Ogled vira Vrsta (matematika)

{{drugipomeni2|Vrsta}}
{{Infinitezimalni račun}}
'''Vŕsta''' ali '''števílska vŕsta'''<ref>{{sktxt|Jamnik|1985|pp=59}}.</ref>{{rp|59}} v [[matematika|matematiki]] pomeni [[vsota|vsoto]] [[zaporedje|zaporedja]] njenih [[člen]]ov. Vrsta je torej [[seznam]] [[število|števil]] z [[aritmetična operacija|operacijami]] [[seštevanje|seštevanja]] med njimi, na primer kot v [[aritmetično zaporedje|aritmetičnem zaporedju]]:

: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100.

V večini zanimivih primerov se lahko člene zaporedja, ki se ga sešteva, določi po določenem pravilu, npr. po [[enačba|enačbi]], po [[algoritem|algoritmu]], po zaporedju [[meritev]], ali se jih celo dobi z [[generator naključnih števil|generatorjem naključnih števil]].

Vrste so lahko ''[[končna množica|končne]]'' ali ''[[neskončna množica|neskončne]]''; v prvem primeru se jih obravnava z elementarno [[algebra|algebro]], v drugem je treba, če se jih želi uporabiti v koristne namene, poseči po orodjih [[matematična analiza|matematične analize]].

Zgledi preprostih vrst vključujejo [[aritmetična vrsta|aritmetično vrsto]], ki je vsota členov [[aritmetično zaporedje|aritmetičnega zaporedja]], zapisana kot:

: <math> \sum_{n=0}^{N} (an+b) \!\, </math>

in končno [[geometrična vrsta|geometrično vrsto]], vsoto členov [[geometrično zaporedje|geometričnega zaporedja]], ki se jo lahko zapiše kot:

: <math> \sum_{n=0}^{N} ak^{n} \!\, . </math>

== Neskončne vrste ==

Vsota [[neskončna vrsta|neskončne vrste]] ''a''<sub>0</sub>&nbsp;+&nbsp;''a''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;''a''<sub>2</sub>&nbsp;+&nbsp;... je [[limita zaporedja]] delnih vsot:

: <math> S_{n} = a_{0} + a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} \!\, , </math>

ko ''n'' → ∞. Ta limita ima lahko končno vrednost in, če jo ima, vrsta ''konvergira''. Če je vrednost neskončna, vrsta ''divergira''. Dejstvo, da neskončne vrste lahko konvergirajo, pojasnjuje matematično stran več [[Zenonovi paradoksi|Zenonovih paradoksov]].

Najpreprostejša konvergentna neskončna vrsta je verjetno:

: <math> 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots \!\, . </math>

Lahko se predstavlja njeno konvergenco na [[realno število|realni]] [[številska premica|številski premici]]: zamisli se daljico dolžine 2, z zaporednimi odseki, označenimi z 1, ½, ¼, itd. Vedno je prostor, da se označi naslednji odsek, ker je dolžina daljice, ki ostaja, vedno enaka kot zadnji označen odsek. Ko se je označilo ½, je še vedno del dolžine ½ neoznačene, in tako se lahko označi naslednji odsek ¼. Ta privzetek ne dokazuje, da je vsota ''enaka'' 2 (čeprav je), ampak da je enaka ''največ'' 2, oziroma, da ima vrsta zgornjo mejo.

Ta vrsta je geometrična vrsta in se po navadi zapiše kot:

: <math> \sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n}= \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^{n} = 2, \quad \left( a=1, k=\frac{1}{2} \right) \!\, . </math>

Neskončno vrsto se formalno zapiše kot:

: <math> \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \!\, , </math>

kjer so členi ''a''<sub>''n''</sub> realna (ali [[kompleksno število|kompleksna]]) števila. Ta vrsta ''konvergira k'' ''S'', oziroma, je ''njena vsota enaka'' ''S'', če limita:

: <math> \lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=0}^{N} a_{n} \!\, . </math>

obstaja, in je enaka ''S''. Če takšno število ne obstaja, vrsta ''divergira''.

== Glej tudi ==

* [[Taylorjeva vrsta]]
* [[harmonična vrsta]]

== Sklici ==

{{sklici|1}}

== Viri ==

* {{navedi knjigo|last1= Jamnik|first1= Rajko|authorlink1= Rajko Jamnik|title= Matematika|year= 1985|publisher= ZOTKS|location= Ljubljana|edition=2. natis|chapter= |cobiss= 140289}}

{{-}}

{{zaporedja in vrste}}

{{math-stub}}

{{normativna kontrola}}

[[Kategorija:Matematična analiza]]
[[Kategorija:Matematične vrste| ]]