Ogled vira Vektor (matematika)

{{short description|geometrijski objekt z velikostjo in smerjo}}
{{drugipomeni4|vektorjih večinoma rabljenih v fiziki in inženirstvu za predstavitev usmerjenih količin|matematične vektorje na splošno|vektor (matematika in fizika)|druge uporabe|vektor}}

[[slika:vector from A to B.svg|thumb|right|200px|Vektor <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> z [[velikost (matematika)|velikost]]jo ([[dolžina|dolžino]] ali [[norma (matematika)|normo]]) <math> | \mathbf{\vec{a}} | \!\, </math> in [[orientacija (geometrija)|smerjo]] od [[točka (geometrija)|točke]] <math> A \!\, </math> do točke <math> B \!\, </math>.]]

'''Véktor''' ([[latinščina|latinsko]] [[:en:wikt:vector|vector]] – ''nosilec'';{{efn|name="op2"}} iz [[:en:wikt:vehere|vehēre]] – ''nositi'') ali '''evklídski véktor'''{{efn|name="op3"}} je v [[matematika|matematiki]], [[fizika|fiziki]] in [[inženirstvo|inženirstvu]] [[količina]], ki ima [[velikost (matematika)|velikost]] ([[dolžina|dolžino]] ali [[norma (matematika)|normo]]) in [[orientacija (geometrija)|smer]], nima pa lege.{{r|spl1}} Vektorje v [[dvorazsežni prostor|dvo-]] ali [[trirazsežni prostor|trirazsežnem prostoru]] se predstavi z [[usmerjena daljica|usmerjenimi daljicami]]. Usmerjena daljica <math> \stackrel {\,\longrightarrow}{AB} \!\, </math> je [[daljica]], ki ima začetno [[točka (geometrija)|točko]] <math> A \!\, </math> in končno točko <math> B \!\, </math>.{{r|ito--1993}}{{r|pedo-1988}}

{| class="wikitable floatright" style="width: 240px;"
|+ Zgledi [[:kategorija:vektorske fizikalne količine|vektorskih fizikalnih količin]]
! ime 
! označba
! definicija
|-
| {{ubl|lega|([[krajevni vektor]])}} || {{ubl|<math> \mathbf{\vec{s}} \!\, </math>|(<math> \mathbf{\vec{r}} \!\, </math>)}}
|-
| [[hitrost]] || <math> \mathbf{\vec{v}} \!\, </math> || <math> \frac{\mathrm{d} \mathbf{\vec{r}}}{\mathrm{d} t} \!\, </math>
|-
| [[pospešek]] || <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> || <math> \frac {\mathrm{d} \mathbf{\vec{v}}} {\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d}^{2} \mathbf{\vec{r}}}{\mathrm{d} t^{2}} = \frac{\mathbf{\vec{F}}}{m} \!\, </math>
|-
| [[gibalna količina]] || {{ubl|<math> \mathbf{\vec{G}} \!\, </math>| <math> \mathbf{\vec{P}}  \!\, </math> | <math> \mathbf{\hat{p}} \!\, </math>}} || {{ubl|<math> m \mathbf{\vec{v}} \!\, </math>| <math> m_{0} \gamma \mathbf{\vec{v}} \!\, </math> | <math> -i\hbar \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{bmatrix} = -i\hbar\nabla \!\, </math> }}
|-
| [[sila]] || <math> \mathbf{\vec{F}} \!\, </math> || <math> m \mathbf{\vec{a}} \!\, </math>
|-
| [[sunek sile]] || <math> \mathbf{\vec{I}} \!\, </math> || <math> \int \mathbf{\vec{F}} \, \mathrm{d} t \!\, </math>
|-
| [[navor]] || <math> \mathbf{\vec{M}} \!\, </math> || <math> \mathbf{\vec{r}} \times \mathbf{\vec{F}} \!\, </math>
|-
| [[vrtilna količina]] || <math> \mathbf{\vec{\Gamma}} \!\, </math> || <math> \mathbf{\vec{r}} \times \mathbf{\vec{G}} \!\, </math>
|-
| [[trzaj (fizika)|trzaj]] || {{ubl|<math> \mathbf{\vec{j}} \!\, </math>|<math> \mathbf{\vec{b}} \!\, </math>}} || <math> \frac{\mathrm{d} \mathbf{\vec{a}}} {\mathrm{d} t} = \frac {\mathrm{d}^{2} \mathbf{\vec{v}}} {\mathrm{d} t^{2}} = \frac {\mathrm{d}^{3} \mathbf{\vec{r}}} {\mathrm{d} t^{3}} \!\, </math>
|-
| [[jakost električnega polja]] || <math> \mathbf{\vec{E}} \!\, </math> || {{ubl|<math> - \mathbf{\vec{\nabla}} \, \varphi \!\, </math>{{efn|name="op0"}}|<math> - \mathbf{\vec{\nabla}} \, \varphi - \frac{\partial \mathbf{\vec{A}}}{\partial t} \!\, </math> }}
|-
| [[gostota magnetnega polja]] || <math> \mathbf{\vec{B}} \!\, </math> || <math> \nabla \times \mathbf{\vec{A}} \!\, </math>
|}

{| class="wikitable floatright" style="width: 400px;"
|+ Zgledi [[vektorska funkcija|vektorskih funkcij]], [[vektorsko polje|polj]] in [[operator (matematika)|operacij]]
|-
| [[gradient]] ([[skalarno polje|skalarnega polja]]) || <math> \mathbf{\vec{\nabla}} f(p) \!\, </math> || <math> \begin{bmatrix} \frac{\partial f(p)}{\partial x_{1}} \\
 \vdots \\ \frac{\partial f(p)}{\partial x_{n}} \end{bmatrix} \!\, </math>
|-
| [[ploskovni gradient]] || <math> \mathbf{\vec{\nabla}}_{\mathrm S} f(p) \!\, </math> || <math> \mathbf{\vec{\nabla}} f(p) - \mathbf{\hat{n}} (\mathbf{\hat{n}} \cdot \mathbf{\vec{\nabla}} f(p)) \!\, </math>
|- 
| [[Jacobijeva matrika]] ([[vektorska funkcija|vektorske funkcije]]) || <math> \mathbf{J} \!\, </math> || <math> \begin{align} & {} \begin{bmatrix}
    \dfrac{\partial \mathbf{\vec{f}}}{\partial x_{1}} & \cdots & \dfrac{\partial \mathbf{\vec{f}}}{\partial x_{n}} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
    \nabla^\mathsf{T} f_1 \\  
    \vdots \\
    \nabla^\mathsf{T} f_m   
    \end{bmatrix} \\
& = \begin{bmatrix}
    \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}\\
    \vdots & \ddots & \vdots\\
    \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} \end{align} \!\, </math>
|-
| [[kovariantni odvod|gradient]] vektorskega polja || <math> \mathbf{\vec{\nabla}} \mathbf{\vec{f}} \!\, </math> || <math> g^{jk} \frac{\partial f^{i}}{\partial x^{j}} \mathbf{\hat{e}}_{i} \otimes \mathbf{\hat{e}}_{k} \!\, </math>{{efn|name="op1"}}
|-
| [[rotor]] || <math> \nabla \times \mathbf{\vec{V}} \!\, </math> || <math> \begin{vmatrix} \mathbf{\hat{i}} & \mathbf{\hat{j}} & \mathbf{\hat{k}} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ V_{x} & V_{y} & V_{z} \end{vmatrix} \!\, </math>
|-
| [[vektorski potencial]] || <math> \mathbf{\vec{A}} \!\, </math> ||
|}

Usmerjeni daljici <math> \stackrel {\,\longrightarrow}{AB} \!\, </math> in <math> \stackrel {\,\longrightarrow}{CD} \!\, </math> predstavljata isti vektor <math> \vec{\mathbf{a}} \!\, </math>, če sta:
* [[vzporednost|vzporedni]],
* enako [[dolžina|dolgi]] in
* enako orientirani (usmerjeni).

Vektorji se lahko dodajajo drugim vektorjem v skladu z [[vektorska algebra|vektorsko algebro]].

Vektor je tisto, kar je potrebno za »prenos« točke <math> A \!\, </math> v točko <math> B \!\, </math> – latinska beseda vector pomeni ''nosilec''.{{efn|name="op2"}} Prvi so vektor uporabili astronomi v 18. stoletju, ko so raziskovali kroženje planetov okrog [[Sonce|Sonca]].{{r|spl2}} Velikost vektorja je razdalja med dvema točkama, smer pa se nanaša na smer [[premik (geometrija)|premika]] od <math> A \!\, </math> do <math> B \!\, </math>. Mnoge [[algebrska operacija|algebrske operacije]] na [[realno število|realnih številih]], kot so [[seštevanje]], [[odštevanje]], [[množenje]] in [[nasprotna vrednost|negiranje]], imajo podobne [[analogon]]e za vektorje,{{r|spl1}} operacije, ki upoštevajo znane algebrske zakone [[komutativnost]]i, [[asociativnost]]i in [[distributivnost]]i. Te operacije in povezani zakoni kvalificirajo vektorje kot primer splošnejšega koncepta vektorjev, definiranih preprosto kot elemente [[vektorski prostor|vektorskega prostora]].

Vektorji so pomembni v fiziki – z njimi je mogoče opisati [[hitrost]] in [[pospešek]] premikajočega se [[telo (fizika)|telesa]] ter [[sila|sile]], ki delujejo nanj.{{r|spl3}} Mnoge druge [[fizikalna količina|fizikalne količine]] se lahko koristno predstavlja kot vektorje. Čeprav večina od njih ne predstavlja razdalj (razen na primer lege ali premika), je njihovo velikost in smer vseeno mogoče predstaviti z dolžino in smerjo puščice. Matematična predstavitev fizičnega vektorja je odvisna od [[koordinatni sistem|koordinatnega sistema]], uporabljenega za opis. Drugi vektorjem podobni objekti, ki opisujejo fizikalne količine in se transformirajo na podoben način pod spremembami koordinatnega sistema, vključujejo [[psevdovektor]]je in [[tenzor]]je.{{r|spl4}}

V matematiki velja, da se lahko vektor [[vzporedni premik|vzporedno prenese]] v poljubno začetno točko, v fiziki pa je marsikdaj pomembno, katero začetno točko (prijemališče) ima vektor.

V matematiki se poleg dvo- in trirazsežnih uporablja tudi posplošene [[višje razsežnosti|večrazsežne]] (<math> n \!\, </math>-razsežne) vektorje.

== Zgodovina ==

[[Koncept]] in [[pojem]] vektorjev, kot se jih pozna sedaj, sta rezultata postopnega razvoja v času več kot 200 let. K razvoju vektorjev je pomembno prispevalo več ljudi.{{r|crow-1967}} Leta 1835 je [[Giusto Bellavitis]] abstrahiral osnovno zamisel, ko je vzpostavil koncept [[relacija ekvipolence|ekvipolentnosti]]. Z delom v [[evklidska ravnina|evklidski ravnini]] je izenačil vsak par [[vzporednost|vzporednih]] [[daljica|daljic]] z enako dolžino in smerjo. V bistvu je realiziral [[ekvivalenčna relacija|ekvivalenčno relacijo]] na parih točk (bitočk) v ravnini in tako postavil prvi prostor vektorjev v ravnini.{{r|crow-1967}}{{rp|52–4}}

Izraz ''vektor'' je uvedel [[William Rowan Hamilton]] kot del [[kvaternion]]a <math> q \!\, </math>, ki je vsota (<math> q = s + \mathbf{\vec{v}} = s + v_{1} \mathbf{\hat{i}} + v_{2} \mathbf{\hat{j}} + v_{3} \mathbf{\hat{k}} \!\, </math>) [[realno število|realnega števila]] <math> s \!\, </math> (imenovanega tudi ''[[skalar]]'') in 3-razsežnega ''vektorja'' <math> \mathbf{\vec{v}} \!\, </math>. [[štirirazsežni prostor|Štirirazsežni]] sistem kvaternionov <math> \mathbb{H} \!\, </math> je odkril leta 1843.{{r|koec-1991}}. Tako kot Bellavitis je na vektorje gledal kot na predstavnike [[ekvivalenčni razred|razredov]] ekvipolentnih usmerjenih daljic. Ker [[kompleksno število|kompleksna števila]] uporabljajo [[imaginarna enota|imaginarno enoto]] za dopolnitev [[številska premica|realne premice]], je Hamilton menil, da je vektor <math> \mathbf{\vec{v}} \!\, </math> ''imaginarni del'' kvaterniona:{{r|hami-1846}}{{rp|27}}

{{citatni blok|Po drugi strani algebrsko imaginarni del, geometrično skonstruiran iz [[premica|premice]], ali [[radij-vektor]], ki ima na splošno za vsak določen kvaternion določeno dolžino in določeno smer v prostoru, se lahko imenuje vektorski del ali preprosto vektor kvaterniona; [...].}}

Več drugih matematikov je sredi 19. stoletja razvilo vektorske sisteme, med njimi [[Augustin Louis Cauchy]], [[Hermann Günther Grassmann]], [[August Ferdinand Möbius]], [[Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant]] in [[Matthew O'Brien (matematik)|Matthew O'Brien]]. Grassmannovo delo iz leta 1840 ''Teorija oseke in pretoka'' (''Theorie der Ebbe und Flut'') je bil prvi sistem prostorske analize, ki je podoben sedanjemu sistemu, in je imel zamisli, ki ustrezajo [[vektorski produkt|vektorskemu]] in [[skalarni produkt|skalarnemu produktu]] ter vektorskemu odvajanju. Grasmann je leta 1844 objavil delo ''Teorija linearne razširitve'' (''Lineale Ausdehnungslehre''), knjigo, ki vsebuje več kot 300 strani.{{r|gras-1844}} Njegovo delo je bilo do 1870-ih večinoma zanemarjeno.{{r|crow-1967}} Po Hamiltonu se je s kvaternioni ukvarjal [[Peter Guthrie Tait]]. Njegova ''Elementarna razprava o kvaternionih'' (''Elementary Treatise of Quaternions'') iz leta 1867 je vključevala obsežno obravnavo [[opeator nabla|operatorja]] [[nabla]] <math> \nabla \!\, </math> ali <math> \operatorname{del} \!\, </math>. Leta 1878 je [[William Kingdon Clifford]] objavil delo ''Elementi dinamike'' (''[[Elements of Dynamic]]'').{{r|clif-1878}} Poenostavil je raziskovanje kvaternionov z osamitvijo skalarnega in vektorskega produkta dveh vektorjev iz celotnega kvaternionskega produkta. Ta pristop je vektorske izračune omogočil inženirjem – in drugim, ki delajo v treh razsežnostih in so skeptični do četrte.

[[Josiah Willard Gibbs]], ki je spoznal kvaternione pred dela ''Razprava o elektriki in magnetizmu'' (''[[A Treatise on Electricity and Magnetism]]'') [[James Clerk Maxwell|Jamesa Clerka Maxwella]] iz leta 1873, je ločil njihov vektorski del za neodvisno obravnavo. Prva polovica Gibbsovega dela ''Elementi vektorske analize'' (''Elements of Vector Analysis''), objavljenih leta 1881, predstavlja, kar je v bistvu sodoben sistem vektorske analize.{{r|crow-1967}}{{r|spl1}} Leta 1901 je [[Edwin Bidwell Wilson]] objavil delo ''Vektorska analiza'' (''[[Vector Analysis]]''), prilagojeno iz Gibbsovih predavanj, ki je pregnala vsako omembo kvaternionov v razvoju [[vektorski račun|vektorskega računa]].{{r|wils-1901}} Vektorski račun sta iz kvaternionskega računa razvila Gibbs in [[Oliver Heaviside]], večino [[matematični zapis|zapisov]] in [[matematična terminologija|terminologije]] pa sta podala Gibbs in Wilson. Sodobno obliko [[Maxwellove enačbe|Maxwellovih enačb]] sta izdelala Heaviside in Gibbs in sta leta 1884 izvirne Maxwellove enačbe zapisala s prijemi vektorskega računa. Iz prvotnega sistema enačb je tako nastal sistem štirih enačb, ki so znane sedaj.

[[George Gabriel Stokes]] je leta 1849 prvi opisal [[Helmholtzev razstavitveni izrek|razstavitveni (kompozicijski) izrek]] v treh razsežnostih za teorijo [[uklon]]a.{{r|stok-1849}} [[Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz|Herman von Helmholtz]] je leta 1858 objavil članek o nekaterih [[hidrodinamika|hidrodinamičnih]] osnovnih enačbah{{r|helm-1858}}{{r|kust-2016}} kot del svojega raziskovanja [[Helmholtzevi izreki|izrekov]], ki opisujejo [[gibanje]] [[tekočina|tekočine]] v bližini [[vrtinec|vrtinčnic]].{{r|kust-2016}} Njuna izpeljava je zahtevala, da vektorska polja dovolj hitro upadajo v neskončnosti. Kasneje so lahko ta pogoj omilili in Helmholtzevo razstavitev razširili na višje razsežnosti.{{r|glot-2023}}{{r|tran-1993}}{{r|petr-2017}} Za [[Riemannova mnogoterost|Riemannove mnogoterosti]] so izpeljali [[Helmholtz-Hodgeeva razstavitev|Helmholtz-Hodgeevo razstavitev]] s pomočjo [[diferencialna geometrija|diferencialne geometrije]] in [[tenzorski račun|tenzorskega računa]].{{r|glot-2023}}{{r|kust-2016}}{{r|spro-2009}}{{r|bhat-2013}} Razstavitveni izrek je postal pomembno orodje pri mnogih [[nerešeni problemi v fiziki|problemih]] v [[teoretična fizika|teoretični fiziki]],{{r|kust-2016}}{{r|spro-2009}} uporabili pa so ga tudi na področjih, kot so: [[animacija]], [[računalniški vid]] in [[robotika]].{{r|bhat-2013}}

[[Ludwig Edward Boltzmann]] je poročal, da sta samo dva fizika takoj razumela pomen Maxwellove teorije [[elektromagnetizem|elektromagnetizma]] – Helmholtz in [[Jožef Stefan]]. Stefan je svojemu študentu Boltzmannu predaval Maxwellove razprave in na predavanju razpravljal o Maxwellovi teoriji. Že leta 1869 je pisal o osnovnih enačbah elektrodinamike.{{r|stef-1869}} [[Stefanove elektromagnetne enačbe|Svoje elektromagnetne enačbe]] je pisal še v vektorski obliki po komponentah. Drugi fiziki so bili do Maxwellove teorije nezaupljivi ali pa jih je celo odbijala, predvsem zaradi videza nedokončanosti in še nerazvite [[vektorska analiza|vektorske analize]].{{r|strn-2014}}{{rp|111}}

== Pregled ==

V fiziki in tehniki se vektor običajno obravnava kot geometrijska entiteta, za katero sta značilni [[velikost (matematika)|velikost]] in [[orientacija (geometrija)|smer]]. Pri tem vektor nima lege. Formalno je definiran kot [[usmerjena daljica]] ali puščica v [[evklidski prostor|evklidskem prostoru]].{{r|ito--1993}} V [[čista matematika|čisti matematiki]] je vektor bolj splošno definiran kot vsak element [[vektorski prostor|vektorskega prostora]]. V tem kontekstu so vektorji abstraktne entitete, za katere je lahko značilna velikost in smer ali pa ne. Ta posplošena definicija implicira, da so zgoraj omenjene geometrijske entitete posebna vrsta vektorjev, saj so elementi posebne vrste vektorskega prostora, imenovanega evklidski prostor. Ta članek govori o vektorjih, ki so strogo definirani kot puščice v evklidskem prostoru. Kadar je treba te posebne vektorje razlikovati od vektorjev, kot so definirani v čisti matematiki, se včasih imenujejo '''evklidski''', '''geometrijski''' ali '''prostorski vektorji'''.

Ker je evklidski vektor puščica, ima določeno ''začetno'' in ''končno [[točka (geometrija)|točko]]''. Vektor s fiksno začetno in končno točko se imenuje '''vezani vektor'''.{{efn|name="op4"}} Ko sta pomembni le velikost in smer vektorja, potem določena začetna točka ni pomembna in vektor se imenuje '''prosti vektor'''. Tako dve puščici <math> \stackrel {\,\longrightarrow}{AB} \!\, </math> in <math> \stackrel {\,\longrightarrow}{A'B'} \!\, </math> v prostoru predstavljata isti prosti vektor, če imata enako velikost in smer – to pomeni, da sta [[relacija ekvipolence|ekvipolentna]], če je [[štirikotnik]] <math> ABB'A' \!\, </math> [[paralelogram]]. Če je evklidski prostor opremljen z izbiro [[koordinatno izhodišče|koordinatnega izhodišča]], potem je prosti vektor enakovreden vezanemu vektorju enake velikosti in smeri, katerega začetna točka je koordinatno izhodišče. Izraz vektor ima tudi posplošitve na [[višje razsežnosti]] in na bolj formalne pristope z veliko širšo uporabo.

=== Nadaljnje informacije ===

V klasični [[evklidska geometrija|evklidski geometriji]] (tj. [[sintetična geometrija|sintetični geometriji]]) so bili vektorji uvedeni (v 19. stoletju) kot [[ekvivalenčni razred]]i pod [[relacija ekvipolence|ekvipolentnostjo]] [[urejeni par|urejenih parov ]] točk – dva para <math> (A, ~ B) \!\, </math> in <math> (C, ~ D) \!\, </math> sta ekvipolentna, če točke <math> A, ~ B, ~ D, ~ C  \!\, </math> v tem vrstnem redu tvorijo [[paralelogram]]. Tak ekvivalenčni razred se imenuje vektor, natančneje evklidski vektor.{{efn|name="op5"}} Ekvivalenčni razred <math> [A, ~ B] \!\, </math> je pogosto označen kot usmerjena daljica <math> \stackrel {\,\longrightarrow}{AB} \!\, </math>.

Evklidski vektor je torej ekvivalenčni razred usmerjenih daljic z enako velikostjo (npr. dolžina [[daljica|daljice]] <math> | A, ~ B | \!\, </math>) in isto smerjo (npr. smer od <math> A \!\, </math> do <math> B \!\, </math>).{{r|spl5}} V fiziki se evklidski vektorji uporabljajo za predstavitev fizikalnih količin, ki imajo velikost in smer, vendar se ne nahajajo na določenem mestu, v nasprotju s [[skalar]]ji, ki nimajo smeri.{{r|spl3}} Na primer, [[hitrost]], [[sila|sile]] in [[pospešek]] so predstavljeni z vektorji.

V moderni geometriji so evklidski prostori pogosto definirani iz [[linearna algebra|linearne algebre]]. Natančneje, evklidski prostor <math> E \!\, </math> je definiran kot [[množica]], ki ji je pridružen [[prehilbertov prostor|prostor notranjega produkta]] končne razsežnosti nad realnimi vrednostmi <math> \overrightarrow{E} \!\, </math> in [[akcija grupe|akcije]] [[aditivna grupa|aditivne grupe]] <math> \overrightarrow{E} \!\, </math>, ki je [[prosta akcija|prosta]] in [[prehodna akcija|prehodna]] (za podrobnosti o tej konstrukciji glej [[afini prostor]]). Elementi <math> \overrightarrow{E} \!\, </math> se imenujejo [[translacija (geometrija)|translacije]]. Dokazano je, da sta obe definiciji evklidskih prostorov enakovredni in da se lahko ekvivalenčne razrede pod ekvipolentnostjo identificira s translacijami.

Včasih se evklidski vektorji obravnavajo brez sklicevanja na evklidski prostor. V tem primeru je evklidski vektor element normiranega vektorskega prostora končne razsežnosti nad realnimi števili ali, običajno, element <math> \R^{n} \!\, </math>, opremljenega s [[skalarni produkt|skalarnim produktom]]. To je smiselno, saj dodatek v takem vektorskem prostoru deluje prosto in prehodno na sam vektorski prostor. To je, <math> \R^{n} \!\, </math> je evklidski prostor, ki je sam sebi pridruženi vektorski prostor, in ima skalarni produkt kot notranji produkt.

Evklidski prostor <math> \R^{n} \!\, </math> je pogosto predstavljen kot evklidski prostor razsežnosti <math> n \!\, </math>. To je motivirano z dejstvom, da je vsak evklidski prostor razsežnosti <math> n \!\, </math> [[izomorfizem|izomorfen]] evklidskemu prostoru <math> \R^{n} \!\, </math>. Natančneje, glede na takšen evklidski prostor, se lahko za [[koordinatno izhodišče]] izbere katero koli točko <math> O \!\, </math>. Z [[Gram-Schmidtov proces|Gram-Schmidtovim procesom ortonormalizacije]] se lahko najde tudi [[ortonormalna baza|ortonormalno bazo]] pripadajočega vektorskega prostora ([[baza (linearna algebra)|bazo]], pri kateri je notranji produkt dveh [[bazni vektor|baznih vektorjev]] enak 0, če sta različna, in 1, če sta enaka). To definira [[kartezični koordinatni sistem|kartezične koordinate ]] poljubne točke <math> P \!\, </math> prostora, kot koordinate na tej bazi vektorja <math> \stackrel {\,\longrightarrow}{OP} \!\, </math>. Te izbire definirajo izomorfizem danega evklidskega prostora na <math> \R^{n} \!\, </math>, s preslikavo katere koli točke v <math> n \!\, </math>[[n-terica|-terico]] svojih kartezičnih koordinat in vsak vektor v njegov [[koordinatni vektor]].

=== Zgledi v eni razsežnosti ===

Ker ima fizikalni koncept [[sila|sile]] smer in velikost, se jo lahko razume kot vektor. Kot zgled je desnosmerna sila <math> F \!\, </math> 15 [[newton]]ov. Če je tudi pozitivna [[koordinatna os|os]] usmerjena desno, potem <math> F \!\, </math> predstavlja vektor 15 N, in če je pozitivna os usmerjena levo, je vektor za <math> F \!\, </math> −15 N. V obeh primerih je velikost vektorja 15 N. Podobno bi bila vektorska predstavitev premika <math> \Delta s \!\, </math> 4 [[meter|metrov]] 4 m ali −4 m, odvisno od njegove smeri, njegova velikost pa bi bila v vsakem primeru 4 m.

=== V fiziki in inženirstvu ===

Vektorji so eni od osnovnih konceptov fizikalnih znanosti. Uporabljajo se lahko za predstavitev katere koli količine, ki ima velikost, ima smer in se drži pravil vektorskega seštevanja. Zgled je [[hitrost]]. Na primer, hitrost 5 [[meter na sekundo|metrov na sekundo]] navzgor je lahko predstavljena z vektorjem <math> [0, ~ 5] \!\, </math> (v 2 razsežnostih s pozitivno osjo <math> y \!\, </math> v smeri 'navzgor'). Druga količina, ki jo predstavlja vektor, je [[sila]], saj ima velikost in smer ter sledi pravilom seštevanja vektorjev.{{r|spl3}} Vektorji opisujejo tudi mnoge druge fizikalne količine, kot so linearni premik, [[premik (geometrija)|premik]], linearni [[pospešek]], [[kotni pospešek]], [[gibalna količina]] in [[vrtilna količina]]. Drugi fizikalni vektorji, kot sta [[električno polje|električno]] in [[magnetno polje]], so predstavljeni kot sistem vektorjev v vsaki točki fizikalnega prostora – torej [[vektorsko polje]]. Zgledi količin, ki imajo velikost in smer, vendar ne sledijo pravilom seštevanja vektorjev, sta [[kotni premik]] in [[električni tok]]. Posledično to nista vektorja.

=== V kartezičnem prostoru ===

V [[kartezični koordinatni sistem|kartezičnem koordinatnem sistemu]] se lahko vezani vektor predstavi z identificiranjem koordinat njegove začetne in končne točke. Na primer točki <math> A = (1, ~ 0, ~ 0) \!\, </math> in <math> B = (0, ~ 1, ~ 0) \!\, </math> v prostoru določata vezani vektor <math> \stackrel {\,\longrightarrow}{AB} \!\, </math>, ki kaže od točke <math> x = 1 \!\, </math> na osi <math> x \!\, </math> do točke <math> y = 1 \!\, </math> na osi <math> y \!\, </math>.

V kartezičnih koordinatah se lahko prosti vektor predstavlja v smislu ustreznega vezanega vektorja v tem smislu, katerega začetna točka ima koordinate izhodišča <math> O = (0, ~ 0, ~ 0) \!\, </math>. Tako je potem določen s koordinatami končne točke tega vezanega vektorja. Tako je prosti vektor, predstavljen z <math> \begin{bmatrix} 1 ~ 0 ~ 0 \end{bmatrix}^{\top} \!\, </math>, vektor enotske dolžine, ki kaže vzdolž smeri pozitivne osi <math> x \!\, </math>.

Ta koordinatna reprezentacija prostih vektorjev omogoča, da se njihove algebrske značilnosti izrazijo na primeren numerični način. Na primer, vsota dveh (prostih) vektorjev <math> \begin{bmatrix} 1 ~ 2 ~ 3 \end{bmatrix}^{\top} \!\, </math> in <math> \begin{bmatrix} -2, ~ 0, ~ 4 \end{bmatrix}^{\top} \!\, </math> je (prosti) vektor:

: <math> 
\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 4 \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix} 1 ~ 2 ~ 3 \end{bmatrix}^{\top} + \begin{bmatrix} -2 ~ 0 ~ 4 \end{bmatrix}^{\top}
= \begin{bmatrix} 1 - 2 \\ 2 + 0 \\ 3 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 - 2 ~ 2 + 0 ~ 3 + 4 \end{bmatrix}^{\top} 
= \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 ~ 2 ~ 7 \end{bmatrix}^{\top} \!\, . </math>

=== Evklidski in afini vektorji ===

V geometrijskih in fizikalnih nastavitvah je včasih mogoče vektorjem na naraven način povezati ''dolžino'' ali velikost in smer. Poleg tega je pojem smeri strogo povezan s pojmom kota med dvema vektorjema. Če je definiran [[skalarni produkt]] dveh vektorjev, je potem mogoče definirati tudi velikost – skalarni produkt daje priročno algebrsko karakterizacijo kota (funkcija skalarnega produkta med katerima koli dvema vektorjema, ki nista nič) in velikosti ([[kvadratni koren]] skalarnega produkta vektorja s samim seboj). V treh razsežnostih je nadalje mogoče definirati [[vektorski produkt]], ki daje algebrsko karakterizacijo [[ploščina|ploščine]] in [[orientacija (geometrija)|smeri]] v prostoru [[paralelogram]]a, definiranega z dvema vektorjema (uporabljata se kot stranice paralelograma). V kateri koli razsežnosti (in zlasti v [[višje dimenzije|višjih dimenzijah]]) je mogoče definirati [[zunanji produkt]], ki (med drugim) zagotavlja algebrsko karakterizacijo površine in smeri v prostoru <math> n \!\, </math>-razsežnega [[paralelotop]]a, definiranega z <math> n \!\, </math> vektorji.

V [[psevdoevklidski prostor|psevdoevklidskem prostoru]] je [[kvadrat (algebra)|kvadrat]] vektorske velikosti lahko pozitiven, negativen ali enak nič. Pomemben primer je [[prostor Minkowskega]] (ki je pomemben za razumevanje [[posebna teorija relativnosti|posebne teorije relativnosti]]).

Vendar ni vedno mogoče ali zaželeno definirati velikost vektorja. Ta splošnejša vrsta prostorskega vektorja je predmet [[vektorski prostor|vektorskih prostorov]] (za proste vektorje) in [[afini prostor|afinih prostorov]] (za vezane vektorje, saj je vsak predstavljen z urejenim parom »točk«). Eden od fizikalnih zgledov prihaja iz [[termodinamika|termodinamike]], kjer se lahko veliko zanimivih količin šteje za vektorje v prostoru brez pojma velikosti ali kota.{{r|denk-2003}}

=== Posplošitve ===

V fiziki in tudi matematiki se vektor pogosto identificira z <math> n \!\, </math>-[[n-terka|terko]] komponent ali seznamom števil, ki delujejo kot skalarni koeficienti za množico [[bazni vektor|baznih vektorjev]]. Ko se baza transformira, na primer z vrtenjem ali raztezanjem, se tudi komponente katerega koli vektorja v smislu te baze transformirajo v nasprotnem smislu. Sam vektor se ni spremenil, ampak se je baza, zato se morajo komponente vektorja spremeniti, da to nadomestijo. Vektor se imenuje ''[[kovariantni vektor|kovariantni]]'' ali ''[[kontravariantni vektor|kontravariantni]]'', odvisno od tega, kako je transformacija komponent vektorja povezana s transformacijo baze. V splošnem so kontravariantni vektorji »pravi vektorji« z enotami za razdaljo (kot je premik) ali razdalja krat neka druga enota (kot je hitrost ali pospešek) – kovariantni vektorji pa imajo enote ena na razdaljo, kot je [[gradient]]. Če se spremeni enote (poseben primer [[sprememba baze|spremembe baze]]) iz metrov v milimetre, postane skalirni faktor 1/1000 – premik 1 m 1000 mm, kar je kontravariantna sprememba numerične vrednosti. Na drugi strani pa gradient 1 [[Kelvin|K]]/m postane 0,001 K/mm, kar je kovariantna sprememba vrednosti (za več glej [[kovariantnost in kontravariantnost]]). [[Tenzor]]ji so druga vrsta količine, ki se obnašajo na ta način in vektor je ena vrsta tenzorja.

V čisti matematiki je vektor kateri koli element [[vektorsko polje|vektorskega prostora]] nad nekim [[polje (matematika)|poljem]] in je pogosto predstavljen kot [[koordinatni vektor]]. Vektorji, opisani v tem članku, so zelo poseben primer te splošne definicije, ker so kontravariantni glede na ambientni prostor. Kontravariantnost zajame fizično intuicijo za zamisel, da ima vektor »velikost in smer«.

== Reprezentacije ==

=== Zapis ===

[[slika:Vectors-skin-effect-001.jpg|thumb|right|200px|Vektorji pri [[kožni pojav|kožnem pojavu]]]]

Vektorje se po navadi označi z malo [[latinica|latinično]] [[kurziva|kurzivno]] [[črka|črko]] s puščico nad imenom. Na primer: 

: <math> \vec{a}, ~ \vec{b}, ~ \vec{c}, ~ \vec{u}, ~ \vec{v}, ~ \vec{w}, ~ \stackrel {\,\longrightarrow}{AB} \!\, . </math>

[[Poyntingov vektor]] se na primer označuje tudi z veliko kaligrafsko črko in puščico kot <math> \vec{\mathcal{P}} \!\, </math>.

Z velikimi črkami se po navadi označujejo [[matrika|matrike]] ali [[tenzor]]ji. Nekateri viri z velikimi črkami in puščicami označujejo [[vektorsko polje|vektorska polja]]. Na primer:{{r|popp-2023}}

: <math> E \times \vec{E} \rightarrow{E}: (a, \mathbf{v}) \mapsto a + \mathbf{v} \!\, . </math>

Tu je <math> \vec{E} \!\, </math> vektorsko polje, <math> E \!\, </math> [[množica]] (točk) [[afini prostor|afinega prostora]], <math> \mathbf{v} \!\, </math> pa vektor.

Namesto puščice se pogosto (zlasti v rokopisu) uporablja tudi »harpuno«:

: <math> \stackrel{\rightharpoonup}{a}, ~ \stackrel{\rightharpoonup}{b}, ~ \stackrel{\rightharpoonup}{c}, ~ \stackrel{\rightharpoonup}{u}, ~   \stackrel{\rightharpoonup}{v}, ~ \stackrel{\rightharpoonup}{w}, ~ \stackrel{\, \rightharpoonup}{AB} \!\, . </math>

V starejših knjigah so zaradi tehničnih problemov v tiskarni vektorje namesto s puščico označevali s pokončnim krepkim ali kurzivnim krepkim tiskom. Na primer:

: <math> \mathbf{a}, ~ \mathbf{b}, ~ \mathbf{c}, ~ \mathbf{u}, ~ \mathbf{v}, ~ \mathbf{w}; \qquad
         \boldsymbol{a}, ~ \boldsymbol{b}, ~ \boldsymbol{c}, ~ \boldsymbol{u}, ~ \boldsymbol{v}, ~ \boldsymbol{w} \!\, </math>, 

ponekod pa tudi s [[podčrtaj]]em:{{r|spl0}}

: <math> \underline{\mathbf{a}}, ~ \underline{\mathbf{b}}, ~ \underline{\mathbf{c}}, ~ \underline{v} \equiv \underline{\mathbf{v}} \equiv \vec \mathbf{v} = \left[ v_{1}\; v_{2} \right]^{\mathbf{T}}, ~ \underline{AB} \!\, . </math>

Nekateri viri uporabljajo [[tilda|tildo]] (~) ali valovito podčrtano pod simbolom, na primer:

: <math> \underset{^{\sim}}a, ~ \underset{^{\sim}}b, ~ \underset{^{\sim}}c, \underset{^{\sim}}u, ~ \underset{^{\sim}}v, ~ \underset{^{\sim}}w, ~ \underset{^{\sim}}{AB} \!\, , </math>

kar je dogovor za označevanje krepke pisave. V [[nemščina|nemški]] literaturi je bilo še posebej pogosto prikazovanje vektorjev z malimi (in tudi velikimi) pokončnimi črkami [[fraktura (pisava)|fraktura]] kot na primer:

: <math> \mathfrak{a}, ~ \mathfrak{b}, ~ \mathfrak{c}, ~ \mathfrak{u}, ~ \mathfrak{v}, ~ \mathfrak{w}, ~ \mathfrak{F} \!\, . </math>

V novejšem času se pojavlja tudi polni krepki zapis s puščico, na primer:{{r|stoe-2006}}

: <math> \vec{\mathbf{a}}, ~ \vec{\mathbf{b}}, ~ \vec{\mathbf{c}}, ~ \vec{\mathbf{u}}, ~ \vec{\mathbf{v}}, ~ \vec{\mathbf{w}} \!\, , </math>

ali s krepko puščico:

: <math> \mathbf{\vec{a}}, ~ \mathbf{\vec{b}}, ~ \mathbf{\vec{c}}, ~ \mathbf{\vec{u}}, ~ \mathbf{\vec{v}}, ~ \mathbf{\vec{w}} \!\, . </math>

=== Prikaz ===

[[slika:VectorAB.svg|thumb|right|200px|(Prosti) vektor <math> \mathbf{\vec{a}} \equiv \stackrel {\,\longrightarrow}{AB} \!\, </math> iz [[točka (geometrija)|točke]] <math> A \!\, </math> v točko <math> B \!\, </math>]]

Vektorji so običajno prikazani v [[graf funkcije|grafih]] ali drugih [[diagram]]ih kot [[puščica|puščice]] ([[usmerjena daljica|usmerjene daljice]]), kot je prikazano na sliki. Tu se točka <math> A \!\, </math> imenuje ''izhodišče'', ''rep'', ''osnova'' ali ''začetna točka'', točka <math> B \!\, </matH> pa se imenuje ''glava'', ''konica'' ali ''končna točka''. [[Dolžina]] puščice je sorazmerna z [[velikost (matematika)|velikostjo]] vektorja, medtem ko smer, v katero kaže puščica, kaže [[orientacija (geometrija)|smer]] vektorja.

[[slika:Notation for vectors in or out of a plane.svg|right|200px]]

Na dvorazsežnem diagramu je včasih zaželen vektor, [[pravokotnost|pravokoten]] na [[ravnina|ravnino]] diagrama. Ti vektorji so običajno prikazani kot majhni krogi. Krog s piko v središču (Unicode U+2299 [[⊙]]) označuje vektor, ki kaže iz sprednje strani diagrama, proti gledalcu. Krog z vpisanim križem (Unicode U+2297 [[⊗]]) pa označuje vektor, ki kaže v in za diagram. Te se lahko predstavlja kot opazovanje konice [[puščica (izstrelek)|puščice]] na vrhu in opazovanje letov puščice z zadnje strani.

[[slika:Position vector.svg|thumb|right|200px|[[Krajevni vektor]] <math> \mathbf{\vec{r}}_{A} \equiv \mathbf{\vec{a}} = \stackrel {\,\longrightarrow}{OA} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 ~ 3 \end{bmatrix}^{\top} \!\, </math> v [[kartezična ravnina|kartezični ravnini]] kaže lego [[točka (geometrija)|točke]] <math> A \!\, </math> s [[kartezični koordinatni sistem|koordinatama]] <math> (2, ~ 3) \!\, </math>.]]
[[slika:3D Vector.svg|thumb|right|250px|[[trirazsežni prostor|Trirazsežni]] vektor <math> \mathbf{\vec{a}} = \mathbf{\vec{a}}_{x} + \mathbf{\vec{a}}_{y} + \mathbf{\vec{a}}_{z} = a_{x} \mathbf{\hat{i}} + a_{y} \mathbf{\hat{j}} + a_{z} \mathbf{\hat{k}} \!\, </math> v [[kartezični koordinatni sistem|kartezičnem koordinatnem sistemu]] <math> (x, ~ y, ~ z) \!\, </math>]]

Za računanje z vektorji je lahko grafični prikaz preveč okoren. Vektorje v <math> n \!\, </math>-razsežnem evklidskem prostoru se lahko predstavi kot [[koordinatni vektor|koordinatne vektorje]] v [[kartezični koordinatni sistem|kartezičnem koordinatnem sistemu]]. Končno točko vektorja je mogoče identificirati z urejenim seznamom <math> n \!\, </math> realnih števil (<math> n \!\, </math>-[[n-terica|teric]]). Ta števila so koordinate končne točke vektorja glede na dani kartezični koordinatni sistem in se običajno imenujejo ''[[skalarna komponenta|skalarne komponente]]'' (ali ''[[projekcija vektorja|skalarne projekcije]]'') vektorja na [[koordinatna os|osi koordinatnega sistema]].

Kot zgled v dveh razsežnostih (glej sliko) je [[krajevni vektor]] od [[koordinatno izhodišče|koordinatnega izhodišča]] <math> O = (0, ~ 0) \!\, </math> do točke <math> A = (2, ~ 3) \!\, </math> preprosto zapisan kot:

: <math> \mathbf{\vec{r}}_{A} \equiv \mathbf{\vec{a}} = \stackrel {\,\longrightarrow}{OA} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 ~ 3 \end{bmatrix}^{\top} \!\, . </math>

Pojem, da rep vektorja sovpada z izhodiščem, je impliciten in zlahka razumljiv. Zaradi tega bolj eksplicitni zapis <math> \stackrel {\,\longrightarrow}{OA} \!\, </math> običajno ni potreben (in se dejansko redko uporablja).

V trirazsežnem evklidskem prostoru (ali <math> \R^{3} \!\, </math>) so vektorji identificirani s trojicami skalarnih komponent:{{efn|name="op7"}}

: <math> \mathbf{\vec{a}} = (a_{1}, ~ a_{2}, ~ a_{3}) \!\, . </math>

Zapisano tudi kot:

: <math> \mathbf{\vec{a}} = (a_{x}, ~ a_{y}, ~ a_{z}) \!\, . </math>

To se lahko posploši na <math> n \!\, </math>-razsežni evklidski prostor (ali <math> \R^{n} \!\, </math>):

: <math> \mathbf{\vec{a}} = (a_{1}, ~ a_{2}, ~ a_{3}, ~ \cdots, ~ a_{n-1}, ~ a_{n}) \!\, . </math>

Ta števila so pogosto razvrščena v [[vrstični vektor]] ali [[stolpični vektor]], še posebej, ko se obravnava [[matrika|matrike]], kot sledi:{{efn|name="op8"}}

: <math> \mathbf{\vec{a}} = \begin{bmatrix}
 a_{1} \\
 a_{2} \\
 a_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1} ~ a_{2} ~ a_{3} \end{bmatrix}^{\top} \!\, . </math>

Drugi način za predstavitev vektorja v <math> n \!\, </math>-razsežnostih je uvedba [[enotski vektor|enotskih vektorjev]] [[standardna baza|standardne baze]]. V treh razsežnostih so na primer trije:

: <math> 
\mathbf{\hat{e}}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 ~ 0 ~ 0 \end{bmatrix}^{\top}, \quad \mathbf{\hat{e}}_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 ~ 1 ~ 0 \end{bmatrix}^{\top}, \quad 
\mathbf{\hat{e}}_{3} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 ~ 0 ~ 1 \end{bmatrix}^{\top} \!\, . </math>

Ti imajo intuitivno razlago kot vektorji enotske dolžine, ki kažejo navzgor na koordinatne osi <math> x \!\, </math>, <math> y \!\, </math> in <math> z \!\, </math> v [[kartezični koordinatni sistem|kartezičnem koordinatnem sistemu]]. Glede na to se lahko vsak vektor <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> v <math> \R^{3} \!\, </math> izrazi v obliki:

: <math> \mathbf{\vec{a}} = \begin{bmatrix} a_{1} ~ a_{2} ~ a_{3} \end{bmatrix}^{\top} = a_{1} \begin{bmatrix} 1 ~ 0 ~ 0 \end{bmatrix}^{\top} + a_{2} \begin{bmatrix} 0 ~ 1 ~ 0 \end{bmatrix}^{\top} + a_{3} \begin{bmatrix} 0 ~ 0 ~ 1 \end{bmatrix}^{\top} \!\, , </math>

ali:

: <math> \mathbf{\vec{a}} = \mathbf{\vec{a}}_{1} + \mathbf{\vec{a}}_{2} + \mathbf{\vec{a}}_{3} = a_{1} \mathbf{\hat{e}}_{1} + a_{2} \mathbf{\hat{e}}_{2} + a_{3} \mathbf{\hat{e}}_{3} \!\, , </math>

kjer se <math> \mathbf{\vec{a}}_{1} \!\, </math>, <math> \mathbf{\vec{a}}_{2} \!\, </math> in <math> \mathbf{\vec{a}}_{3} \!\, </math> imenujeo [[komponenta vektorja|komponente vektorja]] ((skalarne) projekcije vektorja) <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> na [[bazni vektor|bazne vektorje]] ali enakovredno na odgovarjajoče kartezične koordinatne osi <math> x \!\, </math>, <math> y \!\, </math> in <math> z \!\, </math> (glej sliko), <math> a_{1} \!\, </math>, <math> a_{2} \!\, </math> in <math> a_{3} \!\, </math> pa so [[skalarna komponenta|skalarne komponente]] (ali skalarne projekcije).

V začetnih učbenikih fizike so standardni bazni vektorji namesto tega pogosto označeni kot <math> \mathbf{\vec{i}}, ~ \mathbf{\vec{j}}, ~ \mathbf{\vec{k}} \!\, </math> (ali kot <math> \mathbf{\hat{x}}, ~ \mathbf{\hat{y}}, ~ \mathbf{\hat{z}} \!\, </math>, v katerem simbol [[kareta|karete]] <math> \mathbf{\hat{}} \!\, </math> običajno označuje enotske vektorje). V tem primeru so skalarne in vektorske komponente označene kot <math> a_{x}, ~ a_{y}, ~ a_{z} \!\, </math> in <math> \mathbf{\vec{a}}_{x}, ~ \mathbf{\vec{a}}_{y}, ~ \mathbf{\vec{a}}_{z} \!\, </math> (treba je upoštevati razliko v krepkem tisku). Tako je:

: <math> \mathbf{\vec{a}} = \mathbf{\vec{a}}_{x} + \mathbf{\vec{a}}_{y} + \mathbf{\vec{a}}_{z} = a_{x} \mathbf{\hat{i}} + a_{y} \mathbf{\hat{j}} + a_{z} \mathbf{\hat{k}} \!\, . </math>

Zapis <math> \mathbf{\hat{e}}_{i} \!\, </math> je združljiv z [[indeksni zapis|indeksnim zapisom]] in [[Einsteinov zapis|Einsteinovim dogovorom o seštevanju]], ki se običajno uporabljata v višjem nivoju matematike, fizike in inženirstva.

=== {{anchor|Komponenta vektorja|Razstavitev}} Razstavitev ali razrešenost ===

{{glej|baza (linearna algebra)}}

Kot je pojasnjeno [[#Reprezentacije|zgoraj]], je vektor pogosto opisan z množico vektorskih komponent, ki se [[#Seštevanje in odštevanje|seštevajo]] in tvorijo dani vektor. Običajno so te komponente [[projekcija vektorja|projekcije vektorja]] na množico medsebojno pravokotnih referenčnih osi ([[bazni vektor]]ji). Vektor naj bi bil ''razstavljen'' ali ''razrešen glede na'' to množico.

[[slika:Surface normal tangent.svg|thumb|right|200px|Ilustracija [[tangentne in radialne komponente]] vektorja <math> \mathbf{\vec{V}} \!\, </math> v [[točka (geometrija)|točki]] na [[ploskev]].]]

Razstavitev ali razrešenost vektorja na komponente ni enolična, ker je odvisna od izbire osi, na katere je vektor projiciran.{{r|wils-1901}}{{efn|name="op6"}}

Poleg tega uporaba kartezičnih enotskih vektorjev, kot so na primer <math>\mathbf{\hat{x}}, ~ \mathbf{\hat{y}}, ~ \mathbf{\hat{z}} \!\, </math>, kot [[baza (linearna algebra)|baza]] za predstavitev vektorja ni obvezna. Vektorje je mogoče izraziti tudi v smislu poljubne baze, vključno z enotskimi vektorji [[cilindrični koordinatni sistem|valjnega koordinatnega sistema]] (<math>\boldsymbol{\hat{\rho}}, \boldsymbol{\hat{\varphi}}, \mathbf{\hat{z}}</math>) ali [[sferni koordinatni sistem|sfernega koordinatnega sistema]] (<math>\mathbf{\hat{r}}, \boldsymbol{\hat{\theta}}, \boldsymbol{\hat{\varphi}}</math>). Slednji dve možnosti sta primernejši za reševanje problemov, ki imajo [[valj]]no oziroma [[sfera|sferno]] [[simetrija|simetrijo]].

Izbira baze ne vpliva na značilnosti vektorja ali njegovo obnašanje pri transformacijah.

Vektor je mogoče razstaviti tudi glede na »nefiksne« bazne vektorje, ki spreminjajo svojo [[orientacija (geometrija)|smer]] kot funkcijo časa ali prostora. Na primer, vektor v trirazsežnem prostoru je mogoče razstaviti glede na dve osi, oziroma ''normalno'' in ''tangentno'' na ploskev (glej sliko). Poleg tega se [[tangentne in radialne komponente|''radialne'' in ''tangentne komponente'']] vektorja nanašajo na ''[[polmer]]'' ''[[vrtenje|vrtenja]]'' objekta. Prva je [[vzporednost|vzporedna]] s polmerom, druga pa je nanj [[pravokotnost|pravokotna]].{{r|spl6}}

V teh primerih se lahko vsaka komponenta po vrsti razstavi glede na fiksni koordinatni sistem ali bazno množico (na primer ''globalni'' koordinatni sistem ali [[inercialni opazovalni sistem]]).

== Osnovne značilnosti ==

=== Enakost ===

Dva vektorja sta enaka, če ima enako velikost in smer. Enakovredno bosta enaka, če so njune koordinate enake. Vektorja:

: <math> \mathbf{\vec{a}} = a_{1} \mathbf{\hat{e}}_{1} + a_{2} \mathbf{\hat{e}}_{2} + a_{3} \mathbf{\hat{e}}_{3} = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{\hat{e}}_{1} \\ \mathbf{\hat{e}}_{2} \\ \mathbf{\hat{e}}_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1} ~ a_{2} ~ a_{3} \end{bmatrix}^{\top} \!\, </math>

in:

: <math> \mathbf{\vec{b}} = b_{1} \mathbf{\hat{e}}_{1} + b_{2} \mathbf{\hat{e}}_{2} + b_{3} \mathbf{\hat{e}}_{3} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{\hat{e}}_{1} \\ \mathbf{\hat{e}}_{2} \\ \mathbf{\hat{e}}_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{1} ~ b_{2} ~ b_{3} \end{bmatrix}^{\top} \!\, </math>

sta enaka, če velja:

: <math> a_{1} = b_{1}, \qquad a_{2} = b_{2}, \qquad a_{3} = b_{3} \!\, . </math>

=== Nasprotni, vzporedni in antiparalelni vektorji ===

Dva vektorja sta '''''nasprotna''''', če imata enako velikost vendar nasprotno smer. Pri tem velja:

: <math> a_{1} = -b_{1}, \qquad a_{2} = -b_{2}, \qquad a_{3} = -b_{3} \!\, . </math>

Dva vektorja sta '''''vzporedna''''', če imata isto smer, ne pa nujno isto velikost, ali '''''antiparalelna''''', če imata nasprotno smer in ne nujno isto velikost.{{r|harr-1998}}

=== Linearna odvisnost ===

{{glavni|linearna neodvisnost|linearna kombinacija}}

''[[Linearna kombinacija]]'' danih vektorjev <math> \mathbf{\vec{a}}, \mathbf{\vec{b}}, \ldots, \mathbf{\vec{d}} \!\, </math> je vsota teh vektorjev pomnoženih s poljubnimi števili, torej:

: <math> n \mathbf{\vec{a}} + m \mathbf{\vec{b}} + \cdots + p \mathbf{\vec{d}} \!\, . </math>

Število vektorjev, ki nastopajo v linearni kombinaciji, je poljubno:
* linearna kombinacija enega vektorja <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> je kar enaka <math> n \mathbf{\vec{a}} \!\, </math>. Rezultat je vektor, ki je vzporeden danemu vektorju <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math>. Če se oba nariše iz iste začetne točke, se vidi, da ležita na isti premici.
* linearna kombinacija dveh vektorjev <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> in <math> \mathbf{\vec{b}} \!\, </math> je enaka <math> n \mathbf{\vec{a}} + m \mathbf{\vec{b}} \!\, </math>. Če se nariše vse vektorje iz iste začetne točke, se vidi, da leži rezultat na isti ravnini kot dana vektorja.
* linearna kombinacija treh vektorjev je enaka <math> n \mathbf{\vec{a}} + m \mathbf{\vec{b}} + r \mathbf{\vec{c}} \!\, </math>.
* itd.

Če se lahko v dani skupini vektorjev izrazi enega od vektorjev kot linearno kombinacijo drugih (npr: <math> \mathbf{\vec{c}} = n \mathbf{\vec{a}} + m \mathbf{\vec{b}} \!\, </math>), potem so vektorji iz te skupine med sabo ''linearno odvisni''. Če to ni mogoče, pa so ''linearno neodvisni'' (glej [[linearna neodvisnost]]).

''Baza'' vektorskega prostora je skupina vektorjev, ki so med seboj neodvisni, z njimi pa se lahko izrazi vsak drug vektor iz vektorskega prostora (''glej članek [[baza (linearna algebra)|baza]]''). Zgledi:
* baza enorazsežnega vektorskega prostora (premice) je poljuben neničelen vektor <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> s te premice.
* baza dvorazsežnega vektorskega prostora (ravnine) sta poljubna dva neničelna in nevzporedna vektorja <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> in <math> \mathbf{\vec{b}} \!\, </math> s te ravnine.
* baza trirazsežnega vektorskega prostora so poljubni trije neničelni in nevzporedni vektorji, ki ne ležijo v isti ravnini.

=== Kolinearnost ===

Dva [[linearna odvisnost|linearno odvisna]] vektorja <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> in <math> \mathbf{\vec{b}} \!\, </math> se imenujeta tudi ''[[kolinearnost|kolinearna]]'' in ležita na isti [[premica|premici]]. Lahko imata isto ali obratno smer. V trirazsežnem prostoru je njun vektorski produkt enak ničelnemu vektorju:

: <math> \mathbf{\vec{a}} \times \mathbf{\vec{b}} = \mathbf{\vec{a}} \times -\mathbf{\vec{b}} = \mathbf{\vec{0}} \!\, . </math>

Vsak vektor je kolinearen z ničelnim vektorjem. Vendar, če obstajata dva vektorja, ki sta različna od ničelnega vektorja, potem sta kolinearna, če in samo če velja:

: <math> \mathbf{\vec{a}} = n ~ \mathbf{\vec{b}} \!\, </math>

za poljubni <math> n \neq 0 \!\, </math>. Če je <math> n \!\, </math> pozitiven, sta vektorja vzporedna, drugače pa sta antiparalelna.

=== Pravokotnost ===

Dva vektorja <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> in <math> \mathbf{\vec{b}} \!\, </math> sta ''[[pravokotnost|pravokotna]]'', če je njun skalarni produkt enak nič:

: <math> \mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\vec{b}} = 0 \!\, . </math>

Za geometrijska vektorja s pozitivno velikostjo to pomeni, da med seboj oklepata [[pravi kot]] (glej § [[#Skalarni produkt|Skalarni produkt]]). Ničelni vektor je pravokoten na vsak vektor.

=== Računanje z vektorji ===

[[slika:Vecteurs somme.svg|thumb|right|200px|[[Seštevanje]] dveh vektorjev <math> \mathbf{\vec{u}} \!\, </math> in <math> \mathbf{\vec{v}} \!\, </math>]]
[[slika:Vector subtraction.svg|thumb|right|200px|[[Odštevanje]] dveh vektorjev <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> in <math> \mathbf{\vec{b}} \!\, </math>]]

==== Seštevanje in odštevanje ====

''[[Seštevanje]] vektorjev'' določa '''Chaslesova identiteta''':

: <math> \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \!\, . </math>

Razlaga: Najprej je treba vektorja narisati tako, da leži začetna točka drugega vektorja v končni točki prvega (<math> B \!\, </math>). Vsota je potem vektor, ki poteka od začetne točke prvega (<math> A \!\, </math>) do končne točke drugega vektorja (<math> C \!\, </math>).{{r|spl3}}

Če sta vektorja že narisana tako, da imata skupno začetno točko, se lahko pri seštevanju pomaga tudi s ''paralelogramskim pravilom'': skozi končni točki se nariše vzporednici k danima vektorjema in rezultat je diagonala nastalega [[paralelogram]]a. Geometrijsko se lahko preveri, da velja:

: <math> \mathbf{\vec{a}} + \mathbf{\vec{b}} = \mathbf{\vec{b}} + \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> in <math> (\mathbf{\vec{a}} + \mathbf{\vec{b}}) + \mathbf{\vec{c}} = \mathbf{\vec{a}} + (\mathbf{\vec{b}} + \mathbf{\vec{c}}) \!\, . </math>

Nastali vektor se imenuje '''[[rezultanta]]''' vektorjev <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> in <math> \mathbf{\vec{b}} \!\, </math>.

Če se vektorja seštejeta (odštejeta), se njuni velikosti seštejeta (odštejeta) le, če sta [[kolinearnost|kolinearna]] in imata enako smer. V splošnem primeru pa velja [[trikotniška neenakost]]:

: <math> | \mathbf{\vec{a}} + \mathbf{\vec{b}} | \le | \mathbf{\vec{a}} | + | \mathbf{\vec{b}} | \!\, . </math>

==== Množenje s številom (skalarjem) ====

{{glavni|množenje vektorja s številom}}

[[slika:Scalar multiplication of vectors.svg|thumb|right|200px|[[množenje vektorja s številom|Množenje vektorja]] <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> s [[število]]ma [[2 (število)|2]] (&nbsp;<math> 2 \mathbf{\vec{a}} \!\, </math>&nbsp;) in [[−1 (število)|−1]] (<math> - \mathbf{\vec{a}} \!\, </math>)]]

Rezultat množenja vektorja <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> s številom <math> n \!\, </math> je vektor <math> n \mathbf{\vec{a}} \!\, </math>, določen z naslednjimi značilnostmi:
* vektor <math> n \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> je vzporeden z danim vektorjem <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math>
* velikost vektorja <math> n \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> je <math> | n | \!\, </math>-krat tolikšna kot velikost vektorja <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math>
* če je <math> n > 0 \!\, </math>, je <math> n \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> enako usmerjen kot <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math>; če je <math> n < 0 \!\, </math>, pa je <math> n \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> usmerjen nasprotno kot <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math>.

Množenje s številom je [[distributivnost|distributivno]] nad seštevanjem vektorjev v naslednjem smislu: <math> n (\mathbf{\vec{a}} + \mathbf{\vec{b}}) = n \mathbf{\vec{a}} + n \mathbf{\vec{b}} \!\, </math> za poljubna vektorja <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> in <math> \mathbf{\vec{b}} \!\, </math> ter poljubno število <math> n \!\, </math>. Lahko se pokaže tudi, da velja:

: <math> \mathbf{\vec{a}} - \mathbf{\vec{b}} = \mathbf{\vec{a}} + (-1) \mathbf{\vec{b}} \!\, . </math>

==== Velikost ====

''[[velikost (matematika)|Velikost]]'' (''[[dolžina]]'' ali ''[[norma (matematika)|norma]]'') vektorja <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> se označuje kot <math> \left\| \mathbf{\vec{a}} \right\| \!\, </math> ali kot <math> | \mathbf{\vec{a}} | \!\, </math>, kar se ne sme zamenjevati z [[absolutna vrednost|absolutno vrednostjo]] (skalarno »normo«). Velikost vektorja <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> se lahko izračuna z ''[[evklidska norma|evklidsko normo]]'':

: <math> a \equiv | \mathbf{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}} \!\, , </math>

kar je posledica [[Pitagorov izrek|Pitagorovega izreka]], saj so bazni vektorji <math> \mathbf{\hat{e}}_{1} \!\, </math>, <math> \mathbf{\hat{e}}_{2} \!\, </math> in <math> \mathbf{\hat{e}}_{3} \!\, </math> ortogonalni enotski vektorji.

Velikost vektorja je enaka tudi kvadratnemu korenu skalarnega produkta vektorja s samim seboj:

: <math> a \equiv | \mathbf{\vec{a}} | = \sqrt{\mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\vec{a}}} \!\, . </math>

===== Enotski vektor in normalizacija =====

[[slika:Vector normalization.svg|thumb|right|120px|Normalizacija vektorja <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> v [[enotski vektor]] <math> \mathbf{\hat{a}} \!\, </math>]]

{{glavni|enotski vektor}}

''[[Enotski vektor]]'' je poljubni vektor z velikostjo enako 1. Običajno se enotski vektorji uporabljajo za prikaz smeri. Vektor s poljubno velikostjo se lahko deli z njegovo velikostjo, pri čemer nastane enotski vektor.{{r|spl5}} To se imenuje ''normalizacija'' vektorja. Enotski vektor se velikokrat označuje s simbolom [[kareta|karete]] <math> \mathbf{\hat{}} \!\, </math> nad črko kot na primer <math> \mathbf{\hat{a}} \!\, </math>. Enotski vektorji se označujejo tudi kot <math> \mathbf{\vec{e}}_{a} \!\,</math>, <math> \mathbf{\vec{a}}_{0} \!\, </math>{{r|lamb-2009}} ali kot <math> \mathbf{\vec{a}}{}^{\circ} \!\, </math>.{{r|rein-1978}}

Za normalizacijo vektorja <math> \mathbf{\vec{a}} = \begin{bmatrix} a_{1} ~ a_{2} ~ a_{3} \end{bmatrix} \!\, </math> ga je treba skalirati za [[obratna vrednost|obratno vrednost]] njegove velikosti <math> | \mathbf{\vec{a}} | \!\, </math>. To je:{{r|serw-2006}}

: <math> \mathbf{\hat{a}} = \frac{\mathbf{\vec{a}}}{ a } \equiv \frac{\mathbf{\vec{a}}}{ | \mathbf{\vec{a}} | } = \frac{a_{1}}{ | \mathbf{\vec{a}} | } \mathbf{\hat{e}}_{1} + \frac{a_{2}}{ | \mathbf{\vec{a}} | } \mathbf{\hat{e}}_{2} + \frac{a_{3}}{ | \mathbf{\vec{a}} | } \mathbf{\hat{e}}_{3} \!\, . </math>

Enotski vektorji so pomembni pri predstavljanju [[koordinatni sistem|koordinatnih sistemov]].

===== Ničelni vektor =====

{{glavni|ničelni vektor}}

''[[Ničelni vektor]]'' je vektor z velikostjo enako nič. Običajno se označuje kot <math> \mathbf{\vec{0}} \!\, </math>, '''0''' ali preprosto kot 0 in je s koordinatami zapisan kot:

: <math> \mathbf{\vec{0}} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}^{\top} = \begin{bmatrix} 0 ~ 0 ~ 0 \end{bmatrix}^{\top} \!\, . </math>

Za razliko od drugih vektorjev je njegova smer nedoločena in ga ni moč normalizirati – ne obstaja enotski vektor, ki je mnogokratnik ničelnega vektorja. Vsota ničelnega vektorja s poljubnim vektorjem <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> je <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math>:

: <math> \mathbf{\vec{0}} + \mathbf{\vec{a}} = \mathbf{\vec{a}} + \mathbf{\vec{0}} = \mathbf{\vec{a}} \!\, . </math>

==== Skalarni produkt ====

{{glavni|skalarni produkt}}

[[slika:Dot-product-1.svg|thumb|right|200px|[[Skalarni produkt]] <math> \mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\vec{b}} \!\, </math> vektorjev <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> in <math> \mathbf{\vec{b}} \!\, </math> je odvisen od njunih [[velikost (matematika)|velikosti]] <math> | \mathbf{\vec{a}} | \!\, </math> in <math> | \mathbf{\vec{b}} | \!\, </math> in vključenega [[kot]]a <math> \varphi \!\, </math>]]

''[[Skalarni produkt]]'' je računska opreacija, ki dvema vektorjema priredi število (skalar) po pravilu:

: <math> \mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\vec{b}} = | \mathbf{\vec{a}} | ~ | \mathbf{\vec{b}} | ~ \cos \varphi \!\, . </math>

Razlaga: <math> | \mathbf{\vec{a}} | \!\, </math> in <math> | \mathbf{\vec{b}} | \!\, </math> sta velikosti danih vektorjev, <math> \cos \varphi \!\, </math> pa pomeni [[kosinus]] kota, ki ga oklepata dana vektorja, če izhajata iz skupne začetne točke.

==== Vektorski produkt ====

{{glavni|vektorski produkt}}

[[slika:Producto vectorial 2.png|thumb|right|200px|[[Vektorski produkt]] <math> \mathbf{\vec{u}} \times \mathbf{\vec{v}} \!\, </math> vektorjev <math> \mathbf{\vec{u}} \!\, </math> in <math> \mathbf{\vec{v}} \!\, </math> v [[ravnina|ravnini]] <math> P \!\, </math>]]

''[[Vektorski produkt]]'' je računska operacija, ki dvema vektorjema kot rezultat priredi vektor <math> \mathbf{\vec{a}} \times \mathbf{\vec{b}} \!\, </math>:

: <math> \mathbf{\vec{a}} \times \mathbf{\vec{b}} = | \mathbf{\vec{a}} | ~ | \mathbf{\vec{b}} | \sin \varphi \, \mathbf{\vec{n}} \!\, , </math>

določen z naslednjimi značilnostmi:
* rezultat je pravokoten na oba podatka,
* velikost (dolžina) rezultata <math> | \mathbf{\vec{a}} \times \mathbf{\vec{b}} | \!\, </math> je enaka ploščini paralelograma, ki ga določata oba podatka, če se ju nariše iz skupne začetne točke,
* smer (smisel) rezultata je določena s [[pravilo desne roke|pravilom desne roke]] (če se desno roko zasuče z dlanjo naprej po krajši poti od prvega do drugega podatka, potem palec kaže v smeri rezultata).

Vektorski produkt je [[antikomutativnost|antikomutativen]]:

: <math> \mathbf{\vec{a}} \times \mathbf{\vec{b}} = - ( \mathbf{\vec{b}} \times \mathbf{\vec{a}} ) \!\, . </math>

==== Mešani produkt ====

{{glavni|mešani produkt}}

''[[mešani produkt|Skalarni mešani produkt]]'' ni novi operator, ampak je način uporabe drugih dveh multiplikacijski operatorjev na treh vektorjih. Skalarni mešani produkt je označen kot <math> (\mathbf{\vec{a}}, \mathbf{\vec{b}}, \mathbf{\vec{c}}) \!\, </math> in definiran kot:

: <math> (\mathbf{\vec{a}}, ~ \mathbf{\vec{b}}, ~ \mathbf{\vec{c}}) = \mathbf{\vec{a}} \cdot (\mathbf{\vec{b}} \times \mathbf{\vec{c}}) \!\, . </math>

Ima tri glavne uporabe. Prvič, absolutna vrednost mešanega produkta je [[prostornina]] [[paralelepiped]]a z robovi, ki so določeni s tremi vektorji. Drugič, skalarni mešani produkt je enak nič, če in samo če so trije vektorji [[linearna neodvisnost|linearno odvisni]], kar je mogoče zlahka dokazati z upoštevanjem, da morajo [[koplanarnost|ležati v isti ravnini]], da ne tvorijo prostornine. Tretjič, mešani produkt je pozitiven, če in samo če so trije vektorji <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math>, <math> \mathbf{\vec{b}} \!\, </math> in <math> \mathbf{\vec{c}} \!\, </math> desnosučni.

Skalarni mešani produkt je [[linearnost|linearen]] v vseh treh faktorjih, zamenjanih ciklično, in antisimetričen pri faktorjih, zamenjanih aciklično, v naslednjem smislu:

: <math>
(\mathbf{\vec{a}}, ~ \mathbf{\vec{b}}, ~ \mathbf{\vec{c}}) = (\mathbf{\vec{c}}, ~ \mathbf{\vec{a}}, ~ \mathbf{\vec{b}}) = (\mathbf{\vec{b}}, ~ \mathbf{\vec{c}}, ~ \mathbf{a}) =
 -(\mathbf{\vec{a}}, ~ \mathbf{\vec{c}}, ~\mathbf{\vec{b}}) = -(\mathbf{\vec{b}}, ~ \mathbf{\vec{a}}, ~ \mathbf{\vec{c}}) = -(\mathbf{\vec{c}}, ~ \mathbf{\vec{b}}, ~ \mathbf{\vec{a}}) \!\, . </math>

''Vektorski mešani produkt'' je definiran kot vektorski produkt vektorja z vektorskim produktom drugih dveh vektorjev. Zanj velja ''razvoj mešanega produkta'' ali ''Lagrangeeva formula'':

: <math> \mathbf{\vec{a}} \times (\mathbf{\vec{b}} \times \mathbf{\vec{c}}) = (\mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\vec{c}}) \mathbf{\vec{b}} -(\mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\vec{b}}) \mathbf{\vec{c}} = \mathbf{\vec{b}} (\mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\vec{c}}) - \mathbf{\vec{c}} (\mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\vec{b}}) \!\, . </math>

Ker je vektorski produkt antikomutativen, se lahko to formulo zapiše (do [[permutacija|permutacije]] črk) tudi kot:

: <math> (\mathbf{\vec{a}} \times \mathbf{\vec{b}}) \times \mathbf{\vec{c}} = - \mathbf{\vec{c}} \times (\mathbf{\vec{a}} \times \mathbf{\vec{b}}) = - (\mathbf{\vec{c}} \cdot \mathbf{\vec{b}}) \mathbf{\vec{a}} + (\mathbf{\vec{c}} \cdot \mathbf{\vec{a}}) \mathbf{\vec{b}} \!\, . </math>

Iz Lagrangeeve formule sledi, da za vektorski mešani produkt velja:

: <math> \mathbf{\vec{a}} \times (\mathbf{\vec{b}} \times \mathbf{\vec{c}}) + \mathbf{\vec{b}} \times (\mathbf{\vec{c}} \times \mathbf{\vec{a}}) + \mathbf{\vec{c}} \times (\mathbf{\vec{a}} \times \mathbf{\vec{b}}) =  \mathbf{\vec{0}} \!\, , </math>

kar je [[Jacobijeva enakost]] za vektorski produkt. Uporabna je tudi druga formula:

: <math> (\mathbf{\vec{a}} \times \mathbf{\vec{b}}) \times \mathbf{\vec{c}} = \mathbf{\vec{a}} \times (\mathbf{\vec{b}} \times \mathbf{\vec{c}}) - \mathbf{\vec{b}} \times (\mathbf{\vec{a}} \times \mathbf{\vec{c}}) \!\, . </math>

Te formule so zelo uporabne pri poenostavljanju računanja z vektorji v fiziki. Sorodna enakost v zvezi z [[gradient]]om in uporabna v [[vektorski račun|vektorskem računu]] je Lagrangeeva formula enakosti vektorskega mešanega produkta:{{r|lin--2008}}

: <math> \nabla \times (\nabla \times \mathbf{\vec{A}}) = \mathbf{\vec{\nabla}} (\nabla \cdot \mathbf{\vec{A}}) - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{\vec{A}} \!\, . </math>

To se lahko obravnava tudi kot poseben primer splošnejšega [[Laplace-de Rhamov operator|Laplace-de Rhamovega operatorja]] <math> \Delta = \mathrm{d} \delta + \delta \mathrm{d} = (\mathrm{d} + \delta)^{2} \!\, </math>.

==== Diadni produkt ====

{{glavni|diadni produkt}}

[[slika:vektordyade.png|thumb|right|200px|Prikaz vektorja <math> \mathbf{\vec{c}} \!\, </math> prek vektorja <math> \mathbf{\vec{d}} = (\mathbf{\vec{a}} \otimes \mathbf{\vec{b}}) \cdot \mathbf{\vec{c}} \!\, </math>]]

''[[diadni produkt|Diadni]]'' ali ''tenzorski produkt'' <math> \mathbf{\vec{a}} \otimes \mathbf{\vec{b}} \!\, </math> ali <math> \mathbf{\vec{a}} \mathbf{\vec{b}} \!\, </math> (izgovorjeno kot »a diadno b«) dveh vektorjev tvori ''[[diada|diado]]''. Z diadami se lahko vektor linearno preslika v drug vektor (glej sliko). Komponenta vektorja <math> \mathbf{\vec{c}} \!\, </math> v smeri vektorja <math> \mathbf{\vec{b}} \!\, </math> postane v smeri vektorja <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> raztegnjen ali stisnjen vektor <math> \mathbf{\vec{d}} \!\, </math>. Preslikava se izvede s skalarnim produktom:

: <math> (\mathbf{\vec{a}} \otimes \mathbf{\vec{b}}) \cdot \mathbf{\vec{c}} := (\mathbf{\vec{b}} \cdot \mathbf{\vec{c}}) \mathbf{\vec{a}} \!\, . </math>

V trirazsežnem kartezičnem koordinatnem sistemu se lahko diadni produkt izračuna na naslednji način:

: <math> \mathbf{\vec{a}} \otimes \mathbf{\vec{b}}
= \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2 }\\ a_{3} \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & a_{1} b_{3} \\
a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & a_{2} b_{3} \\
a_{3} b_{1} & a_{3} b_{2} & a_{3} b_{3} \end{bmatrix} \!\, . </math>

Diadni produkt ni [[komutativnost|komutativen]] in na splošno velja:

: <math> \mathbf{\vec{a}} \otimes \mathbf{\vec{b}} \ne \mathbf{\vec{b}} \otimes \mathbf{\vec{a}} \!\, , </math>

je pa [[distributivnost|distributiven]] z vektorskim seštevanjem:

: <math> \begin{align} (\mathbf{\vec{a}} + \mathbf{\vec{b}}) \otimes \mathbf{\vec{c}} &= \mathbf{\vec{a}} \otimes \mathbf{\vec{c}} + \mathbf{\vec{b}} \otimes \mathbf{\vec{c}}, \\
\mathbf{\vec{a}} \otimes(\mathbf{\vec{b}} + \mathbf{\vec{c}}) &= \mathbf{\vec{a}} \otimes \mathbf{\vec{b}} + \mathbf{\vec{a}} \otimes \mathbf{\vec{c}} \!\, . \end{align}</math>

Združljiv je tudi z množenjem s številom:

: <math> \lambda (\mathbf{\vec{a}} \otimes \mathbf{\vec{b}}) = (\lambda \mathbf{\vec{a}}) \otimes \mathbf{\vec{b}}
= \mathbf{\vec{a}} \otimes (\lambda \mathbf{\vec{b}}) = \lambda \mathbf{\vec{a}} \otimes \mathbf{\vec{b}} \!\, . </math>

Diadni produkt ustvari nov razred objektov v [[linearna algebra|linearni algebri]] – [[matrika|matrike]] in [[linearna transformacija|linearne preslikave]], odvisno od tega, ali je izračun v [[koordinatni prostor|koordinatnem]] ali [[vektorski prostor|vektorskem prostoru]]. S povezovanjem več diad (na primer <math>\vec a\otimes\vec b\otimes\vec c\dotsm</math>) nastanejo diade višje ravni. Diade so poseben primer [[tenzor]]jev. Tenzorji so pomembni v [[mehanika kontinuuma|mehaniki kontinuuma]], [[Maxwellove enačbe|Maxwellovih enačbah]] [[elektromagnetizem|elektromagnetizma]] in [[splošna teorija relativnosti|splošni teoriji relativnosti]]. Zbirka [[formule tenzorske algebre|formul tenzorske algebre]] ponuja pregled [[tenzorska algebra|tenzorske algebre]].

=== Pretvorba med več kartezičnimi bazami ===

Vsi dosedanji zgledi so obravnavali vektorje, izražene z isto bazo, in sicer bazo <math> e \!\, </math> <math> \{ \mathbf{\hat{e}}_{1}, ~ \mathbf{\hat{e}}_{2}, ~ \mathbf{\hat{e}}_{3} \} \!\, </math>. Vendar pa je vektor mogoče izraziti s poljubnim številom različnih baz, ki niso nujno poravnane druga z drugo in še vedno ostanejo isti vektor. V bazi <math> e \!\, </math> je vektor <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> po definiciji izražen kot:

: <math> \mathbf{\vec{a}} = p \mathbf{\hat{e}}_{1} + q \mathbf{\hat{e}}_{2} + r \mathbf{\hat{e}}_{3} \!\, . </math>

Skalarne komponente baze <math> e \!\, </math> so po definiciji enake:

: <math> p = \mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\hat{e}}_{1}, \qquad 
q = \mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\hat{e}}_{2}, \qquad 
r = \mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\hat{e}}_{3} \!\, . </math>

V drugi ortonormirani bazi <math> n = \{ \mathbf{\hat{n}}_{1}, ~ \mathbf{\hat{n}}_{2}, ~ \mathbf{\hat{n}}_{3} \} \!\, </math>, ki ni nujno poravnana z <math> e \!\, </math>, je vektor <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> izražen kot:

: <math> \mathbf{\vec{a}} = u \mathbf{\hat{n}}_{1} + v \mathbf{\hat{n}}_{2} + w \mathbf{\hat{n}}_{3} \!\, , </math>

skalarne komponente baze <math> n \!\, </math> pa so po definiciji enake:

: <math> u = \mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\hat{n}}_{1}, \qquad 
v = \mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\hat{n}}_{2}, \qquad
w = \mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\hat{n}}_{3} \!\, . </math>

Vrednosti <math> p \!\, </math>, <math> q \!\, </math>, <math> r \!\, </math> in <math> u \!\, </math>, <math> v \!\, </math>, <math> w \!\, </math> so povezane z enotskimi vektorji tako, da je dobljena vektorska vsota popolnoma enak fizični vektor <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> v obeh primerih. Običajno se sreča vektorje, znane v smislu različnih baz (na primer, ena baza je pritrjena na Zemljo, druga pa na premikajoče se vozilo). V takem primeru je treba razviti metodo za pretvorbo med bazami, da se lahko izvajajo osnovne vektorske operacije, kot sta seštevanje in odštevanje. Eden od načinov za izražanje <math> u \!\, </math>, <math> v \!\, </math>, <math> w \!\, </math> v smislu <math> p \!\, </math>, <math> q \!\, </math>, <math> r \!\, </math> je uporaba [[stolpična matrika|stolpičnih matrik]] skupaj z [[rotacijski formalizmi v treh razsežnostih|matriko smernih kosinusov]], ki vsebuje informacije o povezavi obeh baz. Tak izraz se lahko oblikuje z zamenjavo zgornjih enačb v obliko:

: <math> \begin{align}
u &= (p \mathbf{\hat{e}}_{1} + q \mathbf{\hat{e}}_{2} + r \mathbf{\hat{e}}_{3}) \cdot \mathbf{\hat{n}}_{1}, \\
v &= (p \mathbf{\hat{e}}_{1} + q \mathbf{\hat{e}}_{2} + r \mathbf{\hat{e}}_{3}) \cdot \mathbf{\hat{n}}_{2}, \\
w &= (p \mathbf{\hat{e}}_{1} + q \mathbf{\hat{e}}_{2} + r \mathbf{\hat{e}}_{3}) \cdot \mathbf{\hat{n}}_{3} \!\, . \end{align}</math>

Razvitje skalarnega produkta daje:

: <math> \begin{align}
u &= p \mathbf{\hat{e}}_{1} \cdot \mathbf{\hat{n}}_{1} + q \mathbf{\hat{e}}_{2} \cdot \mathbf{\hat{n}}_{1} + r \mathbf{\hat{e}}_{3} \cdot \mathbf{\hat{n}}_{1}, \\
v &= p \mathbf{\hat{e}}_{1} \cdot \mathbf{\hat{n}}_{2} + q \mathbf{\hat{e}}_{2} \cdot \mathbf{\hat{n}}_{2} + r \mathbf{\hat{e}}_{3} \cdot \mathbf{\hat{n}}_{2}, \\
w &= p \mathbf{\hat{e}}_{1} \cdot \mathbf{\hat{n}}_{3} + q \mathbf{\hat{e}}_{2} \cdot \mathbf{\hat{n}}_{3} + r \mathbf{\hat{e}}_{3} \cdot \mathbf{\hat{n}}_{3} \!\, . \end{align}</math>

Če se vsak skalarni produkt zamenja z enoličnim skalarjem, izhaja:

: <math> \begin{align}
u &= c_{11} p + c_{12} q + c_{13} r, \\
v &= c_{21} p + c_{22} q + c_{23} r, \\
w &= c_{31} p + c_{32} q + c_{33} r \!\, , \end{align}</math>

te enačbe pa se lahko izrazijo z eno matrično enačbo:

: <math> \begin{bmatrix} u \\ v \\ w \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix} \!\, . </math>

Ta matrična enačba povezuje skalarne komponente vektorja <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> v bazi <math> n = \{ u, ~v, w \} \!\, </math> s tistimi v bazi <math> e = \{ p, ~ q, ~ r \} \!\, </math>. Vsak matrični element <math> c_{jk} \!\, </math> je [[smerni kosinus]], ki povezuje <math> n_{j} \!\, </math> in <math> e_{k} \!\, </math>.{{r|kane-1996}} Izraz ''smerni kosinus'' se nanaša na [[kosinus]] [[kot]]a med dvema enotskima vektorjema, ki je prav tako enak njunemu [[#Skalarni produkt|skalarnemu produktu]].{{r|kane-1996}} Zato je:

: <math> \begin{align}
c_{11} &= \mathbf{\hat{n}}_{1} \cdot \mathbf{\hat{e}}_{1}, \qquad c_{12} = \mathbf{\hat{n}}_{1} \cdot \mathbf{\hat{e}}_{2}, \qquad c_{13} = \mathbf{\hat{n}}_{1} \cdot \mathbf{\hat{e}}_{3}, \\
c_{21} &= \mathbf{\hat{n}}_{2} \cdot \mathbf{\hat{e}}_{1}, \qquad c_{22} = \mathbf{\hat{n}}_{2} \cdot \mathbf{\hat{e}}_{2}, \qquad c_{23} = \mathbf{\hat{n}}_{2} \cdot \mathbf{\hat{e}}_{3}, \\
c_{31} &= \mathbf{\hat{n}}_{3} \cdot \mathbf{\hat{e}}_{1}, \qquad c_{32} = \mathbf{\hat{n}}_{3} \cdot \mathbf{\hat{e}}_{2}, \qquad c_{33} = \mathbf{\hat{n}}_{3} \cdot \mathbf{\hat{e}}_{3} \!\, . \end{align} </math>

S skupnim sklicevanjem na <math> \mathbf{\hat{e}}_{1} \!\, </math>, <math> \mathbf{\hat{e}}_{2} \!\, </math>, <math> \mathbf{\hat{e}}_{3} \!\, </math> kot bazo <math> e \!\, </math> in na <math> \mathbf{\hat{n}}_{1} \!\, </math>, <math> \mathbf{\hat{n}}_{2} \!\, </math>, <math> \mathbf{\hat{n}}_{3} \!\, </math> kot na bazo <math> n \!\, </math> je [[matrika]], ki vsebuje vse <math> c_{jk} \!\, </math>, znana kot »[[matrika preslikave|transformacijska matrika]] iz <math> e \!\, </math> v <math> n \!\, </math>« ali »[[matrika vrtenja|rotacijska matrika]] iz <math> e \!\, </math> v <math> n \!\, </math>« (ker se jo lahko predstavlja kot »[[vrtenje (matematika)|vrtenje]]« vektorja iz ene baze v drugo), ali »matrika smernih kosinusov iz <math> e \!\, </math> v <math> n \!\, </math>«{{r|kane-1996}} (ker vsebuje smerne kosinuse). Značilnosti rotacijske matrike so takšne, da je [[obrnljiva matrika|njen inverz]] enak njenemu [[transponirana matrika|transponiranju]]. To pomeni, da je »rotacijska matrika iz <math> e \!\, </math> v <math> n \!\, </math>« transponirana »rotacijska matrika iz <math> n \!\, </math> v <math> e \!\, </math>«.

Značilnosti matrike smernih kosinusov <math> C \!\, </math> so:{{r|roge-2007}}
* njena [[determinanta]] je [[1 (število)|enota]], <math> | C | = 1 \!\, </math>,
* njen inverz je enak njeni transponiranki,
* vrstice in stolpci so ortogonalni enotski vektorji, zato je njihov skalarni produkt enak nič.

Prednost te metode je, da je matriko smernega kosinusa običajno mogoče pridobiti neodvisno z uporabo [[Eulerjevi koti|Eulerjevih kotov]] ali [[kvaternion]]a za povezavo dveh vektorskih baz, tako da je bazne pretvorbe mogoče izvesti neposredno, ne da bi bilo treba izračunati vse zgoraj opisane skalarne produkte.

Z uporabo več zaporednih [[množenje matrik|matričnih množenj]] je mogoče kateri koli vektor izraziti v poljubni bazi, če je znana množica smernih kosinusov, ki povezujejo zaporedne baze.{{r|kane-1996}}

== Koordinate ==

{{glavni|baza (linearna algebra)}}

=== Vpeljava koordinat ===

[[slika:Vector1.png|thumb|right|200px|[[koordinatni sistem|Koordinate]] vektorja <math> \mathbf{\vec{a}} = \begin{bmatrix} a_{x} ~ a_{y} ~ a_{z} \end{bmatrix} \!\, </math>]]

Če je v ravnini ali v prostoru podan [[koordinatni sistem]], se lahko vektor zapiše s koordinatami.

''[[Krajevni vektor]]'' (starejši izraz ''radij-vektor'') točke <math> T \!\, </math> je vektor, ki poteka od izhodišča koordinatnega sistema do točke <math> T \!\, </math>. Označi se ga <math> \overrightarrow{0T} \!\, </math> ali <math> \mathbf{\vec{r}}_{T} \!\, </math>.

Krajevni vektor ima enake koordinate kot njegova končna točka. Zgled: vektor, ki poteka od izhodišča do točke <math> T (2, ~ 3) \!\, </math>, je enak <math> \mathbf{\vec{r}}_{T} = \begin{bmatrix} 2 ~ 3 \end{bmatrix} \!\, </math>.

Če se vektor ne začne v izhodišču, se ga lahko najprej vzporedno prestavi v izhodišče, potem pa se določi njegove koordinate. Po drugi strani pa se lahko koordinate vektorja (ki se ne začne v izhodišču) razume kot ''relativne'' koordinate – tj. koordinate končne točke ''glede na začetno točko''.

V ravnini ali prostoru s koordinatnim sistemom se lahko izbere tudi vektorsko bazo. Najbolj običajno je, da se za [[bazni vektor|bazne vektorje]] izbere vektorje, ki so dolgi po 1 enoto in se po smeri ujemajo s koordinatnimi osmi ([[enotski vektor]]ji). Taka baza se imenuje ''standardna ortonormirana baza''. 

Standardna ortonormirana baza prostora je sestavljena iz vektorjev:

: <math> 
\mathbf{\hat{i}} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 ~ 0 ~ 0 \end{bmatrix}^{\top}, \quad 
\mathbf{\hat{j}} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 ~ 1 ~ 0 \end{bmatrix}^{\top}, \quad 
\mathbf{\hat{k}} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 ~ 0 ~ 1 \end{bmatrix}^{\top} \!\, </math>.

Če se dani vektor izrazi s táko bazo, se vidi, da velja zakonitost:

Komponente pri razvoju vektorja po standardni ortonormirani bazi so enake kot koordinate vektorja. Torej:

: <math> \mathbf{\vec{a}} = a_{1} \mathbf{\hat{i}} + a_{2} \mathbf{\hat{j}} + a_{3} \mathbf{\hat{k}} \iff \mathbf{\vec{a}} = \begin{bmatrix} a_{1} ~ a_{2} ~ a_{3} \end{bmatrix} \!\, . </math>

=== Računanje s koordinatami ===

S koordinatami vektorjev se lahko računa po naslednjih pravilih. Pri tem sta podana (vrstična) vektorja <math> \mathbf{\vec{a}} = \begin{bmatrix} a_{1} ~ a_{2} ~ a_{3} \end{bmatrix}^{\top} \!\, </math> in <math> \mathbf{\vec{b}} = \begin{bmatrix} b_{1} ~ b_{2} ~ b_{3} \end{bmatrix}^{\top} \!\, </math>:
* Vsota:

: <math> \mathbf{\vec{a}} + \mathbf{\vec{b}} = (a_{1} + b_{1}) \mathbf{\hat{e}}_{1} 
+ (a_{2} + b_{2}) \mathbf{\hat{e}}_{2} + (a_{3} + b_{3}) \mathbf{\hat{e}}_{3} = 
\begin{bmatrix} a_{1} + b_{1} \\ a_{2} + b_{2} \\ a_{3} + b_{3} \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix} a_{1} + b_{1} ~ a_{2} + b_{2} ~ a_{3} + b_{3} \end{bmatrix}^{\top} \!\, . </math>

* Razlika:

: <math> \mathbf{\vec{a}} - \mathbf{\vec{b}} = (a_{1} - b_{1}) \mathbf{\hat{e}}_{1} 
+ (a_{2} - b_{2}) \mathbf{\hat{e}}_{2} + (a_{3} - b_{3}) \mathbf{\hat{e}}_{3} =
\begin{bmatrix} a_{1} - b_{1} \\ a_{2} - b_{2} \\ a_{3} - b_{3} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} a_{1} - b_{1} ~ a_{2} - b_{2} ~ a_{3} - b_{3} \end{bmatrix}^{\top} \!\, . </math>

* Produkt s številom <math> n \!\, </math>:
: <math> n \mathbf{\vec{a}} = (n a_{1}) \mathbf{\hat{e}}_{1} + (n a_{2}) \mathbf{\hat{e}}_{2} + (n a_{3}) \mathbf{\hat{e}}_{3} = 
\begin{bmatrix} n a_{1} \\ n a_{2} \\ n a_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n a_{1} ~ n a_{2} ~ n a_{3} \end{bmatrix}^{\top} \!\, . </math>

* Velikost:

: <math> | \mathbf{\vec{a}} | = \sqrt{a_{1}^{2} | \mathbf{\hat{e}}_{1} | + a_{2}^{2} | \mathbf{\hat{e}}_{2} | + a_{3}^{2} | \mathbf{\hat{e}}_{3} | } = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}} \!\, . </math>

* Skalarni produkt:

: <math> \mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\vec{b}} = a_{1} b_{1} | \mathbf{\hat{e}}_{1} | + a_{2} b_{2} | \mathbf{\hat{e}}_{2} | + a_{3} b_{3} | \mathbf{\hat{e}}_{3} | = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} \!\, . </math>

* Vektorski produkt:{{r|spl7}}

: <math> \begin{align} \mathbf{\vec{a}} \times \mathbf{\vec{b}} = \begin{vmatrix} 
\mathbf{\hat{e}}_{1} & \mathbf{\hat{e}}_{2} & \mathbf{\hat{e}}_{3} \\ 
a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ 
b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{vmatrix} 
&= 
\begin{vmatrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{vmatrix} \mathbf{\hat{e}}_{1} -
\begin{vmatrix} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{vmatrix} \mathbf{\hat{e}}_{2} +
\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{vmatrix} \mathbf{\hat{e}}_{3} \\
&=
(a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) \mathbf{\hat{e}}_{1} + (a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) \mathbf{\hat{e}}_{2} + (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) \mathbf{\hat{e}}_{3} \\
&= \begin{bmatrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} ~ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} ~ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{bmatrix}^{\top} \!\, . \end{align} </math>

Enaka pravila veljajo tudi za računanje z dvorazsežnimi vektorji, le da imajo ti eno koordinato manj.

* Mešani produkt:

: V komponentah (z ozirom na ''desnosučno ortonormirano bazo''), če se tri vektorje predstavlja kot vrstice (ali stolpce, vendar v enakem vrstnem redu), je skalarni mešani produkt preprosto [[determinanta]] [[matrika|matrike]] 3 krat 3, ki ima tri vektorje za vrstice:
: <math>(\mathbf{\vec{a}}, \ \mathbf{\vec{b}}, \ \mathbf{\vec{c}}) = \begin{vmatrix}
 a_{1} & a_{2} & a_{3} \\
 b_{1} & b_{2} & b_{3} \\
 c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} =
(a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) {a}_{1} + (a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) {a}_{2} + (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) {a}_{3} \!\, . </math>

: Vektorski mešani produkt za komponento <math> 1 \!\, </math> je:

: <math> \begin{align}
(\mathbf{\vec{a}} \times (\mathbf{\vec{b}} \times \mathbf{\vec{c}}))_{1}
 &= \mathbf{\vec{a}}_{2}(\mathbf{\vec{b}}_{1} \mathbf{\vec{c}}_{2} - \mathbf{\vec{b}}_{2} \mathbf{\vec{c}}_{1}) - \mathbf{\vec{a}}_{3} (\mathbf{\vec{b}}_{3} \mathbf{\vec{c}}_{1} - \mathbf{\vec{b}}_{1} \mathbf{\vec{c}}_{3}) \\
 &= \mathbf{\vec{b}}_{1} (\mathbf{\vec{a}}_{2} \mathbf{\vec{c}}_{2} + \mathbf{\vec{a}}_{3} \mathbf{\vec{c}}_{3}) - \mathbf{\vec{c}}_{1} (\mathbf{\vec{a}}_{2} \mathbf{\vec{b}}_{2} + \mathbf{\vec{a}}_{3} \mathbf{\vec{b}}_{3}) \\
 &= \mathbf{\vec{b}}_{1} (\mathbf{\vec{a}}_{2} \mathbf{\vec{c}}_{2} + \mathbf{\vec{a}}_{3} \mathbf{\vec{c}}_{3}) -\mathbf{\vec{c}}_{1} (\mathbf{\vec{a}}_{2} \mathbf{\vec{b}}_{2} + \mathbf{\vec{a}}_{3} \mathbf{\vec{b}}_{3}) + (\mathbf{\vec{a}}_{1} \mathbf{\vec{b}}_{1} \mathbf{\vec{c}}_{1} - \mathbf{\vec{a}}_{1} \mathbf{\vec{b}}_{1} \mathbf{\vec{c}}_{1}) \\
 &= \mathbf{\vec{b}}_{1} (\mathbf{\vec{a}}_{1} \mathbf{\vec{c}}_{1} + \mathbf{\vec{a}}_{2} \mathbf{\vec{c}}_{2} + \mathbf{\vec{a}}_{3} \mathbf{\vec{c}}_{3}) - \mathbf{\vec{c}}_{1} (\mathbf{\vec{a}}_{1} \mathbf{\vec{b}}_{1} + \mathbf{\vec{a}}_{2} \mathbf{\vec{b}}_{2} + \mathbf{\vec{a}}_{3} \mathbf{\vec{b}}_{3}) \\
 &= (\mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\vec{c}}) \mathbf{\vec{b}}_{1} - (\mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\vec{b}}) \mathbf{\vec{c}}_{1} \!\, . \end{align} </math>

: Podobno sta komponenti <math> 2 \!\, </math> in <math> 3 \!\, </math> produkta <math> \mathbf{\vec{a}} \times (\mathbf{\vec{b}} \times \mathbf{\vec{c}}) \!\, </math> dani kot:{{r|head-1970}}

: <math> (\mathbf{\vec{a}} \times (\mathbf{\vec{b}} \times \mathbf{\vec{c}}))_{2} = (\mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\vec{c}}) \mathbf{\vec{b}}_{2} - (\mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\vec{b}}) \mathbf{\vec{b}}_{2} \!\, , </math>
: <math> (\mathbf{\vec{a}} \times (\mathbf{\vec{b}} \times \mathbf{\vec{c}}))_{3} = (\mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\vec{c}}) \mathbf{\vec{b}}_{3} - (\mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\vec{b}}) \mathbf{\vec{c}}_{3} \!\, . </math>

== Druge razsežnosti in posplošeni vektorji ==

Koordinate omogočajo preprosto posplošitev vektorjev na poljubno razsežnost. Vektor v <math> n \!\, </math>-razsežnem prostoru se predstavlja podobno kot <math> n \!\, </math>-[[n-terica|terico]] števil:

: <math> \mathbf{\vec{a}} = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix} a_{1} ~ a_{2} ~ \ldots ~ a_{n} \end{bmatrix}^{\top} \!\, . </math>

S takšnimi vektorji se računa po enakih pravilih, kot so se zapisale za računanje s trirazsežnimi vektorji, le da se namesto trojic števil vzame <math> n \!\, </math>-terice.

Na takšnih vektorjih je zasnovana teorija splošnih [[vektorski prostor|vektorskih prostorov]].

Z izjemo vektorskih in mešanih produktov se zgornje formule posplošujejo na [[dvorazsežni prostor|dve razsežnosti]] in [[višje razsežnosti]]. Seštevanje se na primer posploši na dve razsežnosti za vektorja <math> \mathbf{\vec{a}} = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1} ~ a_{2} \end{bmatrix}^{\top} \!\, </math> in <math> \mathbf{\vec{b}} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{1} ~ b_{2} \end{bmatrix}^{\top} \!\, </math> kot:

: <math> \mathbf{\vec{a}} + \mathbf{\vec{b}} = (a_{1} \mathbf{\hat{e}}_{1} + a_{2} \mathbf{\hat{e}}_{2}) + (b_{1} \mathbf{\hat{e}}_{1} + b_{2} \mathbf{\hat{e}}_{2}) = (a_{1} + b_{1}) \mathbf{\hat{e}}_{1} + (a_{2} + b_{2}) \mathbf{\hat{e}}_{2} 
= \begin{bmatrix} a_{1} + b_{1} \\ a_{2} + b_{2} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} a_{1} + b_{1} ~ a_{2} + b_{2} \end{bmatrix}^{\top} \!\, </math>

in na [[štirirazsežni prostor|štiri razsežnosti]] za vektorja <math> \mathbf{\vec{a}} = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ a_{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1} ~ a_{2} ~ a_{3} ~ a_{4} \end{bmatrix}^{\top} \!\, </math> in <math> \mathbf{\vec{b}} = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ a_{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{1} ~ b_{2} ~ b_{3} ~ b_{4} \end{bmatrix}^{\top} \!\, </math> kot:

: <math> \begin{align} \mathbf{\vec{a}} + \mathbf{\vec{b}} &=
(a_{1} \mathbf{\hat{e}}_{1} + a_{2} \mathbf{\hat{e}}_{2} + a_{3} \mathbf{\hat{e}}_{3} + a_{4} \mathbf{\hat{e}}_{4}) + (b_{1} \mathbf{\hat{e}}_{1} + b_{2} \mathbf{\hat{e}}_{2} + b_{3} \mathbf{\hat{e}}_{3} + b_{4} \mathbf{\hat{e}}_{4}) \\
&= (a_{1} + b_{1}) \mathbf{\hat{e}}_{1} + (a_{2} + b_{2}) \mathbf{\hat{e}}_{2} + (a_{3} + b_{3}) \mathbf{\hat{e}}_{3} + (a_{4} + b_{4}) \mathbf{\hat{e}}_{4} \\
&= \begin{bmatrix} a_{1} + b_{1} \\ a_{2} + b_{2} \\ a_{3} + b_{3} \\ a_{4} + b_{4} \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix} a_{1} + b_{1} ~ a_{2} + b_{2} ~ a_{3} + b_{3} ~ a_{4} + b_{4} \end{bmatrix}^{\top} \!\, . \end{align} </math>

Vektorski produkt se na druge razsežnosti ne posplošuje zlahka, čeprav se tesno povezan [[zunanji produkt]] posplošuje in katerega rezultat je [[bivektor]]. V dveh razsežnostih je to preprosto [[psevdoskalar]]:

: <math> \mathbf{\vec{a}} \wedge \mathbf{\vec{b}} = (a_{1} \mathbf{\hat{e}}_{1} + a_{2} \mathbf{\hat{e}}_{2}) \wedge (b_{1} \mathbf{\hat{e}}_{1} + b_{2} \mathbf{\hat{e}}_{2}) = (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) \mathbf{\hat{e}}_{1} \mathbf{\hat{e}}_{2} \!\, . </math>

[[Sedemrazsežni vektorski produkt]] je podoben vektorskemu produktu v tem, da je njegov rezultat vektor, pravokoten na dva argumenta – vendar ne obstaja naravni način za izbiro enega od možnih takih objektov.

=== Standardni skalarni produkt ===

{{glavni|standardni skalarni produkt}}

''[[Standardni skalarni produkt]]'' dveh vektorjev je definiran kot:

: <math> \mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\vec{b}} = \begin{bmatrix} a_{1} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_{1} \\ \vdots \\ b_{n} \end{bmatrix} := a_{1} b_{1} + \dotsb + a_{n} a_{n} \!\, . </math>

Z njim je določen <math> n \!\, </math>-razsežni [[evklidski prostor]] <math> \R^{n} \!\, </math>.

=== Množenje z matriko ===

{{glavni|matričnovektorski produkt}}

Če je <math> A \in \R^{m \times n} \!\, </math> [[matrika]] <math> m \times n \!\, </math> in <math> \mathbf{\vec{a}} \in \R^{n} \!\, </math> stolpični vektor, se ga lahko obravnava kot enostolpična matrika v <math> \R^{n \times 1} \!\, </math> in zgradi ''[[matričnovektorski produkt]]'' <math> A \mathbf{\vec{a}} \!\, </math>. Rezultat je stolpični vektor v <math> \R^{m} \!\, </math>:

: <math> A \mathbf{\vec{a}} =
 \begin{bmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix} \, \begin{bmatrix} a_{1} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} a_{11} a_{1} + \dotsb + a_{1n} a_{n} \\ \vdots \\ a_{m1} a_{1} + \dotsb + a_{mn} a_{n} \end{bmatrix} \!\, . </math>

Množenje z matriko <math> m \times n \!\, </math> je [[linearna preslikava]] <math> \R^{n} \!\, </math> v <math> \R^{m} \!\, </math>. Vsaka linearna preslikava se lahko predstavi kot množenje vektorja z matriko.

=== Velikost ===

{{glavni|evklidska norma}}

''[[velikost (matematika)|Velikost]]'' (''[[dolžina]]'' ali ''[[norma (matematika)|norma]]'') vektorja je podana s kvadratnim korenom skalarnega produkta vektorja s samim seboj:

: <math> | \mathbf{\vec{a}} | = \sqrt{\mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\vec{a}}} = \sqrt{a_{1}^{2} + \dotsb + a_{n}^{2}} \!\, . </math>

Poleg te ''[[evklidska norma|evklidske norme]] se uporabljajo tudi druge norme (glej na primer [[p-norma|''p''-norma]])

=== Vrstični in stolpični vektorji ===

Če se obravnava vektorje kot matrike, kot ''[[stolpični vektor]]ji'' obstajajo kot matrike <math> n \times 1 \!\, </math>. Na primer:

: <math> \mathbf{\vec{a}} = \begin{bmatrix} a_{1} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix} \!\, , </math>

obstajajo pa tudi pridruženi vektorji kot matrike <math> 1 \times n \!\, </math>. Na primer:

: <math> \mathbf{\vec{a}}^{\top} = [a_{1} ~ \dotsc ~ a_{n}] \!\, , </math>

kot ''[[vrstični vektor]]ji'', pri čemer <math> \mathbf{\vec{a}}^{\top} \!\, </math> predstavlja [[transponirana matrika|transponiranje]] <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math>.

V tem zapisu standardni skalarni produkt ni nič drugega kot [[množenje matrik|matrično množenje]] matrike <math> 1 \times n \!\, </math> z matriko <math> n \times 1 \!\, </math>, rezultat pa je 'matrika' <math> 1 \times 1 \!\, </math>, oziroma skalar:

: <math> \mathbf{\vec{a}} \cdot \mathbf{\vec{b}} = \mathbf{\vec{a}}^{\top} \mathbf{\vec{b}} = \begin{bmatrix} a_{1} ~ \dotsc ~ a_{n} \end{bmatrix} ~ \begin{bmatrix} b_{1} \\ \vdots \\ b_{n} \end{bmatrix} = a_{1} b_{1} + \dotsb + a_{n} b_{n} \!\, . </math>

Diadni produkt je enak matričnemu množenju matrike <math> n \times 1 \!\, </math> z matriko <math> 1 \times n \!\, </math>, rezultat pa je [[kvadratna matrika]] <math> n \times n \!\, </math>:

: <math> \mathbf{\vec{a}} \otimes \mathbf{\vec{b}} = \mathbf{\vec{a}} \, \mathbf{\vec{b}}^{\top} 
= \begin{bmatrix} a_{1} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix}\ \begin{bmatrix} b_{1} ~ \dotsc ~ b_{n} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} a_{1} b_{1} & \ldots & a_{1} b_{n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{n} b_{1} & \ldots & a_{n} b_{n} \end{bmatrix} \!\, . </math>

== Fizika ==

{{glavni|vektorska količina}}

Vektorji se veliko uporabljajo v fiziki in drugih znanostih.

=== Dolžina in enote ===

V abstraktnih vektorskih prostorih je dolžina puščice odvisna od [[brezrazsežna količina|brezrazsežnega]] [[merilna lestvica|merila]]. Če predstavlja na primer silo, ima »merilo« [[razsežnostna analiza|fizikalno razsežnost]] dolžina&nbsp;/&nbsp;sila (<math> M \cdot L^{2} \cdot T^{-2} \!\, </math>). Tako je značilno doslednost v merilu med količinami iste razsežnosti, sicer pa se lahko merilna razmerja razlikujejo – na primer, če sta »1&nbsp;newton« in »5&nbsp;m« oba predstavljena s puščico 2&nbsp;cm, sta merilni razmerji 1 m&nbsp;:&nbsp;50 N oziroma 1&nbsp;:&nbsp;250. Enake dolžine vektorjev različnih razsežnosti nimajo posebnega pomena, razen če obstaja neka [[razmerje|sorazmernostna konstanta]] kot del sistema, ki ga diagram predstavlja. Tudi dolžina enotskega vektorja (razsežnosti dolžine (<math> L \!\, </math>), ne dolžine&nbsp;/&nbsp;sila itd.) nima pomena, ki je nespremenljiv s koordinatnim sistemom.

=== Vektorske funkcije ===

{{glavni|vektorska funkcija}}

Pogosto se na področjih fizike in matematike vektor razvija v času, kar pomeni, da je odvisen od [[čas]]ovnega parametra <math> t \!\, </math>. Če na primer [[krajevni vektor]] <math> \mathbf{\vec{r}} \!\, </math> predstavlja vektor lege delca, potem funkcija <math> \mathbf{\vec{r}}(t) \!\, </math> daje [[parametrična enačba|parametrično]] predstavitev [[trajektorija|trajektorije]] delca. Funkcije z vektorskimi vrednostmi je mogoče [[odvod|odvajati]] in [[integral|integrirati]] z odvajanjem ali integriranjem komponent vektorja, mnoga znana pravila iz [[infinitezimalni račun|infinitezimalnega računa]] pa še naprej veljajo za odvod in integral funkcij z vektorskimi vrednostmi.

=== Lega, hitrost, pospešek in trzaj ===

Lega točke <math> \mathbf{\vec{x}} = (x_{1}, ~ x_{2}, ~ x_{3}) \!\, </math> v trirazsežnem prostoru se lahko predstavi s [[krajevni vektor|krajevnim vektorjem]], katerega začetna točka je koordinatno izhodišče:

: <math> \mathbf{\vec{x}} = x_{1} \mathbf{\hat{e}}_{1} + x_{2} \mathbf{\hat{e}}_{2} + x_{3} \mathbf{\hat{e}}_{3} = [x_{1}, ~ x_{2}, ~ x_{3}] \!\, . </math>

Krajevni vektor ima razsežnost [[dolžina|dolžine]] (<math> L \!\, </math>).

Za dani dve točki <math> \mathbf{\vec{x}} = (x_{1}, ~ x_{2}, ~ x_{3}) \!\, </math> in <math> \mathbf{\vec{y}} = (y_{1}, ~ y_{2}, ~ y_{3}) \!\, </math> je [[premik (geometrija)|premik]] med njima vektor:

: <math> \mathbf{\vec{y}} - \mathbf{\vec{x}} = (y_{1} - x_{1}) \mathbf{\hat{e}}_{1} + (y_{2} - x_{2}) \mathbf{\hat{e}}_{2} + (y_{3} - x_{3}) \mathbf{\hat{e}}_{3} = [y_{1} - x_{1}, ~ y_{2} - x_{2}, ~ y_{3} - x_{3}] \!\, , </math>

ki določa lego točke <math> \mathbf{\vec{y}} \!\, </math> glede na točko <math> \mathbf{\vec{x}} \!\, </math>. Dolžina tega vektorja daje [[razdalja|razdaljo]] na premici od <math> \mathbf{\vec{x}} \!\, </math> do <math> \mathbf{\vec{y}} \!\, </math>. Premik ima razsežnost dolžine (<math> L \!\, </math>).

[[Hitrost]] <math> \mathbf{\vec{v}} \!\, </math> [[točkasto telo|točkastega telesa]] ali delca je vektor, njegova velikost pa daje velikost hitrosti. Za konstantno hitrost bo lega ob času <math> t \!\, </math> enaka:

: <math> \mathbf{\vec{x}}_{t} = t \mathbf{\vec{v}} + \mathbf{\vec{x}}_{0} \!\, , </math>

kjer je <math> \mathbf{\vec{x}}_{0} \!\, </math> lega v času <math> t = 0 \!\, </math>. Hitrost je [[časovni odvod]] lege. Njena razsežnost je dolžina&nbsp;/&nbsp;čas (<math> L \cdot T^{-1} \!\, </math>).

[[Pospešek]] <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> točkastega telesa je vektor, ki je časovni odvod hitrosti. Njegova razsežnost je dolžina&nbsp;/&nbsp;čas<sup>2</sup> (<math> L \cdot T^{-2} \!\, </math>).

[[Trzaj]] <math> \mathbf{\vec{j}} \!\, </math> točkastega telesa je vektor, ki je časovni odvod pospeška z razsežnostjo dolžina&nbsp;/&nbsp;čas<sup>3</sup> (<math> L \cdot T^{-3} \!\, </math>).

=== Sila in delo ===

[[Sila]] je vektor z razsežnostjo masa&nbsp;·&nbsp;dolžina&nbsp;/&nbsp;čas<sup>2</sup> (<math> M \cdot L \cdot T^{2} \!\, </math>), [[drugi Newtonov zakon]] pa je množenje pospeška z maso:

: <math> \mathbf{\vec{F}} = m \mathbf{\vec{a}} \!\, . </math>

[[delo (fizika)|Delo]] je skalar in je skalarni produkt sile in premika prijemališča sile:

: <math> W = \mathbf{\vec{F}} \cdot \begin{bmatrix} \mathbf{\vec{x}}_{2} - \mathbf{\vec{x}}_{1} \end{bmatrix} \!\, . </math>

== Vektorji, psevdovektorji in transformacije ==

Alternativna karakterizacija evklidskih vektorjev, zlasti v fiziki, jih opisuje kot sezname količin, ki se pri [[koordinatni sistem|koordinatni transformaciji]] obnašajo na določen način. ''[[Kontravariantni vektor]]'' mora imeti komponente, ki se pri spremembah [[baza (linearna algebra)|baze]] »transformirajo nasproti bazi«. Sam vektor se pri transformaciji baze ne spremeni – namesto tega komponente vektorja naredijo spremembo, ki prekliče spremembo v bazi. Z drugimi besedami, če bi se referenčne osi (in iz njih izpeljana baza) zavrtele v eno smer, bi se komponentna predstavitev vektorja zavrtela v nasprotni smeri, da bi ustvarila isti končni vektor. Podobno, če bi bile referenčne osi raztegnjene v eno smer, bi se komponente vektorja zmanjšale na natančno kompenzacijski način. Matematično gledano, če je baza podvržena transformaciji, ki jo opisuje [[obrnljiva matrika]] <math> M \!\, </matH>, tako da se koordinatni vektor <math> \mathbf{\vec{x}} \!\, </math> transformira v <math> \mathbf{\vec{x}}' = M \mathbf{\vec{x}} \!\, </math>, potem se mora kontravariantni vektor <math> \mathbf{\vec{v}} \!\, </math> podobno transformirati prek <math> \mathbf{\vec{v}}' = M^{-1} \mathbf{\vec{v}} \!\, </math>. Ta pomembna zahteva je tisto, po čemer se kontravariantni vektor razlikuje od katere koli druge trojice fizikalno pomembnih količin. Če je na primer <math> \mathbf{\vec{v}} \!\, </math> sestavljen iz komponent hitrosti <math> x \!\, </math>, <math> y \!\, </math> in <math> z \!\, </math>, potem je v kontravariantni vektor – če so koordinate prostora raztegnjene, zavrtene ali izkljivljene, potem se komponente hitrosti transformirajo na enak način. Po drugi strani pa bi lahko na primer trojica, ki jo sestavljajo dolžina, širina in višina pravokotne škatle, sestavljala tri komponente abstraktnega vektorja, vendar ta vektor ne bi bil kontravarianten, saj vrtenje škatle ne spremeni njeno dolžino, širino in višino. Zgledi kontravariantnih vektorjev vključujejo: [[premik (geometrija)|premik]], [[hitrost]], [[električno polje]], [[gibalna količina|gibalno količino]], [[sila|silo]] in [[pospešek]].

V jeziku [[diferencialna geometrija|diferencialne geometrije]] je zahteva, da se komponente vektorja transformirajo v skladu z isto matriko koordinatnega prehoda, enakovredna definiranju ''kontravariantnega vektorja'' kot [[kovariantnost in kontravariantnost|kontravariantnega]] [[tenzor]]ja 1. [[red tenzorja|reda]]. Druga možnost je, da je kontravariantni vektor definiran kot [[tangentni prostor|tangentni vektor]], pravila za transformacijo kontravariantnega vektorja pa sledijo [[verižno pravilo|verižnemu pravilu]] odvajanja [[kompozitum funkcij|kompozituma funkcij]].

Nekateri vektorji se transformirajo kot kontravariantni vektorji, le da se, ko se odbijejo skozi [[zrcalo]], obrnejo in dobijo [[predznak]] [[minus]]. Transformacija, ki preklopi desnosučne v levosučne in obratno, kot to počne zrcalo, naj bi spremenila ''[[orientabilnost|usmerjenost]]'' prostora. Vektor, ki dobi predznak minus, ko se usmerjenost prostora spremeni, se imenuje ''[[psevdovektor]]'' ali ''[[aksialni vektor]]''. Navadni vektorji se včasih imenujejo ''pravi vektorji'' ali ''polarni vektorji'', da se jih loči od psevdovektorjev. Psevdovektorji se najpogosteje pojavljajo kot vektorski produkt dveh navadnih vektorjev.

Zgled psevdovektorja je [[kotna hitrost]]. Ko se vozi v [[avtomobil]]u in gleda naprej, ima vsako od [[kolo|koles]] vektor kotne hitrosti, ki kaže v levo. Če se svet odraža v zrcalu, ki preklopi levo in desno stran avtomobila, kaže ''[[odboj]]'' tega vektorja kotne hitrosti v desno, ''dejanski'' vektor kotne hitrosti kolesa pa še vedno kaže v levo, kar ustreza predznaku minus. Drugi zgledi psevdovektorjev vključujejo: [[magnetno polje]], [[navor]] ali na splošno kateri koli vektorski produkt dveh (pravih) vektorjev.

Ta razlika med vektorji in psevdovektorji je pogosto zanemarjena, vendar postane pomembna pri preučevanju značilnosti [[simetrija|simetrij]]. Glej na primer [[parnost (fizika)]].

== Glej tudi ==

{{div col|colwidth=27em}}
* [[afini prostor]] – razlikuje med vektorji in [[točka (geometrija)|točkami]]
* [[tabela (računalništvo)]]
* [[Banachov prostor]]
* [[bikvaternion]]
* [[Cliffordova algebra]]
* [[kompleksno število]]
* [[koordinatni sistem]]
* [[kovariantnost in kontravariantnost]]
* [[vektor četverec]] – neevklidski vektor v [[prostor Minkowskega|prostoru Minkowskega]] (npr. [[štirirazsežni prostor|štirirazsežni]] [[prostor-čas]], pomemben v [[teorija relativnosti|teoriji relativnosti]]
* [[funkcijski prostor]]
* [[Hermann Günther Grassmann|Grassmannova]] ''Teorija razširitve'' (''Ausdehnungslehre'')
* [[Hilbertov prostor]]
* [[normalni vektor]]
* [[ničelni vektor]]
* lega
* [[psevdovektor]]
* [[kvaternion]]
* [[tangentne in normalne komponente]] (vektorja)
* [[tenzor]]
* [[enotski vektor]]
* [[vektorski sveženj]]
* [[vektorska analiza]]
* [[vektorski račun]]
* [[vektorski zapis]]
* [[vektorska funkcija]]
* [[matričnovektorski produkt]] <!-- de:Matrix-Vektor-Produkt -->
{{div col end}}

== Opombe ==

{{seznam opomb|refs=
{{efn|name="op0"|Enačba velja za [[statično električno polje|statično]] [[električno polje]].}}
{{efn|name="op1"|Za [[pravokotni koordinatni sistem|pravokotne koordinate]].}}
{{efn|name="op2"|[[latinščina|Latinsko]] [[:en:wikt:vectus|vectus]], [[dovršni deležnik]] od [[:en:wikt:vehere|vehēre]] – ''nositi'' / [[:en:wikt:veho|vehō]] – ''nosim'' + [[:en:wikt:-tor|-tor]]. Za zgodovinski razvoj besede ''vektor'' glej {{OED|vector ''n.''}} in {{sktxt|Miller|2007}}.}}
{{efn|name="op3"|Tudi ''geometrijski vektor'' ({{sktxt|Ivanov|2001}}) ali ''prostorski vektor'' ({{sktxt|Heinbockel|2001}}).}}
{{efn|name="op4"|Nekdaj znan kot ''locirani vektor'' (''located vector''). Glej {{sktxt|Lang|1986|page=9}}.}}
{{efn|name="op5"|V nekaterih starih besedilih se [[urejeni par]] <math> (A, ~ B) \!\, </math> imenuje ''vezani vektor'', njegov [[ekvivalenčni razred]] pa ''prosti vektor''.}}
{{efn|name="op6"|Str. 15: »Vsak vektor <math> \mathbf{\vec{r}} \!\, </math>, ki je koplanaren z dvema nekolinearnima vektorjema <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> in <math> \mathbf{\vec{b}} \!\, </math>, se lahko razreši na dve komponenti, ki sta vzporedni z <math> \mathbf{\vec{a}} \!\, </math> oziroma <math> \mathbf{\vec{b}} \!\, </math>. To razrešitev lahko dosežemo s konstruiranjem paralelograma ...«}}
{{efn|name="op7"|Vektorje s komponentami se tako kot [[matrika|matrike]] označuje z [[oglati oklepaj|oglatima]] [[oklepaj]]ema [] ali z [[okrogli oklepaj|okroglima oklepajema]] ().}}
{{efn|name="op8"|Za [[vrstični vektor|vrstične]] in [[stolpični vektor|stolpične vektorje]] glej § [[#Vrstični in stolpični vektorji|Vrstični in stolpični vektorji]].}}
}}

== Sklici ==

{{refbegin|4|normalfont=yes}}
{{sklici|refs=
<ref name="bhat-2013">{{sktxt|Bhatia|Norgard|Pascucci|Bremer|2013}}.</ref>
<ref name="clif-1878">{{sktxt|Clifford|1878}}.</ref>
<ref name="crow-1967">{{sktxt|Crowe|1967}}.</ref>
<ref name="denk-2003">{{sktxt|Denker|2003}}.</ref>
<ref name="glot-2023">{{sktxt|Glötzl|Richters|2023}}.</ref>
<ref name="gras-1844">{{sktxt|Grassmann|1844}}.</ref>
<ref name="hami-1846">{{sktxt|Hamilton|1846}}.</ref>
<ref name="harr-1998">{{sktxt|Harris|Stöcker|1998|loc=§6, str. 332}}.</ref>
<ref name="head-1970">{{sktxt|Heading|1970|pp=262–263}}.</ref>
<ref name="helm-1858">{{sktxt|Helmholtz|1858}}.</ref>
<ref name="ito--1993">{{sktxt|Itô|1993|p=1678}}.</ref>
<ref name="kane-1996">{{sktxt|Kane|Levinson|1996|pp=20–22}}</ref>
<ref name="koec-1991">{{sktxt|Koecher|Remmert|1991}}.</ref>
<ref name="kust-2016">{{sktxt|Kustepeli|2016}}.</ref>
<ref name="lamb-2009">{{sktxt|''Lambacher Schweizer''|2009}}.</ref>
<ref name="lin--2008">{{sktxt|Lin|2008|p=13}}.</ref>
<ref name="pedo-1988">{{sktxt|Pedoe|1988}}.</ref>
<ref name="petr-2017">{{sktxt|Petrascheck|Folk|2017}}.</ref>
<ref name="popp-2023">{{sktxt|Poppe|2023}}.</ref>
<ref name="rein-1978">{{sktxt|Reinhardt|Soeder|1978}}.</ref>
<ref name="roge-2007">{{sktxt|Rogers|2007}}.</ref>
<ref name="serw-2006">{{sktxt|Serway|Jewett|2006}}.</ref>
<ref name="spro-2009">{{sktxt|Sprössig|2009}}.</ref>
<ref name="stef-1869">{{sktxt|Stefan|1869}}.</ref>
<ref name="stoe-2006">{{sktxt|Stöcker|2006}}.</ref>
<ref name="stok-1849">{{sktxt|Stokes|1849|pp=9–10}}.</ref>
<ref name="strn-2014">{{sktxt|Strnad|2014|pp=111}}.</ref>
<ref name="tran-1993">{{sktxt|Tran-Cong|1993}}.</ref>
<ref name="wils-1901">{{sktxt|Wilson|1901}}.</ref>

<ref name="spl0">{{MathWorld|title= Underscore|id= Underscore|access-date= 2023-08-08}} {{v jeziku|en}}</ref>
<ref name="spl1">{{navedi splet|title= vector {{!}} Definition & Facts|website= [[Enciklopedija Britannica]]|lang= en|url= https://www.britannica.com/science/vector-mathematics|accessdate= 2020-08-19}}</ref>
<ref name="spl2">{{citat|title= The Oxford English Dictionary|date= 2001|publisher= Clarendon Press|location= London|isbn= 9780195219425|edition= 2.}}</ref>
<ref name="spl3">{{navedi splet|title= Vectors|website= www.mathsisfun.com|lang= en|url= https://www.mathsisfun.com/algebra/vectors.html|accessdate= 2020-08-19}}</ref>
<ref name="spl4">{{MathWorld|title= Vector|id= Vector|access-date= 2020-08-19}} {{v jeziku|en}}</ref>
<ref name="spl5">{{navedi splet|title= 1.1: Vectors|date= 2013-11-07|website= Mathematics LibreTexts|lang= en|url= https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Supplemental_Modules_(Calculus)/Vector_Calculus/1%3A_Vector_Basics/1.1%3A_Vectors|accessdate= 2020-08-19}}</ref>
<ref name="spl6">{{navedi splet|title= U. Guelph Physics Dept., "Torque and Angular Acceleration"|lang= en|url= http://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/torque/Q.torque.intro.angacc.html|accessdate= 2007-01-05|archive-date= 2007-01-22|archive-url= https://web.archive.org/web/20070122155954/http://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/torque/Q.torque.intro.angacc.html|url-status= dead}}</ref>
<ref name="spl7">{{navedi splet|title= 1.5: The Dot and Cross Product|date= 2013-11-07|website= Mathematics LibreTexts|lang= en|url= 
https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Supplemental_Modules_(Calculus)/Vector_Calculus/1%3A_Vector_Basics/1.5%3A_The_Dot_and_Cross_Product|accessdate= 2023-10-26}}</ref>
}}
{{refend}}

== Viri ==

{{refbegin|1|normalfont=yes}}
* {{citat|last1= Apostol|first1 = Tom Mike|authorlink1= Tom Mike Apostol|title= Calculus|volume= 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra|date= 1967|publisher= Wiley|isbn= 978-0-471-00005-1|cobiss= 6696281|url= https://archive.org/details/calculus01apos}}
* {{citat|last1= Apostol|first1 = Tom Mike|title= Calculus|volume= 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications|date= 1969|publisher= Wiley|isbn= 978-0-471-00007-5|cobiss= 6635609|url= https://archive.org/details/calculus01apos|url-access= registration}}
* {{citat|last1= Aris|first1= Rutherford|authorlink1= Rutherford Aris|title= Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics|date= 1990|publisher= Dover|isbn= 978-0-486-66110-0|cobiss= 2353249|url= https://archive.org/details/vectorstensorsba00aris}}
* {{citat|last1= Bhatia|first1= Harsh|last2= Norgard|first2= Gregory|last3= Pascucci|first3= Valerio|last4= Bremer|first4= Peer-Timo|title= The Helmholtz-Hodge Decomposition – A Survey|journal= [[Inštitut inženirjev elektrotehnike in elektronike|IEEE]] Transactions on Visualization and Computer Graphics|date= avgust 2013|volume= 19|issue= 8|pages= 1386–1404|doi= 10.1109/tvcg.2012.316|issn= 1077-2626}}
* {{citat|last1= Clifford|first1= William Kingdon|authorlink1= William Kingdon Clifford|title= Elements of Dynamic, books I,II,III|date= 1878|location= London|publisher= MacMillan & Co|url= http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;q1=elements;q2=dynamic;op2=and;op3=and;rgn=works;rgn1=title;rgn2=title;rgn3=title;view=toc;idno=04370002}}. Spletna predstavitev [[Univerza Cornell|Univerze Cornell]] ''Historical Mathematical Monographs''.
* {{citat|last1= Crowe|first1= Michael J.|authorlink1= Michael J. Crowe|title= [[A History of Vector Analysis]]|date= 1967}}. O tej temi glej tudi njegove {{navedi splet|url= http://www.nku.edu/~curtin/crowe_oresme.pdf|title= zapiske predavanj|lang= en|accessdate= 2010-09-04|url-status= dead|archive-url= https://web.archive.org/web/20040126161844/http://www.nku.edu/~curtin/crowe_oresme.pdf |archive-date= 2004-01-26}}.
* {{citat|last1= Denker|first1= John|title= Thermodynamics in Terms of Gradient Vectors|date= 2003|lang= en|url= http://www.av8n.com/physics/thermo-forms.htm}}
* {{citat|last1= Feynman|first1= Richard Phillips|authorlink1= Richard Phillips Feynman|last2= Leighton|first2= Robert Benjamin|authorlink2= Robert Benjamin Leighton|last3= Sands|first3= Matthew Linzee|authorlink3= Matthew Linzee Sands|title= The Feynman Lectures on Physics|date= 2005|edition= 2.|volume= I|publisher= Addison Wesley|isbn= 978-0-8053-9046-9|cobiss= 3595105|chapter= § 11|title-link= The Feynman Lectures on Physics}}
* {{citat|last1= Glötzl|first1= Erhard|last2= Richters|first2=  Oliver|title= Helmholtz decomposition and potential functions for n-dimensional analytic vector fields|journal= [[Journal of Mathematical Analysis and Applications]]|date= 2023-09-15|volume= 525|issue= 2|pages= 127138|doi= 10.1016/j.jmaa.2023.127138|arxiv= 2102.09556v3|issn= 0022-247X}}. [[Delovni list]] programa ''[[Mathematica]]'' na {{doi|10.5281/zenodo.7512798}}.
* {{citat|last1= Grassmann|first1= Hermann Günther|authorlink1= Hermann Günther Grassmann|title= Die Lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: Dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert|date= 1844|publisher= O. Wigand}}
* {{citat|last1= Hamilton|first1= William Rowan|authorlink1= William Rowan Hamilton|title= VI. On quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra|journal= [[Philosophical Magazine|The London, Edinburgh & Dublin Philosophical Magazine]]|date= 1846|series= Series 3|volume= xxix|issue= 191|pages= 26–31|issn= 1478-6435|doi= 10.1080/14786444608562593|url= https://www.emis.de/classics/Hamilton/OnQuat.pdf|accessdate= 2023-10-12}}
* {{citat|last1= Harris|first1= John W.|last2= Stöcker|first2= Horst|authorlink2= Horst Stöcker|title= Handbook of mathematics and computational science|date= 1998|publisher= Springer-Verlag|location= New York|isbn= 0-387-94746-9|cobiss= 8276313|url= https://books.google.com/books?id=DnKLkOb_YfIC&pg=PA332 }}
* {{citat|last1= Heading|first1= John|title= Mathematical Methods in Science and Engineering|date= 1970|publisher= American Elsevier Publishing Company, Inc|location= New York|edition= 2.|isbn= 978-0-444-19680-4|oclc= 88584}}
* {{citat|last1= Heinbockel|first= John Henry|title= Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics|date= 2001|publisher= Trafford Publishing|isbn= 1-55369-133-4|cobiss= 3016801|url= http://www.math.odu.edu/~jhh/counter2.html}}
* {{citat|last1= Helmholtz|first1= Hermann von|authorlink1= Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz|title= Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen|journal= [[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]|date= 1858|volume= 55|issue= |pages= 25–55|issn= 00754102|doi= 10.1515/crll.1858.55.25}} ([http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002150212 sub.uni-goettingen.de], [https://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002150212 digizeitschriften.de]). Na strani 38 so komponente hitrosti tekočine <math> (u, v, w) \!\, </math> izražene s členi gradienta skalarnega potenciala <math> P \!\, </math> in rotorja vektorskega potenciala <math> (L, M, N) \!\, </math>.
* {{citat|last1= Itô|first1= Kiyosi|title= Encyclopedic Dictionary of Mathematics|date= 1993|publisher= [[MIT Press]]|location= Cambridge, Mass. ; London|edition= 2.|isbn= 978-0-262-59020-4|cobiss= 254051}}
* {{springerEOM|last1= Ivanov|first1= A. B.|id=V/v096340|title= Vector}}
* {{citat|last1= Kane|first1= Thomas R.|last2= Levinson|first2= David A.|title= Dynamics Online|date= 1996|publisher= OnLine Dynamics|location= Sunnyvale, Kalifornija}}
* {{citat|last1= Koecher|first1= Max|last2= Remmert|first2= Reinhold|chapter= §7 : Hamilton’s Quaternions|title= Numbers|series= (= Graduate Texts in Mathematics, GTM)|date= 1991|volume= 123|pages= 189–220|publisher= Springer|location= New York, NY|issn= 0072-5285|isbn= 978-0-387-97497-2|doi= 10.1007/978-1-4612-1005-4_10}}
* {{citat|last1= Kustepeli|first1= Alp|title= On the Helmholtz Theorem and Its Generalization for Multi-Layers|journal= [[Electromagnetics (revija)|Electromagnetics]]|date= 2016|volume= 36|issue= 3|pages= 135–148|issn= 0272-6343|doi= 10.1080/02726343.2016.1149755}}
* {{citat|title= [[Lambacher Schweizer]] Mathematik für Gymnasien, Kursstufe, Baden-Württemberg|date= 2009|publisher= Ernst Klett Verlag|location= Stuttgart|isbn= 978-3-12-735301-3|pages= 243}}
* {{citat|last1= Lang|first1= Serge|authorlink1 = Serge Lang|title= Introduction to Linear Algebra|date= 1986|edition= 2.|publisher= Springer|location= New York|series= (= Undergraduate texts in mathematics)|isbn= 0-387-96205-0|cobiss= 3171673}}
* {{citat|last1= Lin|first1= Pengzhi|title= Numerical Modelling of Water Waves: An Introduction to Engineers and Scientists|date= 2008|publisher= Routledge|isbn= 978-0-415-41578-1|url= https://books.google.com/books?id=x6ALwaliu5YC&pg=PA13}}
* {{citat|last1= Miller|first1= Jeff|title= Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (V)|date= 2007-09-10|lang= en|url= http://jeff560.tripod.com/v.html|accessdate= 2007-05-25}}
* {{citat|last1= Pedoe|first1= Daniel|authorlink1= Daniel Pedoe|title= Geometry: A comprehensive course|date= 1988|publisher= Dover|location= New York|isbn= 0-486-65812-0|cobiss= 16034649|url= https://archive.org/details/geometrycomprehe0000pedo|url-access= registration}}
* {{citat|last1= Petrascheck|first1= Dietmar|last2= Folk|first2= Reinhard|authorlink2= Reinhard Folk|title= Helmholtz decomposition theorem and Blumenthal’s extension by regularization|journal= Condensed Matter Physics|date= 2017|volume= 20|issue= 1|pages= 13002|doi= 10.5488/CMP.20.13002|arxiv= 1704.02287|issn= 1607-324X}}
* {{citat|last1= Poppe|first1= Mauricio|title= Affine spaces|date= 2023-04-18|website= mauriciopoppe.com|lang= en|url= https://www.mauriciopoppe.com/notes/mathematics/geometry/affine-spaces/|accessdate= 2023-10-12}}
* {{citat|last1= Reinhardt|first1= Fritz|last2= Soeder|first2= Heinrich|title= dtv-Atlas zur Mathematik. Band I: Grundlagen, Algebra und Geometrie|date= 1978|edition= 3.|publisher= [[Deutscher Taschenbuch Verlag]]|location= München|pages= 191|cobiss= 2977558}}
* {{citat|last1= Rogers|first1= Robert M.|title= Applied mathematics in integrated navigation systems|date= 2007|publisher= [[Ameriški inštitut aeronavtike in astronavtike]] (AIAA)|edition= 3.|location= Reston, Virginija|isbn= 978-1-56347-927-4|cobiss= 	6263124|oclc= 652389481}}
* {{citat|last1= Serway|first1= Raymond A.|last2= Jewett|first2= John W.|title= Principles Of Physics: A Calculus-based Text|date= 2006|edition= 4.|publisher= Cengage Learning|pages= 19|isbn= 978-0-534-49143-7|cobiss= 27161605|url= https://books.google.si/books?id=VaroJ5BNuZAC}}
* {{citat|last1= Sprössig|first1= Wolfgang|title= On Helmholtz decompositions and their generalizations – An overview|journal= [[Mathematical Methods in the Applied Sciences]]|date= 2009-09-08|volume= 33|issue= 4|pages= 374–383|doi= 10.1002/mma.1212|issn= 0170-4214}}
* {{citat|last1= Stefan|first1= Jožef|authorlink1= Jožef Stefan|title= Über die Grundformeln der Elektrodynamik|date= 1869|journal= Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien (SAW)|volume= 59|issue= II|pages= 693–769}}
* {{citat|last1= Stöcker|first1= Horst|authorlink1= Horst Stöcker|title= Matematični priročnik z osnovami računalništva|date= 2006|publisher= [[Tehniška založba Slovenije]]|location= Ljubljana|isbn= 86-365-0587-9|cobiss= 229576192|oclc= 449201276}}
* {{citat|last1= Stokes|first1= George Gabriel|authorlink1= George Gabriel Stokes|title= On the Dynamical Theory of Diffraction|journal= [[Transactions of the Cambridge Philosophical Society]]|date= 1849|volume= 9|issue= |pages= 1–62|doi= 10.1017/cbo9780511702259.015}}
* {{citat|last1= Strnad|first1= Janez|authorlink1= Janez Strnad|title= Poldrugo stoletje elektromagnetnih valov|date= maj 2014|journal= [[Obzornik za matematiko in fiziko]]|volume= 61|issue= 3|pp= 104–112|cobiss= 17079129}}
* {{citat|last1= Tran-Cong|first1= Ton|title= On Helmholtz’s Decomposition Theorem and Poissons’s Equation with an Infinite Domain|journal= [[Quarterly of Applied Mathematics]]|date= marec 1993|volume= 51|issue= 1|pages= 23–35|jstor= 43637902|issn= 0033569X}}
* {{citat|last1= Wilson|first1= Edwin Bidwell|authorlink1= Edwin Bidwell Wilson|title= Vector Analysis : A text-book for the use of students of mathematics and physics : Founded upon the Lectures of J. Willard Gibbs, Ph.D., LL.D.|date= 1901|publisher= [[Yale University Press]]|location= New Haven|url= https://archive.org/details/117714283|website= [[Internet Archive]]}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==

{{kategorija v Zbirki|Vectors|vektorji}}
* {{springerEOM|title=Vector|id=p/v096340}} {{v jeziku|en}}
* {{navedi splet|url= https://web.archive.org/web/20120801005307/http://wwwppd.nrl.navy.mil/nrlformulary/vector_identities.pdf|title= Online vector identities|format= [[Portable Document Format|PDF]]|lang= en}}
* {{navedi splet|url= http://www.marco-learningsystems.com/pages/roche/introvectors.htm|title= Introducing Vectors|website= www.marco-learningsystems.com|lang= en}} Konceptualni uvod ([[uporabna matematika]]) {{v jeziku|en}}
* {{navedi splet|url= http://www.math.mcgill.ca/labute/courses/133f03/VectorHistory.html|title= History of Vectors|website= math.mcgill.ca|lang= en}}

{{linearna algebra}}

{{normativna kontrola}}

[[Kategorija:Abstraktna algebra]]
[[Kategorija:Vektorski račun]]
[[Kategorija:Vektorji| ]]
[[Kategorija:Linearna algebra]]
[[Kategorija:Fizikalni koncepti]]