Ogled vira Transcendentno število

'''Transcendéntno števílo''' je vsako [[kompleksno število]], ki ni [[algebrsko število|algebrsko]], oziroma ni [[rešitev enačbe|rešitev]] nobene [[polinom]]ske [[enačba|enačbe]] oblike:

: <math> a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0} = 0 \!\, , </math>

kjer je ''n'' > 0 in so koeficienti ''a<sub>i</sub>'' [[celo število|cela števila]] (ali enakovredno [[racionalno število|racionalna števila]]), ne vsa enaka 0.

[[Množica]] algebrskih števil je [[števnost|števna]], medtem ko je množica vseh [[realno število|realnih števil]] [[neštevnost|neštevna]]. To nakazuje, da je tudi množica vseh transcendentnih števil neštevna, tako da je v resnici veliko več transcendentnih števil kot pa algebrskih. Vseeno pa poznamo le nekaj razredov transcendentnih števil in je [[matematični dokaz|dokazovanje]] ali je dano število transcendentno skrajno težko. Tudi druga značilnost [[normalno število|normalnosti]] nekega števila lahko pomaga določiti ali je transcendentno. Vsako transcendentno število je hkrati tudi [[iracionalno število|iracionalno]], saj je [[racionalno število]] po definiciji algebrsko število stopnje 1.

== Zgodovina ==

Ime »transcendentna števila« je izbral [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] v svojem članku iz leta 1682, kjer je dokazal, da funkcija [[Trigonometrična funkcija|sin ''x'']] ni [[algebrska funkcija]] argumenta ''x''.<ref>{{sktxt|Leibniz|Gerhart|Pertz|1858}}.</ref><ref>{{sktxt|Bourbaki|1994|pp=74}}.</ref> [[Leonhard Euler|Euler]] je bil verjetno prvi, ki je definiral transcendentna števila v sodobnem smislu.<ref>{{sktxt|Erdős|Dudley|1983}}.</ref> V letu 1748 je v delu ''Uvod v neskončno analizo'' (''[[Introductio in analysin infinitorum]]'') trdil, da je [[logaritem]] števila ''b'' z osnovo ''a'' (''a'' in ''b'' sta racionalna) ali iracionalno število ali ni koren, ker »<math>a\sqrt{n} = b</math> ne more veljati.«

[[Johann Heinrich Lambert|Lambert]] je, opirajoč se na Eulerjevo delo, leta 1761 dokazal, da za racionalni ''x'', števili <math>e^{x}</math> in tg ''x'' ne moreta biti racionalni. S tem je pokazal, da sta posebej [[e (matematična konstanta)|''e'']] in [[pi|''π'']] iracionalni. V svojem članku iz leta 1761 je domneval, da sta števili ''e'' in ''π'' obe transcendentni. Euler je leta 1775 nakazal možnost, da je ''π'' morda transcendentno število. [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] je leta 1794 pokazal, da je <math>\pi^{2}</math> in s tem ''π'' iracionalno število. Izrazil je tudi domnevo da je ''π'' transcendentno število.

Obstoj transcendentnih števil je prvi dokazal leta [[1844 v znanosti|1844]] [[Joseph Liouville|Liouville]], ki je predložil zglede, kot je [[Liouvillova konstanta]]:

: <math> \sum_{k=1}^{\infty} 10^{-k!} = 0{,}110001000000000000000001000... \!\, , </math>

kjer je ''n-''ta [[števka]] za decimalno vejico 1, če je ''n''= ''m!'' (tj. [[fakulteta (funkcija)|fakulteta]], na primer 1=1!, 2=2!, 6=3!, 24=4! itn.), drugače pa 0.<ref>{{sktxt|Kempner|1916}}.</ref> Liouville je pokazal, da je konstanta vrsta [[Liouvillovo število|Liouvillovega števila]], kar dejansko pomeni, da jo z racionalnimi števili aproksimiramo točneje kot pa druga algebrska števila. Liouville je pokazal tudi, da so vsa Liouvillova števila transcendentna.<ref>{{sktxt|Liouville|1844}}.</ref>

Prvo število, za katerega je leta 1873 [[Charles Hermite|Hermite]] dokazal, da je transcendentno, je bilo število ''e''. [[Georg Ferdinand Cantor|Cantor]] je leta 1874 našel zgoraj opisan dokaz o neskončnosti transcendentnih števil. Tega leta je objavil tudi svoj prvi dokaz o obstoju transcendentnih števil, ki ga imajo nekateri zmotno le za eksistenčnega, ne pa tudi za konstruktivnega, čeprav je možno po njem tvoriti poljubno mnogo različnih transcendentnih števil.<ref>{{sktxt|Gray|1994}}.</ref>

[[Ferdinand von Lindemann|Lindemann]] je leta 1882 s pomočjo Hermitove metode iz leta 1873 dokazal Lambertovo in Legendrovo domnevo in objavil dokaz, da je število ''π'' transcendentno. Najprej je pokazal, da je za neničelni algebrski ''a'' število <math>e^{a}</math> transcendentno, in, ker je <math>e^{i \pi} = -1</math> algebrsko število, morata biti ''iπ'' in ''π'' transcendentni števili. Ta pristop je posplošil [[Karl Weierstrass|Weierstrass]] v [[Lindemann-Weierstrassov izrek]]. Odkritje transcendentnih števil je omogočilo dokaz nemožnosti nekaj starodavnih geometrijskih problemov, kot so [[geometrijska konstrukcija|konstrukcije z ravnilom in šestilom]]. Najbolj znamenit med njimi, [[kvadratura kroga]] je nemogoč, ker je ''π'' transcendentno število.

[[David Hilbert|Hilbert]] je leta 1900 podal vprašanje o transcendentnih številih, [[Hilbertov sedmi problem|7. problem]] v svojem seznamu: če je ''a'' algebrsko število, različno od 0 ali 1, in ''b'' iracionalno algebrsko število, ali je število <math>a^{b}\, </math> nujno transcendentno? Pritrdilni odgovor na njegov problem sta leta 1934 in 1935 neodvisno našla [[Aleksander Osipovič Gelfond|Gelfond]] in [[Theodor Schneider|Schneider]] ([[Gelfond-Schneiderjev izrek]]). [[Alan Baker|Baker]] je leta 1966 dokazal [[Bakerjev izrek|Gelfondovo domnevo]] v splošnem.

== Zgledi transcendentnih števil ==

Nekaj števil, za katera vemo, da so transcendentna:
* <math>e^{a}\!\,</math> za algebrski (racionalni) <math>a \ne 0</math> (Lindemann-Weierstrassov izrek).
** <math>e \,</math>, <math>e^{2} \,</math>, <math>e^{\frac{1}{42}} \,</math>, ...
* [[pi|''π'']] = 3{,}141592653589793238462643383279 ..., {{OEIS|id=A000796)}} (Lindemann-Weierstrassov izrek).
* <math>\sqrt{\pi} \,</math>, <math>2\pi + 1 \!\, </math>, ...
* <math>e^{\sqrt{2}} \,</math>, <math>e^{\Phi} \,</math> (<math>\Phi \,</math> [[število zlatega reza]]), <math>i^{i} = e^{- \pi/2} \,</math>, <math>e^{i\pi\sqrt{2}} \,</math>, ...
* <math>e^{\pi\sqrt{d}}, d\in \mathbb{Z}^{+} \!\, </math> ([[Jurij Valentinovič Nesterenko|Nesterenko]], 1999). Pri <math>d=1 \,</math> je število Gelfondova konstanta.
** <math>e^{\pi} = 23{,}140692632779269005729086367948 ... \!\, </math> ([[Gelfondova konstanta]], {{OEIS|id=A039661}}).
** <math>e^{\pi\sqrt{163}} = 262537412640768743{,}999999999999250072597198185688 ... \!\, </math> ([[Ramanudžanova konstanta]], {{OEIS|id=A060295}}).
* <math>\pi e^{\pi} = 72{,}698629974118802527264630979172 ... \!\, </math>,
* <math>a^{b} \,</math> za algebrski <math>a \ne 0 \land 1 \,</math> in algebrski iracionalni ''b''. Splošni primer [[Hilbertovi problemi|7. Hilbertovega problema]] o določitvi ali je <math>a^{b}\!\,</math> transcendenten  dokazuje [[Gelfond-Schneiderjev izrek]]. Omejitev, da je ''b'' iracionalen, je pomembna, saj je lahko videti, da je <math>a^{b}\!\,</math> algebrski pri algebrskem ''a'' in racionalnem ''b''.
** <math>2^{\sqrt{2}} = 2{,}6651441426902251886502972498731 ... \!\, </math> ([[Gelfond-Schneiderjeva konstanta]] (Hilbertovo število), {{OEIS|id=A007507}}).
** <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}} = \sqrt{2^{\sqrt{2}}} = 1{,}6325269194381528447734953810247 ... \!\, </math>, {{OEIS|id=A078333}}. 
** <math>\sqrt{2}^{e} \,</math>, <math>\sqrt{2}^{\pi} \,</math>, <math>2^{e} \,</math>.
** <math>2^{\pi} = 8{,}824977827076287623856429604208 ... \!\, </math>, {{OEIS|id=A217459}}.
** <math>2^{\pi\sqrt{2}} = 21{,}749087054377458334099208266011 ... \!\, </math>, {{OEIS|id=A217458}}, ...
* [[trigonometrična funkcija|sin]] ''a'', cos ''a'', tg ''a'' in njihovi multiplikativni inverzi csc ''a'', sec ''a'' in ctg ''a'' za algebrski <math>a \ne 0 \,</math> (Lindemann-Weierstrassov izrek).
** sin 1, <math>\sin \sqrt{2} \,</math>, ...
* [[naravni logaritem|ln]] ''a'' za algebrski <math>a \ne 0 \land 1 \,</math> (Lindemann-Weierstrassov izrek).
** <math>\ln 2 = 0{,}693147180559945309417232121458 ... \!\, </math>, {{OEIS|id=A002162}}.
* <math>\ln 3 / \ln 2 = 1{,}5849625007211561814537389439478 ... \!\, </math>.
* <math>\pi + \log 2 + \sqrt{2} \log 3 \!\, </math>.
* <math>\pi + e^{\pi} = 26{,}282285286369062244191729751228 ... \!\, </math>,
* [[univerzalna parabolična konstanta]] <math>P_{2}=\ln(1+\sqrt{2}) + \sqrt{2}=2,295587149392638074034298049189 ... \!\, </math>, {{OEIS|id=A103710}} (Lindemann-Weierstrassov izrek).
* [[Lambertova funkcija W|W]](a) za algebrski <math>a \ne 0 \,</math> (Lindemann-Weierstrassov izrek).
** <math> \operatorname{W}(1) \equiv \Omega = \frac{1}{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{{\rm{d}}x}{(e^x-x)^2+\pi^2}}-1 = 0{,}567143290409783872999968662210 ... \!\, </math> ([[konstanta omega|konstanta Ω]], {{OEIS|id=A030178}}).
* <math>\Gamma(1/3) \,</math>, <math>\Gamma(1/4) \,</math> in <math>\Gamma(1/6) \,</math> (glej [[funkcija gama|funkcija Γ]]).
* <math>\Omega_{F} = 0{,}0078749969978123844 ... \!\, </math> [[Chaitinova konstanta]], {{OEIS|id=A100264}}.
* <math>\sum_{k=0}^\infty 10^{-\lfloor \beta^{k} \rfloor};\quad \beta > 1\; , </math> kjer je <math>\beta\mapsto\lfloor \beta \rfloor</math> največje celo število manjše ali enako β ([[celi del|spodnji celi del]]). 
** Na primer, če je β = 2, je to število <math>M = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^{2^{k}}} = 0,1010001000000010000000000000001000 ... \!\, </math> (Kempner-Mahlerjevo število, {{OEIS|id=A036987}}).
* [[Prouhet-Thue-Morsejeva konstanta]] <math>\tau \,</math> ([[Kurt Mahler|Mahler]], 1929).
* [[Champernownova konstanta]], <math>C_{10}=0{,}1234567891011121314151617 ... \!\, </math>, {{OEIS|id=A033307}} (Mahler, 1937).
* [[Komornik-Loretijeva konstanta]] <math>q=1{,}787231650182965933013274890337 ... \!\, </math>, {{OEIS|id=A055060}}.
* [[Gaussova konstanta]] <math>G=0{,}834626841674073186281429732799 ... \!\, </math>, {{OEIS|id=A014549}}.

== Možna transcendentna števila ==

* vsote, produkti, potence, itd. števila ''π'' in ''e'', razen Gelfondove konstante <math>e^{\pi} \,</math>
** <math>\pi + e\, </math>, <math>\pi - e\, </math>, <math>\pi e\, </math> , <math>\pi / e\, </math>, <math>\pi^{\pi}\, </math>, <math>e^{e}\, </math>, <math>\pi^{e}\, </math>, <math>\pi^{\sqrt{2}}\, </math>, <math>e^{{\pi}^{2}}\, </math>.
* <math>e^{\gamma}\!\,</math>, (<math>\gamma\!\,</math> [[Euler-Mascheronijeva konstanta]], za katero sicer [[nerešeni matematični problemi|ne vemo]] niti ali je iracionalna).
* [[Catalanova konstanta]], tudi ni znano ali je iracionalna.
* [[Riemannova funkcija zeta|Riemannova funkcija ''ζ'']] za liha cela števila
** [[Apéryjeva konstanta]] ''ζ''(3) (za katero je [[Roger Apéry|Apéry]] dokazal, da je iracionalna)
** ''ζ''(5), ''ζ''(7), ... (ni znano ali so iracionalna).
* [[Feigenbaumovi konstanti]] <math>\delta</math> in <math>\alpha</math>.

Domneve:
* [[Schanuelova domneva]]
* [[domneva štirih eksponentov]]

== Mahlerjeva razvrstitev ==

Mahler je leta 1932 razdelil transcendentna števila v 3 razrede in jih imenoval S, T in U. Definicija teh razredov izhaja iz razširitve predstave Liouvillovega števila.

Število ''e'' je vrste S. Znano je, da število ''π'' ni vrste U. Tudi za mnogo drugih znanih transcendentnih števil ni znana razvrstitev po Mahlerju.

=== Koksmajeva enakovredna razvrstitev ===

[[Jurjen Ferdinand Koksma|Koksma]] je leta 1939 predlagal drugo razvrstitev na podlagi aproksimacije algebrskih števil. Koksmajeva in Mahlerjeva razvrstitev sta enakovredni v smislu, da ravzrščata transcendentna števila v enake razrede.

== Glej tudi ==

* [[hipertranscendentno število]]

== Sklici ==
{{sklici|3}}

== Viri ==

{{refbegin|2}}
* {{navedi knjigo|last=Bourbaki|first=Nicolás |title=Elements of the History of Mathematics|url=https://archive.org/details/elementsofhistor0000bour|publisher=Springer|year=1994}}
* {{navedi revijo|last=Erdős|first=Paul|authorlink=Paul Erdős|last2=Dudley |first2=Underwood|title=Some Remarks and Problems in Number Theory Related to the Work of Euler|journal=Mathematics Magazine|volume=56|issue=5|date=november 1983|pages=292–298|url=http://jstor.org/stable/2690369|doi=10.2307/2690369}}
* {{citat|last1= Grasselli|first1= Jože|authorlink1= Jože Grasselli|title= Enciklopedija števil|date= 2008|publisher= [[Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije|DMFA]] – založništvo|location= Ljubljana|series= Matematika – fizika : zbirka univerzitetnih učbenikov in monografij|issn= 1408-1571|volume= 45|isbn= 978-961-212-209-6|cobiss=243138304}}
* {{navedi revijo|last=Gray|first=Robert|title=Georg Cantor and transcendental numbers|journal=[[American Mathematical Monthly]]|year=1994|volume=101|pages=819–832|url=http://math.bu.edu/INDIVIDUAL/aki/16.pdf|format=PDF}}
* {{navedi revijo|last=Kempner|first=Aubrey J.|title=On Transcendental Numbers|journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]]|volume=17|issue=4|date =oktober 1916|pages=476–482|doi=10.2307/1988833|url=http://jstor.org/stable/1988833|publisher=[[Ameriško matematično društvo]]}}
* {{navedi knjigo|last=Leibniz|first=Gettfried Wilhelm|authorlink=Gottfried Wilhelm Leibniz|last2=Gerhardt |first2=Karl Immanuel |last3=Pertz |first3=Georg Heinrich|title=Leibnizens mathematische Schriften|publisher=A. Asher & Co.|year=1858|volume=5|pages=97–98}}[http://books.google.com/books?id=ugA3AAAAMAAJ&pg=PA97]
* {{navedi revijo|last=Liouville|first=Joseph|authorlink=Joseph Liouville|title=Sur des classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques|journal=J. Math. Pures et Appl.|volume=18|year=1844|pages=883-885 in 910-911}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==

* {{MathWorld|urlname=TranscendentalNumber|title=Transcendental Number}}

{{-}}

{{iracionalno število}}
{{števila}}

{{normativna kontrola}}

[[Kategorija:Števila]]
[[Kategorija:Transcendentna števila| ]]
[[Kategorija:1844 v znanosti]]