Ogled vira Trigonometrija

{{Trigonometrija}}
Beseda '''trigonometríja''' izhaja iz [[grščina|grških]] [[beseda|besed]] trigonon - ''[[trikotnik]]'' + metria - ''merjenje''. Ta veja [[matematika|matematike]] se je razvila iz preučevanja trikotnika in odnosov med njegovimi [[stranica]]mi in [[kot]]i. K razvoju trigonometrije sta veliko pripomogla [[astronomija]] in delitev [[krog]]a na 360°. Pri [[Egipčani]]h je razvoj trigonometrije potekal vzporedno z gradnjo [[piramida|piramid]].
 
V sredini [[15. stoletje|15. stoletja]] je [[Nemci|nemški]] [[astronom]] in [[matematik]] [[Regiomontan]] objavil vse dotedanje znanje trigonometrije, kar je vplivalo na razvoj te veje po vsej [[Evropa|Evropi]]. Razvoj trigonometrije je povezan s tehničnim razvojem.

Osnova trigonometrije so [[trigonometrična funkcija|kotne ali trigonometrične funkcije]].

Osnovni problem trigonometrije je '''razreševanje trikotnika''' - to pomeni računanje velikosti kotov in dolžin daljic (stranic, višin, težiščnic ipd.) v trikotniku. Najpomembnejša pravila, ki jih pri tem uporabljamo v [[evklidska geometrija|evklidski geometriji]], so:
* izrek o vsoti notranjih kotov trikotnika:
:<math>\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\!\,</math>
* [[sinusni izrek]]:
:<math>\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}\!\,</math>
* [[kosinusni izrek]]
:<math>a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\!\,</math>
:<math>b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta\!\,</math>
:<math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\!\,</math>

== Trigonometrična razmerja ==
{{Glavni|Trigonometrična funkcija}}
[[Slika:TrigonometryTriangle.svg|sličica|V tem pravokotnem trikotniku: {{Matematična formula|1=sin ''A'' = ''a''/''c'';}} {{Matematična formula|1=cos ''A'' = ''b''/''c'';}} {{Matematična formula|1=tan ''A'' = ''a''/''b''.}}]]
Trigonometrična razmerja so razmerja med robovi pravokotnega trikotnika. Ta razmerja so podana z naslednjimi [[Trigonometrična funkcija|trigonometričnimi funkcijami]] znanega kota ''A'', kjer se ''a'', ''b'' in ''c'' nanašajo na dolžine stranic na priloženi sliki:

* '''[[Sinus in kosinus|Sinusna]]''' funkcija (sin) je definirana kot razmerje med kotu nasprotno kateto in [[Hipotenuza|hipotenuzo]].
:<math>\sin A=\frac{\textrm{nasprotnakateta}}{\textrm{hipotenuza}}=\frac{a}{c}.</math>

* '''[[Sinus in kosinus|Kosinusna]]''' funkcija (cos) je definirana kot razmerje med kotu priležno kateto in hipotenuzo.
:<math>\cos A=\frac{\textrm{prileznakateta}}{\textrm{hipotenuza}}=\frac{b}{c}.</math>

* '''[[Tangens|Tangentna]]''' funkcija (tan) je definirana kot razmerje med kotu nasprotno kateto in kotu priležno kateto.
:<math>\tan A=\frac{\textrm{nasprotnakateta}}{\textrm{prileznakateta}}=\frac{a}{b}=\frac{a/c}{b/c}=\frac{\sin A}{\cos A}.</math>

[[Recipročna vrednost|Recipročne]] vrednosti teh funkcij se imenujejo '''kosekans''' (csc), '''sekans''' (sec) in '''kotangens''' (cot):

:<math>\csc A=\frac{1}{\sin A}=\frac{\textrm{hipotenuza}}{\textrm{nasprotnakateta}}=\frac{c}{a} ,</math>
:<math>\sec A=\frac{1}{\cos A}=\frac{\textrm{hipotenuza}}{\textrm{prileznakateta}}=\frac{c}{b} ,</math>
:<math>\cot A=\frac{1}{\tan A}=\frac{\textrm{prileznakateta}}{\textrm{nasprotnakateta}}=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b}{a} .</math>

== Enotski krog in trigonometrične vrednosti ==
[[Slika:Sin-cos-defn-I.png|sličica|Slika 1a – Sinus in kosinus kota θ določena z enotsko krožnico.]]
Trigonometrična razmerja je mogoče predstaviti tudi z uporabo [[Enotska krožnica|enotskega kroga]], ki ima središče v izhodišču koordinatnega sistema in polmer 1.<ref name="CohenTheodore2009">{{Navedi knjigo|last=David Cohen|last2=Lee B. Theodore|last3=David Sklar|title=Precalculus: A Problems-Oriented Approach, Enhanced Edition|url=https://books.google.com/books?id=-ZXNfthUCOMC|date=17 July 2009|publisher=Cengage Learning|isbn=978-1-4390-4460-5}}</ref> Od pozitivnega poltraka abscisne osi odmerimo premični poltrak kota A. Točko, kjer premični poltrak seka kotomerno krožnico, označimo s točko (x,y), kjer <math>x = \cos A </math> in <math>y = \sin A </math>.<ref name="CohenTheodore2009" /> Ta predstavitev omogoča izračun trigonometričnih vrednosti, kot so na primer te v spodnji tabeli <ref name="Kelley2002">{{Navedi knjigo|last=W. Michael Kelley|title=The Complete Idiot's Guide to Calculus|url=https://books.google.com/books?id=H-0L9Dxor6sC&pg=PA45|year=2002|publisher=Alpha Books|isbn=978-0-02-864365-6|page=45}}</ref>
{| class="wikitable"
!Funkcija
!0
!<math>\pi/6</math>
!<math>\pi/4</math>
!<math>\pi/3</math>
!<math>\pi/2</math>
!<math>2\pi/3</math>
!<math>3\pi/4</math>
!<math>5\pi/6</math>
!<math>\pi</math>
|-
!sinus
|<math>0</math>
|<math>1/2</math>
|<math>\sqrt{2}/2</math>
|<math>\sqrt{3}/2</math>
|<math>1</math>
|<math>\sqrt{3}/2</math>
|<math>\sqrt{2}/2</math>
|<math>1/2</math>
|<math>0</math>
|-
!kosinus
|<math>1</math>
|<math>\sqrt{3}/2</math>
|<math>\sqrt{2}/2</math>
|<math>1/2</math>
|<math>0</math>
|<math>-1/2</math>
|<math>-\sqrt{2}/2</math>
|<math>-\sqrt{3}/2</math>
|<math>-1</math>
|-
!tangens
|<math>0</math>
|<math>\sqrt{3}/3</math>
|<math>1</math>
|<math>\sqrt{3}</math>
|nedefinirano
|<math>-\sqrt{3}</math>
|<math>-1</math>
|<math>-\sqrt{3}/3</math>
|<math>0</math>
|-
!sekans
|<math>1</math>
|<math>2\sqrt{3}/3</math>
|<math>\sqrt{2}</math>
|<math>2</math>
|nedefinirano
|<math>-2</math>
|<math>-\sqrt{2}</math>
|<math>-2\sqrt{3}/3</math>
|<math>-1</math>
|-
!kosekans
|nedefinirano
|<math>2</math>
|<math>\sqrt{2}</math>
|<math>2\sqrt{3}/3</math>
|<math>1</math>
|<math>2\sqrt{3}/3</math>
|<math>\sqrt{2}</math>
|<math>2</math>
|nedefinirano
|-
!kotangens
|nedefinirano
|<math>\sqrt{3}</math>
|<math>1</math>
|<math>\sqrt{3}/3</math>
|<math>0</math>
|<math>-\sqrt{3}/3</math>
|<math>-1</math>
|<math>-\sqrt{3}</math>
|nedefinirano
|}

== Trigonometrične funkcije realnih ali kompleksnih spremenljivk ==
Z uporabo [[Enotska krožnica|enotskega kroga]] lahko razširimo definicije trigonometričnih razmerij na vse pozitivne in negativne argumente<ref name="Olive2003">{{Navedi knjigo|last=Jenny Olive|title=Maths: A Student's Survival Guide: A Self-Help Workbook for Science and Engineering Students|url=https://books.google.com/books?id=_Ir7euRke_oC&pg=PA175|date=18 September 2003|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-01707-7|page=175}}</ref> (glej [[trigonometrična funkcija]]).

=== Grafi trigonometričnih funkcij ===
Naslednja tabela povzema lastnosti grafov šestih glavnih trigonometričnih funkcij:<ref name="Attenborough2003">{{Navedi knjigo|last=Mary P Attenborough|title=Mathematics for Electrical Engineering and Computing|url=https://books.google.com/books?id=CcwBLa1G8BUC&pg=PA418|date=30 June 2003|publisher=Elsevier|isbn=978-0-08-047340-6|page=418}}</ref><ref name="LarsonEdwards2008">{{Navedi knjigo|last=Ron Larson|last2=Bruce H. Edwards|title=Calculus of a Single Variable|url=https://books.google.com/books?id=gR7nGg5_9xcC&pg=PA21|date=10 November 2008|publisher=Cengage Learning|isbn=978-0-547-20998-2|page=21}}</ref>
{| class="wikitable"
!Funkcija
!Obdobje
!domena
!Razpon
!Graf
|-
!sinus
|<math>2\pi</math>
|<math>(-\infty,\infty)</math>
|<math>[-1,1]</math>
| [[Image:Sine one period.svg|200 px]]
|-
!kosinus
|<math>2\pi</math>
|<math>(-\infty,\infty)</math>
|<math>[-1,1]</math>
| [[Image:Cosine one period.svg|200 px]]
|-
!tangens
|<math>\pi</math>
|<math>x \neq \pi/2+n\pi</math>
|<math>(-\infty,\infty)</math>
| [[Image:Tangent-plot.svg|200 px]]
|-
!sekans
|<math>2\pi</math>
|<math>x \neq \pi/2 + n\pi</math>
|<math>(-\infty,-1] \cup [1,\infty)</math>
| [[Image:Secant.svg|200 px]]
|-
!kosekans
|<math>2\pi</math>
|<math>x \neq n\pi</math>
|<math>(-\infty,-1] \cup [1,\infty)</math>
| [[Image:Cosecant.svg|200 px]]
|-
!kotangens
|<math>\pi</math>
|<math>x \neq n\pi</math>
|<math>(-\infty,\infty)</math>
| [[Image:Cotangent.svg|200 px]]
|}

=== Inverzne trigonometrične funkcije ===
{{Glavni|Krožna funkcija}}
Ker je šest glavnih trigonometričnih funkcij periodičnih, niso [[Injektivna preslikava|injektivne]] in zato niso inverzibilne. Z omejevanjem definicijskega območja trigonometrične funkcije, lahko postanejo inverzibilne.<ref name="BremiganBremigan2011">{{Navedi knjigo|last=Elizabeth G. Bremigan|last2=Ralph J. Bremigan|last3=John D. Lorch|title=Mathematics for Secondary School Teachers|url=https://books.google.com/books?id=OfFEC5drTVMC&pg=PR48|year=2011|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-773-1}}</ref>
{{Rp|48ff}}

Imena inverznih trigonometričnih funkcij, skupaj z njihovimi domenami in obsegom, najdete v naslednji tabeli:<ref name="BremiganBremigan20112">{{Navedi knjigo|last=Elizabeth G. Bremigan|last2=Ralph J. Bremigan|last3=John D. Lorch|title=Mathematics for Secondary School Teachers|url=https://books.google.com/books?id=OfFEC5drTVMC&pg=PR48|year=2011|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-773-1}}</ref>{{Rp|48ff}}<ref name="BrokateManchanda2019">{{Navedi knjigo|last=Martin Brokate|last2=Pammy Manchanda|last3=Abul Hasan Siddiqi|title=Calculus for Scientists and Engineers|url=https://books.google.com/books?id=7DenDwAAQBAJ&pg=PA521|date=3 August 2019|publisher=Springer|isbn=9789811384646}}</ref>{{Rp|521ff}}
{| class="wikitable" style="text-align:center"
!Ime
!Običajni zapis
!Definicija
!'''Definicijsko območje''' ''x'' za realni rezultat
!Razpon glavne vrednosti ([[Radian|radiani]])
!Razpon glavne vrednosti ([[Kotna stopinja|stopinje]])
|-
|'''Arkus sinus'''
|''y'' = {{Matematična formula|arcsin(''x'')}}
|''x'' = {{Matematična formula|sin(''y'')}}
|−1 ≤ ''x'' ≤ 1
|−{{Sfrac|{{pi}}|2}} ≤ ''y'' ≤{{Sfrac|{{pi}}|2}}
|−90° ≤ ''y'' ≤ 90°
|-
|'''Arkus kosinus'''
|''y'' = {{Matematična formula|arccos(''x'')}}
|''x'' = {{Matematična formula|cos(''y'')}}
|−1 ≤ ''x'' ≤ 1
|0 ≤ ''y'' ≤ {{Pi}}
|0° ≤ ''y'' ≤ 180°
|-
|'''Arkus tangens'''
|''y'' = {{Matematična formula|arctan(''x'')}}
|''x'' = {{Matematična formula|tan(''y'')}}
|vsa realna števila
|−{{Sfrac|{{pi}}|2}} < ''y'' <{{Sfrac|{{pi}}|2}}
|−90° < ''y'' < 90°
|-
|'''Arkus kotangens'''
|''y'' = {{Matematična formula|arccot(''x'')}}
|''x'' = {{Matematična formula|cot(''y'')}}
|vsa realna števila
|0 < ''y'' < {{Pi}}
|0° < ''y'' < 180°
|-
|'''Arkus sekans'''
|''y'' = {{Matematična formula|arcsec(''x'')}}
|''x'' = {{Matematična formula|sec(''y'')}}
|''x'' ≤ −1 ali 1 ≤ ''x''
|0 ≤ ''y'' <{{Sfrac|{{pi}}|2}} oz{{Sfrac|{{pi}}|2}} < ''y'' ≤ {{Pi}}
|0° ≤ ''y'' < 90° ali 90° < ''y'' ≤ 180°
|-
|'''Arkus kosekans '''
|''y'' = {{Matematična formula|arccsc(''x'')}}
|''x'' = {{Matematična formula|csc(''y'')}}
|''x'' ≤ −1 ali 1 ≤ ''x''
|−{{Sfrac|{{pi}}|2}} ≤ ''y'' < 0 ali 0 < ''y'' ≤{{Sfrac|{{pi}}|2}}
|−90° ≤ ''y'' < 0° ali 0° < ''y'' ≤ 90°
|}

== Sklici ==
{{Sklici}}
{{Kategorija v Zbirki|Trigonometry}}
{{Prostor}}
{{normativna kontrola}}

[[Kategorija:Geometrija]]
[[Kategorija:Trigonometrija|*]]