Hermiston - geograph.org.uk - 45693.jpg|thumb|400px|Akvedukt Johna Scott Russla na Union Canalu blizu Edinburga. Na tem kanalu je Scott Russel prvič opazil solitone.]]

Scott Russel je v nadaljevanju podrobneje proučeval obnašanje solitonov. Njegovo eksperimentalno delo se ni skladalo z [[Isaac Newton|Newton]]ovo in [[Daniel Bernoulli|Bernoulli]]jevo teorijo hidrodinamike. [[George Biddell Airy|Airy]] in [[George Gabriel Stokes|Stokes]] sta s težavo sprejela Scott Russlova eksperimentalna opažanja, saj jih ni bilo moč pojasniti z obstoječimi teorijami o valovanju v vodi.

Prvi teoretični opis solitonov je leta 1871 podal francoski matematik [[Joseph Valentin Boussinesq]] (1842-1929), leta 1876 pa tudi [[John William Strutt Rayleigh|lord Rayleigh]]. Leta 1895 sta nizozemski matematik [[Diederik Johannes Korteweg]] (1848-1941) in [[Gustav de Vries]] (1866-1934) predstavila diferencialno enačbo, ki se sedaj imenuje [[Korteweg-de Vriesova enačba]], in velja za eno osnovnih enačb, katere rešitev so solitoni.

[[Norman Zabusky]] iz [[Bellovi laboratoriji|Bellovih laboratorijev]] in [[Martin David Kruskal]] z [[Univerza Princeton|Univerze Princeton]] sta leta 1965 prva pokazala obnašanje solitonov v snovi na podlagi Korteweg–de Vriesove enačbe z [[računalnik]]om s pomočjo metode [[končna razlika|končnih razlik]]. Pokazala sta tudi kako to obnašanje pojasnjuje težko razrešljivo predhodno delo [[Fermi-Pasta-Ulamov problem|Fermija, Paste in Ulama]].

Gardner, Greene, Kruskal in Miura so leta 1967 odkrili [[transformacija obratnega sipanja|transformacijo obratnega sipanja]], kar je omogočilo [[analitična funkcija|analitično]] rešitev Korteweg–de Vriesove enačbe. [[Peter David Lax|Lax]]ovo delo o [[Laxov par|Laxovih parih]] in Laxovi enačbi je razširilo to na rešitev mnogih sistemov, ki generirajo solitone.

Leta 1973 so prvič napovedali, da lahko pride do pojava solitonov tudi v [[optična vlakna|optičnih vlaknih]] in predlagali njihovo uporabo v [[telekomunikacije|telekomunikacijah]]. Prvič so svetlobne solitone eksperimentalno ustvarili leta 1980.

== Solitoni v optičnih vlaknih ==

V optičnih vlaknih razširjanje [[svetloba|svetlobe]] opišemo z [[valovna enačba|valovno enačbo]]. V primeru, da je lomni količnik odvisen od intenzitete svetlobe ([[Kerrov pojav]]), pride do [[samo-modulacija|samo-modulacije]] [[faza|faze]] valovanja. Če ta učinek izničimo z disperzijo, dobimo soliton. Valovno enačbo moramo v tem primeru ustrezno popraviti. Privzamemo, da je svetloba [[Polarizacija svetlobe|polarizirana]] v eni smeri, potem [[električno polje|električno]] in [[magnetno polje]] svetlobe opišemo s [[skalar]]jem, ki je odvisen od kraja <math>(z)</math> in časa <math>(t)</math>. Če to funkcijo zapišemo kot produkt nihanja svetlobe in ovojnice <math>u</math>, potem za obliko ovojnice dobimo nelinearno parcialno diferencialno enačbo. Z uvedbo novih [[brezrazsežna količina|brezrazsežnih spremenljivk]] dobimo enačbo, v kateri prepoznamo nelinearno [[Schrödingerjeva enačba|Schrödingerjevo enačbo]]:

: <math> i \frac{\partial u}{\partial z'} + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} u}{ \partial t'^{2}} + |u|^{2}u = 0 \!\, . </math>

Pri tem je

: <math> t' = \frac{z-vt}{v \tau_{0}} \!\, , </math>
: <math> z' = \frac{|k''| z}{ \tau_{0}^{2}} \!\, , </math>
: <math> u= \frac{v}{u_{0}} \!\, . </math>

Privzeli smo, da se oblika vala v kraju in času spreminja počasi v primerjavi s periodo valovanja in valovno dolžino svetlobe. Vpeljani parametri imajo tudi fizikalni pomen: <math>\tau_{0}</math> je širina solitona, <math>u_{0}</math> njegova amplituda, 
<math>v</math> je hitrost razširjanja solitona in <math>k''</math>je koeficient materialne disperzije.

Za solitonsko rešitev mora veljati še:

: <math> Q(u) := \int_{-\infty}^{+\infty}{|u|^{2}} \, \mathrm{d} z' \!\, , </math>
: <math> E(u) = \int_{-\infty}^{+\infty}{|\nabla \; u|^{2} - \frac{|u|^{4}}{4}} \, \mathrm{d} z' \!\, , </math>

pri čemer <math>Q</math> določa normalizacijo vala, <math>E</math> pa energijo vala - obe količini sta končni in se morata ohranjati. Namesto konstant Q in E se pogosto navaja robne pogoje:

: <math> u( z' = \pm \infty) = 0 \!\, , </math>
: <math> \nabla \; u ( z' = \pm \infty) = 0 \!\, . </math>

[[Slika:Sech.png|thumb|right|300px|Soliton ima obliko funkcije sech (recipročna funkcija ch).]]

Solitonska rešitev te enačbe ima potem obliko:

: <math> u(z',t')= \frac{e^{i \frac{ z'}{2}}}{\operatorname{ch}(t')} \!\, , </math>

oziroma:

: <math> v(z,t)=u_{0} \frac{e^{ \frac{i z|k''|}{2 \tau_{0}^{2}}}}{\operatorname{ch}( \frac{z-vt}{v \tau_{0}})} \!\, . </math>

== Uporaba solitonov ==

Ultrakratki solitoni ([[femto]]sekundni do [[piko]]sekundni) so bili generirani v optičnih vlaknih pri valovnih dolžinah nad 1,3 [[mikrometer|mikrometra]] v enorodovnih optičnih vlaknih. Če želimo ustvariti soliton v optičnem vlaknu, moramo na optično vlakno pripeljati pulz, ki ima tako obliko, kot jo ima soliton, torej <math>1/\operatorname{ch}(z)</math>, hkrati pa mora biti produkt širine in amplitude pulza enak kot za soliton. 

Solitoni so bili že propagirani skozi kar nekaj tisoč kilometrov optičnih vlaken. Prav zato, ker jih lahko propagiramo velike razdalje in kljub temu ohranijo obliko, so uporabni za prenos podatkov. Tipične hitrosti prenosa podatkov z solitoni naj bi bile <math>10^{12}</math>b/s oziroma terabit na sekundo.

== Viri ==

* {{navedi knjigo |last=Bass |first=Michael|display-authors=etal|year=1995|title=OSA Handbook of optics|volume=2|location=|publisher=McGraw-Hill|isbn=0-07-047974-7|cobiss=88676}}
* {{navedi knjigo| author1=Christianson, H. |author2=Marzuola, J.|title=Existence and stability of solitons for the nonlinear shroedinger equation on hyperbolic space| date=2009-06-22 | url=https://archive.org/details/arxiv-0905.1848 }}
* {{navedi knjigo |last=Römer |first=Hartmann|year=2004|title=Theoretical optics - an introduction|url=https://archive.org/details/theoreticaloptic0000rome |location=Weinheim|publisher=Wiley-VCH|isbn=3-527-40429-5|cobiss=26817285}}
* {{navedi knjigo |last=Saleh |first=Bahaa E. A.|display-authors=etal|year=1991|title=Fundamentals of Photonics|location=New York|publisher=John Wiley & Sons|isbn=0-471-83965-5|cobiss=234267}}

== Zunanje povezave ==

* [http://www.youtube.com/watch?v=PyjwZ39EDmw Primer solitona v bazenu] 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Soliton Soliton na angleški Wikipedii] {{ikona en}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Soliton.html Soliton na Wolfram MathWorld] {{ikona en}}

[[Kategorija:Fizika]]
[[Kategorija:Elektrooptika]]
{{normativna kontrola}}