Ogled vira Variacijski račun

{{Infinitezimalni račun}}
'''Variacíjski račún''' je področje [[matematična analiza|matematične analize]], ki obravnava [[ekstrem]]e [[določeni integral|določenih integralov]]. Naloga variacijskega računa je poiskati neznano [[matematična funkcija|funkcijo]], pri kateri ima določeni integral ekstrem. Variacijski račun se ukvarja s [[funkcional]]i, z razliko od navadnega [[infinitezimalni račun|infinitezimalnega računa]], ki se ukvarja s [[funkcija]]mi. Funkcionali se lahko tvorijo kot [[integral]]i, ki vsebujejo neznano funkcijo ali svoje [[primitivna funkcija|primitivne funkcije]]. Pomembne so ekstremne vrednosti funkcij, pri katerih ima funkcional največjo ali najmanjšo vrednost.

Morda je najpreprostejši zgled takšnega problema poiskati [[krivulja|krivuljo]] z najkrajšo [[dolžina|dolžino]], ki povezuje dve [[Točka (geometrija)|točki]]. Če ni omejitev, je rešitev očitno [[daljica]] med njima. Če pa krivulja na primer leži na [[ploskev|ploskvi]] v [[prostor]]u, rešitev ni več tako očitna, in lahko morda obstaja več rešitev. Takšne rešitve so [[geodetka|geodetke]]. Sorodni problem podaja [[Fermatovo načelo]]: [[pot]] [[svetloba|svetlobe]] je najkrajša [[optična pot|optična dolžina]] med dvema točkama, kjer je optična dolžina odvisna od [[snov]]i, v kateri se svetloba giblje. Ustrezen pojem iz [[mehanika|mehanike]] je [[načelo najmanjše akcije]]. Teorija optimalnega krmiljenja obravnava posebno vrsto problemov variacijskega računa.

V več pomembnih problemih se pojavijo funkcije več spremenljivk. Za rešitve problemov robnih pogojev [[Laplaceova enačba|Laplaceove enačbe]] velja [[Dirichletovo načelo]]. [[Plateaujev problem]] išče najmanjšo [[površina|površino]], ki jo ima ploskev, napeta na dan obris v prostoru. Rešitev ali rešitve je moč praktično najti s potopitvijo žičnega okvirja v milnico. Čeprav so takšni poskusi preprosti, je njihov matematični zapis vse prej kot takšen. Obstaja lahko več ploskev, katerih površine so krajevno [[minimalna ploskev|najmanjše]], in imajo lahko netrivialno topologijo.

== Euler-Lagrangeeva enačba ==

Pri idealnih pogojih se lahko maksimum ali minimum dane funkcije najdeta z iskanjem točk, kjer je [[odvod]] enak nič. Podobno se lahko rešijo gladki [[variacijski problem]]i z rešitvijo pripadajoče [[Euler-Lagrangeeva enačba|Euler-Lagrangeeve enačbe]]. Naj je problem iskanja najkrajše krivulje v [[ravnina|ravnini]], ki povezuje dve točki <math>(x_{1}, y_{1})</math> in <math>(x_{2}, y_{2})</math>. [[Dolžina loka]] je podana z:

: <math> A[f] = \int_{x_{1}}^{x_{2}} \sqrt{1 + [ f'(x) ]^{2}} \, \mathrm{d} x \!\, , </math>

kjer je:

: <math> f'(x) = \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}, \!\, </math>

in <math>y=f(x)\, </math>, <math>f(x_{1})=y_{1}\, </math> ter <math>f(x_{2})=y_{2}\, </math>. Funkcija <math>f(x)\, </math> naj ima vsaj en odvod. Če je <math>f_{0}\, </math> lokalni minimum, in je <math>f_{1}\, </math> poljubna funkcija, ki je v končnih točkah <math>x_{1}\, </math> in <math>x_{2}\, </math> enaka 0, in ima vsaj en odvod, potem mora veljati:  

: <math> A[f_{0}] \le A[f_{0} + \epsilon f_{1}] \!\, </math>

za poljubno število <math>\epsilon\, </math> blizu 0. Potem je odvod <math>A[f_{0} + \epsilon f_{1}]\, </math> po <math>\epsilon\, </math> ('''prva variacija A''') enak 0 pri <math>\epsilon = 0\, </math>. Tako je:

: <math> \int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{ f_{0}'(x) f_{1}'(x) } {\sqrt{1 + [ f_{0}'(x) ]^{2}}} \, \mathrm{d} x = 0 \!\, </math>

za poljubno izbiro funkcije <math>f_{1}\, </math>. Ta pogoj se lahko pojasni tako da so vsi smerni odvodi <math>A[f_0]\, </math> enaki nič v prostoru odvedljivih funkcij. V strogem smislu mora biti [[Fréchetov odvod]] ''A'' enak 0 v <math>f_{0}\, </math>. Če se predpostavi, da ima <math>f_{0}\, </math> dva zvezna odvoda (ali, če se upošteva [[šibki odvod|šibke odvode]]), potem se lahko [[integracija po delih|integrira po delih]]:

: <math> \int_{a}^{b} u(x) v'(x)\, \mathrm{d} x = \left[ u(x) v(x) \right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b}  u'(x) v(x)\, \mathrm{d} x \!\, </math>

z uvedbo nove spremenljivke:

: <math> u(x)=\frac{ f_{0}'(x)} {\sqrt{1 + [ f_{0}'(x) ]^{2}}}, \quad v'(x)=f_{1}'(x) \!\, </math>

je:

: <math> \left[ u(x) v(x) \right]_{x_{1}}^{x_{2}} - \int_{x_{1}}^{x_{2}}  f_{1}(x) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[ \frac{ f_{0}'(x) } {\sqrt{1 + [ f_{0}'(x) ]^{2}}} \right] \, \mathrm{d} x = 0 \!\, , </math>

kjer je prvi člen enak 0, saj se je izbrala takšna <math>v(x)=f_{1}(x)\, </math>, da je v <math>x_{1}\, </math> in <math>x_{2}\, </math> enaka 0, kjer se je integriralo. Zato:

: <math> \int_{x_{1}}^{x_{2}} f_{1}(x) \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left[ \frac{ f_{0}'(x) } {\sqrt{1 + [ f_{0}'(x) ]^{2}}} \right] \, \mathrm{d} x = 0 \!\, </math>

za vsako dvakrat odvedljivo funkcijo <math>f_{1}\, </math>, ki je v mejnih točkah intervala enaka 0. To je posebni primer [[osnovna lema variacijskega računa|osnovne leme variacijskega računa]]:

: <math> I =\int_{x_{1}}^{x_{2}} f_{1}(x) H(x) \, \mathrm{d} x = 0 \!\, </math>

za vsako odvedljivo funkcijo <math>f_{1}(x)\, </math>, ki je v mejnih točkah intervala enaka 0. Ker je <math>f_{1}(x)\, </math> poljubna funkcija znotraj integracijskega območja, se sklepa da je <math>H(x) = 0\, </math>. Zaradi tega je:

: <math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[ \frac{ f_{0}'(x) } {\sqrt{1 + [ f_{0}'(x) ]^{2}}} \right] = 0 \!\, . </math>

Iz te enačbe sledi: 

: <math> \frac{\mathrm{d}^{2} f_{0}}{\mathrm{d} x^{2}} = 0 \!\, , </math>

ekstremala pa sta [[premica|premici]].

Podobno velja račun v splošnem, kjer je:

: <math> A[f] = \int_{x_{1}}^{x_{2}}  L(x,f,f') \, \mathrm{d} x \!\, , </math>

kjer mora ''f'' imeti dva zvezna odvoda. Ekstremne vrednosti <math>f_{0}\, </math> se dobijo, če se postavi <math>f = f_{0} + \epsilon f_{1}\, </math>, odvaja po <math>\epsilon\, </math> in se na koncu enači <math>\epsilon = 0\, </math>:

:<math> 
\begin{align}
  \left.\frac{dA}{d\epsilon}\right|_{\epsilon = 0} 
 & = \int_{x_1}^{x_2} \left.\frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} \epsilon}\right|_{\epsilon = 0} \mathrm{d} x \\
 & = \int_{x_1}^{x_2} \left(\frac{\partial L}{\partial f} f_1 + \frac{\partial L}{\partial f'} f'_1\right) \mathrm{d}x \\
 & = \int_{x_1}^{x_2} \left(\frac{\partial L}{\partial f} f_1 - f_1 \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\frac{\partial L}{\partial f'} \right) \mathrm{d} x + \left.\frac{\partial L}{\partial f'} f_1 \right|_{x_1}^{x_2}\\
 & = \int_{x_1}^{x_2} f_1 \left(\frac{\partial L}{\partial f} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\frac{\partial L}{\partial f'} \right) \mathrm{d} x \\
 & = 0 .
\end{align}
</math>

Tu se je v drugi vrstici uporabilo [[verižno pravilo]] za odvod in se v tretji integriralo po delih. Kot prej, je zadnji člen v tretji vrstici enak 0, ker se je tako izbralo <math>f_{1}\, </math>. Po osnovni lemi variacijskega računa se na koncu ugotovi, da za <math>L\, </math> velja Euler-Lagrangeeva enačba:

: <math> -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \frac{\partial L}{\partial f'} + \frac{\partial L}{\partial f} = 0 \!\, . </math>

V splošnem se na ta način dobi [[navadna diferencialna enačba]] 2. reda, ki se jo lahko reši za ekstrem <math>f</math>. Euler-Lagrangeeva enačba je za ekstrem [[potrebni in zadostni pogoji|potreben]], ne pa zadosten pogoj.

== Beltramijeva enakost ==

Pri fizikalnih problemih je velikokrat <math>\partial L/\partial x = 0\, </math>. V tem primeru se Euler-Lagrangeeva enačba poenostavi z Beltramijevo enakostjo:

: <math> L-f'\frac{\partial L}{\partial f'}=C \!\, , </math>

kjer je <math>C\, </math> [[matematična konstanta|konstanta]].<ref>{{navedi splet |url=http://planetmath.org/encyclopedia/BeltramiIdentity.html |title=Beltramijeva enakost |language=en |accessdate=2008-04-08 |archive-date=2007-12-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20071212195417/http://planetmath.org/encyclopedia/BeltramiIdentity.html |url-status=dead }}</ref>

== Du Bois-Reymondov izrek ==

Do sedaj se je privzelo, da imajo ekstremalne funkcije dva zvezna odvoda, čeprav obstoj integrala ''A'' zahteva le prve odvode poskusnih funkcij. Pogoj, da je prva variacija v ekstremni vrednosti enaka 0, se lahko ima za šibko obliko Euler-Lagrangeeve enačbe. Du Bois-Reymondov izrek pravi, da ta šibka oblika vsebuje močno obliko. Če ima ''L'' zvezne prve in druge odvode po vseh svojih argumentih, in če velja:

: <math> \frac{\partial^{2} L}{(\partial f')^{2}} \ne 0 \!\, , </math>

potem ima <math>f_{0}\, </math> dva zvezna odvoda in zanjo velja Euler-Lagrangeeva enačba.

== Fermatovo načelo ==

Po [[Fermatovo načelo|Fermatovem načelu]] svetloba potuje po poti, ki je lokalni minimum optične dolžine med dvema točkama. Če se izbere ''x''-koordinato za parameter vzdolž poti in je <math>y=f(x)\, </math> vzdolž poti, je optična dolžina dana z:

: <math> A[f] = \int_{x=x_{0}}^{x_{1}} n(x,f(x)) \sqrt{1 + f'(x)^{2}} \, \mathrm{d} x \!\, , </math>

kjer je [[lomni količnik]] <math>n(x,y)\, </math> odvisen od snovi. Če se poskusi z <math>f(x) = f_0 (x) + \epsilon f_1 (x)\, </math>, je prva variacija ''A'' (odvod ''A'' po <math>\epsilon\, </math>) enaka:

: <math> \delta A[f_{0},f_{1}] = \int_{x=x_{0}}^{x_{1}} \left[ \frac{ n(x,f_{0}) f_{0}'(x) f_{1}'(x)}{\sqrt{1 + f_{0}'(x)^{2}}} + n_{y} (x,f_{0}) f_{1} \right] \, \mathrm{d} x \!\, . </math>

Z integracijo po delih prvega člena znotraj oklepajev, se dobi Euler-Lagrangeeva enačba:

: <math> -\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left[\frac{ n(x,f_{0}) f_{0}'}{\sqrt{1 + f_{0}'^{2}}} \right] + n_{y} (x,f_{0}) = 0 \!\, . </math>

Pot svetlobnih žarkov se dobi z integracijo te enačbe.

=== Lomni zakon ===

Ko svetloba vstopa ali zapušča [[leča (optika)|lečo]], je lomni količnik nezvezen. Naj je: 

: <math> n(x,y) = n_{-} \quad \hbox{pri} \quad x<0 \!\, , </math>
: <math> n(x,y) = n_{+} \quad \hbox{pri} \quad x>0 \!\, , </math>

kjer sta <math>n_{-}\, </math> in <math>n_{+}\, </math> konstanti. Potem Euler-Lagrangeeva enačba velja kot prej v območju, kjer je <math>x < 0\, </math> ali <math>x > 0\, </math>, in je tam pot dejansko premica, saj je lomni količinik konstanta. V <math>x = 0\, </math> mora biti ''f'' zvezna, lahko pa je nezvezna. Z integracijo po delih v ločenih območjih in z Euler-Lagrangeevimi enačbami, ima prva variacija obliko:

: <math> \delta A[f_{0},f_{1}] = f_{1}(0)\left[ n_{-}\frac{f_{0}'(0_{-})}{\sqrt{1 + f_{0}'(0_{-})^{2}}} -n_{+}\frac{f_{0}'(0_{+})}{\sqrt{1 + f_{0}'(0_{+})^{2}}} \right] \!\, . </math>

Faktor množenja <math>n_{-}\, </math> je sinus kota vpadnega žarka z ''x''-osjo, faktor množenja <math>n_{+}\, </math> pa je sinus kota lomljenega žarka z ''x''-osjo. Po [[lomni zakon|lomnem zakonu]] so ti členi enaki. Lomni zakon je enakovreden dejstvu, da je prva variacija optične poti enaka 0.

=== Fermatovo načelo v treh razsežnostih ===

Z [[vektor (matematika)|vektor]]skim zapisom se dobi priročno orodje. Naj je <math>X=(x_{1},x_{2},x_{3}),\, </math> ''t'' parameter, <math>X(t)\, </math> parametrična oblika krivulje ''C'' in <math>\dot X(t)\, </math> njen tangentni vektor. Optična dolžina krivulje je:

: <math> A[C] = \int_{t=t_{0}}^{t_{1}} n(X) \sqrt{ \dot X \cdot \dot X} \, \mathrm{d} t \!\, . </math>

Integral je invarianta glede na spremembe parametrične oblike ''C''. Euler-Lagrangeeve enačbe za minimalno krivuljo imajo simetrično obliko:

: <math> \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} P = \sqrt{ \dot X \cdot \dot X} \nabla n \!\, , </math>

kjer je: 

: <math> P = \frac{n(X) \dot X}{\sqrt{\dot X \cdot \dot X} } \!\, . </math>

Iz definicije izhaja, da za ''P'' velja:

: <math> P \cdot P = n(X)^{2} \!\, . </math>

Tako se lahko integral zapiše tudi kot:

: <math> A[C] = \int_{t=t_{0}}^{t_{1}} P \cdot \dot X \, \mathrm{d} t \!\, . </math>

Ta oblika napeljuje na misel, da če se lahko najde funkcija ψ, katere gradient je dan z ''P'', potem je integral ''A'' dan z razliko ψ v mejnih točkah integracijskega intervala. Tako se lahko problem iskanja krivulj, za katere je integral stacionaren, poveže z iskanjem nivojskih ploskev ψ. Da se najde takšna funkcija, se pogleda valovna enačba, ki opiše gibanje svetlobe.

==== Povezava z valovno enačbo ====

[[Valovna enačba]] nehomogone snovi je:

: <math> u_{tt} = c^{2} \nabla \cdot \nabla u, \!\, , </math>

kjer je ''c'' [[hitrost]], ki je v splošnem odvisna od ''X''. Valovna čela za svetlobo so karakteristične ploskve te parcialne diferencialne enačbe. Zanje velja:

: <math> \varphi_{t}^{2} = c(X)^{2} \nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \!\, . </math>

Rešitve bodo imele obliko:

: <math> \varphi(t,X) = t - \psi(X) \!\, . </math>

V tem primeru za ψ velja:

: <math> \nabla \psi \cdot \nabla \psi = n^{2} \!\, , </math>

kjer je <math>n=1/c\, </math>. Po teoriji [[parcialna diferencialna enačba prvega reda|parcialnih enačb 1. reda]], če velja <math>P = \nabla \psi\, </math>, potem za ''P'' velja:

: <math> \frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} s} = 2 n \nabla n, \!\, </math>

vzdolž sistema krivulj (svetlobnih žarkov), ki so podani z:

: <math> \frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} s} = P \!\, . </math>

Te enačbe za rešitev parcialne diferencialne enačbe 1. reda so istovetne Euler-Lagrangeevim enačbam, če se postavi:

: <math> \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t} = \frac{\sqrt{ \dot X \cdot \dot X} }{n} \!\, . </math>

Vidi se, da je funkcija ψ vrednost minimalnega integrala ''A'' kot funkcije zgornje mejne točke. To pomeni, da kadar se konstruira družina minimalnih krivulj, za optične dolžine velja karakteristična enačba, ki odgovarja valovni enačbi. Zato je reševanje ustrezne parcialne difrencialne enačbe 1. reda enakovredno iskanju družine rešitev variacijskega problema. To je bistvena vsebina teorije [[Hamilton-Jacobijeva enačba|Hamilton-Jacobijevih enačb]], ki obravnava splošneješe variacijske probleme.

== Sklici ==
{{sklici|2}}

{{math-stub}}

[[Kategorija:Matematična analiza]]
[[Kategorija:Fizikalni koncepti]]
[[Kategorija:Optimizacija]]
[[Kategorija:Variacijski račun| ]]
{{normativna kontrola}}