Ogled vira Wienov zakon

[[Slika:Wiens law.svg|thumb|right|300px|[[Valovna dolžina]], ki odgovarja vrhu [[elektromagnetno valovanje|sevanja]] za različne [[spekter|spektre]] [[črno telo|črnih teles]], kot [[funkcija]] [[temperatura|temperature]]]]
[[Slika:Practicalplanckerp.jpg|thumb|right|300px|Hladnejša [[žarnica]] oddaja [[rdeča|rdečo]] [[svetloba|svetlobo]], toplejša pa [[bela|belo]]]]

'''Wienov zákon''' [vínov ~] (tudi '''Wienov zakon o premiku''') je v [[fizika|fiziki]] [[fizikalni zakon|zakon]], po katerem je [[zmnožek]] [[valovna dolžina|valovne dolžine]] <math>\lambda_{0}</math> vrha [[spektralna gostota|spektralne gostote]] [[sevanje|sevanja]] [[črno telo|črnega telesa]] in njegove [[absolutna temperatura|absolutne temperature]] <math> T </math> konstanten:

: <math> \lambda_{0} T = k_{{\rm W},\lambda} \!\, . </math>

[[sorazmernostna konstanta|Sorazmernostna]] [[fizikalna konstanta]]:

: <math> k_{{\rm W},\lambda} = 2,897 \, 768 \, 5(51) \cdot 10^{-3} \ \mathrm{m \, K} \!\, </math>

je Wienova konstanta. V tej obliki konstanto označujejo tudi z <math>b\, </math>. Valovna dolžina vrha se zmanjšuje z naraščanjem temperature.

Za [[optika|optične]] valovne dolžine je za enoto večkrat pripravno uporabljati [[nanometer|nanometre]] namesto [[meter|metrov]]. V tem primeru je konstanta enaka:

: <math> k_{{\rm W},\lambda} = 2,897 \, 768 \, 5(51) \cdot 10^{6} \ \mathrm{nm \, K} \!\, . </math>

== Razlaga in vsakdanji zgledi rabe ==

[[Slika:Wien2.jpg|thumb|right|200px|[[Wilhelm Wien]]]]

Zakon je leta [[1893 v znanosti|1893]] odkril [[Wilhelm Wien]] na podlagi [[termodinamika|termodinamičnih]] privzetkov. Obravnaval je [[adiabatna invarianta|adiabatno]] razširjanje votline, ki je vsebovala svetlobno valovanje v toplotnem ravnovesju. Pokazal je, da se pri adiabatnem razširjanju ali zoževanju energija svetlobe spreminja na enak način kot [[frekvenca]]. To pomeni, da se frekvenca vrha spremeni s temperaturo. Wien ni obravnaval svoje konstante <math>k_{W}</math> kot novo osnovno konstanto narave. To je storil [[Max Planck|Planck]]. Za svoja odkritja v zvezi s sevalnimi zakoni toplote je Wien leta 1911 prejel [[Nobelova nagrada za fiziko|Nobelovo nagarado za fiziko]].

Po Wienovem zakonu je za toplejše [[telo (fizika)|telo]] valovna dolžina, pri kateri bo oddalo večino svojega sevanja, manjša. Največjo frekvenco se dobi, če se deli Wienovo konstanto z absolutno temperaturo.

=== Svetloba s Sonca in Lune ===

Površinska temperatura, oziroma točneje [[efektivna temperatura]], [[Sonce|Sonca]] je 5775,9 K. Po Wienovem zakonu ta temperatura odgovarja vrhu izseva pri valovni dolžini:

: <math> \lambda_{0} = \frac{2,8977685 \cdot 10^{6}} {5777,9} = 501,5 \ \mathrm{nm} \!\, . </math>

Ta valovna dolžina ne sovpada slučajno z najbolj občutljim delom vidne spektralne ostrine kopenskih [[živali]]. Tudi nočne živali in živali, ki lovijo v poltemi, zaznavajo [[svetloba|svetlobo]] iz večerne svetlobe in z [[Luna|Lune]], ki je odbita [[sončna svetloba]] z enako porazdelitvijo valovne dolžine. Tudi srednja valovna dolžina največje moči svetlobe [[zvezda|zvezd]] v tem obsegu, saj je Sonce v sredini običajnega temperaturnega obsega zvezd.

V članku o [[barva|barvi]] je opisan razpon, ki da [[bela|belo]] svetlobo. Zaradi [[Rayleighovo sipanje|Rayleighovega sipanja]] [[modra|modre]] svetlobe v [[ozračje|ozračju]] se ta bela svetloba razdvoji, kar povzroči, da je [[nebo]] modro, Sonce pa [[rumena|rumeno]].

Wienovo konstanto se lahko uporabi v različnih enotah.

=== Svetloba iz razžarjenih žarnic in plamenov ===

[[Žarnica]] ima žarečo nitko z nekoliko nižjo temepraturo, ki da rumeno svetlobo. Kar je »vroče rdeče«, ima spet nižjo temperaturo. Ni težko izračunati, da ima [[les]]ni [[ogenj]] pri 1500 K vrh sevanja pri valovni dolžini:

: <math> \lambda_{0} = \frac{3 \cdot 10^{6}} {1500} = 2000 \ \mathrm{nm} \!\, , </math>

ki se nahaja v [[infrardeče valovanje|infrardečem]] delu spektra, in ne v vidnem, ki sega nekako do 750 nm.

=== Sevanje sesalcev in živega človeškega telesa ===

[[sesalec|Sesalci]] pri približno 300 K sevajo pri 3 tisoč μm K / 300 K = 10 μm – zelo daleč v infrardečem delu. To je obseg infrardečih valovnih dolžin, ki ga zaznajo [[gad]]i ali pasivne IR-kamere.

=== Valovna dolžina sevanja prapoka ===

Wienov zakon velja tudi za sevanje črnega telesa, ki izhaja iz [[prapok]]a. Če je Wienova konstanta približno 3 mm K in temperatura sevanja kozmičnega ozadja prapoka približno 3 K (oziroma 2,7 K), je razvidno, da je vrh [[mikrovalovi|mikrovalovnega]] ozadja neba pri 2,9 mm K / 2,7 K = malo nad 1 mm v mikrovalovnem delu. Zato mora biti mikrovalovna oprema za [[merjenje]] [[prasevanje|kozmičnega mikrovalovnega sevanja ozadja]] občutljiva na obeh straneh tega frekvenčnega obsega.

=== Vrhovi svetlobnega toka črnih teles ===

Razpredelnica podaja vrhove izsevanega svetlobnega toka nekaterih idealiziranih črnih teles, oziroma stanj.
{| class="wikitable"
! [[absolutna temperatura|<math>T</math>]] <br />[ [[Kelvin|K]] ] !! <math>\vartheta</math> <br />[ [[Celzijeva temperaturna lestvica|°C]] ] !! [[telo (fizika)|telo]]/[[stanje sistema|stanje]] !! [[valovna dolžina|<math>\lambda_{0} </math>]] <br /> [ [[nanometer|nm]] ]
|-
| 0,0648 || -272,935 || svetlobni tok, ki ga še zazna [[človeško oko]] || 4,472{{e|7}}
|-
|   2,7277  || -270,4223  || kozmično [[mikrovalovi|mikrovalovno]] [[prasevanje|prasevanje ozadja]] || 1,062{{e|6}}
|-
| 14,01 || -259,14 || [[tališče]] vezanega [[vodik]]a || 206.835,725
|-
| 184 || -89 || najnižja izmerjena temperatura na Zemlji (1983) || 15.748,742
|-
| 273,15 || 0 || [[led]] || 10.608,708
|-
| 288 || 15 || povprečna temperatura na Zemlji || 10.061,696
|-
| 298 || 25 || [[sobna temperatura]] || 9724,055
|-
| 309,8 || 36,8 || povprečna temperatura [[človeško telo|človeškega telesa]] || 9353,675
|-
| 331 || 58 || najvišja izmerjena temperatura na Zemlji (1922) || 8754,588
|-
| 394 || 121 || Sončev izsev na robu ozračja || 7354,742
|-
| 503 || 230 || vroče varilno jeklo || 5760,971
|-
| 773 || 500 || vroča grelna naprava || 3748,730
|-
| 798 || 525 || [[črno telo]] pri [[Draperjeva točka|Draperjevi točki]] || 3631,289
|-
| 1273 || 1000 || [[rumena|rumeni]] [[plamen]] || 2276,330
|-
| 1941 || 1668 || [[taljenje|staljeni]] [[titan (element)|titan]] || 1492,926
|-
| 2041,4 || 1768,4 || staljena [[platina]] || 1419,501
|-
| 2773 || 2500 || žička [[svetilka|svetilke]] || 1044,994
|-
| 5776 || || [[fotosfera|Sončeva površina]] || 501,5
|-
| 25.000 || || srednja temperatura [[Vesolje|Vesolja]] 10.000 [[leto|let]] po [[prapok]]u || 115,911
|-
| 15,7{{e|6}} || || [[Sončevo jedro]] || 0,185
|-
| 10{{e|9}} || || izbruh [[supernova|supernove]] || 2,898{{e|-4}}
|-
| 140{{e|30}} || || * [[Planckova temperatura]] [[mikročrna luknja|mikročrne luknje]] <br /> * temperatura Vesolja 500 · 10<sup>-42</sup> [[sekunda|s]] po prapoku || 2,070{{e|-26}}
|}

== Frekvenčna oblika ==

S frekvenco <math>\nu \, </math> ima Wienov zakon obliko:

: <math>\frac{\nu_{0}}{T} = \frac{x k_{\rm B}}{h} = k_{{\rm W},\nu} \!\, , </math>

kjer je Wienova konstanta:

: <math> k_{{\rm W},\nu} = 5,878 \, 933(10) \cdot 10^{10} \ \mathrm{ s^{-1} \, K^{-1}}\!\, </math>

in <math>x \approx 2,821439...</math> konstanta, ki izhaja iz numerične rešitve enačbe za maksimum, <math>k_{\rm B}\, </math> [[Boltzmannova konstanta]], ''h'' [[Planckova konstanta]] in ''T'' absolutna temperatura. V tej obliki konstanto označujejo tudi z <math>b'\, </math>.

== Izpeljava ==

Wien je prvič izpeljal zakon leta 1893 s pomočjo [[zakoni termodinamike|zakonov termodinamike]] za [[elektromagnetno valovanje]].{{r|mehr_1982}} Kot je značilno za termodinamske privzetke, Wienova izpeljava določa funkcionalno obliko povezav, ne določa pa vrednosti Wienove konstante za valovne dolžine in frekvence. Adiabatna invarianta energija/frekvenca je le funkcija adiabatne invariante frekvence/temperature:

: <math> u(k_{\rm B},T)/\nu = F(\nu/T) \!\, </math>

Obliko funkcije ''F'' se danes pozna iz [[Planckov zakon|Planckovega zakona]] za sevanje črnega telesa:

: <math> F(\nu/T) = \frac{1}{e^{h\nu /(k_{\rm B} T)} -1} \approx \frac{1}{e^{h\nu/(k_{\rm B} T)}} \!\, . </math>

Danes se običajno Wienov zakon izpelje iz Planckovega zakona, saj na ta način da račun tudi izraza za Wienovi konstanti, izraženi z osnovnimi konstantami. Wien je za funkcijo ''F'' privzel eksponentno obliko, kar je [[Wienov približek]], približek za velike frekvence. Ne glede na to kakšno obliko ima ''F'', je lega vrha porazdelitve kot funkcije frekvence strogo sorazmerna s ''T''. 

Za običajno obliko krivulje črnega telesa je treba energijo pomnožiti z gostoto pri dani frekvenci <math>\nu</math>:

: <math> \mathrm{d}^{3}k = 4\pi |k|^{2} \mathrm{d} |k| \propto \nu^{2} \mathrm{d} \nu \!\, , </math>

tako da je ta gostota sorazmerna s kvadratom frekvence. Celotni energiji na enoto frekvence se prišteje <math>\nu^2</math> da se dobi celotno energijo pri frekvenci <math>\nu</math>:

: <math> u(\nu,T) \propto \nu^{3} F(\nu/T) \!\, . </math>

Ta izraz za gostoto s frekvenco se lahko s spremebo spremenljivk pretvori v gostoto z valovno dolžino:

: <math> u(\nu,T) \mathrm{d} \nu = u(\lambda,T) \mathrm{d} \lambda \!\, . </math>

Ker je <math>\nu=c/\lambda</math>, se dobi dodatni faktor <math>\mathrm{d} \nu / \mathrm{d} \lambda = c / \lambda^2</math>:

: <math> u(\lambda,T) \propto \frac{1}{\lambda^{5}} F(c/\lambda T) \!\, . </math>

Različni spremenljivki dodata le potenčni člen pred funkcijo ''F''. Poljubna funkcija ''U'' ima obliko:

: <math> U(x) = x^{a} F(x/T) \!\, . </math>

Lego maksimuma ali minimuma fukcije ''U'' določa njen odvod, ki se ga enači z nič:

: <math>0= \frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} x} = a x^{a-1} F(x/T ) + \frac{x^{a}}{T} \frac{\mathrm{d} F (x/T)}{\mathrm{d} x} \!\, . </math>

Člen <math>x^{a-1}</math> se poniči, tako da je:

: <math> a F(x/T) + \frac{x}{T} \frac{\mathrm{d} F (x/T)}{\mathrm{d} x} = 0 \!\, . </math>

To je enačba za <math>x/T</math>, tako da je minimum ali maksimum ''U'' v neki določeni vrednosti <math>x/T</math>, in ''x'' je vedno strogo sorazmeren s ''T''. To je zakon o premiku vrha – lega vrha je sorazmerna s temperaturo, ne glede na to ali je gostota izražena z valovnim številom, frekvenco, obratno vrednostjo valovne dolžine ali s katerikoli spremenljivko, kjer je jakost pomnožena s potenco te spremenljivke.

Točna številčna lega vrha porazdelitve je odvisna od tega kako se jo obravnava – ali z valovnim številom, na enoto frekvence, na enoto valovne dolžine, saj ima potenčni zakon pred funkcijo ''F'' različne oblike.

=== Oblika za valovne dolžine ===

Spektralna gostota črnega telesa je po Planckovem zakonu enaka:

: <math> u(\lambda,T) = \frac{2\pi h c^{2}}{\lambda^{5}} \frac{1}{e^{h c/(k_{\rm B} T \lambda)}-1} \!\, . </math>

Išče se vrednost za <math>\lambda</math>, kjer ima [[funkcija]] [[ekstrem funkcije|maksimum]]. Odvaja se funkcijo <math>u(\lambda,T)</math> po <math>\lambda</math> in enači z 0:

: <math> \frac{ \partial u}{\partial \lambda } = 8\pi h c \left( \frac{hc}{k_{\rm B} T \lambda^{7}} \frac{e^{h c/(k_{\rm B} T \lambda)}} {\left(e^{h c/(k_{\rm B} T \lambda )}-1\right)^2} - \frac{1} {\lambda^{6}} \frac{5} {e^{h c/(k_{\rm B} T \lambda)}-1} \right) = 0 \!\, . </math>

Po urejanju se dobi:

: <math> \frac{hc}{k_{\rm B} T \lambda} \frac{1}{1-e^{-h c/(k_{\rm B} T \lambda)}} - 5 = 0 \!\, . </math>

Če se uvede novo spremenljivko:

: <math> x \equiv \frac{hc}{k_{\rm B} T \lambda } \!\, , </math>

se dobi:

: <math> \frac{x}{1-e^{-x}} - 5 = 0 \!\, . </math>

Enačbo se ne da rešiti na elementaren način. Reši se jo s pomočjo [[Lambertova funkcija W|Lambertove funkcije W]]. Rešitev je:

: <math> x = 5 + W\left( \frac{-5}{e^{5}}\right) = 4,965114231744276 \ldots \!\, . </math>

Wienov zakon ima tako obliko:

: <math>\lambda_{0} T = \frac{hc}{x k_{\rm B}} = 0,20140525\ldots \frac{hc}{k_{\rm B}} =
 2,89776829\ldots \cdot 10^{-3} \ \mathrm{m \, K} </math>.

=== Oblika za frekvence ===

Podobno se dobi frekvenčno obliko iz Planckovega zakona za frekvence:

: <math> u(\nu,T) = \frac{2\pi h \nu^{3}}{c^{2}} \frac{1}{e^{h\nu/(k_{\rm B}T)}-1} \!\, . </math>

Odvaja se funkcijo <math>u(\nu,T)</math> po <math>\nu</math> in enači z 0:

: <math> \frac{ \partial u}{\partial \nu } = \frac{2\pi h}{c^{2}} \left( \frac{3\nu} {e^{h \nu/(k_{\rm B} T)}-1} - \frac{h\nu^{2}}{k_{\rm B} T} \frac{e^{h \nu/(k_{\rm B} T)}} {\left(e^{h \nu/(k_{\rm B} T)}-1\right)^2} \right) = 0 \!\, . </math>

Če se uredi, se dobi:

: <math> 3 - \frac{h\nu}{k_{\rm B} T}\frac{1}{1-e^{-h\nu/(k_{\rm B} T)}} = 0 \!\, </math>

in uvede se novo spremenljivko:

: <math>x = \frac{h\nu}{k_{\rm B} T} \!\, , </math>

kar da:

: <math>3 - \frac{x}{1-e^{-x}} = 0 \!\, . </math>

Rešitev je podobna:

: <math> x = 3 + W\left( \frac{-3}{e^{3}}\right) = 2,821439372122079 \ldots \!\, , </math>

Wienov zakon pa ima obliko:

: <math>\frac{\nu_0}{T} = \frac{x k_{\rm B}}{h} = 5,87893280\ldots \cdot 10^{10} \ \mathrm{s^{-1} \, K^{-1}} \!\, . </math>

== Značilnosti ==
[[Slika:Lambert Wien 001.png|thumb|right|300px|Graf funkcije <math>\frac{x + W\left( -x/e^{x}\right)}{y + W\left( -y/e^{y}\right)}</math>. Pri <math>x=5</math>, <math>y=3</math> je vrednost funkcije <math>1,759780586 \ldots </math>]]

Ker ima spekter v Planckovem zakonu različno obliko za frekvenco in valovno dolžino, frekvenčni vrhovi ne ustrezajo vrhovom valovnih dolžin s preprosto zvezo med frekvenco, valovno dolžino in [[hitrost svetlobe|hitrostjo svetlobe]]:

: <math> c = \lambda \nu \!\, . </math>

Tako velja:

: <math> \frac {c}{\lambda_{0} \nu_{0}} > 1 \!\, </math>

in:

: <math>\begin{align}
\frac {c}{\lambda_{0} \nu_{0}} & = \frac{c}{k_{{\rm W},\lambda} \, k_{{\rm W},\nu}} = \frac{5 + W\left( -5/e^{5}\right)}{3 + W\left(-3/e^{3}\right)} \\
                               & = 1,759780586 \ldots \!\, . \\
\end{align} </math>

Wienovi konstanti sta:

: <math> k_{{\rm W},\lambda} = \frac{c_{2}}{5 + W\left( -5/e^{5}\right)} \!\, , </math>
: <math> k_{{\rm W},\nu} = \left[3 + W\left(-3/e^{3}\right) \right] \frac{c}{c_{2}} \!\, , </math>

izraženi z drugo sevalno konstanto:

: <math> c_{2} = \frac{h c}{k_{\rm B}} \!\, . </math>

== Sklici ==

{{refbegin|4|normalfont=yes}}
{{sklici|refs=
<ref name="mehr_1982">{{sktxt|Mehra|Rechenberg|1982}}.</ref>
}}
{{refend}}

== Viri ==

{{refbegin|1|normalfont=yes}}
* {{navedi knjigo|last= Mehra|first= Jagdish|last2= Rechenberg|first2= Helmut|title= The Historical Development of Quantum Theory|volume= Volume 1 Chapter 1|publisher= Springer|date= 1982|isbn= 0-387-90675-4|cobiss= 144996}}
* {{navedi knjigo|last= Strnad|first= Janez|authorlink= Janez Strnad|year= 1978|title= Fizika, 2. del, Elektrika, Optika|publisher= DZS|location= Ljubljana|pages= 524|cobiss= 4164097}}
{{refend}}

== Glej tudi ==

* [[Sakuma-Hattorijeva enačba]]

== Zunanje povezave ==

* [http://scienceworld.wolfram.com/physics/WiensDisplacementLaw.html Eric Weisstein's World of Physics] {{ikona en}}

{{zakoni o sevanju črnega telesa}}

[[Kategorija:Fizikalni zakoni]]
[[Kategorija:Statistična mehanika]]
[[Kategorija:Optika]]
[[Kategorija:1893 v znanosti]]