Ogled vira Teorija potenciala

{{short description|veja matematike in matematične fizike, ki proučuje harmonične funkcije}}
'''Teoríja potenciála'''{{r|spl00}} (tudi '''potenciálna teoríja'''{{r|spl02}}{{r|suha-1994}}){{efn|Redkeje ''teorija potencialov''.{{r|venc-1992}}{{r|spl01}}}} je v [[matematika|matematiki]] in [[matematična fizika|matematični fiziki]] preučevanje [[harmonična funkcija|harmoničnih funkcij]]. Posveča se preučevanju značilnosti [[parcialna diferencialna enačba|parcialnih diferencialnih enačb]] v območjih z dokaj [[gladka funkcija|gladko]] [[meja (matematika)|mejo]] z uvedbo posebnih vrst [[integral]]ov, ki so odvisni od določenih parametrov, imenovanih ''[[potencial]]i''. Teorija potenciala se imenuje tudi teorija [[potencialno vektorsko polje|brezvrtinčnih (potencialnih, konservativnih) vektorskih polj]] in se ukvarja z matematičnimi in fizikalnimi osnovami [[konservativna sila|konservativnih]] (brezvrtinčnih) [[polje sil|polj sil]]. Osrednji elementi teorije so potencial in njegove krajevne izpeljanke, pri katerih je treba razlikovati med notranjostjo [[telo (fizika)|telesa]] (z njegovim [[električni naboj|električnim nabojem]] ali porazdelitvijo [[masa|mase]]) in zunanjim prostorom brez vira ([[Laplaceova enačba]]).

[[slika:유한요소법 격자.jpg|thumb|right|Mreža [[metoda končnih elementov|metode končnih elementov]] in [[potencial]] v vsaki [[točka (geometrija)|točki]]]]

Izraz »teorija potenciala« je bil skovan v [[fizika|fiziki]] 19. stoletja, ko je bilo ugotovljeno, da je mogoče dve temeljni [[sila|sili]] narave, znani v tistem času, in sicer [[gravitacija|gravitacijo]] in [[elektrostatična sila|elektrostatično silo]], modelirati z uporabo [[funkcija|funkcij]], imenovanih [[gravitacijski potencial]] in [[elektrostatični potencial]], za kateri velja [[Poissonova enačba]] ali v [[vakuum]]u Laplaceova enačba. Sedaj se ve, da je narava bolj zapletena &ndash; enačbe, ki opisujejo sile, so sistemi nelinearnih [[parcialna diferencialna enačba|parcialnih diferencialnih enačb]], kot so [[Einsteinove enačbe polja]] in [[Jang-Millsove enačbe]], ter da Laplaceova enačba velja le kot mejni primer. Kljub temu je izraz »teorija potenciala« ostal kot priročen izraz za opisovanje preučevanja funkcij, ki zadoščajo Laplaceovi enačbi.

Obstaja precejšnje prekrivanje med teorijo potenciala in teorijo Poissonove enačbe do te mere, da je nemogoče razlikovati med tema dvema področjema. Razlika je bolj v poudarku kot predmetu in temelji na naslednjem razlikovanju: teorija potenciala se osredotoča na značilnosti funkcij v nasprotju z značilnostmi enačbe. Za rezultat o [[matematična singularnost|singularnostih]] harmoničnih funkcij bi se na primer reklo, da pripada teoriji potenciala, medtem ko bi se za rezultat o tem, kako je rešitev odvisna od mejnih podatkov, reklo, da pripada teoriji Poissonove enačbe. To ni težko in se lahko hitro razlikuje, v praksi se obe področji precej prekrivata, pri čemer se metode in rezultati enega uporabljajo na drugem.

Moderna teorija potenciala je tesno povezana tudi z [[verjetnostni račun|verjetnostnim računom]] in teorijo [[markovska veriga|markovskih verig]]. V zveznem primeru je to tesno povezano z analitično teorijo. V primeru končnega prostora stanj je to povezavo mogoče uvesti z uvedbo [[električni krog|električnega kroga]] na prostoru stanj, z [[električni upor|električnim uporom]] med [[točka (geometrija)|točkami]], ki je obratno sorazmeren z verjetnostmi prehoda, in gostoto sorazmerno s potenciali. Tudi v končnem primeru ima analogni I-K [[Laplaceov operator|Laplaceovega operatorja]] v teoriji potenciala svoje načelo maksimuma, načelo edinstvenosti, načelo ravnovesja in druge.

'''Abstraktna teorija potenciala''' je posplošitev teorije potenciala na abstraktne [[topološki prostor|topološke prostore]].{{r|solo-1977}} Kot glavna abstraktna teorija se uporablja koncept '''harmoničnega prostora''' &ndash; poljubnega topološkega prostora, opremljenega s [[snop (matematika)|snopom]] [[zvezna funkcija|zveznih]] [[realna funkcija|realnih funkcij]], ki imajo ([[formalni sistem|aksiomatsko]] fiksne) značilnosti, značilne za harmonične funkcije.{{r|solo-1977}}

Med pomembne uporabe teorije potenciala spadajo nekatera [[skalarno polje|skalarna polja]], ki so učinkovita v naravi, zlasti [[gravitacijsko polje]] ter [[električno polje|električna]] in [[magnetno polje|magnetna polja]]. V [[dinamika tekočin|dinamiki tekočin]] ([[aerodinamika|aerodinamiki]] in [[hidrodinamika|hidrodinamiki]]) se lahko [[potencialni tok|tokovna polja]] opišejo kot potencialna polja, tako kot mnogi procesi v [[atomska fizika|atomski fiziki]] in modeliranja natančne [[oblika Zemlje|oblike Zemlje]].

== Zgodovina ==

Teorija potenciala je sprva nastala kot del [[nebesna mehanika|nebesne mehanike]]. Ta je preučevala značilnosti privlačnih sil, ki delujejo po [[splošni gravitacijski zakon|splošnem gravitacijskem zakonu]]. V izjavi tega zakona, ki jo je podal [[Isaac Newton]] leta 1687, so edine upoštevane sile sile medsebojnega privlačenja, ki delujejo na dva delca z maso majhne velikosti ali dve [[točkasto telo|točkasti telesi]]. Te sile so neposredno  [[premo sorazmerje|premo sorazmerne]] s [[produkt]]om mas teh delcev in [[obratno sorazmerje|obratno sorazmerne]] s [[kvadrat (algebra)|kvadratom]] [[razdalja|razdalje]] med njima. Tako je bil prvi in najpomembnejši problem z vidika nebesne mehanike in [[geodezija|geodezije]] preučevanje privlačnih sil snovne točke s končnim gladkim snovnim telesom &ndash; [[sferoid]]om in še posebej [[elipsoid]]om (ker ima veliko [[nebesno telo|nebesnih teles]] takšno obliko).{{r|pril-2001}} [[Carl Friedrich Gauss]] je že imel v mislih uporabe za določanje oblike [[geoid]]a.{{r|gell-1970}}{{r|grim-1954}}

{{multiple image
|perrow            = 5
|total_width       = 500
|align             = right
|background color  = <!--#33cc00-->
|caption_align     = center
|image_gap         = 2

|image1            = GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|
|width1            = 80
|alt1              =
|link1             = Isaac Newton
|caption1          = {{ubl|[[Isaac Newton]]|1643&ndash;1727}}

|image2            = Christoph Bernhard Francke - Bildnis des Philosophen Leibniz (ca. 1695).jpg
|width2            = 80
|alt2              =
|link2             = Gottfried Wilhelm Leibniz
|caption2          = {{ubl|[[Gottfried Wilhelm Leibniz]]|1646&ndash;1716}}

|image3            = Jakob Hermann.png
|width3            = 80
|alt3              =
|link3             = Jakob Hermann (matematik)
|caption3          = {{ubl|[[Jakob Hermann (matematik)|Jakob Hermann]]|1678&ndash;1733}}

|image4            = Porträt des Daniel Bernoulli - edit1.jpg
|width4            = 80
|alt4              =
|link4             = Daniel Bernoulli
|caption4          = {{ubl|[[Daniel Bernoulli]]|1700&ndash;1782}}

|image5            = Leonhard Euler - Jakob Emanuel Handmann (Kunstmuseum Basel).jpg
|width5            = 80
|alt5              =
|link5             = Leonhard Euler
|caption5          = {{ubl|[[Leonhard Euler]]|1707&ndash;1783}}

|image6            = Лагранж.jpg
|width6            = 80
|alt6              =
|link6             = Joseph-Louis de Lagrange
|caption6          = {{ubl|[[Joseph-Louis de Lagrange]]|1736&ndash;1813}}

|image7            = Laplace, Pierre-Simon, marquis de.jpg
|width7            = 80
|alt7              =
|link7             = Pierre-Simon Laplace
|caption7          = {{ubl|[[Pierre-Simon Laplace]]|1749&ndash;1827}}

|image8            = Legendre.jpg
|width8            = 80
|alt8              =
|link8             = Adrien-Marie Legendre
|caption8          = {{ubl|[[Adrien-Marie Legendre]]|1752&ndash;1833}}

|image9            = Carl Friedrich Gauss.jpg
|width9            = 80
|alt9              =
|link9             = Carl Friedrich Gauss
|caption9          = {{ubl|[[Carl Friedrich Gauss]]|1777&ndash;1855}}

|image10           = E. Marcellot Siméon-Denis Poisson 1804.jpg
|width10           = 80
|alt10             =
|link10            = Siméon-Denis Poisson
|caption10         = {{ubl|[[Siméon-Denis Poisson]]|1781&ndash;1840}}

| footer =
}}

Začetki teorije potenciala ležijo v članku [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfrieda Wilhelma Leibniza]] iz leta 1686. V njem je Leibniz določil »gibalno silo« ali ''vis motrix'' telesa, ki je [[sorazmerje|sorazmerna]] s kvadratom njegove [[hitrost]]i. Ker je prevzel teorijo [[nihalo|nihala]] [[Christiaan Huygens|Christiaana Huygensa]], je bilo očitno, da se gibalna sila [[ohranitveni zakon|ohranja]], kar je tudi jasno navedel.

[[Jakob Hermann (matematik)|Jakob Hermann]] je imenoval silo, ki povzroča [[gibanje]] teles, ''vis motrix'' in jo je razdelil v dva razreda &ndash; ''viva'' ([[živa sila]]) in ''mortua'' (mrtva sila). Živa sila je bila povezana z dejanskim gibanjem, mrtva sila pa ni povzročala nobenega dejanskega gibanja, razen če se je nadaljevalo ali ponavljalo, na primer v gravitaciji [[centrifugalna sila|centrifugalnih sil]]. Živo silo je imenoval preprosto ''vis'', mrtvo silo pa ''sollicitatio'' &ndash; »[[sunek sile|sunek]]«, »[[impulz]]«. To sta bili aktivni sili ali ''vires activae''. ''Vis passiva'' ni povzročala gibanj ali težje po njem, temveč mu je nasprotovala in se je imenovala ''vis inertiae'' (»[[vztrajnostna sila|vztrajnostna]]«, oziroma »[[inercijska sila]]«).{{r|cros-1983}}

Najzgodnejša uporaba potencialov, vključno z imenom, izhaja iz dela ''Hidrodinamika'' (''[[Hydrodinamica]]'') [[Daniel Bernoulli|Daniela Bernoullija]] iz leta 1738. Bernoulli je uvedel koncept z ugotovitvijo, da je mogoče v [[enačba gibanja|enačbah gibanja]] [[tekočina|tekočine]] dobiti sile z [[odvod|odvajanjem]] [[skalarna funkcija|skalarne funkcije]]. K nastanku in začetnemu razvoju teorije so največ prispevali Newton, Leibniz, Hermann, Daniel Bernoulli, [[Leonhard Euler]], [[Joseph-Louis de Lagrange]], [[Pierre-Simon Laplace]] in [[Adrien-Marie Legendre]]. Lagrange je zlasti pokazal, da je polje gravitacijskih sil, kot se imenuje sedaj, [[potencialno polje|potencialno]], in uvedel funkcijo, ki jo je kasneje [[George Green]] leta 1828 imenoval ''potencialna funkcija'', Gauss pa leta 1840 le ''potencial''.{{r|pril-2001}}

Metoda potencialov se je z Gaussom začela uporabljati tudi za probleme [[elektrostatika|elektrostatike]] in [[magnetizem|magnetizma]], za potenciale so začeli upoštevati »mase« (električni naboji, [[magnetizacija]]) s poljubnim [[predznak]]om. Kot del razvoja teorije v 19. stoletju so se pojavili osnovni [[problem mejnih vrednosti|problemi]] oziroma naloge mejnih vrednosti: [[Dirichletov problem]], [[Neumannov robni pogoj|Neumannov problem]], [[Robinov robni pogoj|Robinov problem]], [[problem pometanja mas]] ([[metoda pometanja]] (''balayage'')). Za reševanje zgoraj omenjenih problemov v primeru domen z dovolj gladkimi mejami so se izkazale za učinkovite nekatere vrste potencialov, to so posebni razredi od parametrov odvisnih integralov, kot so volumetrični potenciali porazdeljene mase, enostavnoplastni in dvoplastni potenciali, logaritemski potenciali, Greenovi potenciali itd.{{r|pril-2001}} [[Aleksander Mihajlovič Ljapunov]] in [[Vladimir Andrejevič Steklov]] sta pomembno prispevala k preučevanju osnovnih problemov mejnih vrednosti ob koncu 19. stoletja.

Rezultati teorije so bili v začetku 20. stoletja močno posplošeni z uporabo aparata [[teorija mere|teorije mere]] in [[posplošena funkcija|posplošenih funkcij]]. Kasneje so bile [[analitična funkcija|analitične]], harmonične in [[podharmonična funkcija|podharmonične funkcije]] in orodja, ki uporabljajo teorijo verjetnosti, vključena v teorijo potenciala.

V 1950-ih je bila na podlagi metod [[topologija|topologije]] in [[funkcionalna analiza|funkcionalne analize]] razvita aksiomatska abstraktna teorija potenciala.

== Simetrija ==

Uporabno izhodišče in organizacijsko načelo pri študiju harmoničnih funkcij je upoštevanje [[simetrija|simetrij]] Laplaceove enačbe. Čeprav ne gre za simetrijo v običajnem pomenu izraza, se lahko začne z ugotovitvijo, da je Laplaceova enačba [[linearna transformacija|linearna]]. To pomeni, da je temeljni predmet proučevanja v teoriji potenciala [[linearni prostor]] funkcij. Ta ugotovitev se bo izkazala za posebej pomembno, ko se bo v poznejšem razdelku obravnavalo pristope [[funkcijski prostor|funkcijskega prostora]] k predmetu.

Kar zadeva simetrijo v običajnem pomenu izraza, se lahko začne z [[izrek]]om, da so simetrije <math> n \!\, </math>-razsežne Laplaceove enačbe natanko [[konformna preslikava|konformne]] simetrije [[n-razsežni prostor|<math> n \!\, </math>-razsežnega]] [[evklidski prostor|evklidskega prostora]]. To dejstvo ima več implikacij. Najprej se lahko upošteva harmonične funkcije, ki se transformirajo pod [[ireducibilna reprezentacija|ireducibilnimi reprezentacijami]] [[konformna grupa|konformne grupe]] ali njenih [[podgrupa|podgrup]] (kot sta [[grupa vrtenj]] ali [[grupa translacij|translacij]]). Če se nadaljuje na ta način, se sistematično pridobi rešitve Laplaceove enačbe, ki izhajajo iz [[ločitev spremenljivk|ločitve spremenljivk]], kot so [[sferni harmoniki|sfernoharmonične]] rešitve in [[Fourierova vrsta|Fourierove vrste]]. Z linearnimi superpozicijami teh rešitev se lahko ustvari velike razrede harmoničnih funkcij, za katere je mogoče [[matematični dokaz|dokazati]], da so [[gosta množica|goste]] v prostoru vseh harmoničnih funkcij pod ustreznimi topologijami.

Drugič, konformno simetrijo se lahko uporabi za razumevanje klasičnih trikov in tehnik za generiranje harmoničnih funkcij, kot sta [[Kelvinova transformacija]] in [[metoda slik]].

Tretjič, lahko se uporabi konformne transformacije za preslikavo harmoničnih funkcij v eni [[domena (matematična analiza)|domeni]] v harmonične funkcije v drugi domeni. Najpogostejši primerek takšne konstrukcije je povezovanje harmoničnih funkcij na [[krog]]u s harmoničnimi funkcijami na [[polravnina|polravnini]].

Četrtič, lahko se uporabi konformno simetrijo za razširitev harmoničnih funkcij na harmonične funkcije na konformno ravnih [[Riemannova mnogoterost|Riemannovih mnogoterostih]]. Morda je najenostavnejša taka razširitev obravnavati harmonično funkcijo, definirano na celotnem [[vektorski prostor|vektorskem prostoru]] <math> \R^{n} \!\, </math> (z možno izjemo [[diskretna množica|diskretne množice]] [[singularna točka|singularnih točk]]), kot harmonično funkcijo na <math> n \!\, </math>-razsežni [[sfera|sferi]]. Lahko se zgodijo tudi bolj zapletene razmere. Lahko se na primer dobi [[višje razsežnosti|višjerazsežni]] [[analog]] teorije [[Riemannova ploskev|Riemannovih ploskev]] tako, da se izrazi harmonično funkcijo z več vrednostmi kot funkcijo z eno vrednostjo na razvejanem pokrovu <math> \R^{n} \!\, </math> ali pa se lahko obravnavajo harmonične funkcije, ki so [[invarianta|invariantne]] pod diskretno podgrupo konformne grupe kot funkcije na mnogopovezani [[mnogoterost]]i ali [[orbiterost]]i.

== Dve razsežnosti ==

Iz dejstva, da je [[grupa]] konformnih transformacij neskončnorazsežna v [[dvorazsežni prostor|dveh razsežnostih]] in končnorazsežna za več kot dve razsežnosti, se lahko domneva, da se teorija potenciala v dveh razsežnostih razlikuje od teorije potenciala v drugih [[razsežnost (vektorski prostor)|razsežnostih]]. To je pravilno in dejansko, ko se spozna, da je poljubna dvorazsežna harmonična funkcija [[realni del]] [[kompleksno število|kompleksne]] analitične funkcije, se vidi, da je predmet dvorazsežne teorije potenciala v bistvu enak predmetu [[kompleksna analiza|kompleksne analize]]. Zato se, ko se govori o teoriji potenciala, osredotoči na izreke, ki veljajo v treh ali več razsežnostih. V zvezi s tem je presenetljivo dejstvo, da se mnogi rezultati in koncepti, prvotno odkriti v kompleksni analizi (kot so [[Schwarzeva lema|Schwarzev izrek]], [[Morerov izrek]], [[Casorati-Weierstrassov izrek]], [[Laurentova vrsta]] in klasifikacija singularnosti kot [[odpravljiva singularnost|odpravljivih singularnosti]], [[pol (kompleksna analiza)|polov]] in [[bistvena singularnost|bistvenih singularnosti]]), posplošujejo do rezultatov harmoničnih funkcij v poljubni razsežnosti. Če se preuči, kateri izreki kompleksne analize so posebni primeri izrekov teorije potenciala v poljubni razsežnosti, se lahko dobi občutek, kaj točno je posebnega pri kompleksni analizi v dveh razsežnostih in kaj je preprosto dvorazsežni primerek bolj splošnih rezultatov.

== Krajevno obnašanje ==

Pomembna tema v teoriji potenciala je preučevanje krajevnega obnašanja harmoničnih funkcij. Morda je najosnovnejši izrek o krajevnem obnašanju [[izrek o regularnosti]] za Laplaceovo enačbo, ki pravi, da so harmonične funkcije analitične. Obstajajo rezultati, ki opisujejo krajevno strukturo [[nivojska množica|nivojskih množic]] harmoničnih funkcij. Obstaja [[Bôcherov izrek]], ki označuje obnašanje [[izolirana singularnost|izoliranih singularnosti]] pozitivnih harmoničnih funkcij. Kot je bilo omenjeno v zadnjem razdelku, se lahko izolirane singularnosti harmoničnih funkcij klasificira kot odstranljive singularnosti, pole in bistvene singularnosti.

== Neenakosti ==

Uspešen pristop k preučevanju harmoničnih funkcij je upoštevanje [[neenakost]]i, za katere veljajo. Morda je najosnovnejša taka neenakost, iz katere je mogoče izpeljati večino drugih neenakosti, [[načelo maksimuma]].{{r|cudz-1952}} Drug pomemben rezultat je [[Liouvillov izrek]], ki trdi, da so edine [[omejena množica|omejene]] harmonične funkcije, definirane na celotnem <math> \R^{n} \!\, </math>, pravzaprav [[konstantna funkcija|konstantne funkcije]]. Poleg teh osnovnih neenakosti obstajajo [[Cauchyjeva ocena]], [[Harnackova neenakost]], ki pravi, da so pozitivne harmonične funkcije na omejenih domenah približno konstantne, in [[Cauchy-Schwarzeva neenakost]].

Ena pomembna uporaba teh neenakosti je dokazovanje [[limita zaporedja|konvergence]] družin harmoničnih funkcij ali podharmoničnih funkcij (glej [[Harnackov izrek]]). Ti konvergenčni izreki se pogosto rabijo za dokazovanje [[eksistenčni izrek|obstoja]] harmoničnih funkcij s posebnimi značilnostmi.{{r|gara-1950}}

== Prostori harmoničnih funkcij ==

Ker je Laplaceova enačba [[linearna diferencialna enačba|linearna]], je množica harmoničnih funkcij, definiranih na dani domeni, pravzaprav vektorski prostor. Z definiranjem ustreznih [[normirani vektorski prostor|norm]] in/ali [[notranji produkt|notranjih produktov]] se lahko prikaže množice harmoničnih funkcij, ki tvorijo [[Hilbertov prostor|Hilbertove]] ali [[Banachov prostor|Banachove prostore]]. Na ta način se dobi prostore, kot so [[Hardyjev prostor]], [[Blochov prostor]], [[Bergmanov prostor]] in [[prostor Soboljeva]].

== Vektorsko in skalarno polje ==

Teorija potenciala temelji na dejstvu, da za vsako konservativno vektorsko polje obstaja [[skalarno polje|skalarno potencialno polje]], tj. da vektorsko polje <math> \mathbf\vec{a} (\mathbf\vec{r}) \!\, </math> obstaja v vsaki točki z [[gradient]]om potencialnega polja <math> \phi(\mathbf\vec{r}) \!\, </math> glede na:

: <math> \mathbf\vec{a} (\mathbf\vec{r}) = \operatorname{grad} \, \phi (\mathbf\vec{r}) = \mathbf\vec{\nabla} \, \phi (\mathbf\vec{r}) \!\, , </math>

z [[operator nabla|operatorjem]] [[nabla]] <math> \nabla \!\, </math> &ndash; zato je govora o konservativnem polju. Hkrati je mogoče z oblikovanjem [[divergenca|divergence]] <math> \mathbf\vec{a} \!\, </math> določiti [[izvir in ponor|izvire in ponore]] polja (na primer električne naboje v električnem polju):

: <math> \rho (\mathbf\vec{r}) = \operatorname{div} \, \mathbf\vec{a} (\mathbf\vec{r}) = \operatorname{div} \, (\operatorname{grad} \, \phi (\mathbf\vec{r})) = \mathbf\vec{\nabla} \cdot \, (\mathbf\vec{\nabla} \, \phi (\mathbf\vec{r})) \equiv \nabla^{2} \phi (\mathbf\vec{r}) \equiv \Delta \phi(\mathbf\vec{r}) \!\, </math>

z [[Laplaceov operator|Laplaceovim operatorjem]] <math> \nabla^{2}, \Delta \!\, </math>. Teorija potenciala se ukvarja s tem kako je glede na določeno količino, npr. na izvirno polje <math> \rho(\mathbf\vec{r}) \!\, </math>, mogoče izračunati ustrezne druge količine. Glede na posamezno vprašanje je govora o različnih »problemih«.

== Poissonov problem ==

Za potencial velja Poissonova enačba:

: <math> \Delta \phi(\mathbf\vec{r}) = \rho (\mathbf\vec{r}) \!\, . </math>

Če je podano izvirno polje <math> \rho(\mathbf\vec{r}) \!\, </math>, je potencial mogoče določiti z integracijo: Ker je en točkovni vir z [[jakost]]jo <math> q \!\, </math> v točki <math> \mathbf\vec{r}' \!\, </math>, je potencial določen kot:

: <math> \phi (\mathbf\vec{r}) = \frac{1}{4\pi} \frac{q}{| \mathbf\vec{r} - \mathbf\vec{r}' |} \quad \text{oziroma} \quad \operatorname{d} \! \phi (\mathbf\vec{r}) = \frac{1}{4\pi} \frac{\operatorname{d} \! q}{| \mathbf\vec{r} - \mathbf\vec{r}' |} = \frac{1}{4\pi} \frac{\rho (\mathbf\vec{r}')}{| \mathbf\vec{r} - \mathbf\vec{r}' |} \operatorname{d}^{3} \! \mathbf\vec{r}' \!\, </math>

Kadar gostota <math> \rho(\mathbf\vec{r}) \!\, </math> ni enaka nič, je rešitev integrala v splošnem [[Newtonov potencial]]:

: <math> \phi(\mathbf\vec{r}) = \frac{1}{4\pi} \int_{\mathbb{R}^{3}} \frac{\rho (\mathbf\vec{r}')}{| \mathbf\vec{r} - \mathbf\vec{r}' |} \operatorname{d}^{3} \! \mathbf\vec{r}' \!\, . </math>

Pri <math> \rho(\mathbf\vec{r}) = 0 \!\, </math> se Poissonova enačba zreducira na Laplaceovo.

== Dirichletov problem ==

{{glavni|Dirichletov problem|Dirichletov robni pogoj}}

V fiziki izvirnih polj pogosto ni mogoče neposredno [[meritev|izmeriti]], je pa mogoče izmeriti njihovo potencialno polje v določenem prostorskem območju. Eden takšnih primerov je raziskovanje [[struktura Zemlje|Zemljine notranjosti]] z [[geodezija|geodetskimi]] ali [[geofizika|geofizikalnimi]] metodami.

Ne da se vrtati globoko v notranjost Zemlje, da bi se določilo tamkajšnjo [[gostota|gostoto]], lahko pa se izmeri njen učinek na [[zemeljsko površje]] v obliki [[gravitacijski pospešek|gravitacijskega pospeška]] in [[navpični odklon|navpičnega odklona]]. V takem primeru je <math> \phi (\mathbf\vec{r}) \!\, </math> v delu prostora, samo izvirno polje pa ni znano. Jasno je le pod določenimi dodatnimi pogoji in na splošno lahko obstaja več rešitev (glej tudi [[problem obrata teorije potenciala]]<!--Umkehrproblem der Potentialtheorie-->).

Elegantna matematična rešitev [[Dirichletov problem|Dirichletovega problema]] je možna z uporabo [[Greenova funkcija|Greenovih funkcij]].

== Enostavnoplastni potencial ==

Težava pri praktičnih izračunih v teoriji potenciala je pogosto velika [[količina podatkov]], ki jih je treba obdelati, na primer za harmonične razvoje [[sferna funkcija|sfernih funkcij]] za določitev gravitacijskega polja in geoida. Za izračun 50.000 [[masna funkcija|masnih funkcij]] zemeljskega telesa iz orbitalnih [[perturbacija (astronomija)|motenj]] [[satelit]]ov zahteva [[Neumannova metoda]] na primer približno 100.000 naborov podatkov in inverzijo ogromnih [[matrika|matrik]] ([[sistem linearnih enačb|sistemov enačb]]).

Za ta problem [[satelitska geodezija|satelitske geodezije]] je bonski geodet [[Karl-Rudolf Koch]] v 1970-ih razvil [[robustnost|robustno]], zelo učinkovito računsko metodo pod imenom »[[enostavnoplastni potencial]]«, pri kateri [[motilni potencial]]<!--Störpotential--> ni določen s harmoničnimi funkcijami, ampak je predstavljen kot [[pokritost območja]] na zemeljskem površju. Te navidezne tanke plasti nadomeščajo neznani izvor ali porazdelitev mase v globlji notranjosti Zemlje in v [[Zemljina skorja|Zemljini skorji]]. Računska metoda, ki je načeloma nezvezna na robovih modela, se je v praksi izkazala za izjemno uspešno in je lahko računske [[čas izvajanja|čase izvajanja]] velikih računalnikov zelo skrajšala.

== Osnovne vrste potencialov ==

=== Logaritemski potenciali (dvorazsežni potenciali) ===

{{glavni|logaritemski potencial}}

==== Površinski potencial ====

Na ravnini se volumetrični logaritemski potencial (ali površinski potencial) imenuje integral oblike:

: <math> V(M) = \int \limits_{D} \rho(Q) \ln \frac{1}{R_{QM}} \operatorname{d} \! \sigma_{Q} \!\, . </math>

Če je gostota <math> \rho(M) \!\, </math> zvezna skupaj s svojimi prvimi odvodi, potem je ta volumetrični potencial [[klasična rešitev]] Poissonove enačbe:

: <math> {\Delta}V = - {2 \pi \rho} \!\, . </math>

==== Enostavnoplastni potencial ====

V dvorazsežnem primeru se enostavnoplastni potencial imenuje integral:

: <math> V(M) = \int \limits_{C} \mu(P) \ln \frac{1}{R_{MP}} \operatorname{d} \! l_{P} \!\, , </math>

kjer je <math> C \!\, </math> poljubna [[krivulja]].

==== Dvoplastni potencial ====

[[Dvoplastni potencial]] na ravnini se imenuje integral:

: <math> W(M) = - \int \limits_{C} \nu(P) \frac{\partial}{\partial n_{P}} \ln \frac{1}{R_{MP}} \operatorname{d} \! l_{P} \!\, ,  </math>

kjer je <math> \mathbf\vec{n}_{P} \!\, </math> zunanja [[pravokotnica]] na krivuljo <math> C \!\, </math> v točki <math> P \!\, </math>. V primeru odprte krivulje je smer zunanje pravokotnice izbrana poljubno.

=== Trirazsežni potenciali ===

==== Volumetrični potencial ====

Naj bo funkcija <math> \rho(M) \!\, </math> podana v omejeni domeni <math> D \!\, </math>. Integral:

: <math> V(M) = \int \limits_{D} \frac{\rho(Q)}{R_{QM}} \operatorname{d} \! V \!\, </math>

se imenuje volumetrični ali prostorninski potencial.

Funkcija <math> 1 \left/ R_{QM} \right. \!\, </math> predstavlja potencial enote točkastega naboja, koncentriranega v točki <math> Q \!\, </math>, definiran v vseh točkah <math> M \ne Q \!\, </math>. Če je v območju <math> D \!\, </math> zvezno porazdeljen naboj z volumsko gostoto <math> \rho(M) \!\, </math>, potem je zaradi načela superpozicije naravno domnevati, da je potencial, ki ga ustvari ta porazdelitev volumskega naboja, izražen z zgornjim integralom. Funkcija <math> \rho(M) \!\, </math> se imenuje gostota potenciala.

Če je gostota <math> \rho(M) \!\, </math> zvezna skupaj s svojimi prvimi odvodi, potem je ta volumetrični potencial klasična rešitev Poissonove enačbe:

: <math> {\Delta}V = - {4 \pi \rho} \!\, . </math>

==== Ploskovni potenciali ====

===== Enostavnoplastni potencial =====

Enostavnoplastni potencial v trirazsežnem primeru se imenuje integral:

: <math> V(M) = \int \limits_{S} \mu(P) \frac{\operatorname{d} \! S_{P}}{R_{MP}} \!\, , </math>

kjer je <math> S \!\, </math> poljubna [[ploskev]], <math> \mu(P) \!\, </math> pa funkcija, definirana na ploskvi <math> S \!\, </math>, in se imenuje gostota enostavnoplastnega potenciala.

; Značilnosti:

* <math> \Delta V(M) = 0, \forall M \notin S \!\, </math>,
* <math> V = O \left( \frac{1}{r} \right), r \rightarrow \infty \!\, </math>,
* <math> V \in C(\mathbb{R}^{3}) \!\, </math>, če je <math> S \!\, </math> [[gladka ploskev]], <math> \mu(Q) \!\, </math> &ndash; gostota, omejena in zvezna,
* naj je <math> S \!\, </math> [[zaprta ploskev|zaprta]] [[ploskev Ljapunova]], ki omejuje območje <math> D \!\, </math>, <math> P_{0} \in S</math>, <math>\mathbf\vec{n}_{e} (P)</math> zunanja pravokotnica na ploskev <math> S \!\, </math> v točki <math> P \in S \!\, </math>. Potem je [[potencialna vrzel]] pri prehodu skozi ploskev <math> S \!\, </math> določena z naslednjimi formulami:

: <math> \lim_{\stackrel{M \rightarrow P_{0},}{M \in D}} \left( \frac{\partial V}{\partial n_{e}} \right) (M) = \left( \frac{\partial V}{\partial n_{e}}  \right) (P_{0}) + 2 \pi \mu (P_{0}) \!\, , </math>

: <math> \lim_{\stackrel{M \rightarrow P_{0},}{M \notin D \cup S}} \left( \frac{\partial V}{\partial n_{e}} \right) (M) = \left( \frac{\partial V}{\partial n_{e}} \right) (P_{0}) - 2 \pi \mu (P_{0}) \!\, , </math>

: <math> \lim_{\stackrel{M \rightarrow P_{0},}{M \in D}} \left( \frac{\partial V}{\partial n_{e}} \right) (M) - \lim_{\stackrel{M \rightarrow P_{0},}{M \notin D \cup S}} \left( \frac{\partial V}{\partial n_{e}} \right) (M) = 4 \pi \mu (P_{0}) \!\, . </math>

===== Dvoplastni potencial =====

Dvoplastni potencial v trirazsežnem primeru se imenuje integral:

: <math> W(M) = - \int \limits_{S} \nu(P) \frac{\partial}{\partial n_{P}} \frac{1}{R_{MP}} \operatorname{d} \! S_{P} \!\, , </math>

kjer je <math> S \!\, </math> dvostranska ploskev, <math>\mathbf\vec{n}_{P} \!\, </math> zunanja pravokotnica na ploskev <math> S \!\, </math> v točki <math> P \!\, </math> (v primeru, ko ploskev <math> S \!\, </math> ni zaprta, je zunanja pravokotnica izbrana poljubno), <math> \nu(P) \!\, </math> funkcija, definirana na ploskvi <math> S \!\, </math>, in se imenuje gostota dvoplastnega potenciala.

Izraz za dvoplastni potencial se lahko prepiše tudi kot:

: <math> W(M) = \int \limits_{S} \nu(P) \frac{\cos \varphi}{R_{MP}^{2}} \operatorname{d} \! S_{P} \!\, , </math>

kjer je <math> \varphi </math> kot med notranjo pravokotnico na ploskev <math> S \!\, </math> v točki <math> P \!\, </math> in vektorjem <math> \vec{PM} \!\, </math>.

; Značilnosti:

* <math> \Delta W(M) = 0, \forall M \notin S \!\, </math>,
* <math> W = O \left( \frac{1}{r^{2}} \right), r \rightarrow \infty \!\, </math>,
* naj je <math> S \!\, </math> ploskev Ljapunova. Obstaja dvoplastni potencial z zvezno in omejeno gostoto <math> | \nu(P) | \le C \!\, </math> na ploskvi <math> S \!\, </math>, kar pomeni, da je [[konvergenca|konvergentni]] [[nepravi integral]] <math> M \in S \!\, </math>,
* naj je <math>S</math> zaprta ploskev Ljapunova, ki omejuje območje <math> D \!\, </math> in točka <math> P_{0} \in S \!\, </math>. Potem je potencialna vrzel dvojne plasti pri prehodu skozi ploskev <math> S \!\, </math> določena z naslednjimi formulami:

: <math> \lim_{\stackrel{M \rightarrow P_{0},}{M \in D}} W(M) = W(P_{0}) + 2 \pi \nu (P_{0}) \!\, , </math>

: <math> \lim_{\stackrel{M \rightarrow P_{0},}{M \notin D \cup S}} W(M) = W(P_{0}) - 2 \pi \nu (P_{0}) \!\, , </math>

: <math> \lim_{\stackrel{M \rightarrow P_{0},}{M \in D}} W(M) - \lim_{\stackrel{M \rightarrow P_{0},}{M \notin D \cup S}} W(M) = 4 \pi \nu (P_{0}) \!\, . </math>

== Glej tudi ==

{{div col|colwidth=27em}}
* {{medjezikovna povezava|podharmonična funkcija|en|Subharmonic function}} &ndash; razred matematičnih funkcij
* {{medjezikovna povezava|Kelloggov izrek|en|Kellogg's theorem}}
* [[Laplaceov operator]]
* {{medjezikovna povezava|Laplaceova enačba|en|Laplace equation}}
* [[Poissonova enačba]]
* [[Greenova funkcija]]
* {{medjezikovna povezava|Paul-André Meyer|en|Paul-André Meyer}}
* {{medjezikovna povezava|Cudžijev izrek|fr|théorème de Tsuji}}
* {{medjezikovna povezava|kvantni potencial|en|quantum potential}}
{{div col end}}

== Opombe ==

{{seznam opomb}}

== Sklici ==

{{refbegin|normalfont=yes}}
{{sklici|27em|refs=
<ref name="cros-1983">{{sktxt|Cross|1983}}.</ref>
<ref name="cudz-1952">{{sktxt|Cudži|1952}}.</ref>
<ref name="gara-1950">{{sktxt|Garabedian|Schiffer|1950}}.</ref>
<ref name="gell-1970">{{sktxt|Gellert|Küstner|Hellwich|Kästner|1970|pp=741}}.</ref>
<ref name="grim-1954">{{sktxt|Grimsehl|1954|pp=160}}.</ref>
<ref name="pril-2001">{{sktxt|Prilepko|Solomencev|2001}}.</ref>
<ref name="solo-1977">{{sktxt|Solomencev|1977&ndash;1985}}.</ref>
<ref name="suha-1994">{{sktxt|Suhadolc|1994}}.</ref>
<ref name="venc-1992">{{sktxt|Vencelj|1992}}.</ref>

<ref name="spl00">{{citat|title= teorija potenciala|website= plus.cobiss.net|publisher= [[Vzajemni bibliografski sistem COBISS|COBISS]]|url= https://plus.cobiss.net/cobiss/si/sl/bib/search/expert?c=su%3D%22teorija+potenciala%22+AND+LA%3D%22slv%22|accessdate= 2024-10-03}}</ref>
<ref name="spl01">{{citat|title= teorija potencialov|website= plus.cobiss.net|publisher= COBISS|url= 
https://plus.cobiss.net/cobiss/si/sl/bib/search/expert?c=su%3D%22teorija+potencialov%22+AND+LA%3D%22slv%22|accessdate= 2024-10-03}}</ref>
<ref name="spl02">{{citat|title= potencialna teorija|website= plus.cobiss.net|publisher= COBISS|url= https://plus.cobiss.net/cobiss/si/sl/bib/search/expert?c=su%3D%22potencialna+teorija%22+AND+LA%3D%22slv%22|accessdate= 2024-10-03}}</ref>
}}
{{refend}}

== Viri ==

{{refbegin|1|normalfont=yes}}
* {{citat|last1= Appell|first1= Paul Émile|authorlink1= Paul Émile Appell|title= Leçons sur l'attraction et la fonction potentielle : Professées a la Sorbonne en 1890-1891|date= 1892|editor-last1= Charliat|editor-first1= Alexandre|editor-link1= Alexandre Charliat|publisher= Georges Carré|location= Pariz|oclc= 490619662|url= https://www.sudoc.fr/012503541/id|via= [[Système universitaire de documentation|SUDOC]], [[Google Knjige]]}}
* {{citat|last1= Axler|first1= Sheldon Jay|authorlink1= Sheldon Axler|last2= Bourdon|first2= Paul|last3= Ramey|first3= Wade|title= Harmonic Function Theory|date= 2001|edition= 2.|publisher= [[Springer-Verlag]]|location= New York|series= ([[Graduate Texts in Mathematics]])|volume= 137|isbn= 978-0-38-795218-5|cobiss= <!--0-->|oclc= 45315455|url= https://books.google.com/books?id=wATLzBfup-wC|via= Google Knjige}}, {{isbn|0-387-95218-7}}
* {{citat|last1= Clausius|first1= Rudolf Julius Emmanuel|authorlink1= Rudolf Julius Emmanuel Clausius|title= Die Potentialfunction und das Potential|date= 1859|publisher= [[Johann Ambrosius Barth Verlag|Verlag von Joh. Ambr. Barth]]|location= Leipzig|url= https://books.google.com/books?id=h00DAAAAQAAJ|via= Google Knjige}}
* {{citat|last1= Courant|first1= Richard|authorlink1= Richard Courant|last2= Hilbert|first2= David|authorlink2= David Hilbert|title= Methoden der mathematischen Physik : Zweiter Band|date= 1937|orig-year= 1924|publisher= [[Julius Springer mlajši|Verlag von Julius Springer]]|location= Berlin|series= ([[Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften]])|volume= 48|url= https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN38067226X|via= [[Središče za digitalizacijo v Göttingenu]] (GDZ)}}
* {{citat|last1= Cross|first1= Jim|chapter= Euler’s Contributions to Potential Theory 1730–1755|title= Leonhard Euler 1707–1783 : Beiträge zu Leben und Werk|date= 1983|pages= 331&ndash;344|publisher= [[Birkhäuser Verlag]]|location= Basel {{*}} Boston {{*}} Stuttgart|isbn= 978-3-03-489351-0|cobiss= <!--0-->|doi= 10.1007/978-3-0348-9350-3_16|oclc= 915597563}}
* {{citat|last1= Cudži|first1= Masacugu|authorlink1= Masacugu Cudži|title= Fundamental theorems in potential theory|journal= [[Journal of the Mathematical Society of Japan]]|date= julij 1952|volume= 4|issue= 1|pages= 70&ndash;95|issn= 0025-5645|doi= 10.2969/jmsj/00410070}}
* {{citat|last1= Doehler|first1= Max|title= Beitrag zur Potentialtheorie : Die Green'sche Funktion für das Rotationsellipsoid, den unendlichen Kreiscylinder und Schalen, die von zwei konfokalen Rotationsellipsoiden resp. zwei koaxialen unendlichen Kreiscylindern begrenzt werden|date= 1889|publisher= Gustav Matthes|location= Brandenburg an der Havel|url= https://digital.ub.uni-duesseldorf.de/ulbdsp/periodical/titleinfo/3463018|via= digital.ub.uni-duesseldorf.de, [[Univerzitetna in deželna knjižnica v Düsseldorfu]] (ULBD)}}
* {{citat|last1= Doob|first1= Joseph Leo|authorlink1= Joseph Leo Doob|title= Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart|date= 1984|publisher= Springer-Verlag|location= New York {{*}} Berlin {{*}} Heidelberg {{*}} Tokio |series= (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften)|volume= 262|isbn= 978-3-54-090881-4|cobiss= 6646361|oclc= 925055032|url= https://archive.org/details/classicalpotenti0000doob|via= [[Internet Archive]]}}, {{isbn|3-540-41206-9}}
* {{citat|last1= Garabedian|first1= Paul Roesel|authorlink1= Paul Roesel Garabedian|last2= Schiffer|first2= Menahem Max|authorlink2= Menahem Max Schiffer|title= On existence theorems of potential theory and conformal mapping|journal= [[Annals of Mathematics]]|date= julij 1950|volume= 52|issue= 1|pages= 164&ndash;187|issn= 0003-486X|doi= 10.2307/1969517|jstor= 1969517|zbl= 0040.32903}}
* {{citat|editor-last1= Gellert|editor-first1= Walter|editor-last2= Küstner|editor-first2= Herbert|editor-last3= Hellwich|editor-first3= Manfred|editor-last4= Kästner|editor-first4= Herbert|editor-link4= Herbert Kästner|title= Kleine Enzyklopädie Mathematik|date= 1970|orig-year= 1965|edition= 5.|publisher= [[VEB Verlag Enzyklopädie]]|location= Leipzig|series= (Kleine Enzyklopädie)|isbn= |cobiss= <!--0-->}} 
* {{citat|last1= Grimsehl|first1= Ernst|authorlink1= Ernst Grimsehl|title= Lehrbuch der Physik, Bd. I|date= 1954|orig-year= 1920|location= Leipzig}}
* {{citat|last1= Helms|first1= Lester Laverne|authorlink1= Lester Laverne Helms<!--Q102144870-->|title= Introduction to potential theory|date= 1975|publisher= R. E. Krieger|location= Huntington, New York|series= (Universitext)|isbn= 978-0-88-275224-2|doi= 10.1007/978-1-4471-6422-7|cobiss= <!--0-->|oclc= 1111478|url= https://books.google.com/books?id=DXxWAwAAQBAJ|via= Google Knjige}}, {{isbn|0-88275-224-3}}.
* {{citat|last1= Kellogg|first1= Oliver Dimon|authorlink1= Oliver Dimon Kellogg|title= Foundations of Potential Theory|date= 1969|orig-year= 1929|publisher= Dover Publications|location= New York|series= (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften)|volume= 31|isbn= 978-0-48-660144-1|cobiss= 3314516|mr= 0222317|zbl= 0152.31301|oclc= 826373|url= https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN379055058|via= GDZ}}, {{isbn|0-486-60144-7}}
* {{citat|last1= Korn|first1= Arthur|authorlink1= Arthur Korn (fizik)|title= Lehrbuch der Potentialtheorie|date= 1899|publisher= [[Ferdinand Dümmlers Verlagsbuchhandlung]]|location= Berlin|url= https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.377402|via= Internet Archive}}
* {{citat|last1= Ledersteger|first1= Karl|authorlink1= Karl Ledersteger|title= Handbuch der Vermessungskunde Band V Astronomische und Physikalische Geodäsie|date= 1969|publisher= [[J. B. Metzler]]|location= Stuttgart}}, (izreki in gravitacijsko polje, [[ravnovesna figura|ravnovesne figure]] in [[načelo defoliacije]], [[izostazija]] itd.).
* {{citat|last1= Neuman|first1= Carl Gottfried|authorlink1= Carl Gottfried Neumann|title= C. Neumann: Untersuchungen über das logarithmische und Newton'sche Potential|date= 1877|publisher= [[B. G. Teubner Verlag|Verlag von B. G. Teubner]]|location= Leipzig|url= https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k996161|via= Gallica}}
* {{citat|last1= Pierce|first1= Benjamin Osgood|authorlink1= Benjamin Osgood Peirce|title= Elements of the theory of the Newtonian potential function|date= 1902|orig-year= 1886|edition= 3. predelana in razširjena|publisher= Ginn and Company|location= Boston {{*}} New York {{*}} Chicago {{*}} London {{*}} Atlanta {{*}} Dallas {{*}} Columbus {{*}} San Francisco|url= https://archive.org/details/elementsoftheory00peir|via= Internet Archive}}
* {{citat|last1= Plemelj|first1= Josip|authorlink1= Josip Plemelj|title= Potentialtheoretische Untersuchungen|date= 1911|publisher= Verlag von B. G. Teubner|location= Leipzig|series= (Schriften der Fürstlishen Jablonowski'schen Gesellschaft zu Leipzig)|volume= 40|cobiss= 6576729}}
* {{citat|last1= Poincaré|first1= Henri|authorlink1= Henri Poincaré|title= Théorie du potentiel newtonien : Leçons professées à la Sorbonne pendant le premier semestre 1894-1895|date= 1899|editor-last1= Le Roy|editor-first1= Édouard|editor-link1= Édouard Le Roy|editor-last2= Vincent|editor-first2= Georges|publisher= Georges Carré et C. Naud|location= Pariz|oclc= 491087981|url= https://lillonum.univ-lille.fr/s/lillonum/ark:/72505/b37vnq|via= SUDOC, Lillonum}}
* {{springerEOM|last1= Prilepko|first1= Aleksej Ivanovič|last2= Solomencev|first2= Jevgenij Dimitrijevič|title= Potential theory|lang= en|id= p/p074140}}
* {{citat|last1= Ransford|first1= Thomas|authorlink1= Thomas Ransford|title= Potential Theory in the Complex Plane|date= 1995|publisher= [[Cambridge University Press]]|location= Cambridge|series= (London Mathematical Society student texts)|volume= 28|isbn= 978-0-52-146120-7|cobiss= 17472089|oclc= 611603348}}
* {{citat|last1= Sigl|first1= Rudolf|authorlink1= Rudolf Sigl|title= Einführung in die Potentialtheorie|date= 1973|publisher= [[Wichmann-Verlag|Herbert Wichmann-Verlag]]|location= Karlsruhe|series= (Sammlung Wichmann. Neue Folge)|volume= 4|isbn= 978-3-87-907031-2|cobiss= 1621857|oclc= 2113828}}, {{isbn|3-87-907031-8}}
* {{navedi arXiv|last1= Snell|first1= James Laurie|authorlink1= James Laurie Snell|last2= Doyle|first2= Peter Grant|authorlink2= Peter Grant Doyle|title= Random Walks and Electric Networks|date= 2000|eprint= math/0001057}}
* {{springerEOM|last1= Solomencev|first1= Jevgenij Dimitrijevič|title=Potential theory, abstract|lang= en|id= p/p074150}}
* {{citat|last1= Solomencev|first1= Jevgenij Dimitrijevič|editor-last1= Vinogradov|editor-first1= Ivan Matvejevič|editor-link1= Ivan Matvejevič Vinogradov|chapter= Гармоническое пространство|date= 1977–1985|title= [[Matematičeskaja enciklopedija]]|publisher= [[Sovetskaja enciklopedija]]|location= Moskva|chapter-url= https://rus-math.slovaronline.com/1031-%D0%93%D0%90%D0%A0%D0%9C%D0%9E%D0%9D%D0%98%D0%A7%D0%95%D0%A1%D0%9A%D0%9E%D0%95%20%D0%9F%D0%A0%D0%9E%D0%A1%D0%A2%D0%A0%D0%90%D0%9D%D0%A1%D0%A2%D0%92%D0%9E}}
:* {{springerEOM|last1= Solomencev|first1= Jevgenij Dimitrijevič|title=Harmonic space|lang= en}}
* {{citat|last1= Svešnikov|first1= Aleksej Georgijevič|authorlink1= Aleksej Georgijevič Svešnikov|last2= Bogoljubov|first2= Aleksander Nikolajevič|authorlink2= Aleksander Nikolajevič Bogoljubov (fizik)|last3= Kravcov|first3= Vladimir Vladimirovič|chapter= Глава V. Уравнения эллиптического типа. Краевые задачи для уравнения Лапласа.|title= Лекции по математической физике|date= 2004|orig-year= 1993|edition= 2. popravljena in dopolnjena|publisher= [[Izdatelstvo Moskovskogo universiteta|Izd-vo MGU]], [[Nauka (založba)|Nauka]]|location= Moskva|pages= 203|isbn= 978-5-02-033541-7|cobiss= <!--0-->}}, {{isbn|5-211-04899-7}}
* {{citat|last1= Suhadolc|first1= Anton|authorlink1= Anton Suhadolc|title= Potencialna teorija|date= 1994|publisher= [[Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije]]|location= Ljubljana|series= (Izbrana poglavja iz matematike in računalništva)|volume= 31|isbn= 961-212-024-2|cobiss= 38561280}}
* {{citat|last1= Tihonov|first1= Andrej Nikolajevič|authorlink1= Andrej Nikolajevič Tihonov|last2= Samarski|first2= Aleksander Andrejevič|authorlink2= Aleksander Andrejevič Samarski|chapter= Глава IV. Уравнения эллиптического типа.|title= Уравнения математической физики|date= 2004|orig-year= 1951|edition= 7.|publisher= Izd-vo MGU, Nauka|location= Moskva|pages= 348|isbn= 5-21-104843-1|cobiss= <!--0-->}}
* {{citat|last1= Vencelj|first1= Marija|authorlink1= Marija Vencelj|title= Pred petindvajsetimi leti je umrl profesor Josip Plemelj|journal= [[Presek (revija)|Presek]]|date= 1992|volume= 19|issue= 5|pages= 294&ndash;297|issn= 0351-6652|cobiss= 59104256|url= https://www.dlib.si/details/URN:NBN:SI:DOC-Z8E6RIHI|via= [[Digitalna knjižnica Slovenije]] (DLIB)}}
* {{citat|last1= Vladimirov|first1= Vasilij Sergejevič|authorlink1= Vasilij Sergejevič Vladimirov|last2= Žarinov|first2= Viktor Viktorovič|authorlink2= Viktor Viktorovič Žarinov|title= Уравнения математической физики|date= 2004|orig-year= 2000|publisher= [[Fizmatlit]]|location= Moskva|isbn= 5-92-210310-5|cobiss= <!--0-->}}
* {{citat|last1= Wand|first1= Theodor Michael von|authorlink1= Theodor Michael von Wand<!--Q94830624-->|title= Die principien der mathematischen Physik und die Potentialtheorie nebst ihren vorzüglichsten Anwendungen im Grundriss dargestellt|date= 1871|publisher= Verlag von B. G. Teubner|location= Leipzig|url= https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k996130|via= Gallica}}
* {{citat|last1= Wangerin|first1= Friedrich Heinrich Albert|authorlink1= Friedrich Heinrich Albert Wangerin|title= Theorie des Potentials und der Kugelfunktionen (2 band)|date= 1909–1921|publisher= G. J. Göschen|location= Leipzig|url= https://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath&idno=ABR4703|via= quod.lib.umich.edu, [[Univerza Michigana]]}}
* {{PlanetMath attribution|urlname=potentialtheory|title=potential theory}}
{{refend}}

<!-- {{industrijska in uporabna matematika}} Industrial and applied mathematics-->
{{Portal|Znanost}}

{{normativna kontrola}}

[[Kategorija:Teorija potenciala| ]]
[[Kategorija:Parcialne diferencialne enačbe]]
[[Kategorija:Matematična fizika]]