Ogled vira Tlakovanje s pravilnimi mnogokotniki

'''Tlakovanje s pravilnimi mnogokotniki''' so uporabljali že v [[antika|antiki]].

== Pravilna tlakovanja ==

[[teselacija|Tlakovanje]] je pravilno, če je [[grupa simetrije]] tlakovanja [[tranzitivna grupna akcija|deluje tranzitivno]] na [[zastava (geometrija)|zastave]] tlakovanja, kjer je zastava trojna in sestavljena iz medsebojno [[incidenca (geometrija)|vstopajočih]] [[oglišče|oglišč]], [[rob (geometrija)|robov]] in tlakovanja. To pomeni, da za vsak par zastav obstoja operacija simetrije, ki preslika prvo zastavo v drugo. To je enakovredno tlakovanju od roba do roba s [[skladnost (geometrija)|skladnimi]] pravilnimi mnogokotniki. Obstojati  mora šest [[enakostranični trikotnik|enakostraničnih trikotnikov]], štirje [[Kvadrat (geometrija)|kvadrati]] ali trije pravilni šestkotniki v vsakem oglišču, ki dajo tri pravilne teselacije.

{| class="wikitable"
|- align=center
|[[Slika:Tiling_Regular_3-6_Triangular.svg|250px]]<br>3<sup>6</sup><br>[[trikotno tlakovanje]]
|[[Slika:Tiling_Regular_4-4_Square.svg    |250px]]<br>4<sup>4</sup><br>[[kvadratno tlakovanje]]
|[[Slika:Tiling_Regular_6-3_Hexagonal.svg |250px]]<br>6<sup>3</sup><br>[[šestkotno tlakovanje]]
|}

== Arhimedsko, uniformno in polpravilno  tlakovanje ==
[[Izogonalna slika|Ogliščna tranzitivnost]] pomeni, da za vsak par oglišč velja, da obstoja simetrijska operacija, ki preslika prvo oglišče v drugo.

{| class="wikitable"
|- align=center
|[[Slika:Tiling_Semiregular_3-3-3-3-6_Snub_Hexagonal.svg|250px]]<BR>3<sup>4</sup>.6<BR>[[prirezano šestkotno tlakovanje]]
|[[Slika:Tiling_Semiregular_3-3-3-3-6_Snub_Hexagonal_Mirror.svg|250px]]<BR>3<sup>4</sup>.6<BR>[[prirezano šestkotno tlakovanje]] [[zrcaljenje]]
|[[Slika:Tiling_Semiregular_3-6-3-6_Trihexagonal.svg|250px]]<BR>3.6.3.6<BR>[[trišestkotno tlakovanje]]
|- align=center
|[[Slika:Tiling_Semiregular_3-3-3-4-4_Elongated_Triangular.svg|250px]]<BR>3<sup>3</sup>.4<sup>2</sup><BR>[[podaljšano trikotno tlakovanje]]
|[[Slika:Tiling_Semiregular_3-3-4-3-4_Snub_Square.svg|250px]]<BR>3<sup>2</sup>.4.3.4<BR>[[prirezano kvadratno tlakovanje]]
|[[Slika:Tiling_Semiregular_3-4-6-4_Small_Rhombitrihexagonal.svg|250px]]<BR>3.4.6.4<BR>[[rombitrišestkotno tlakovanje]]
|- align=center
|[[Slika:Tiling_Semiregular_4-8-8_Truncated_Square.svg|250px]]<BR>4.8<sup>2</sup><BR>[[prisekano kvadratno tlakovanje]]
|[[Slika:Tiling_Semiregular_3-12-12_Truncated_Hexagonal.svg|250px]]<BR>3.12<sup>2</sup><BR>[[prisekano šestkotno tlakovanje]]
|[[Slika:Tiling_Semiregular_4-6-12_Great_Rhombitrihexagonal.svg|250px]]<BR>4.6.12<BR>[[prisekano trišestkotno tlakovanje]]
|}

== Kombinacije pravilnih mnogokotnikov ==
[[Notranji in zunanji kot|Notranje kote]] mnogokotnikov, ki se srečajo v oglišču moramo dodati 360 stopinjam. Pravilni n-kotnik ima notranji kot enak <math>\left(1-\frac{2}{n}\right)180</math> stopinj. Obstoja 17 kombinacij pravilnih mnogokotnikov katerih notranje kote moramo dodati k 360 stopinjam. Vsak se obravnava kot vrsta oglišča. V štirih primerih nastopita dva različna ciklična reda mnogokotnikov. To nam  da 21 vrst oglišč. Samo  11 se jih lahko pojavi v uniformnem tlakovanju  pravilnih mnogokotnikov. Kadar se trije mnogokotniki srečajo v oglišču in ima eden med njimi neparno število stranic, morata imeti ostala dve isto velikost. Če je pa nimata bosta izmenoma nastopala okoli prvega mnogokotnika. To je pa nemogoče, če je število stranic neparno.

S tremi mnogokotniki v oglišču:

* 3.7.42 (ne more se pojaviti v nobenem tlakovanju pravilnih mnogokotnikov)
* 3.8.24 (ne more se pojaviti v nobenem tlakovanju pravilnih mnogokotnikov)
* 3.9.18 (ne more se pojaviti v nobenem tlakovanju pravilnih mnogokotnikov)
* 3.10.15 (ne more se pojaviti v nobenem tlakovanju pravilnih mnogokotnikov)
* 3.12<sup>2</sup> - pol-pravilno, [[prisekano šestkotno tlakovanje]]
* 4.5.20 (ne more se pojaviti v nobenem tlakovanju pravilnih mnogokotnikov)
* 4.6.12 - pol-pravilni, [[prisekano trišestkotno tlakovanje]]
* 4.8<sup>2</sup> - pol-pravilno, [[prisekano kvadratno tlakovanje]]
* 5<sup>2</sup>.10 (ne more se pojaviti v nobenem tlakovanju pravilnih mnogokotnikov)
* 6<sup>3</sup> - pravilno, [[šestkotno tlakovanje]]

Spodaj so diagrami s takšnimi oglišči:
   
<gallery>
Slika:3.7.42 vertex.png|3.7.42
Slika:3.8.24 vertex.png|3.8.24
Slika:3.9.18 vertex.png|3.9.18
File:3.10.15 vertex.png|3.10.15
Slika:3.12.12 vertex.png|3.12.12
Slika:4.5.20 vertex.png|4.5.20
Slika:4.6.12 vertex.png|4.6.12
Slika:4.8.8 vertex.png|4.8.8
Slika:5.5.10 vertex.png|5.5.10
Slika:6.6.6 vertex.png|6.6.6
</gallery>

S štirimi mnogokotniki v oglišču:

* 3<sup>2</sup>.4.12 -  [[uniformni polieder|neuniformni]], ima dve vrsti oglišč 3<sup>2</sup>.4.12 in 3<sup>6</sup> 
* 3.4.3.12  - neuniformni imajo dve različni vrsti oglišč 3.4.3.12 in 3.3.4.3.4
* 3<sup>2</sup>.6<sup>2</sup> - neuniformni se pojavljajo v dveh oblikah z oglišči 3<sup>2</sup>.6<sup>2</sup>/3<sup>6</sup> in 3<sup>2</sup>.6<sup>2</sup>/3.6.3.6.
* 3.6.3.6 - pol-pravilni, [[trišestkotno tlakovanje]]
* 4<sup>4</sup> - pravilni, [[kvadratno tlakovanje]]
* 3.4<sup>2</sup>.6 - neuniformni, ima oglišča 3.4<sup>2</sup>.6 in 3.6.3.6.
* 3.4.6.4 - pol-pravilni, [[rombitrišestkotno tlakovanje]]

Spodaj so diagrami s takšnimi oglišči:

<gallery>
Slika:3.3.4.12 vertex.png|3.3.4.12
Slika:3.4.3.12 vertex.png|3.4.3.12
Slika:3.3.6.6 vertex.png|3.3.6.6
Slika:3.6.3.6 vertex.png|3.6.3.6
Slika:4.4.4.4 vertex.png|4.4.4.4
Slika:3.4.4.6 vertex.png|3.4.4.6
Slika:3.4.6.4 vertex.png|3.4.6.4
</gallery>

S petimi mnogokotniki v oglišču:
* 3<sup>4</sup>.6 - pol-pravilni, [[prirezano šestkotno tlakovanje]] se pojavlja v dveh [[kiralnost (matematika)|enanciomorfnih]] oblikah. Slika oglišč dveh enanciomorfnih oblik je enaka. Rezultirajoča tlakovanja so različna.
* 3<sup>3</sup>.4<sup>2</sup> - pol-pravilni, [[podaljšano trikotno tlakovanje]]
* 3<sup>2</sup>.4.3.4 - pol-pravilno, [[prirezano kvadratno tlakovanje]]

Spodaj so diagrami s takšnimi oglišči:

<gallery>
Slika:3.3.3.3.6 laevo vertex.png|3.3.3.3.6
Slika:3.3.3.4.4 vertex.png|3.3.3.4.4
Slika:3.3.4.3.4 vertex.png|3.3.4.3.4
</gallery>

S šestimi mnogokotniki v oglišču:
* 3<sup>6</sup> - pravilno, [[trikotno tlakovanje]]

Spodaj  je diagram s takšnimi oglišči:

<gallery>
Slika:3.3.3.3.3.3 vertex.png|3.3.3.3.3.3
</gallery>

== Ostala tlakovanja od roba do roba ==
Katerokoli število neuniformnih tlakovanj od roba do roba s pravilnimi mnogokotniki lahko narišemo. Prikazani so samo štirje primeri:
 
<TABLE BORDER>
  <TR align=center>
    <TD>
      [[Slika:dem3366bc.png]]<BR>3<sup>2</sup>.6<sup>2</sup> in 3<sup>6</sup></TD>
    <TD>
      [[Slika:Dem3366rbc.png]]<BR>3<sup>2</sup>.6<sup>2</sup> in 3.6.3.6</TD>
  </TR>
  <TR align=center>
    <TD>
      [[Slika:Dem3343tbc.png]]<BR>3<sup>2</sup>.4.12 in 3<sup>6</sup></TD>
    <TD>
      [[Slika:Dem3446bc.png]]<BR>3.4<sup>2</sup>.6 in 3.6.3.6</TD>
  </TR>
</TABLE>

== Hiperbolična ravnina ==
{{glavni|Uniformno tlakovanje v hiperbolični ravnini}}
Te teselacije so povezane s pravilnimi in polpravilnimi poliedri in teselacijami v [[hiperbolična ravnina|hiperbolični ravnini]]. Polpravilne poliedre sestavljajo stranske ploskve mnogokotnika toda njihovi koti prispevajo v vsaki točki k temu, da  je kot 360 stopinj. Pravilni mnogokotniki v hiperbolični geometriji imajo kote, ki so manjši od kotov v ravnini. V obeh primerih je razporeditev mnogokotnikov enaka v vsakem oglišču.

V nadaljevanju je prikazanih nekaj pravilnih tlakovanj v hiperbolični ravnini z uporabo projekcije Poincaréjevega diskovnega modela.

{|
|align=center|[[Slika:Hyperspace_tiling_4-5.svg|150px]]
|align=center|[[Slika:Hyperspace_tiling_5-4.png|150px]]
|align=center|[[Slika:Hyperbolic tiling 3-7.png|150px]]
|align=center|[[Slika:Hyperbolic tiling 7-3.png|150px]]
|align=center|[[Slika:Hyperbolic tiling truncated 3-7.png|150px]]
|-
|align=center|[[Slika:Hyperbolic tiling rectified 3-7.png|150px]]
|align=center|[[Slika:Hyperbolic tiling truncated 7-3.png|150px]]
|align=center|[[Slika:Hyperbolic_tiling_cantellated_3-7.png|150px]]
|align=center|[[Slika:Hyperbolic tiling omnitruncated 3-7.png|150px]]
|align=center|[[Slika:Hyperbolic tiling snub 3-7.png|150px]]
|}

== Glej tudi ==
* [[seznam uniformnih tlakovanj]]
* [[Wythoffov simbol]]
* [[teselacija]]
* [[pravilni polieder]]
* [[polpravilni polieder]]
* [[hiperbolična geometrija]]

== Zunanje povezave ==
* [http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/uniftil.htm Uniformno tlakovanje] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060909053826/http://www.uwgb.edu/dutchs/SYMMETRY/uniftil.htm |date=2006-09-09 }} {{ikona en}}
* [http://people.hws.edu/mitchell/tilings/Part1.html Konstruiranje polpravilnih tlakovanj] {{ikona en}}
* [http://mathworld.wolfram.com/SemiregularTessellation.html Polpravilne teselacije na [[MathWorld]] ] {{ikona en}}
* [http://mathworld.wolfram.com/DemiregularTessellation.html Polpravilne teselacije na [[MathWorld]] ] {{ikona en}} 
* [http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/hypertile.html Hiperbolično tlakovanje] {{ikona en}}
* [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/poincare/poincare.html Hiperbolične teselacije] {{ikona en}}

[[Kategorija:Evklidska ravninska geometrija]]
[[Kategorija:Teselacija]]