Ogled vira Vektorski potencial

{{drugipomeni4|splošnem konceptu matematične teorije vektorskih polj|vektorski potencial v elektromagnetizmu|magnetni vektorski potencial|vektorski potencial v mehaniki tekočin|funkcija toka}}
{{short description|vektorsko polje, katerega rotor je dano vektorsko polje}}

'''Véktorski potenciál''' je v  [[vektorska analiza|vektorski analizi]] [[vektorsko polje]], katerega [[rotor]] je dano vektorsko polje. To je analogno ''[[skalarni potencial|skalarnemu potencialu]]'', ki je [[skalarno polje]], katerega [[gradient]] je dano skalarno polje.

Formalno je glede na dano vektorsko polje <math> \mathbf{\vec{v}} \!\, </math> vektorski potencial <math> C^{2} \!\, </math> vektorsko polje <math> \mathbf{\vec{A}} \!\, </math> tako, da velja:

: <math> \mathbf{\vec{v}} = \nabla \times \mathbf{\vec{A}} \!\, . </math>

== Posledica ==

Če vektorsko polje <math> \mathbf{\vec{v}} \!\, </math> dopušča vektorski potencial <math> \mathbf{\vec{A}} \!\, </math>, potem iz enakosti:

: <math> \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{\vec{A}}) = 0 \!\, </math>

([[divergenca]] rotorja je enaka nič) sledi:

: <math> \nabla \cdot \mathbf{\vec{v}} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{\vec{A}}) = 0 \!\, , </math>

kar pomeni, da mora biti <math> \mathbf{\vec{v}} \!\, </math> [[solenoidalno vektorsko polje]].

== Izrek ==

Naj je:

: <math> \mathbf{\vec{v}} : \R^{3} \to \R^{3} \!\,  </math>

solenoidalno vektorsko polje, ki je dvakrat [[gladka funkcija|zvezno odvedljivo]]. Privzame se, da <math> \mathbf{\vec{v}}(\mathbf{\vec{x}}) \!\, </math> narašča vsaj tako hitro kot <math> 1/ \| \mathbf{\vec{x}} \| \!\, </math> za <math> \| \mathbf{\vec{x}} \| \to \infty </math>. Naj je po definiciji:

: <math> \mathbf{\vec{A}} (\mathbf{\vec{x}}) = \frac{1}{4 \pi} \int_{\mathbb R^{3}} \frac{ \nabla_{y} \times \mathbf{\vec{v}} (\mathbf{\vec{y}})}{ \left\| \mathbf{\vec{x}} - \mathbf{\vec{y}} \right\| } \operatorname{d}^{3} \!  \mathbf{\vec{y}} \!\, . </math>

Potem je <math> \mathbf{\vec{A}} \!\, </math> vektorski potencial za <math> \mathbf{\vec{v}} \!\, </math>, oziroma:

: <math> \nabla \times \mathbf{\vec{A}} = \mathbf{\vec{v}} \!\, . </math>

Tu je <math>\nabla_{y} \times \!\, </math> rotor za spremenljivko <math> y \!\, </math>. Če se zamenja <math> \nabla \times \mathbf{\vec{v}} \!\, </math> (<math> \operatorname{rot} \mathbf{\vec{v}} \!\, </math>) za [[gostota toka|gostoto toka]] <math> j \!\, </math> [[retardirani potencial|retardiranega potenciala]], se dobi ta formula. Z drugimi besedami, <math> \mathbf{\vec{v}} \!\, </math> ustreza [[Jakost magnetnega polja|jakosti magnetnega polja]] <math> \mathbf{\vec{H}} \!\, </math>.

Integralno domeno se lahko omeji na katero koli enojno povezano območje <math> \Omega \!\, </math>. To pomeni, da je <math> \mathbf{\vec{A'}} \!\, </math> spodaj tudi vektorski potencial <math> \mathbf{\vec{v}} \!\, </math>:

: <math> \mathbf{\vec{A'}} (\mathbf{\vec{x}}) = \frac{1}{4 \pi} \int_{\Omega} \frac{ \nabla_{y} \times \mathbf{\vec{v}} (\mathbf{\vec{y}})}{ \left\| \mathbf{\vec{x}} - \mathbf{\vec{y}} \right\| } \operatorname{d}^{3} \! \mathbf{\vec{y}} \!\, . </math>

Posplošitev tega izreka je [[Helmholtzev razstavitveni izrek]], ki pravi, da je mogoče vsako vektorsko polje razstaviti kot vsoto solenoidalnega vektorskega polja in [[potencionalno vektorsko polje|potencialnega vektorskega polja]].

Po [[analogija|analogiji]] z [[Biot-Savartov zakon|Biot-Savartovim zakonom]] se <math> \boldsymbol{A''}(\textbf{x}) \!\, </math> prav tako kvalificira kot vektorski potencial za <math> \mathbf{\vec{v}} \!\, </math>:

: <math> \mathbf{\vec{A''}} (\mathbf{\vec{x}}) = \int_{\Omega} \frac{\mathbf{\vec{v}}(\mathbf{\vec{y}}) \times (\mathbf{\vec{x}} - \mathbf{\vec{y}})}{4 \pi |\mathbf{\vec{x}} - \mathbf{\vec{y}}|^{3}} \operatorname{d}^{3} \! \mathbf{\vec{y}} \!\, . </math>

Če se zamenja <math> \mathbf{\vec{j}} \!\, </math> ([[gostota električnega toka]]) za <math> \mathbf{\vec{v}} \!\, </math> in <math> \mathbf{\vec{H}} \!\, </math> (jakost magnetnega polja) za <math> \mathbf{\vec{A}} \!\, </math>, se dobi Biot-Savartov zakon.

Naj je <math> \mathbf{\vec{p}} \in \mathbb{R} \!\, </math> in naj je <math> \Omega \!\, </math> [[zvezdasta domena]] s središčem na <math> \mathbf{\vec{p}} \!\, </math>, potem je s prevajanjem [[Poincaréjeva lema|Poincaréjeve leme]] za [[diferencialna forma|diferencialne forme]] v svet vektorskih polj, tudi <math> \mathbf{\vec{A'''}} (\mathbf{\vec{x}}) \!\, </math> vektorski potencial za <math> \mathbf{\vec{v}} \!\, </math>:

: <math> \mathbf{\vec{A'''}} (\mathbf{\vec{x}}) = \int_{0}^{1} s ((\mathbf{\vec{x}} - \mathbf{\vec{p}}) \times ( \mathbf{\vec{v}} ( s \mathbf{\vec{x}} + (1 - s) \mathbf{\vec{p}})) \operatorname{d} \! s \!\, . </math>

== Needinstvenost ==

Vektorski potencial, ki ga dopušča solenoidalno polje, ni edinstven. Če je <math> \mathbf{\vec{A}} \!\, </math> vektorski potencial za <math> \mathbf{\vec{v}} \!\, </math>, potem je vektorski potencial tudi:

: <math> \mathbf{\vec{A}} + \nabla f \!\, , </math>

kjer je <math> f \!\, </math> poljubna zvezno odvedljiva [[skalarna funkcija]]. To izhaja iz dejstva, da je rotor gradienta poljubnega skalarnega polja <math> \varphi \!\, </math> polje [[ničelni vektor|ničelnih vektorjev]]:

: <math> \nabla \times ( \nabla \varphi ) = \mathbf{\vec{0}} \!\, , </math>

kar izhaja iz [[antisimetrični tenzor|antisimetričnosti]] v definiciji rotorja in [[simetrija drugih odvodov|simetrije drugih odvodov]].

Ta needinstvenost vodi do [[prostostna stopnja (fizika)|prostostne stopnje]] v formulaciji [[elektrodinamika|elektrodinamike]] ali umerilne svobode, in zahteva [[umeritveno nastavljanje|izbiro umeritve]].

== Elektromagnetno polje ==

[[Električni potencial]] <math> \varphi \!\, </math> je [[skalar]]na količina. Njegov negativni gradient je enak [[jakost električnega polja|jakosti električnega polja]] <math> \mathbf{\vec{E}} \!\, </math>:

: <math> \mathbf{\vec{E}} = -\nabla \, \varphi \!\, . </math>

Rotor [[magnetni vektorski potencial|magnetnega vektorskega potenciala]] <math> \mathbf{\vec{A}} \!\, </math> je enak [[gostota magnetnega polja|gostoti magnetnega polja]] <math> \mathbf{\vec{B}} \!\, </math>:

: <math> \nabla \times \mathbf{\vec{A}} = \mathbf{\vec{B}} \!\, . </math>

Kadar ni [[magnetizacija|prostih tokov]] (<math display="inline"> \nabla \times \mathbf{\vec{H}} = \mathbf{\vec{0}}  \!\, </math>), se lahko v [[elektrostatika|elektrostatiki]] definira [[magnetni skalarni potencial]] <math> \psi \!\, </math>:

: <math> \mathbf{\vec{H}} = -\nabla \psi \!\, . </math>

V okviru [[posebna teorija relativnosti|posebne teorije relativnosti]] je naravno magnetni vektorski potencial združiti z električnim (skalarnim) potencialom v [[elektromagnetni potencial]] – [[elektromagnetni četverec potenciala|(elektromagnetni) četverec potenciala]]. Ta za [[elektromagnetno polje]] igra vlogo vektorskega potenciala, za [[gravitacijsko polje]] pa ga igra na primer [[Lanczosev potencial]].

== Glej tudi ==

{{div col|colwidth=27em}}
* [[Helmholtzev razstavitveni izrek|Helmoltzeva razstavitev]] ([[osnovni izrek vektorske analize]])
* [[magnetni vektorski potencial]]
* [[solenoid]]
* [[zaprte in eksaktne diferencialne forme]]
{{div col end}}

== Viri ==

{{refbegin|1|normalfont=yes}}
* {{citat|last1= Cheng|first1= David Keun|authorlink1= David Keun Cheng|title= Fundamentals of Engineering Electromagnetics|date= 1993|publisher= Addison-Wesley|location= Reading, Massachusetts|isbn= 0-201-56611-7|cobiss= 14947077}}
{{refend}}

{{normativna kontrola}}

[[Kategorija:Fizikalni koncepti]]
[[Kategorija:Potenciali]]
[[Kategorija:Vektorski račun]]
<!-- [[Kategorija:Vektorske fizikalne količine]] -->
[[Kategorija:Fizikalne količine]]
[[Kategorija:Vektorji]]