Ogled vira Tuje število

'''Tuji števili''' sta v [[matematika|matematiki]] dve [[celo število|celi]] [[število|števili]] ''a'' in ''b'', ki nimata skupnega [[delitelj]]a razen 1 in -1, oziroma enakovredno, katerih [[največji skupni delitelj]] je enak [[1 (število)|1]]. To značilnost običajno zapišemo kot ''D''(''a'',''b'') = 1. Seveda je lahko med seboj tudi več tujih števil.

[[6 (število)|6]] in [[35 (število)|35]] sta na primer tuji števili, 6 in [[27 (število)|27]] pa nista, saj sta [[deljivost|deljivi]] s [[3 (število)|3]]. 1 je tuje število vsakemu celemu številu, [[0 (število)|0]] pa je tuje le 1 in -1.

Z [[Evklidov algoritem|Evklidovim algoritmom]] ali neposredno z [[praštevilski razcep|razcepom na]] [[prafaktor]]je je moč določiti ali sta dve števili tuji. 

[[Eulerjeva funkcija fi|Eulerjeva funkcija φ(''n'')]] pozitivnega celega števila ''n'' da skupno število celih števil med 1 in ''n'', ki so ''n'' tuja.

== Značilnosti tujih števil ==

Dve zaporedni [[naravno število|naravni števili]] ''a'' in ''a+1'' sta si tuji. To dejstvo je uporabil [[Evklid]] pri svojem dokazu o [[neskončnost|neskončnem številu]] [[praštevilo|praštevil]].

Dve [[naravno število|naravni števili]] ''a'' in ''b'' sta tuji, če sta tuji števili <math>2^{a}-1</math> in <math>2^{b}-1</math>.

Obstaja več pogojev, ki so enakovredni dejstvu da sta ''a'' in ''b'' tuji števili:

* obstajata takšni celi števili ''x'' in ''y'', da velja linearna [[diofantska enačba]] <math>ax + by = 1</math> (glej [[Bézoutova enakost]]).
* celo število ''b'' ima [[recipročna vrednost|recipročno vrednost]] po [[modularna aritmetika|modulu]] ''a'': obstaja takšno celo število ''y'', da velja ''by'' ≡ 1 (mod ''a''). Ali z drugimi besedami, ''b'' je [[merska enota|enota]] za [[kolobar]] <math>\mathbb{Z}/a\mathbb{Z}</math> celih števil po modulu ''a''.

Tako velja, če sta ''a'' in ''b'' tuji in ''br'' ≡ ''bs'' (mod ''a''), potem ''r'' ≡ ''s'' (mod ''a'') - saj lahko »delimo z ''b''« pri modulu ''a''. Velja še naprej, če sta tuji ''a'' in ''c'' ter ''a'' in ''d'', sta tuji tudi ''a'' in ''cd'' - saj je produkt enote spet enota.

Če sta ''a'' in ''b'' tuji števili, in če ''a'' deli produkt ''bc'', potem ''a'' deli ''c''. To dejstvo izraža posplošitev [[Evklidova lema|Evklidove leme]], ki pravi, da za praštevilo ''p'', ki deli produkt ''bc'', lahko velja ali da ''p'' deli ''b'' ali ''c''.

Dve celi števili ''a'' in ''b'' sta tuji, če je [[Točka (geometrija)|točka]] s koordinatama (''a'', ''b'') v [[kartezični koordinatni sistem|kartezičnem koordinatnem sistemu]] »vidna« iz izhodišča (0, 0) v smislu, da med izhodiščem in točko (''a'', ''b'') ni točke s celoštevilskimi koordinatami.

[[Verjetnost]], da sta dve naključno izbrani celi števili tuji, je enaka (glej [[pi]]):

: <math>\prod_p^{\infty} \left(1-\frac{1}{p^2}\right) = 1 / \prod \frac{1}{1-p^{-2}} = \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} </math>

Tu je <math>\zeta</math> [[Riemannova funkcija zeta|Riemannova funkcija ζ(''s'')]]. Verjetnost je približno 60 %. V splošnem je verjetnost, da je <math>k</math> naključno izbranih števil tujih, enaka <math>1/\zeta(k)</math>.

[[Kategorija:Teorija števil]]