Ogled vira Verižni ulomek

'''Verížni ulómek''' je v [[matematika|matematiki]] [[izraz]] oblike:

: <math> \xi = a_{0} + \cfrac{1}{a_{1} + \cfrac{1}{a_{2} + \cfrac{1}{a_{3}+\,\cdots}}} \!\, , </math>

kjer je ''a''<sub>0</sub> neko [[celo število]], vsa druga števila ''a''<sub>''n''</sub> pa so [[naravno število|naravna števila]] (oziroma [[pozitivno število|pozitivna]] cela števila) in se imenujejo ''delni količniki''. Daljši izrazi so določeni podobno. Če so števci različni od [[1 (število)|1]], se izraz imenuje [[posplošeni verižni ulomek]]. Zaradi jasnosti se ''neposplošeni'' verižni ulomek imenuje tudi '''navadni''', '''enostavni''' ali '''pravilni verižni ulomek'''.

== Opis ==

Verižni ulomki nastanejo zaradi želje po »matematično čistih« predstavitvah [[realno število|realnih števil]].

Večina ljudi pozna [[desetiška predstavitev|desetiško predstavitev]] realnih števil:

: <math> r = \sum_{i=0}^\infty a_{i} 10^{-i} \!\, , </math>

kjer je ''a''<sub>0</sub> poljubno celo število, vsak ''a''<sub>''i''</sub> pa je element {0, 1, 2, ..., 9}. V tej predstavitvi je na primer [[število]] ''[[pi|π]]'' izraženo s celoštevilskim [[zaporedje]]m {{OEIS|id=A000796}} {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, ...}.

Takšna predstavtev ni brez pomanjkljivosti. Ena težava je pojava poljubne konstante [[10 (število)|10]] v zgornji enačbi. Zakaj 10? To je posledica biološke pogojenosti in ne nečesa kar bi bilo povezano z matematiko. 10 se uporablja, ker je standardna osnova našega [[številski sistem|številskega sistema]] (10 [[prst (organ)|prstov]]). Prav tako bi se lahko uporabljala osnova 8 ([[osmiški številski sistem|osmiški sistem]]) ali osnova 2 ([[dvojiški številski sistem|dvojiški sistem]]). Druga težava je, da v tem sestavu mnogo [[racionalno število|racionalnih števil]] ni moč izraziti s končnim številom členov v takšnem zapisu. Število 1/3 je na primer izraženo kot neskončno zaporedje {0, 3, 3, 3, 3, ....}.

Zapis z verižnimi ulomki je predstavitev realnih števil, ki se ogne takšnim težavam. Premisli se kako se lahko opiše število kot je 415/93, katerega vrednost je približno 4,4624. To je zaokroženo enako 4. Dejansko je malo več od 4, približno 4 + 1/2. 2 v imenovalcu ni v redu, saj je pravilni imenovalec malo ''več'' kot 2, približno 2 + 1/6, tako da je 415/93 v približku 4 + 1/(2 + 1/6). Vendar 6 v imenovalcu spet ni pravilen, saj je pravilni imenovalec malo več kot 6, 6 + 1/7. Tako je 415/93 dejansko 4+1/(2+1/(6+1/7)) in to ''je'' točna vrednost.

Če se izpusti trivialne dele izraza 4+1/(2+1/(6+1/7)), se dobi okrajšan zapis verižnega ulomka <nowiki>[4; 2, 6, 7]</nowiki>. Po navadi se ''prvo'' [[vejica|vejico]] nadomesti s [[podpičje]]m. Takšen zapis je prvi uporabil nemški matematik [[Oskar Perron]] v svojem enciklopedičnem delu o verižnih ulomkih ''Teorija verižnih ulomkov'' (''Die Lehre von den Kettenbrüchen'') iz leta 1913.

Predstavitev realnih števil z verižnimi ulomki ima več prikladnih značilnosti:

* predstavitev števila z verižnim ulomkom je končna, [[če in samo če]] je število racionalno.
* predstavitve »preprostih« racionalnih števil z verižnimi ulomki so kratke.
* predstavitev poljubnega racionalnega števila z verižnim ulomkom je edina, če na koncu ni 1. Za vsako racionalno število, izraženo kot verižni ulomek <math>[N; a, ..., z]</math> pri ''z'' > 1, obstaja zapis z 1 na koncu <math>[N; a, ...,z - 1, 1]</math>.
* predstavitev [[iracionalno število|iracionalnega števila]] je edinstvena.
* členi verižnega ulomka se bodo ponavljali, če in samo če je število [[popolni kvadrat|kvadratična iracionala]], oziroma, če je realna rešitev kvadratne enačbe.
* okrajšanje predstavitve števila ''x'' z verižnim ulomkom vodi do racionalnega približka za ''x'', ki je v določenem smislu »najboljši« racionalni približek.

Zadnja značilnost je zelo pomembna in ne velja za običajno desetiško predstavitev. Okrajšanje desetiške predstavitve da racionalni približek števila, vendar običajno ne dobrega. Če se na primer okrajša število 1/7 = 0,142857... na več mestih, se dobi približke 142/1000, 14/100 in 1/10. Očitno je najboljši racionalni približek kar »1/7«. Okrajšanje desetiškega zapisa ''π'' da približka 31415/10000 in 314/100. Zapis števila ''π'' z verižnim ulomkom je <nowiki>[3; 7, 15, 1, 292, ...]</nowiki>. Z okrajšavo tega zapisa se dobi odlične približke 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, ... Imenovalca 314/100 in 333/106 sta skoraj enaka, vendar je napaka približka 314/100 devetnajstkrat večja kot pri 333/106. Kot približek števila ''π'' je <nowiki>[3; 7, 15, 1]</nowiki> več kot stokrat točnejši od 3,1416.

== Računanje verižnih ulomkov ==

Poljubno neničelno realno število ''ξ'' se lahko zapiše kot verižni ulomek <math> [a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3},\cdots] \!\, </math>, kjer je

: <math> a_{0} = \lfloor \xi \rfloor, \xi_{0} = \xi - a_{0} \!\, , </math>
: <math> a_{1} = \left\lfloor \frac{1}{\xi_{0}} \right\rfloor, \xi_{1} = \frac{1}{\xi_{0}} - a_{1} \!\, , </math>
: <math> \ldots </math>
: <math> a_{n} = \left\lfloor \frac{1}{\xi_{n-1}} \right\rfloor, \xi_{n} = \frac{1}{\xi_{n-1}} - a_{n} \!\, ,</math>
: <math> \ldots </math>

in <math> \lfloor \xi \rfloor \!\, </math> [[celi del]] števila <math> \xi \!\, </math>.

Da se izračuna verižni ulomek števila ''ξ'', se najprej zapiše celi del ''ξ''. Nato se odštete ta del od števila ''ξ''. Če je razlika enaka 0, se konča, drugače pa se izračuna obratno vrednost razlike in ponovi postopek. Postopek se konča, če in samo če je ''ξ'' racionalen.

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="none"
|-
! colspan="5" |'''Izračun verižnega ulomka za 3,245'''
|-
|<math>3\,</math>
|<math>3,245 - 3\,</math>
|<math>= 0,245\,</math>
|<math>1 / 0,245\,</math>
|<math>= 4,082\,</math>
|-
|<math>4\,</math>
|<math>4,082 - 4\,</math>
|<math>= 0,082\,</math>
|<math>1 / 0,082\,</math>
|<math>= 12,250\,</math>
|-
|<math>12\,</math>
|<math>12,250 - 12\,</math>
|<math>= 0,250\,</math>
|<math>1 / 0,250\,</math>
|<math>= 4,000\,</math>
|-
|<math>4\,</math>
|<math>4,000 - 4\,</math>
|<math>= 0,000\,</math>
|'''Končaj'''
|&nbsp;
|-
! colspan="5" | verižni ulomek za 3,245 je [3; 4, 12, 4]
|-
! colspan="5" | <math>3,245 = 3 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{12 + \cfrac{1}{4}}} </math>
|}
Število 3,245 se lahko zapiše tudi kot [3; 4, 12, 3, 1].

Ta [[algoritem]] je primeren za realna števila. Če se ga uporablja pri računanju s plavajočo vejico, se lahko pridobi nesmisle. Zaradi tega je vsako število s plavajočo vejico točno racionalno število (kjer je imenovalec po navadi potenca 2 v sodobnih računalnikih ali potenca 10 na elektronskih računalih) in v takšnih primerih se lahko za točne rezultate uporabi različica [[Evklidov algoritem|Evklidovega algoritma]].

== Oblike zapisov verižnih ulomkov ==

Najbolj razširjen okrajšan zapis verižnih ulomkov je:

: <math> \xi = [a_0; a_1, a_2, a_3] \!\, </math>

in včasih tudi:

: <math> \xi = \left \langle a_0; a_1, a_2, a_3 \right \rangle \!\, , </math>

oziroma tudi brez podpičja:

: <math> \xi = \left \langle a_0, a_1, a_2, a_3 \right \rangle \!\, . </math>

Znan je tudi [[Alfred Pringsheim|Pringsheimov]] zapis:

: <math> \xi = a_0 + \frac{1 \mid}{\mid a_1} + \frac{1 \mid}{\mid a_2} + \frac{1 \mid}{\mid a_3} \!\, </math>

ali redkejši zapis, podoben zgornjemu:

: <math> \xi = a_0 + 
  \frac{1}{a_1 + } \frac{1}{a_2 + } \frac{1}{a_3 + } \!\, . </math>

''Neskončne verižne ulomke'' se lahko določi tudi kot [[Limita zaporedja|limite]]:

: <math> [a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ] = \lim_{n \to \infty} [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \,\ldots, a_{n}] \!\, . </math>

Ta limita obstaja za poljubna pozitivna cela števila ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub> ...

== Zgodovina verižnih ulomkov ==

Zametke računanja verižnih ulomkov je moč videti v [[Evklidov algoritem|Evklidovem algoritmu]] (300 pr. n. št.) saj gre v bistvu za isto stvar in algoritem kot stranski rezultat enakovredno da člene zapisa verižnih ulomkov.

Indijski matematik in astronom [[Aryabhata I.]] je uporabljal verižne ulomke pri računanju linearnih nedoločenih enačb, oblike <math>ax+c=by</math> ([[diofantska enačba]], [[Aryabhatov algoritem]]), sicer ne popolnoma v današnjem smislu.

Za začetnika teorije verižnh ulomkov velja italijanski matematik [[Rafael Bombelli]]. Prvič jih je uporabil leta 1572 pri računanju [[kvadratni koren|kvadratnih korenov]]. Odkril je tudi, da se dajo iracionalna števila zelo točno aproksimirati z verižnimi ulomki. Aproksimiral je <math>\sqrt{13}</math>. V tem času se je z verižnimi ulomki ukvarjal tudi [[Pietro Antonio Cataldi]]. Tudi Cataldi je na podoben način s periodičnim verižnim ulomkom izrazil <math>\sqrt{18}\ </math>:

: <math> \begin{align} \sqrt{18} &= [4; \overline{4, 8}] \\
&= \left \{ 4, \frac{17}{4}, \frac{140}{33}, \frac{577}{136}, \frac{4756}{1121}, \frac{19601}{4620}, \frac{161564}{38081}, \frac{665857}{156944}, \frac{5488420}{1293633}, \frac{22619537}{5331476}, \frac{186444716}{43945441},\ \cdots \right \} \!\, . \end{align} </math>

Cataldi jih je sistematično zapisal v svoji razpravi ''Trattato del modo brevissimo di trovare la radice quadra delli numeri ...'' o iskanju kvadratnih korenov števil, objavljeni v [[Bologna|Bologni]] leta 1613. Cataldi je pisal verižne ulomke še v obliki:

: <math> a_0.\,</math> &<math> \frac{n_1}{d_1}. </math> &<math> \frac{n_2}{d_2}. </math> &<math> \frac{n_3}{d_3} \!\, , </math>

kjer pike označujejo kam sledijo naslednji ulomki.

Z delom [[John Wallis|Johna Wallisa]] so verižni ulomki dobili svoje upravičeno mesto v matematiki. V svoji knjigi ''Algebrski traktat'' (''Tractatus de algebra''), (izšla leta 1685) je Wallis našel π na 35 decimalk s približkom neskončnega verižnega ulomka:

: <math> \begin{align} \pi &= [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,3,
 13,1,3,4,2,6,6,1,\,...] \\
&= \frac{10576765661816118725}{3366689074005314168} = 3,14159265358979323846264338327951738 \!\, . \end{align} </math>

Prvi neskončni (posplošeni) verižni ulomek je zapisal lord [[William Brouncker|Brouncker]] v svojem delu iz leta 1659 za razvoj števila 4/π na podlagi Wallisovega produkta za π/2.

V svojem delu ''Matematično delo'' (''Opera Mathematica'') je Wallis leta 1695 tudi prvič uporabil izraz »verižni ulomek«. V [[slovenščina|slovenščino]] je izraz uvedel [[Josip Plemelj]].

[[Christiaan Huygens]] je uporabljal verižne ulomke pri aproksimaciji [[prestavno razmerje|prestavnih razmerij]] in o tem napisal članek. Huygens je našel približek:

: <math> \frac{77708431}{2640858}=[29;2,2,1,5,1,4,\ldots] \!\, . </math>

Značilnosti in teorijo verižnih ulomkov sta naprej razvila Huygens leta 1703 in [[Leonhard Euler]] leta 1744. [[Joseph-Louis de Lagrange|Lagrange]] je mislil, da bi bilo mogoče prepoznati vsako [[algebrsko število]] iz njegovega verižnega ulomka. Periodičnost verižnih ulomkov za [[popolni kvadrat|kvadratične]] iracionale je dokazal sedemnajstletni [[Évariste Galois]] leta 1828.

== Uporaba verižnih ulomkov ==

* računanje približkov realnih števil.
* dokazovanje iracionalnosti števil. S pomočjo verižnih ulomkov so dokazali iracionalnost [[Riemannova funkcija zeta|Riemanove funkcije ζ]] za ζ(3).
* algoritem [[praštevilski razcep|praštevilskega razcepa]] SQFOF (SqFoF, Square Form factorisation).
* računanje približkov časovnih obdobij ([[tropsko leto]], [[mesec]] ipd).

== Končni verižni ulomki ==

Za končne verižne ulomke velja:

: <math>[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ,a_{n}, 1]=[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots, a_{n} + 1] \!\, . </math>

Za vsak končni verižni ulomek obstaja drug končni verižni ulomek, ki predstavlja isto število. Na primer

: <math> [2; 3, 1] = [2; 4] = 9/4 = 2,25 \!\, . </math>

Vsak končni verižni ulomek je [[racionalno število]], in vsako racionalno število lahko zapišemo na točno dva različna načina kot končni verižni ulomek. V enem zapisu je končni člen verižnega ulomka enak 1. Drug zapis ima en člen manj, zadnji člen pa mora biti večji od 1, razen če je edin.

== Neskončni verižni ulomki ==

Vsak neskončni verižni ulomek je [[iracionalno število]], in vsako iracionalno število se lahko zapiše na točno en način kot neskončni verižni ulomek.

Neskončni verižni ulomki iracionalnih števil pridejo prav, saj njihovi prvi členi nudijo odlične racionalne približke števila. Ti približki se imenujejo tudi ''[[konvergent]]i'' verižnega ulomka. Sodi približki so manjši od števila, lihi pa večji. 

Za verižni ulomek <math>[a_0;a_1,a_2,\ldots]</math> so prvi štirje približki (oštevilčeni od 0 do 3):

: <math>
\frac{a_0}{1},\qquad
\frac{a_0a_1+1}{a_1},\qquad
\frac{a_2(a_0a_1+1)+a_0}{a_2a_1+1},\qquad
\frac{a_3(a_2(a_0a_1+1)+a_0)+(a_0a_1+1)}{a_3(a_2a_1+1)+a_1} \!\, .
</math>

Z drugimi besedami, števec tretjega približka se tvori z množenjem števca drugega približka s tretjim količnikom in prištetjem števca prvega približka. Na podoben način se tvori imenovalce.

Če obstaja naslednji člen s števci <math>h_1,h_2,\ldots</math> in imenovalci <math>k_1,k_2,\ldots</math>, poten je ustrezna rekurzivna enačba:

: <math> h_n=a_nh_{n-1}+h_{n-2},\qquad k_n=a_nk_{n-1}+k_{n-2} \!\, . </math>

Sosednja zaporedna približka sta dana z enačbo:

: <math> \frac{h_n}{k_n}= \frac{a_nh_{n-1}+h_{n-2}}{a_nk_{n-1}+k_{n-2}} \!\, . </math>

== Nekateri izreki ==

Če je ''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ... neskončno zaporedje [[naravno število|naravnih števil]], določimo zaporedja <math>h_n</math> in <math>k_n</math> rekurzivno:
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="10" align="none"
|-
|<math>h_{n}=a_nh_{n-1}+h_{n-2}</math>
|
|
|<math>h_{-1}=1</math>
|
|<math>h_{-2}=0</math>
|-
|<math>k_{n}=a_nk_{n-1}+k_{n-2}</math>
|
|
|<math>k_{-1}=0</math>
|
|<math>k_{-2}=1</math>
|}

=== Izrek 1 ===

Za vsak pozitivni <math>\xi\in\mathbb{R}</math> velja:

: <math>
\left[a_0, a_1, \,\ldots, a_{n-1}, \xi \right]=
\frac{\xi h_{n-1}+h_{n-2}}
     {\xi k_{n-1}+k_{n-2}} \!\, . </math>

=== Izrek 2 ===

Približki  [''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ...] so dani z:

: <math> \left[a_0, a_1, \,\ldots, a_n\right]=\frac{h_n}{k_n} \!\, . </math>

=== Izrek 3 ===

Če je ''n''-ti približek verižnega ulomka <math>h_n/k_n</math>, potem velja:

: <math> k_nh_{n-1}-k_{n-1}h_n=(-1)^n \!\, . </math>

'''Posledica 1:''' Vsak približek je izražen z najmanjšim členom (saj, če bi <math>h_n</math> in <math>k_n</math> imela netrivialni skupni delitelj, bi delila <math>k_nh_{n-1}-k_{n-1}h_n</math>, kar je nemogoče).

'''Posledica 2:''' razlika med sosednjima zaporednima približkoma je [[enotski ulomek]]:

: <math>
\left|\frac{h_n}{k_n}-\frac{h_{n-1}}{k_{n-1}} \right|=
\left|\frac{h_nk_{n-1}-k_nh_{n-1}}{k_nk_{n-1}}\right|=
\frac{1}{k_nk_{n-1}} \!\, .
</math>

Ali drugače rečeno, dva sosednja zaporedna približka sta [[sosednja ulomka]].

'''Posledica 3:''' Verižni ulomek je enakovreden vrsti z izmeničnimi členi:

: <math> a_0 + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{k_{n+1}k_{n}} \!\, . </math>

'''Posledica 4:''' Matrika:

: <math>\begin{bmatrix}
h_n & h_{n-1} \\
k_n & k_{n-1} \!\, 
\end{bmatrix}</math>

ima determinanto +1 ali -1, in zato pripada [[grupa (matematika)|grupi]] 2x2 [[unimodularna matrika|unimodularnih matrik]] <math>S^*L(2,\mathbb{Z})</math>.

=== Izrek 4 ===

Vsak približek je bolj točen kot prejšnji. Če je ''n''-ti približek enak <math>[a_0;a_1,a_2,\ldots a_n]=x</math>, potem velja:

: <math>
\left|[a_0; a_1, a_2, \ldots a_r]-x\right|>
\left|[a_0; a_1, a_2, \ldots a_s]-x\right|</math>
za vse <math>r<s<n \!\, . </math>

'''Posledica 1:''' lihi približki stalno naraščajo, vendar so vedno manjši od <math>\xi.</math>

'''Posledica 2:''' sodi približki stalno padajo, vendar so vedno večji od <math>\xi.</math>

=== Izrek 5 ===

: <math>
\frac{1}{k_n(k_{n+1}+k_n)}<
\left|x-\frac{h_n}{k_n}\right|<
\frac{1}{k_nk_{n+1}} \!\, .
</math>

'''Posledica 1:''' vsak približek je točnejši od prejšnjega, katerega imenovalec je manjši od imenovalca približka

'''Posledica 2:''' vsak približek, ki takoj sledi velikemu količniku, se najmanj razlikuje od verižnega ulomka.

== Polpribližki ==

Če sta <math>\frac{h_{n-1}}{k_{n-1}}</math> in <math>\frac{h_n}{k_n}</math> sosednja zaporedna približka, potem se vsak ulomek oblike:
 
: <math>\frac{h_{n-1} + ah_n}{k_{n-1}+ak_n} \!\, , </math>

kjer je <math>a</math> nenegativno celo število in kjer so števci in imenovalci med <math>n</math> in <math>n+1</math>, imenuje  ''polpribližek'', sekundarni približek ali vmesni ulomek. Po navadi pomeni, da je člen polpribližek to, da je lahko približek, ne pa to, da je približek vrsta polpribližka.

Polpribližki razvoja verižnega ulomka realnega števila <math>\xi</math> vsebujejo vse racionalne približke, ki so boljši od vsakega približka z manjšim imenovalcem. Druga uporabna značilnost je, da za dva zaporedna polpribližka ''a''/''b'' in ''c''/''d'' velja <math>ad-bc = \pm 1</math>.

== Najboljši racionalni približki ==

''Najboljši racionalni približek'' realnega števila ''ξ'' je racionalno število <math> \begin{matrix} \frac {n}{d} \end{matrix} \!\, </math>, <math> d>0 \!\, </math>, ki je bližje ''ξ'' kot katerikoli približek z manjšim imenovalcem. Ker je najboljši racionalni približek vedno približek ali polpribližek, se lahko pravilni verižni ulomek za ''ξ'' ''x'' uporabi za ''vse'' najboljše racionalne približke za ''ξ'' po naslednjih treh pravilih:

# skrajšanje verižnega ulomka in morebitno povečanje njegovega zadnjega izraza.
# vrednost povečanega izraza ne more biti manj kot polovico vrednosti.
# če je končni člen so, posebno pravilo odloča ali je njegova polovična vrednost dopustna. (Glej spodaj)

Pravilni verižni ulomek za število 0,84375 je na primer [0;1,5,2,2]. Tu so vsi njegovi najboljši racionalni približki.
:{| cellspacing="0" cellpadding="2" border="1"
|- align="center"
|  [0;1]  || [0;1,3] ||  [0;1,4]  ||  [0;1,5]  ||  [0;1,5,2] ||  [0;1,5,2,1] ||  [0;1,5,2,2]
|- align="center"
| <math> \begin{matrix} 1 \end{matrix} </math> || <math> \begin{matrix} \frac {3}{4} \end{matrix} </math> || <math> \begin{matrix} \frac {4}{5} \end{matrix} </math> || <math> \begin{matrix} \frac {5}{6} \end{matrix} </math>|| <math> \begin{matrix} \frac {11}{13} \end{matrix} </math>|| <math> \begin{matrix} \frac {16}{19} \end{matrix} </math>|| <math> \begin{matrix} \frac {27}{32} \end{matrix} </math>
|}

Strogo monotono naraščanje imenovalcev pri dodajanju členov dovoljuje algoritmu obstoj limite, bodisi na velikosti imenovalca ali bližine približka.

Za vključitev novega člena v racionalni približek sta potrebna le dva predhodna približka. Če je ''a'' novi člen, potem sta novi števec in imenovalec:

: ''n''<sub>''k''+1</sub>&nbsp;= ''n''<sub>''k''−1</sub> + ''a'' ''n''<sub>''k''</sub>
: ''d''<sub>''k''+1</sub>&nbsp;= ''d''<sub>''k''−1</sub> + ''a'' ''d''<sub>''k''</sub>

Začetna »približka« (za prva dva člena) sta  0/1 in 1/0. Tu so približki za [0;1,5,2,2].
:{| cellspacing="0" cellpadding="8" border="1"
|- align="right"
| ''a''<sub>''k''</sub> ||&nbsp; || &nbsp; || 0 || 1 || 5 ||  2 ||  2
|- align="right"
| ''n''<sub>''k''</sub> || 0 || 1 || 0 || 1 || 5 || 11 || 27
|- align="right"
| ''d''<sub>''k''</sub> || 1 || 0 || 1 || 1 || 6 || 13 || 32
|}

Strogi opis pravila razpolovitve je, da je razpolovljen člen <math>\begin{matrix} \frac {1}{2} \end{matrix} a_k </math> dopusten, samo in samo če:

: [''a''<sub>''k''</sub>; ''a''<sub>''k''−1</sub>, …, ''a''<sub>1</sub>] > [''a''<sub>''k''</sub>; ''a''<sub>''k''+1</sub>, …].

Velikokrat se za računanje zaporednih členov uporabljo nekaj podobnega kot je Evklidov algoritem [[največji skupni delitelj|največjega skupnega delitelja]]. Dodatne vrednosti, ki jih da algoritem, omogočajo ustreznejšo preveritev. Tu je, na primer, računanje členov za število 0,84375 = <math> \begin{matrix} \frac {27}{32} \end{matrix} </math> (kjer <math>\lfloor \xi \rfloor </math> označuje funkcijo [[celi del]]).

:{| cellspacing="0" cellpadding="0"
|-
|width="25"| <math> a_0=</math> || <math> \lfloor \begin{matrix} \frac {27}{32} \end{matrix} \rfloor </math> || <math>= 0 </math>,|| ||width="25" align="right"| <math> f_0 </math> || <math> = 27 - 32a_0 </math> || <math>= 27</math>
|-
|width="25"| <math> a_1=</math> || <math> \lfloor \begin{matrix} \frac {32}{27} \end{matrix} \rfloor </math> || <math>= 1 </math>,||   || width="25" align="right"|<math> f_1 </math> || <math> = 32 - 27a_1 </math> || <math>= 5</math>
|-
|width="25"| <math> a_2=</math> || <math> \lfloor \begin{matrix} \frac {27}{5} \end{matrix} \rfloor </math> || <math>= 5 </math>,||   || width="25" align="right"|<math> f_2 </math> || <math> = 27 - 5a_2 </math> || <math>= 2</math>
|-
|width="25"| <math> a_3=</math> || <math> \lfloor \begin{matrix} \frac {5}{2} \end{matrix} \rfloor </math> || <math>= 2 </math>,||   || width="25" align="right"|<math> f_3 </math> || <math> = 5 - 2a_3 </math> || <math>= 1</math>
|-
|width="25"| <math> a_4=</math> || <math> \lfloor \begin{matrix} \frac {2}{1} \end{matrix} \rfloor </math> || <math>= 2 </math>,||   || width="25" align="right"|<math> f_4 </math> || <math> = 2 - 1a_4 </math> || <math>= 0</math>
|}

Z uporabo vrednosti ''f'' na ta način, je za <math> \begin{matrix} \frac {1}{2} \end{matrix} a_k \!\, </math> preveritev dopustnosti <math> \begin{matrix} \frac {d_{k-2}}{d_{k-1}} \end{matrix} > \begin{matrix} \frac {f_k}{f_{k-1}} \end{matrix} \!\, </math>. Za <math> a_3 \!\, </math> v primeru je <math> \begin{matrix} \frac {d_1}{d_2}\end{matrix} = \begin{matrix} \frac {1}{6} \end{matrix} \!\, </math> in <math> \begin{matrix} \frac {f_3}{f_2}\end{matrix} = \begin{matrix} \frac {1}{2} \end{matrix} \!\, </math>, zato <math> \begin{matrix} \frac {1}{2} \end{matrix} a_3 \!\, </math> ni dopusten. Za <math> a_4 \!\, </math> <math> \begin{matrix} \frac {d_2}{d_3}\end{matrix} = \begin{matrix} \frac {6}{13} \end{matrix} \!\, </math> in <math> \begin{matrix} \frac {f_4}{f_3}\end{matrix} = \begin{matrix} \frac {0}{1} \end{matrix} \!\, </math>, tako da je <math> \begin{matrix} \frac {1}{2} \end{matrix} a_4 \!\, </math> dopusten.

Približki števila ''ξ'' so najboljši približki tudi v strožjem smislu. ''n''/''d'' je približek za ''ξ'' samo in samo, če je |''dξ'' - ''n''| najmanjša ''relativna'' napaka med vsemi približki ''mm''/''c'' pri ''c'' ≤ ''d'', oziroma, če velja |''dξ'' - ''n''| < |''cξ'' - ''m''| dokler je ''c'' < ''d''.

== Verižni ulomek za ''π'' ==

Pri računanju približkov za ''[[pi|π]]'' se vzame <math> a_0 = \lfloor \pi \rfloor = 3\!\, </math>, določi <math> u_1 = \frac {1}{\pi - 3} \!\, </math> <math> \approx \frac {113}{16} = 7,0625 </math> in <math> a_1 = \lfloor u_1 \rfloor = 7 </math>, <math> u_2 = \frac {1}{u_1 - 7} \approx \frac {31993}{2000} = 15,9965 \!\, </math> ter <math> a_2 = \lfloor u_2 \rfloor = 15 \!\, </math>, <math> u_3 = \frac {1}{u_2 - 15} \!\, </math> <math> \approx \frac {1003}{1000} = 1,003 \!\, </math>. Če se nadaljuje na ta način, se lahko najde poljubno mnogo členov neskončnega verižnega ulomka za ''π'' [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...]. Tretji približek za ''π'' je [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3,14159292035..., kar je že zelo točno.

Naj so najdeni količniki kot zgoraj [3; 7, 15, 1]. Z naslednjim postopkom se lahko takoj zapiše približne ulomke, ki izhajajo iz teh količnikov, brez, da bi se računalo verižni ulomek.

Prvi količnik deljen recimo z 1, bo dal prvi ulomek, ki bo premajhen, namreč 3/1. Z množenjem števca in imenovalca prvega ulomka z drugim količnikom in prištevanjem števila 1 s števcem se dobi drugi ulomek 22/7, ki bo prevelik. Če se nadaljuje na enak način, se dobi tretji ulomek, ki je premajhen. Tako je za tretji količnik, ki je enak 15, za števec (22 · 15 = 330) + 3 = 333 in za imenovalec (7 · 15 = 105) + 1 = 106. Tretji približek je tako 333/106. Enako za četrti približek. Četrti količnik je 1, velja 333 krat 1, kar je 333, prišteje se 22, imenovalec predhodnega ulomka, kar da 355. Podobno 106 krat 1 je 106, prišteje se 7, in dobi 113.

S štirimi količniki [3; 7, 15, 1] se tako dobi štiri ulomke:

: <math>\frac{3}{1}, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \,\ldots \!\, . </math>

Ti približki so izmenično manjši in večji od vrednosti števila ''π'', ter se ji vedno bolj približujejo. Razlika med danim približkom in številom ''π'' je manjša od [[obratna vrednost|obratne vrednosti]] zmnožka imenovalcev tega približka in naslednjega približka. Ulomek 22/7 je na primer večji od ''π'', vendar 22/7 − ''π'' je manj kot 1/(7 · 106), kar je enako 1/742. Dejansko je 22/7 − ''π'' manjše od 1/790.

Te značilnosti izhajajo iz dejstva, da če se išče razliko med sosednjima ulomkoma, so bo dobil ulomek, katerega števec bo vedno enak 1, imenovalec pa zmnožek obeh imenovalcev. Tako je razlika med 22/7 in 3/1 enaka 1/7, prevelika; med 333/106 in 22/7 enaka 1/742, premajhna; med 355/113 in 333/106 enaka 1/11978, premajhna, in tako naprej. V tem smislu se lahko z uporabo teh razlik izrazi ulomke na drug in zelo enostaven način, kjer so vsi števci enaki 1, imenovalci pa zmnožki dveh sosednjih imenovalcev. namesto zgoraj zapizanih ulomkov imamo tako vrsto:

: <math>\frac{3}{1}+\frac{1}{1 \cdot 7}-\frac{1}{7 \cdot 106}+\frac{1}{106 \cdot 113} \cdots . </math>

Prvi člen je, kot se vidi, prvi ulomek. Prvi in drugi člen dasta drugi ulomek 22/7. Prvi trije členi dajo tretji ulomek 333/106 in podobno naprej. Celotna vrsta je enakovredna izvirni vrednosti.

== Verižni ulomki nekaterih števil ==

Čeprav se v neskončnem verižnem ulomku za ''π'' ne da najti kakšnega vzorca, to ne velja za vsa števila. Za število ''e'', [[e (matematična konstanta)|osnovo]] [[naravni logaritem|naravnih logaritmov]] so verižni ulomki preprostejši:

: <math> e \,\,\,\,\,\, = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, \ldots] \!\, , </math>

: <math> \sqrt{e} = [1; 1, 1, 1, 5, 1, 1, 9, 1, 1, 13, 1, 1, 17, \ldots] \!\, , </math>

: <math> e^{\frac{1}{4}} \,\,\, = [1; 3, 1, 1, 11, 1, 1, 19, 1, 1, 27, 1, 1, 35, \ldots] \!\, , </math>

: <math> e^{\frac{1}{8}} \,\,\, = [1; 7, 1, 1, 23, 1, 1, 39, 1, 1, 55, 1, 1, 71, \ldots] \!\, , </math>

Seveda pa to ne velja za vsa transcendentna števila kot sta [[Gelfondova konstanta]] z verižnim ulomkom:

: <math> e^{\pi} = [23; 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, 2, 34, 1, 16, 1, 30, 1, 1, 4, 1, 2, \ldots] \!\, </math>

ali [[Gelfond-Schneiderjeva konstanta]]:

: <math> 2^{\sqrt{2}} = [2; 1, 1, 1, 72, 3, 4, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 14, 1, 2, 1, 1, 3, 1, 3, \ldots] \!\, . </math>

Še posebej zanimiv verižni ulomek ima število, ki ga je raziskoval [[Srinivasa Ajangar Ramanudžan|Ramanudžan]] leta 1913 in 1914, in ga je [[Simon Plouffe]] imenoval [[Ramanudžanova konstanta]]:

: <math> e^{\pi\sqrt{163}} = [262537412640768743;1,1333462407511,1,8,1,1,5,1,4,1,7,1,1,1,9,1,1,2,12,4,1,15,4,299,3,\ldots
] \!\, . </math>

[[Aleksander Osipovič Gelfond|Gelfond]] je dokazal, da so števila oblike <math>e^{\pi\sqrt{d}}</math> za pozitivni celi ''d'' [[transcendentno število|trancendentna]].

Število z neskončnim pravilnim verižnim ulomkom {{OEIS|id=A060997}}:

: <math> \alpha_{0} = [1; 2, 3, 4, 5, \ldots, n, n+1, \ldots ] = 1,43312742672231175831718345577599182043 \ldots \!\, </math>

je iracionalno.<ref>{{harvnb|Grasselli|(2008)|p=589.}}</ref>{{rp|589}}

Števila s periodičnim verižnim ulomkom so natanko rešitve [[kvadratna enačba|kvadratne enačbe]] s celoštevilskimi koeficienti. Imenujejo se [[kvadratno iracionalno število|kvadratna iracionalna števila]]. Najpreprostejši verižni ulomek nasploh ima [[število zlatega reza]] Φ:

: <math> \Phi = [1;\overline{1}] \!\, </math>

in njegova obratna vrednost:

: <math>\Phi^{-1} = [0;\overline{1}] \!\, . </math>

Podobno:

: <math> \sqrt{2} = [1;\overline{2}] \!\, , </math>
: <math> \sqrt{3} = [1;\overline{1,2}] \!\, , </math>
: <math> \sqrt{5} = [2;\overline{4}] \!\, , </math>
: <math> \sqrt{6} = [1;\overline{2}]\cdot[1;\overline{1,2}] \!\, , </math>
: <math> \sqrt{7} = [2;\overline{1,1,1,4}] \!\, , </math>
: <math> \sqrt{8} = [2;\overline{1,4}] \!\, , </math>
: <math> \sqrt{10} = [3;\overline{6}] \!\, , </math>
: <math> \frac{\sqrt{3}-1}{2} = [0;\overline{2,1}] \!\, . </math>

Števila s periodičnimi verižnimi ulomki imajo različno dolge preriode.
 
Večina drugih iracionalnih števil nima periodičnih ali enostavnih verižnih ulomkov. [[Aleksander Jakovljevič Hinčin|Hinčin]] je dokazal, da imajo za ''skoraj vsa'' realna števila ξ delni količniki osupljivo značilnost: njihova [[geometrična sredina]] je [[matematična konstanta|konstantna]], znana kot [[Hinčinova konstanta]] ''K'' ≈ 2,6854520010..., in je neodvisna od vrednosti števila ξ. [[Paul Pierre Lévy|Lévy]] je pokazal, da se ''n''-ti koren imenovalca ''n''-tega približka verižnega ulomka za skoraj vsa realna števila približuje mejni vrednosti, znani kot [[Lévyjeva konstanta]] z vrednostjo približno 3,2758229...

== Fermat-Pellova enačba ==

Verižni ulomki so pomembni pri reševanju [[Pellova enačba|Fermat-Pellove]] [[diofantska enačba|diofantske enačbe]]. Za pozitivni celi števili <math>p</math> in <math>q</math> velja <math>p^2 - 2q^2 = \pm1</math> samo in samo če je <math>p/q</math> približek v razvoju verižnega ulomka za <math>\sqrt2</math>.

== Verižni ulomki in kaos ==

Verižne ulomke uporabljajo tudi pri raziskovaju v [[teorija kaosa|teoriji kaosa]], kjer povezujejo pojem [[Fareyjevo zaporedje|Fareyjevih ulomkov]], ki jih obsega [[Mandelbrotova množica]], s pojmom vprašalne [[funkcija Minkowskega|funkcije Minkowskega]] in [[modularna grupa|modularno grupo]] Γ. 

Protismerni premikalni operator za verižne ulomke je [[preslikava]] <math>h(x)=1/x - \lfloor 1/x \rfloor,</math> imenovana Gaussova preslikava, ki klesti [[števka|števke]] verižnega ulomka: <math>h([0;a_1,a_2,a_3,\ldots]) = [0;a_2,a_3,\ldots]</math>. Prenosni operator te preslikave se imenuje [[Gauss-Kuzmin-Wirsingov operator]]. Porazdelitev števk v verižnih ulomkih je dana z ničelnim [[lastni vektor|lastnim vektorjem]] tega operatorja, in se imenuje [[Gauss-Kuzminova porazdelitev]].

== Glej tudi ==

* [[Stern-Brocotovo drevo]]

== Sklici ==

{{sklici|1}}

== Viri ==

* {{citat|last1= Grasselli|first1= Jože|authorlink1= Jože Grasselli|title= Enciklopedija števil|date= 2008|publisher= [[Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije|DMFA]] – založništvo|location= Ljubljana|series= Matematika – fizika : zbirka univerzitetnih učbenikov in monografij|issn= 1408-1571|volume= 45|isbn= 978-961-212-209-6|cobiss= 243138304|oclc= 449615476}}
* {{navedi disertacijo|last1= Skubic|first1= Katja|title= Verižni ulomki in neskončne vrste|type= diplomsko delo|chapter= |url= http://pefprints.pef.uni-lj.si/id/eprint/2464|author= |year= 2014|publisher= Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta, Matematika in računalništvo|accessdate= 4. januarja 2020|docket= |oclc= 898599403|cobiss= 10216009}}
* {{navedi disertacijo|last1= Skubic|first1= Katja|title= Teoretični in didaktični vidiki verižnih ulomkov|type= magistrsko delo|chapter= |url= http://pefprints.pef.uni-lj.si/id/eprint/4040|author= |year= 2016|publisher= Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta|accessdate= 4. januarja 2020|docket= |oclc= 965878667|cobiss= 11288137}}

== Zunanje povezave ==

* [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/number/contfrac.en Spletno računalo verižnih ulomkov] {{ikona en}}
* Linas Vepstas [http://www.linas.org/math/chap-minkowski/chap-minkowski.html The Minkowski Question Mark and the Modular Group SL(2,Z)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060208155435/http://www.linas.org/math/chap-minkowski/chap-minkowski.html |date=2006-02-08 }} (2004) pojasnjuje izomorfizme verižnih ulomkov. {{ikona en}}
* Linas Vepstas [http://www.linas.org/math/chap-gap/chap-gap.html Continued Fractions and Gaps] (2004) pojasnjuje kaotično zgradbo v verižnih ulomkih. {{ikona en}}
* [http://www.cut-the-knot.org/blue/ContinuedFractions.shtml Verižni ulomki na Stern-Brocotovem drevesu] na [[cut-the-knot]] {{ikona en}}
* Francois Balsalobre [http://fbalsalo.club.fr/cfc.html cfc – računalo verižnih ulomkov (cli)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060107102309/http://fbalsalo.club.fr/cfc.html |date=2006-01-07 }} za POSIX in Cygwin {{ikona en}}
* [http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/10/continued-fractions.html Verižni ulomki] in Fermatov zadnji izrek. {{ikona en}}
* [http://www.phy6.org/outreach/edu/contfrac.htm Elementarni uvod v verižne ulomke] {{ikona en}}

{{normativna kontrola}}

[[Kategorija:Verižni ulomki| ]]
[[Kategorija:Matematična analiza]]