Ogled vira Zgodovina števila π

{{DISPLAYTITLE:Zgodovina števila ''π''}}
[[Slika:Squaring the circle.svg|thumb|right|200px|[[Krog]] in [[kvadrat (geometrija)|kvadrat]] z enako [[ploščina|ploščino]]. Kvadrat ima [[stranica|stranico]] <math>\sqrt{\pi}</math>, če je [[polmer]] kroga enak [[1 (število)|1]]]]

Članek obravnava zgodovino [[računanje|računanja]] [[številska vrednost|številskih vrednosti]] in [[približek|približkov]] ter ugotavljanja značilnosti [[matematična konstanta|matematične konstante]] [[pi|''π'']]. Zgoščeni pregled podaja preglednica [[časovni pregled računanja števila π|časovni pregled računanja števila ''π'']].

[[Število]] ''π'' je že dolgo znano. Simbol zanj je predlagal leta 1706 [[William Jones (matematik)|Jones]]. Leta 1737 je [[Leonhard Euler|Euler]] prevzel Jonesov zapis števila in kmalu je postal standarden. Pred tem je Euler uporabljal črko ''p''.

Ker je ''π'' [[transcendentno število]], zanj ne obstajajo lepi sklenjeni izrazi. Zaradi tega je treba pri računanju vzeti njegove približke. Za mnogo praktičnih tehniških primerov so na primer dovolj: vrednost 3,14, neregularni [[ulomek]]:

: <math> \frac{22}{7} = 3,\overline{142857}142857142857\ldots \!\, </math>

z dolžino periode 6 {{OEIS|id=A236250}}, ali ulomek:

: <math> \frac{333}{106} = 3,1\overline{4150943396226}41509433962264150943396226\ldots \!\, </math>

z dolžino periode 13, čeprav [[inženir]]ji velikokrat uporabljajo 3,1416 (5 števk) ali 3,14159 (6 števk) za še boljšo [[točnost in natančnost|točnost]]. Preprost in lahko zapomljiv ulomek:

: <math> \begin{align}
\frac{355}{113} =
3 &,    \overline{14159292035398230088495575221238938053097345132743362831} \\
  &\,\, \overline{85840707964601769911504424778761061946902654867256637168} \!\, \end{align} </math>

s prvimi tremi [[liho število|lihimi števili]] je večji od ''π'' in točen na 7 [[števka|števk]], njegova perioda pa ima dolžino 112. Imenuje se tudi [[Adriaan Metius|Metius]]ovo število.<ref>{{sktxt|Grasselli|2008|p=452}}.</ref>{{rp|452}}<ref>{{sktxt|Žabkar|1956|p=47}}.</ref>{{rp|4}}

Neskončni [[navadni verižni ulomek|navadni]] [[verižni ulomek]] za ''π'' je {{OEIS|id=A001203}}:

: <math> \begin{align}
\pi &= 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}} \\ 
    &\equiv [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,3,13,1,4,2,6,6,\cdots ] \!\, \end{align} </math>

s prvimi konvergenti:

: <math> \pi = \left\{ 3, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \frac{103993}{33102}, \frac{104348}{33215}, \frac{208341}{66317}, \frac{312689}{99532}, \frac{833719}{265381}, \frac{1146408}{364913}, \frac{4272943}{1360120}, \cdots \right\} \!\,  </math>

in približno vrednostjo, izpisano na prve 204 in zadnjih 150 od 12,1 [[bilijon]]ov in petdeset decimalk [[desetiški številski sestav|desetiško]] {{OEIS|id=A000796}}:

: <math> \begin{align}
          \pi &= 3, 14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781 \\
    &\quad\quad\,\, 64062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822 \\
    &\quad\quad\,\, 31725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428 \\
    &\quad\quad\,\,\cdots \\
    &\quad\quad\,\, 23236325197260136778424417602273235908925620919959685099348545143511 \\
    &\quad\quad\,\, 58738110030240150625991743930275284098399741406723534319030217752125 \\
    &\quad\quad\,\, 72721740258075 \ldots \!\, \end{align} </math>
[[Slika:Cercle9Carre8.svg|thumb|right|200px|[[Ploščina kroga]] iz [[Rhindov papirus|Rhindovega papirusa]]]]

Prvi [[praštevila|praštevilski]] števci konvergentov navadnega verižnega ulomka za ''π'' so {{OEIS|id=A086785}}:

: 3, 103993, 833719, 4272943, 411557987, 7809723338470423412693394150101387872685594299, ...

imenovalci pa {{OEIS|id=A086788}}:

: 7, 113, 265381, 842468587426513207, ...

== Zgodnja računanja ==

[[Sumerija|Sumerci]] (okoli leta 2000 pr. n. št.) niso našli boljšega približka za ''π'', kot je tudi poznejši biblijski ''π'' = 3, pri čemer naj bi bila [[ploščina]] kroga enaka 1/12 [[kvadrat (geometrija)|kvadrat]]a njegovega [[obseg]]a, kar je hkrati ničti približek z navadnim končnim verižnim ulomkom:

: <math> \pi r^2 = \frac{(2\pi r)^2}{12}, \quad\hbox{oziroma}\quad \pi = \frac{12}{4} = [3] = 3 \,\! . </math>

To spoznanje je verjetno še starejše. Pozneje, okoli leta 1900 pr. n. št., so uporabljali tudi približek:

: <math> \pi = [3; 8] = \left\{ 3, \frac{25}{8} = 3,125 \right\} \,\! , </math>

kar je skoraj 0,5 % točno.

Indijski astronom [[Sage Jadžnavalkja|Jadžnavalkja]] je v delu ''Šatapatha Brahmana'' okoli leta 1800  pr. n. št. podal astronomske približke, ki dajo vrednost:

: <math> \begin{align}
\pi &= [3; 7, 5] \\
    & = \left\{ 3, \frac{22}{7} = 3,\overline{142857}, \frac{91}{29} = 3,\overline{1379310344827586206896551724}, \frac{113}{36} = 3,13\overline{8} \right\} \,\! , \end{align} </math>

kar je zaokroženo točno na dve decimalki.

Staroegipčanski pisar [[Ahmes]] je okoli leta 1650 pr. n. št. zapisal najstarejše znano [[besedilo]], ki podaja približno vrednost za ''π''. [[Rhindov papirus]] je nastal nekako v 17. stoletju pr. n. št. in opisuje vrednost približka 256/81 ali 3,160. Dolg je 20 [[meter|m]] in širok 33 [[centimeter|cm]], odkrili pa so ga leta 1858. V njem je zbranih 84 aritmetičnih, algebrskih in geometrijskih nalog z rešitvami. V njem piše, da je ploščina kroga enaka ploščini kvadrata s stranico 8/9 premera tega kroga:

: <math> \pi r^{2} = \left( \frac{8}{9} 2 r\right)^{2} \!\, , </math>

oziroma:

: <math> \pi = [3;6,4,3] = \left\{ 3, \frac{19}{6} = 3,1\overline{6}, \frac{79}{25} = 3,16, \frac{256}{81} = 3,\overline{160493827} \right\} \,\! . </math>

Kako so geometri v [[svetišče|svetiščih]] prišli do te številke, se danes ne ve več. Morda ta vrednost števila predstavlja [[srednja vrednost|srednjo vrednost]] med polovičnima obsegoma dveh pravilnih mnogokotnikov z 12 stranicami, enega včrtanega in enega očrtanega krožnici s polmerom 1:

: <math> \pi = 6(\sin 15^{\circ} + \mathrm{tg}\, 15^{\circ}) = 3,16060942520186081 \ldots \,\!  </math>

kar da verižni ulomek:

: <math> \pi = [3; 6, 4, 2, 2, 1, 1, 2, 6, 1, 12, \cdots] \!\, </math>

in približke:

: <math> \pi = \left\{ 3, \frac{19}{6}, \frac{79}{25}, \frac{177}{56}, \frac{433}{137}, \frac{610}{193}, \frac{1043}{330}, \frac{2696}{853}, \frac{17219}{5448}, \frac{19915}{6301}, \frac{256199}{81060}, \cdots \right\} \!\, . </math>

Tudi v [[Stara zaveza|Stari zavezi]] je na podlagi besedila mogoče razbrati vrednost za ''π'', ki znaša okroglih 3. V Stari zavezi je navedena sumerska vrednost ''π'' v zvezi z velikim premičnim umivalnikom, ki so ga zaradi velikosti imenovali »ulito morje« in, ki je od okoli leta 968 pr. n. št. stal v [[Salomonov tempelj|Salomonovem templju]] v [[Jeruzalem]]u:

:: »''Nato je naredil ulito morje. Od enega roba do drugega je merilo deset komolcev, bilo je okrogle oblike, pet komolcev visoko, trideset komolcev pa je znašal njegov obseg.''« ({{Bibl|1 Kr 7,23}}).

Po tem zapisu je razmerje med obsegom in premerom kroga enako kot sumersko:

: <math> \pi = \frac{30}{10} = 3 \,\! . </math>

Poleg sumerskih in [[Judje|judovskih]] »meritev« so to vrednost v tem času privzeli tudi [[Kitajci]].

Indijski [[džainizem|džainistični]] matematiki so okoli leta 500 pr. n. št. v svojih svetih knjigah uporabljali vrednost za ''π'' s pripadajočimi začetnimi približki neskončnega verižnega ulomka:

: <math> \begin{align}
 \pi &= \sqrt{10} = [3;6,6,6,6,6,6,5,1,118,23, \cdots] \\
     &=  \left\{ 3, \frac{19}{6}, \frac{117}{37}, \frac{721}{228}, \frac{4443}{1405}, \frac{27379}{8658}, \frac{168717}{53353}, \frac{870964}{275423}, \frac{1039681}{328776}, \frac{1235533322}{39070991}, \frac{2842766087}{898961569}, \cdots \right\} \\
     &= 3,1622776601683795 \ldots \,\! . \end{align} </math>

Ta približek so uporabljali tudi arabski matematiki. Ker je <math>\sqrt{10}</math> [[kvadratno iracionalno število]], je prava vrednost:

: <math> \begin{align}
 \sqrt{10} &= \sqrt{3^{2}+1} = [3,\overline{2\cdot 3}] = [3,\overline{6}] \\
           &= \left\{ 3, \frac{19}{6}, \frac{117}{37}, \frac{721}{228}, \frac{4443}{1405}, \frac{27379}{8658}, \frac{168717}{53353}, \frac{1039681}{328776}, \frac{6406803}{2026009}, \frac{39480499}{12484830}, 
 \ldots \right\} \\
           &= 3,16227766016837933199889354443 \ldots \!\, . \end{align} </math>

V džainističnih verskih knjigah ''[[Šulba sutra|Šulvasutrama]]'' in ''Surja-sidhati'' so za ''π'' navedene vrednosti ''π'' = 3 do 3,16 in ''π'' = 3,06 do 3,08, saj so tedanji matematiki uporabljali vrednost s pripadajočimi začetnimi približki neskončnega verižnega ulomka:<ref>{{sktxt|Razpet|2020|pp=36}}.</ref>

: <math> \begin{align}
 \pi &= \left( \frac{6}{2 + \sqrt{2}} \right)^2 = 18 \left(3 - 2 \sqrt{2} \right) = [3;11,1,10,1,100,1,100,11,1,7] \\ 
     &= \left\{3, \frac{34}{11}, \frac{105}{34}, \frac{1084}{351}, \frac{1189}{385}, \frac{119984}{38851}, \frac{121173}{39236}, \frac{1331714}{431211}, \frac{14770027}{4782557}, \frac{16101741}{41278933}, \frac{127482214}{41278933} \right\} \\
     &= 3,08831175456981894 \ldots \,\! . \end{align} </math>

Prava vrednost je:

: <math> \begin{align}
 \left( \frac{6}{2 + \sqrt{2}} \right)^2 &= [3;11,\overline{3,10,1,100,1,10}] \\ 
                                         &= \left\{3, \frac{34}{11}, \frac{105}{34}, \frac{1084}{351}, \frac{1189}{385}, \frac{119984}{38851}, \frac{121173}{39236}, \frac{1331714}{431211}, \ldots \right\} \\ 
                                         &= 3,08831175456857824 \ldots \,\! . \end{align} </math>

Uporabljali so tudi še približka:

: <math> \pi = [3;16] = \left\{ 3, \frac{49}{16} \right\} = 3,0625 \,\! </math>

in

: <math> \pi = \frac{8(4 + 100) + 62000)}{20000} = \frac{62832}{20000} = [3;7,16,11] = \left\{3, \frac{22}{7}, \frac{355}{113}, \frac{3927}{1250} \right\} = 3,1416 \,\! . </math>

Kako so prišli do tega rezultata, ni znano, čeprav je do tedaj daleč najboljši približek. V Indiji so ga uporabljali še tisoč let pozneje.

[[Karl Popper|Popper]] je domneval, da je [[Platon]] (427 pr. n. št.–347 pr. n. št.) morda poznal približek:

: <math> \begin{align}
 \pi &= \sqrt{2} + \sqrt{3} = [3;6,1,5,7,1,1,4,1,38,43,1,3,2,1,1,1,1,2,4,\cdots ] \\
     &= \left\{3, \frac{19}{6}, \frac{22}{7}, \frac{129}{41}, \frac{925}{294}, \frac{1054}{335}, \frac{1979}{629}, \frac{8970}{2851}, \frac{10949}{3480}, \frac{425032}{135091}, \ldots \right\} \\
     &= 3,1462643699419723 \ldots \!\, , \end{align} </math>

točen na dve decimalki. Platon naj bi verjel, da je ta vrednost točno enaka ''π'', zaradi česar je bil tudi prepričan v vsezmožnost matematične [[geometrija|geometrije]]. 

Starogrški matematiki so okoli leta 310 pr. n. št. uporabljali znani prvi približek z navadnim končnim verižnim ulomkom ''π'' = [3; 7] = 22/7, ki so ga prav gotovo poznali tudi v starem Egiptu. Iz geometrije piramid iz [[Giza|Giz]] po točnem računu izhaja še malo boljši približek od zadnjega:

: <math> \begin{align}
\pi = & \frac{20\sqrt{2}}{9} = [3;7,127,7,6,7,3,1,1,18,24] \\
    = &\left\{3, \frac{22}{7}, \frac{2797}{890}, \frac{19601}{6237}, \frac{120403}{38312}, \frac{862422}{274421}, \frac{2707669}{861575}, \frac{3570091}{1135996}, \frac{6277760}{1997571}, \frac{116569771}{37092274}, \right. \\
      &\left. \frac{2687382493}{855119873}, \frac{2803952264}{892212147} \right\} = 3,14269680527001388 \ldots \,\! , \end{align} </math>

vendar pa velja le to, da se tak račun izvede danes in ni znano, ali je ta približek sam prišel v geometrijo piramid ali so ga zavestno vgradili. Prava vrednost je:

: <math> \frac{20\sqrt{2}}{9} = [3;\overline{7,127,7,6}] \,\! , </math>
: <math> \frac{20\sqrt{2}}{9} = \left\{ 3, \frac{22}{7}, \frac{2797}{890}, \frac{19601}{6237}, \frac{120403}{38312}, \frac{862422}{274421}, \ldots \right\} = 3,14269680527354455 \dots \,\! . </math>

Če se ga prevede na navadni ulomek, se dobi še en lep in dokaj točen približek:

: <math> \begin{align}
 \pi &= [3;7,16,592,2] \\
     &= \left\{ 3, \frac{22}{7}, \frac{355}{113}, \frac{210182}{66903}, \frac{210537}{67016}, \frac{420719}{133919} \right\} = 3,1415930525168198697227 \dots \,\! . \end{align} </math>

[[Evklid]] (okoli 365 pr. n. št.–275 pr. n. št.) je v svojem geometrijskem zborniku ''[[Elementi (Evklid)|Elementi]]'' podal opredelitev kroga in povezavo med njegovim obsegom <math>o\, </math>, ploščino <math>p\, </math> in polmerom <math>r\, </math>, ki je, delno v današnji pisavi:

: <math> o = 2\pi_{1} r \quad\hbox{in}\quad p = \pi_{2} r^2 \,\! . </math>

Zanj so bile ploščine krogov sorazmerne s kvadrati polmerov, pri čemer pa sorazmernostne konstante ''π'' še ni omenjal.
[[Slika:Archimedes pi.svg|thumb|right|200px|[[Arhimed]]ova metoda računanja števila ''π'']] 

[[Arhimed]] (287 pr. n. št.–212 pr. n. št) je okoli leta 230 pr. n. št. v svojem delu ''[[Merjenje kroga]]'' ({{jezik-el2|Κύκλου μέτρησις}}) s konceptom [[infinitezimala|neskončno majhne količine]] in [[metoda izčrpavanja|metodo izčrpavanja]] našel približek za obseg kroga z včrtanimi in očrtanimi pravilnimi mnogokotniki s 6, 12, 24, 48 in 96 stranicami. Ko je razširil aproksimacijo na mnogokotnike s številom stranic ''n'' = 96 = 2<sup>5</sup> ·. 3, je odkril:

: <math> \frac{223}{71} = [3;7,10] < \frac{2^{8}\cdot 3^{2}\cdot 11}{8069} = \frac{25344}{8069} = [3;7,10,2,1,36] < \pi \,\! </math>

: <math> \pi < \frac{2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 17}{13\cdot 719} = \frac{29376}{9347} = [3;7,667,2] < \frac{22}{7} \,\! , </math>

oziroma <math> \pi = 3,14185110664 \,\! . </math>

Če se označi na zgornji način, v današnji pisavi razmerje med obsegom <math>o = 2\pi r\, </math> in premerom kroga <math>2r\, </math> s <math>\pi_{o}</math> in razmerje med ploščino kroga <math>p = \pi r^{2}</math> in ploščino kvadrata okrog [[očrtana krožnica|očrtane krožnice]] <math>(2r)^{2}</math> s <math>\pi_{p}</math>, se vidi, da razmerji <math>\pi_{o}/\pi_{p}</math> nista odvisni od velikosti kroga. To so vedeli že Sumerci in stari Egipčani. Niso pa vedeli, da sta obe števili <math>\pi_{o}</math> in <math>\pi_{p}</math> v ozki medsebojni zvezi. To nista vedela niti [[Pitagora]], niti Evklid in vsa starogrška matematična šola pred Arhimedom. Da velja razmerje <math>\pi_{o} = 4\pi_{p}</math>, ne glede na velikost kroga, so odkrili starogrški matematiki malo pred Arhimedom v začetku 4. stoletja pr. n. št. Arhimed je dalje dokazal, da sta obe števili pravzaprav isti in da v zgornjih enačbah za ploščino in obseg kroga nastopa ena konstanta, kar ni bilo samo po sebi razumljivo. Pred njim so uporabljali popolnoma dve različni vrednosti ''π''.<ref name="richeson_2013">{{sktxt|Richeson|2013}}.</ref> Konstanta obsega je enaka konstanti ploščine <math>o/2r = p/r^{2}\, </math>. Evklid je v svojih ''Elementih'' dokazal konstanto ploščine za kroge (<math>p/r^{2}\, </math>, 12. knjiga, trditev 2). Ni pa nikjer omenjal razmerja <math>o/2r\, </math> ali česar koli podobnega. Arhimed je v ''Merjenju kroga'' dokazal, da velja (trditev 1):

: <math> p = \frac{or}{2} \!\, , </math>

nikjer pa sicer ni eksplicitno navedel, da je razmerje <math>o/2r\, </math> konstanta. Vendar to dejstvo posredno izhaja iz njegovega dela in poleg prve trditve iz ''Merjenja kroga'' je treba Evklidovim izrekom dodati dva njegova aksioma iz dela ''[[O krogli in valju]]'':

: <math> \frac{o}{2r} = \left( \frac{2p}{r} \right) \frac{1}{2r} = \frac{p}{r^{2}} = \pi \!\, . </math>

[[Heron]] (okoli 20–okoli 100) je uporabljal vrednost:

: <math> \pi = [3;5,1,3,16,2,5] = \left\{ 3, \frac{16}{5}, \frac{19}{6}, \frac{73}{23}, \frac{1187}{374}, \frac{2447}{771}, \frac{15869}{5000} \right\} = 3,1738 \!\, . </math>

[[Čang Heng]] (78–139) je v eni od svojih enačb za izračun prostornine krogle uporabljal džainistično različico <math>\pi = \sqrt{10}</math>. Do te sicer ne najbolj točne vrednosti, se je dokopal po teoretični poti in ne po praktični, kot mnogi pred njim. V enem od svojih del ''Líng ksiàn'' je navedel tudi približek 730/232 s periodo dolžine 28, oziroma :

: <math> \pi = [3;6,1,4,1,2] = \left\{ 3, \frac{19}{6}, \frac{22}{7}, \frac{107}{34}, \frac{129}{41}, \frac{236}{75}, \frac{365}{116} \right\} = 3,14\overline{6551724137931034482758620689} \!\, . </math>

[[Ptolemej]] (okoli 85–okoli 170) je okoli leta 150 izračunal vrednost v [[šestdesetiški številski sistem|šestdesetiškem  številskem sistemu]] in dobil:

: <math> \pi = 3,0830_{[60]} = 3 + \frac{8}{60} + \frac{30}{60^{2}} = [3;7,17] = \left\{3, \frac{22}{7}, \frac{377}{120} \right\} = 3,141\overline{6} \,\! . </math>

Uporabljal je tudi Arhimedovo zgornjo vrednost ''π'' = 22/7 in 355/113, katere izvor je neznan. Dober zgodovinski približek v šestdesetiškem sistemu je tudi:

: <math> \begin{align}
\pi &= 3,082944_{[60]} = 3 + \frac{8}{60} + \frac{29}{60^{2}} + \frac{44}{60^{3}} = [3;7,15,1,238] \\
    &= \left\{3, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \frac{84823}{27000} \right\} = 3,141\overline{592} \,\! , \end{align} </math>

ki vsebuje prve štiri konvergente, in je točen na 6 decimalk. Naslednja števka v 60. sistemu je 0.

[[Vang Fan]] (229–267) je uporabljal približek:

: <math> \pi = [3;6,2,3] = [3;6,2,2,1] = \left\{3,  \frac{19}{6},  \frac{41}{13},  \frac{101}{32}, \frac{142}{45} \right\} = 3,1\overline{5} \,\! . </math>

[[Liu Hui]] (okoli 220–okoli 285) je okoli leta 250 neodvisno od Arhimeda po isti metodi z aproksimacijo mnogokotnika s številom stranic ''n'' = 3072 = 2<sup>10</sup> · 3 (3079) dobil vrednost za ''π'' 3,14159, oziroma približek: 

: <math> \begin{align}
\pi &\approx 768 \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2+1}}}}}}}}} \\
    &= [3;7,15,1,30,1,14,4,24,11,1,4,7,1,14,1,1,1,1,4,5,1,1,1,5,1,3,1,4,6,1,1,1,1, \cdots ] \\
    &= \left\{ 3, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \frac{10983}{3496}, \frac{11338}{3609}, \frac{169715}{54022}, \frac{690198}{219697}, \frac{16734467}{5326750}, \frac{184769335}{58813947}, \frac{201503802}{64140697}, \ldots \right\} \\
    &= 3,141590463228050095738458505930951723554 \ldots \!\, . \end{align} </math>
[[Slika:Cutcircle2.svg|thumb|right|200px|[[Liu Hui|Hui]]jev način reševanja z vrčtanimi mnogokotniniki]]

Dal je tudi približka:

: <math> \pi = [3;7,7] = \left\{3, \frac{22}{7}, \frac{157}{50} \right\} = 3,14 \!\, </math>

in:

: <math> \pi = [3;7,16,11] = \left\{3, \frac{22}{7}, \frac{355}{113}, \frac{3927}{1250} \right\} = 3,1416 \!\, . </math>

[[Lin Či]] je okoli leta 289 uporabljal sumersko različico ''π'' = 25/8. Malo pozneje je [[Ču Čungdži]] (429–501) leta 470 neodvisno od Ptolemeja našel vrednost tretjega približka z navadnim končnim verižnim ulomkom (密率, Milu):

: <math> \pi = [3;7,16] = \left\{3, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113} \right\} = 3,\overline{14159292035398230\ldots} \,\! .</math>

Kako je prišel do rezultata, ni znano, najverjetneje pa je približek dobil po [[mnogokotnik|mnogokotniški]] metodi s [[krog]]u včrtanim pravilnim mnogokotnikom s številom stranic ''n'' = 24576 = 2<sup>13</sup> · 3. Uporabljal je tudi vrednost 22/7 (约率, Juelu). Okoli leta 480 je prvo vrednost še točneje omejil z:

: <math> [3;7,15,1,243,1,1,9,1,1,4] = 3,1415926 < \pi
   < 3,1415927 = [3;7,15,1,354,2,6,1,4,1,2] \,\! , </math>

s čimer je imel pravilnih kar 7 decimalk. Srednja vrednost da približek:

: <math> \begin{align}
\pi = &[3;7,15,1,288,1,2,1,3,1,7,4] \\
    = &\left\{ 3, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \frac{102573}{32650}, \frac{102928}{32763}, \frac{308429}{98176}, \frac{411357}{130939}, \frac{1542500}{490993}, \frac{1953857}{621932}, \right. \\ 
     &\left. \frac{15219499}{4844517}, \frac{62831853}{20000000} \right\} = 3,14159265 \!\, , \end{align} </math>

ki je točen na 8 decimalk.

== Srednji vek ==

Tudi [[Aryabhata I.]] (476–550) je uporabljal že znani dober približek, ki ga je podedoval od staroindijske džainistične matematike. V svojem matematičnem delu ''[[Arjabhatija]]'' iz leta 498 (499) je zapisal: 
:: »''Štiri prišteto k sto in pomnoženo z osem''
:: ''prištej k dvaišestdeset tisoč,''
:: ''pa boš dobil [[krog]]a približen obseg''
:: ''s premerom dveh desettisočev.''« 

Iz zapisa sledi:

: <math> \begin{align}
\pi = &\frac{o}{2 r} = \left\{ \frac{104 \cdot 8+62000}{2 \cdot 10000} = 3, \frac{22}{7} = \frac{2 \cdot 11}{7}, \frac{355}{113} = \frac{5 \cdot 71}{113}, \frac{8(4+100)+62000}{20000} = \frac{62832}{20000}, \right. \,\! \\
      &\left. \frac{3927}{1250} = \frac{3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 17}{2 \cdot 5^4} \right\} = [3;7,16,11] = 3,1416 \,\! . \end{align} </math>
[[Slika:Quadratur Franco.svg|thumb|right|200px|[[Franco von Lüttich|Lüttich]]eva [[kvadratura kroga]] iz 11. stoletja]]

Izvor tega približka pri njem ni znan, morda je do njega prišel po mnogokotniški metodi z [[mnogokotnik]]om s številom stranic ''n'' = 384 = 2<sup>7</sup> · 3. [[Brahmagupta]] (598–668) je okoli leta 625 uporabljal že znano džainistično vrednost <math>\pi = \sqrt{10}</math>. [[Bhaskara|Bhaskara II.]] (1114–1185) je okoli leta 1150 za običajno delo uporabljal <math>\pi = \sqrt{10}\, </math>, za točno vrednost Aryabhatov približek <math>\pi = 3927/1250\, </math> in za približno vrednost Arhimedov zgornji približek ''π'' = 22/7. 

[[Leonardo Fibonacci|Fibonacci]] (1170–1250) je prišel v svoji knjigi ''Praktična geometrija'' (''Practica Geometriae''), napisani leta 1220, z računanjem obsega krožnice, oziroma ploščine kroga, na osnovi krožnici včrtanih in očrtanih pravilnih mnogokotnikov do vrednosti:

: <math> \begin{align}
  \pi &= [3;7,19,6,6] = \left\{ 3, \frac{22}{7} = \frac{2\cdot 11}{7},
     \frac{421}{134} = \frac{421}{2\cdot 67},
     \frac{2548}{811} = \frac{2^2 \cdot 7^2 \cdot 13}{811},
     \frac{15709}{5000} = \frac{23\cdot 683}{2^3 \cdot 5^4} \right\} \\
      &= 3,1418 \,\! . \end{align} </math>

Našel je tudi racionalni približek:

: <math> \pi = [3;7,19,2] = \left\{ 3, \frac{22}{7}, \frac{421}{134},
     \frac{864}{275} = \frac{2^5 \cdot 3^3}{5^2 \cdot 11} \right\} =
      3,14\overline{18} \,\! . </math>

[[Madhava]] (1350–1425) je zapisal neskončno vrsto za ''π'':

: <math> \pi = 4 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = 4 \left( 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \cdots \right) \,\! , </math>

ki jo je dobil iz [[potenčna vrsta|potenčne vrste]] za funkcijo [[arkus tangens]]. Podal je tudi člen z ostankom <math>R_{k}</math> za napako po ''k''-členih. Člen je zapisal v treh oblikah:

: <math> R_{n} = \frac{1}{4n} \!\, , </math>
: <math> R_{n} = \frac{n}{4n^{2}+1} \!\, , </math>
: <math> R_{n} = \frac{n^{2}+1}{4n^{3}+5n} \!\, . </math>

Tretja oblika da zelo točen približek za ''π''. Ni znano, kako je prišel do teh členov. Leta 1400 je prek neskončne vrste:

: <math>\pi = \sqrt{12} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left( - \frac{1}{3} \right)^{n}}{2n+1} = \sqrt{12}\left( 1 - \frac{1}{3\cdot 3} + \frac{1}{5\cdot 3^{2}} - \frac{1}{7\cdot 3^{3}} + \frac{1}{9\cdot 3^{4}} - \frac{1}{11\cdot 3^{5}} + \cdots \right) \,\! </math>

s prvimi 21. členi izračunal ''π'' na 11 desetiških mest 3,14159265359. Z drugo metodo, kjer je neskončni vsoti dodajal zadnji člen z ostankom <math>(n^{2} + 1)/(4n^{3} + 5n) \,\! </math>, je izboljšal rezultat in z vrednostjo ''n'' = 76 zapisal ''π'' na 13 pravilnih decimalk 3,1415926535898. Njegova približka sta bila od 5. stoletja najbolj točna. V delu ''Sadratnamala'', ki je verjetno nastalo pred Madhavo, je navedena vrednost ''π'' = 3,14159265358979324, točna na 17 decimalk. 

[[Gijasedin al-Kaši|Al-Kaši]] (okoli 1370–1429) je v ''Traktatu o krožnici'' julija 1424 izračunal približek ''π'' na 9 decimalk točno v 60. sistemu:

: <math> {2\pi} = 6,165928013451461450_{[60]} = 6 + \frac{16}{60}+\frac{59}{60^{2}}+\frac{28}{60^{3}}+\frac{1}{60^{4}}+\frac{34}{60^{5}}+\frac{51}{60^{6}}+\frac{46}{60^{7}}+\frac{14}{60^{8}}+\frac{50}{60^{9}} \,\! , </math>

oziroma v [[desetiški številski sistem|desetiškem sistemu]]:

: <math> \begin{align}
  \pi &= \frac{571 \cdot 3391 \cdot 3270221909}{2^{18} \cdot 3^{9} \cdot 5^{8}} =
    \frac{6332003143742249}{2015539200000000} \,\! \\
      &= [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,3,5,2,1,1,2,2,1,9,11, \cdots ] \,\! \\
      &= 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781 \ldots_{[10]} \,\! , \end{align} </math>

kar na 16 decimalk, pri čemer je uporabil pravilni mnogokotnik s številom stranic <math>n = 800355168=2^5 \cdot 3^4 \cdot 71 \cdot 4349</math>.
[[Slika:Dürer quadratur.jpg|thumb|right|200px|Kvadratura kroga iz [[Albrecht Dürer|Dürer]]jeve knjige ''Navodila za merjenje s šestilom in ravnilom'' (''Underweysung der Messung mit dem...''), 1525]]

[[Georg Aunpekh von Peurbach|Von Peurbach]] (1423–1461) je v svojih matematičnih tablicah navajal Ptolemejevo vrednost ''π'' = 377/120. Pri tem je sumil, da ima ''π'' »točno« vrednost, kar pomeni, da je dvomil v to, da se lahko ''π'' predstavi v obliki končnega ulomka.

== 16. in 17. stoletje ==

[[Leonardo da Vinci|Da Vinci]] (1452–1519) je poskušal rešiti problem [[kvadratura kroga|kvadrature kroga]] na svoj edinstven način, pri čemer je naredil [[valj]], katerega višina je bila enaka polovici premera njegove osnovne ploskve. Plašč tega valja je imel ploščino:

: <math> p = \frac{r}{2} 2 \pi r = \pi r^{2} \!\, , </math>

ki je enaka ploščini kroga osnovne ploskve. Če je plašč razgrnil, je dobil pravokotnik, ki je imel ploščino enako ploščini kroga. 

[[Georg Joachim Lauchen von Retij|Von Retij]] (1514–1576), [[Nikolaj Kopernik|Kopernik]]ov učenec, je jemal pri uporabi v astronomiji in trigonometričnih tablicah ''π'' na osem decimalk. [[François Viète|Viète]] (1540–1603), prijatelj in sodelavec [[Marin Getaldić|Getaldića]] (1568–1626), je izboljšal Arhimedove rezultate in leta 1579 z mnogokotnikom s številom stranic ''n'' = 393216 = 2<sup>17</sup> · 3 našel ''π'' na 9 decimalk 3,1415926536, kar je navedel v delu ''Knjiga matematičnih smernic'' (''Canon mathematicus'').<ref name="davidov_1879">{{sktxt|Davidov|1879|p=183}}.</ref>{{rp|183}} Leta 1593 je v 8. knjigi dela ''Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII'' izrazil ''π'' kot [[neskončni produkt]]:

: <math> \begin{align} 
\frac{2}{\pi} &= \prod_{n=2}^{\infty} \cos \frac{\pi}{2^{n}} = \cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{32} \cdots \\
&= \sqrt{ \frac{1}{2}} \sqrt{ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{1}{2}}} \sqrt{ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{1}{2}} \cdots } \!\, . \end{align} </math>

[[Adriaan van Roomen|Van Roomen]] (Adrianus Romanus) (1561–1615) je imel pravilni mnogokotnik že s številom stranic ''n'' = 10737411824 = 2<sup>30</sup> in je leta 1593 prvi v Evropi spet izračunal ''π'' na 17 decimalk, od tega 15 točno. [[Johannes Kepler|Kepler]] (1571–1630) in [[Galileo Galilei|Galilei]] (1564–1642) sta trdila, da je krog mnogokotnik z neskončnim številom stranic. [[Adriaen Anthonisz|Anthonisz]] (1543–1620), [[Adriaan Metius|Metius]] (1571–1635) in [[Valentinus Otho|Otho]] (Otto) (okoli 1548–1603), von Retijev učenec, so proti koncu 17. stoletja uporabljali že znano kitajsko vrednost ''π'' = 355/113. [[Ludolph van Ceulen|Van Ceulen]] (1540–1610) je leta 1556 z mnogokotnikom s številom stranic ''n'' = 32985348833280 = 60 · 2<sup>39</sup> (32212254720 = 60 · 2<sup>29</sup>, 515396075520 = 60 · 2<sup>33</sup>) določil ''π'' na 20 decimalk in to vrednost leta 1596 objavil v svojem delu ''O krogu'' (''Van den Circkel'').<ref name="davidov_1879" /> Kasneje je izračunal 25 decimalk. Van Ceulen se je dolgo časa ukvarjal s še večjim številom in je leta 1600 z mnogokotnikom s številom stranic ''n'' = 4611686018427387904 = 2<sup>62</sup> izračunal 35 decimalk. V svoji oporoki je zahteval, da mu na grob izklesajo vseh 35 decimalk računa, do katerega se je s težavo dokopal. Njegovim sodobnikom se je njegov dosežek zdel tako pomemben, da so število imenovali po njegovem imenu, ''Ludolfovo število''. [[Joseph Justus Scaliger|Scaliger]] (1540–1609) je leta 1594 izdal delo ''Cyclometrica elementa duo'' o kvadraturi kroga.
[[Slika:Squaring the circle.jpg|thumb|right|200px|Kvadratura kroga iz [[Michael Maier|Maier]]jeve alkimistične knjige emblemov ''Atalanta fugiens'', 1617]] 

Van Ceulenov učenec [[Willebrord Snell van Royen|Snell van Royen]] (1580–1626) je izboljšal Arhimedove metode in leta 1621 določil ''π'' na 35 decimalk ter pri tem uporabljal enak mnogokotnik kot van Roomen. [[Kristifor Grinberger|Grinberger]] (1564–1636), profesor na [[Rimski kolegij|Rimskem kolegiju]], prav tako znanec in prijatelj Getaldića, je leta 1604 po standardni mnogokotniški metodi določil ''π'' na 39 decimalk. Pri tem mu je Getaldić odkril napako in ga opozoril na nepravilno razumevanje narave števila ''π''. Z opiranjem na standardno Arhimedovo mnogokotniško metodo so poskušali rešiti problem kvadrature kroga v tem času še [[Pierre de Fermat|de Fermat]] (1601–1665), [[Bonaventura Cavalieri|Cavalieri]] (1598–1647), [[Blaise Pascal|Pascal]] (1623–1662), Gregorius St. Vincentio, [[René François Walter de Sluse|de Sluse]] (1622–1685) in [[Johan Jan de Witt|de Witt]] (1625–1672). Leta 1647 je [[William Oughtred|Oughtred]] (1575–1660) uporabil oznako <math>d/\pi</math> za razmerje med premerom in obsegom kroga. [[John Wallis|Wallis]] (1616–1703), samouk, profesor v Oxfordu, je v svojem delu ''Traktat o stožnicah'' (''Tractatus de sectionibus conicis'') iz leta 1655 ob reševanju kvadrature kroga na podlagi zapletene interpolacijske tehnike kvadratur funkcij <math>(1+x)^{n}, n=0,\ldots \, </math> določil ''π'' v obliki [[Wallisov produkt|po njem imenovanega neskončnega produkta]]:

: <math> \frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^{2}}{(2n)^{2}-1} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2\cdot 2}{1\cdot 3} \cdot \frac{4\cdot 4}{3\cdot 5} \cdot \frac{6\cdot 6}{5\cdot 7} \cdot \frac{8\cdot 8}{7\cdot 9} \cdot \frac{10\cdot 10}{9\cdot 11} \cdots \!\, . </math>

Produkt sicer počasi [[konvergenca|konvergira]] z ocenjeno [[stopnja konvergence|stopnjo konvergence]] <math>1/m\, </math>, saj velja:<ref>{{sktxt|Mortici|2012|pp=489}}</ref>

: <math> \frac{3}{10m} < \frac{\pi}{2} - \prod_{n=1}^{m} \frac{(2n)^{2}}{(2n)^{2}-1} < \frac{4}{10m}, \qquad ( m \ge 3 ) \!\, . </math>

Pri prvih 100 tisoč [[števka]]h ima vrednost:

: <math> \pi = 3,1415769458228535 \!\, , </math>

tako, da je pravilna šele četrta decimalka, kar ni prav dosti. V svoji knjigi ''Algebrski traktat'' (''Tractatus de algebra''), (izšla leta 1685) je našel ''π'' na 35 decimalk s približkom neskončnega [[verižni ulomek|verižnega ulomka]]:

: <math> \begin{align}
 \pi &= [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,3,
 13,1,3,4,2,6,\, \cdots ] \,\! \\
     &= \frac{10576765661816118725}{3366689074005314168} = 3,14159265358979323846264338327951738 \!\, . \end{align} </math>

Lord [[William Brouncker|Brouncker]] (1620–1684) je leta 1655 na podlagi Wallisove enačbe sestavil nov [[posplošeni verižni ulomek]] za ''π'':

: <math> \frac{4}{\pi} = 
1+\cfrac{1^{2}}{2+\cfrac{3^{2}}
               {2+\cfrac{5^{2}}
               {2+\cfrac{7^{2}}
               {2+\cfrac{9^{2}}
               {2+\cfrac{11^{2}}{2+\ddots}}}}}} \!\, </math>

To je [[obratna vrednost]] razmerja med ploščino kroga in ploščina temu krogu očrtanega kvadrata. Iz tega verižnega ulomka izhajajo prvi približki za ''π'':

: <math> \pi_1 = 2;3; [2;1,2] = \frac{8}{3} = 2,\overline{6} \!\, , </math>
: <math> \pi_2 = 3;\frac{7}{2}; [3;2,7] = \frac{52}{15} = 3,4\overline{6} \!\, , </math>
: <math> \pi_3 = 2;3;\frac{26}{9};\frac{29}{10};\frac{55}{19};
 [2;1,8,1,1,5] = \frac{304}{105} = 2,8\overline{952380} \!\, , </math>
: <math> \pi_4 = 3;\frac{7}{2};\frac{10}{3};\frac{167}{50};\frac{177}{53};
 [3;2,1,16,1,5] = \frac{1052}{315} = 3,3\overline{396825} \!\, , </math>
: <math> \pi_5 = 2;3;\frac{122}{41};\frac{125}{42};\frac{372}{125};\frac{497}{167};
 [2;1,40,1,2,1,20] = \frac{10312}{3465} = 2,9\overline{760461} \!\, . </math>

V tem času je matematika ob zatonu 17. stoletja prvič stopila v svoje najplodnejše obdobje. Še preden pa se je to zares zgodilo, je na to opozoril [[Christiaan Huygens|Huygens]] (1629–1695), ki je pred dobo [[infinitezimalni račun|infinitezimalnega računa]] pospešil konvergenco vrst Arhimedovega mnogokotniškega postopka in se posluževal s pravilnimi mnogokotniki, omejenimi s paraboličnimi loki. Infinitezimalni račun je našel nove postopke za še hitrejše izračunavanje Ludolfovega števila. [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] (1646–1716), eden od utemeljiteljev tega računa, je v delu ''Obratna metoda tangent ali o funkcijah'' zapisal [[Leibnizeva vrsta|vrsto]], ki jo je leta 1667 v delu ''Kvadratura kroga in hiperbole'' (''Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura'') odkril [[James Gregory]] (1638–1675) pri reševanju kvadrature kroga z opisovanjem mnogokotnikov [[krog]]u in [[hiperbola|hiperboli]]:

: <math> \pi = 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n\mp 1}}{2n-1} = 4 \left( 1- \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \; \cdots \; \right)  \!\, . </math>

Vrsto je poznal že Madhava. Podobno [[potenčna vrsta|potenčno vrsto]] za razvoj [[krožna funkcija|obratne]] [[trigonometrična funkcija|trigonometrične funkcije]] [[tangens]]a je že dvesto let prej razvil [[Nilakanta Somajadži|Somajadži]] (1444–1502), ki se jo danes zapiše kot:

: <math> \operatorname{arc\, tg}\, x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n\mp 1} x^{2n-1}}{2n-1} = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7} + \, \cdots \!\, , \qquad  ( -1 < x \le 1 ) \!\, . </math>

Če se vanjo vstavi ''x'' = 1, se dobi Leibnizeva vrsta, ki je njen poseben primer. Leibniz je že razlikoval [[racionalno število|racionalna]], [[algebrsko število|algebrska]] in [[transcendentno število|transcendentna števila]], čeprav teh pojmov ni pobliže razjasnil. [[Isaac Newton|Newton]] (1642–1727) je menil, da bi bilo treba za izračun 20 decimalk po zgornji enačbi imeti približno 5 milijard členov te vrste in bi se po tedanjih postopkih računanja za to potrebovalo približno tisoč let. Napaka po ''n''-tem členu te vrste je večja od 1/(2''n''), tako da vrsta konvergira zelo počasi. Prvih 300 členov ne zadošča za izračun ''π'' na dve desetiški mesti. Z milijon členi se izračuna šele peta decimalka in je vrednost te vrste:

: <math> \pi = 3,14159703254699707 \!\, . </math>

Pri 10. milijonih členih je točna šele 6. decimalka:

: <math> \pi = 3,1415927535898369 \!\, </math>

in pri 100. milijonih členih je točna šele 7. decimalka:

: <math> \pi = 3,1415926635893685 \!\, . </math>

Za deset točnih decimalk bi bilo potrebnih več kot 10.000.000.000 členov. Če pa se vrsta pravočasno priseka, se bo desetiški zapis približka ujemal s pravo vrednostjo za več števk, razen za osamljene števke ali skupine števk. Če se vzame 5.000.000 členov, se dobi:

: 3,141592<u>4</u>5358979323846<u>4</u>643383279502<u>7</u>841971693993<u>873</u>058...

kjer so podrčrtane števke napačne. Napake se lahko predvidijo, tvorijo jih [[Eulerjevo število|Eulerjeva števila]] <math>E_{n}</math> po asimptotični enačbi:

: <math> \frac{\pi}{2} - 2 \sum_{n=1}^{N/2} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} \sim \sum_{m=0}^{\infty} \frac{E_{2m}}{N^{2m+1}} \!\, , </math>

kjer je ''N'' celo število, deljivo s 4. Če se izbere ''N'' kot potenco deset, vsak člen v desni vsoti postane končni [[desetiški ulomek]]. Enačba je poseben primer Boolove sumacijske enačbe za [[alternirajoča vrsta|alternirajočo vrsto]]. Leta 1992 sta [[Jonathan Borwein|Jonathan Borwein]] in [[Mark Limber|Limber]] s prvimi tisoč Eulerjevimi števili in Gregory-Leibnizevo vrsto izračunala ''π'' na 5263 desetiških mest.

Newton je v letih 1665 in 1666 s pomočjo [[geometrijska konstrukcija|geometrijske konstrukcije]] izračunal 16 decimalk, od tega 14 pravilnih zaradi neizogibne napake pri zaokroževanju. Za to je potreboval 22 členov. Njegov rezultat je bil objavljen po njegovi smrti. Uporabil je enačbo:

: <math> \begin{align}
\pi &= \frac{3\sqrt{3}}{4} + 24\int_{0}^{1/4} \sqrt{x-x^{2}} \, \mathrm{d} x \\
    &= \frac{3\sqrt{3}}{4} + 24\left(\frac{1}{12} - \frac{1}{5\cdot 2^{5}} - \frac{1}{28\cdot 2^{7}} - \frac{1}{72\cdot 2^{9}} - \ldots \right) \!\, . \end{align} </math><ref name="beeler_1972">{{sktxt|Beeler|Gosper|Schroeppel|1972-02}}.</ref>

Z Eulerjevo konvergenčno transformacijo iz enačbe sledi približek:

: <math> \begin{align} 
\pi &= 2 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n!}{(2n+1)!!} = 2 \sum_{n=0}^{\infty} \cfrac {2^{n} n!^{2}}{(2n + 1)!} = \\
    &= 2\left[ 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3\cdot 5} + \frac{1}{3\cdot 5\cdot 7} + \ldots \right] =
2\left[ 1+\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{5}\left(1+\frac{3}{7}\left(1+\frac{4}{9}\left(1+\cdots\right)\right)\right)\right) \right] \\
    &= \left\{ 2, \frac{8}{3}, \frac{44}{15}, \frac{64}{21}, \frac{976}{315}, \frac{10816}{3465}, \frac{141088}{45045}, \frac{47104}{15015}, \frac{2404096}{765765}, \frac{45693952}{14549535}, \frac{45701632}{14549535}, \frac{80863232}{25741485}, \ldots \right\} \\
    &= 3,141592653589793238462643383279502884197 \ldots \!\, . \end{align} </math>

[[Adam Adamandy Kochański|Kochański]] (1631–1700) je z geometrijsko konstrukcijo dal iracionalni približek (''Observationes Cyclometricae ad facilitandam Praxin accomodatae'', ''[[Acta Eruditorum]]'', 1685):

: <math> \begin{align}
 \pi &= \sqrt{4+(3 - \mathrm{tg}\, 30^{\circ})^{2}} = \sqrt{\frac{40}{3}-2\sqrt{3}} = \frac{1}{3}\sqrt{120-18\sqrt{3}} \\
     &= [3;7,15,3,1,1,1,10,1,8,1,2,3,2,13,2,11,1,7,6,11,2,11,1,46,2,1,1,6,8,2,16,1,63, \cdots ] \\
     &= \left\{ 3, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{1021}{325}, \frac{1354}{431}, \frac{2375}{756}, \frac{3729}{1187}, \frac{39665}{12626}, \frac{43394}{13813}, \frac{386817}{123130}, \frac{430211}{136943}, \frac{1247239}{397016}, \ldots \right\} \\
     &= 3,141533338705094618636398221964624071199 \ldots \!\, , \end{align} </math>

točen na štiri decimalke.
[[Slika:Kochanski.svg|thumb|right|200px|[[Geometrijska konstrukcija|Geometrijska]] [[konstrukcija Kochańskega|konstrukcija]] [[Adam Adamandy Kochański|Kochańskega]]. Dolžina daljice ''BF'' je približek ''π''. ]]

[[David Gregory]] (1659–1708) je leta 1697 uporabil oznako <math>\pi / r\, </math> za razmerje med obsegom in polmerom kroga. [[Abraham Sharp|Sharp]] (1653–1742) je leta 1699 na pobudo [[Edmond Halley|Halleyja]] (1656–1743) izračunal 71 pravilnih decimalk s pomočjo potenčne vsote za krožno funkcijo arkus tanges, kjer je vzel enako kot Madhava <math>x=\sqrt{3}/3\, </math>.<ref name="legisa_2013">{{sktxt|Legiša|Razpet|2013}}.</ref> James Gregory je v delu ''Kvadratura kroga in hiperbole'' dejansko hotel dokazati, da sta ''π'' in [[e (matematična konstanta)|''e'']] transcendentni števili, vendar je bila njegova pot napačna.

== 18. stoletje ==
[[slika:John Machin Pi.png|thumb|right|200px|Število ''π'', navedeno v [[William Jones (matematik)|Jonesovem]] delu  ''Synopsis Palmariorum Matheseos'' (1706): 100 decimalnih mest je izračunal [[John Machin|Machin]]]]

[[John Machin|Machin]] (1680–1751) je z enačbo:

: <math> \pi = 4\left(4 \, \operatorname{arc\, tg}\, \frac{1}{5} - \,\operatorname{arc\, tg}\, \frac{1}{239} \right) \!\, </math>

leta 1706 določil ''π'' na 100 decimalk, s čimer je potrojil točnost vseh poprejšnjih vrednosti. Tega leta je [[William Jones (matematik)|Jones]] (1675–1749) predlagal, da bi se število označevalo z [[grščina|grško]] črko [[pi (črka)|π]]. V svojem delu ''Synopsis palmariorum matheseos'' je zapisal:

: <math> 3.14159, \, \mathrm{ \& } c. = \pi \ldots </math><ref group=A>{{sktxt|Jones|1706}}.</ref>

[[Leonhard Euler|Euler]] (1707–1783) je izračunal v manj kot 80. urah vseh 128 decimalk. Leta 1735 je rešil [[baselski problem]], ki ga je leta 1644 postavil [[Pietro Mengoli|Mengoli]] (1626–1686), in našel točno vrednost vsote obratnih vrednosti kvadratov naravnih števil:

: <math> \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \cdots = \zeta (2) = \frac{\pi^{2}}{6} = 1,644934\ldots \!\, , </math>

kjer je <math>\zeta(s)</math> [[Riemannova funkcija zeta|Riemannova funkcija ζ]]. V pismu leta 1736, kjer je najavil rešitev baselskega problema, je pisal ''π'' s črko c.<ref group=A name="finkel_1897">{{sktxt|Finkel|1897}}.</ref>

Leta 1741 je za baselski problem podal strogi dokaz. V letu 1737 je prevzel Jonesov zapis števila. Tudi [[Christian Goldbach|Goldbach]] (1690–1764) je leta 1742 uporabil črko π. Kmalu po objavi Eulerjevega dela ''Uvod v neskončno analizo'' (''[[Introductio in analysin infinitorum]]'') leta 1748 je ta zapis postal standarden. Pred tem je Euler od leta 1734 uporabljal še črko p.<ref group=A name="finkel_1897" />

Leta 1740 je našel [[Eulerjeva enačba|enačbo]], ki povezuje med drugim dve do tedaj nevede znani transcendentni števili; [[e (matematična konstanta)|osnovo naravnih logaritmov]] ''e'' in število ''π'', čeprav so jo v različnih oblikah slutili in odkrili tudi drugi:

: <math> e^{\pi i} = -1 \!\, . </math>

V svojem delu ''Uvod v neskončno analizo'' je za oznako razmerja obsega in premera krožnice, oziroma razmerja ploščine in kvadrata polmera kroga, uporabil grško črko π kot začetno črko grške besede periferia, kar pomeni obseg; ali tudi kot začetno črko besede perimeter kot polmer. Pred njim so to stalnico označevali tudi z oznako <math> \pi / \rho</math> kot začetni črki besed {{jezik-el2|περιμετρος}} in {{jezik-el2|διαμετρος}} - premer. Brouncker je prvi pisal ''π''/''δ''.

V letu 1748 je Euler trdil, da je logaritem števila ''b'' z osnovo ''a'' (''a'' in ''b'' sta racionalna) ali [[iracionalno število]] ali ni koren, ker »<math>a\sqrt{n} = b</math> ne more veljati.«

[[Johann Heinrich Lambert|Lambert]] (1728–1777) je, opirajoč se na Eulerjevo delo o razvoju števila ''e'' z verižnimi ulomki iz leta 1737, leta 1761 dokazal, da za racionalni in [[neničelno število|neničelni]] ''x'', števili <math>e^{x}</math> in tg ''x'' ne moreta biti racionalni. S tem je pokazal, da sta posebej ''e'' in ''π'' iracionalni števili. Pokazal je tudi, da ''π'' ni niti [[kvadratni koren]] kakšnega ulomka. V svojem članku iz leta 1761 je domneval, da števili ''e'' in ''π'' nista [[algebrsko število|algebrski]] iracionalnosti, temveč sta obe transcendentni. Leta 1770 je obnovil ponovljen Wallisov izračun z verižnimi ulomki, ki se je razlikoval od 26. člena zaradi značilnosti verižnih ulomkov. Euler je leta 1775 nakazal možnost da je ''π'' morda transcendentno število.

Pariška [[Francoska akademija znanosti|Akademija znanosti]] je leta 1775 v svojih sklepih in odločbah napisala: »Akademija je sklenila, da odslej in za naprej ne bo pregledovala predloženih rešitev nalog trisekcije kota, kvadrature kroga, podvojitve kocke ter načrte strojev, ki naj uresničijo večno gibanje.« Že v starih časih so menili, da nam bo rešitev kvadrature kroga dala ključ za odkritje mnogih naravnih zakonitosti in nam odprla pot do nenavadnih odkritij. Angleški parlament in nizozemska vlada sta menda celo razspisala veliko nagrado za razrešitev te naloge. Pariška Akademija pa je sprejela ta sklep, ko je bilo že dokaj jasno, da je rešitev teh nalog s pomočjo šestila in ravnila neizvedljiva. 

20. avgusta 1789, šest let po Eulerjevi smrti in smrti deset let mlajšega [[Jean le Rond d'Alembert|d'Alemberta]] (1707–1783), je [[Jurij Vega|Vega]] (1754–1820) dosegel tedanji svetovni rekord in izračunal ''π'' na 140 decimalk. Račun je predložil sankt-peterburški akademiji v knjižici ''V. razprava'', kjer je s svojo metodo našel v poprejšnjem [[Thomas Fantet de Lagny|de Lagnyjevem]] (1660–1734) izračunu iz leta 1719 127 decimalk napako na 113. mestu. De Lagny je uporabil enako vrsto kot že Madhava in Sharp:

: <math> \pi = 6 \left( \operatorname{arc\, tg}\, \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \!\, , </math>

oziroma:

: <math>\pi = \sqrt{12} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)3^{n-1}} = \sqrt{12}\left( 1 - \frac{1}{3\cdot3} + \frac{1}{5\cdot 3^{2}} - \frac{1}{7\cdot 3^{3}} + \frac{1}{9\cdot 3^{4}} - \frac{1}{11\cdot 3^{4}} + \cdots \right) \!\, . </math><ref group=A>{{sktxt|de Lagny|1721}}.</ref>

Euler je izračunal, da je moral za takšno točnost de Lagny izračunati vsaj 269 členov.

Vega je rekord obdržal 52 let do leta 1841, njegova metoda pa se še danes omenja. Njegov članek je akademija izdala šele šest let pozneje leta 1795. Vega je izpopolnil [[Machinova formula|Machinovo enačbo]] iz leta 1706:

: <math> \pi = 4 \left( 4 \,\operatorname{arc\, tg}\, \frac{1}{5} - \,\operatorname{arc\, tg}\, \frac{1}{239} \right) \!\, , </math>

s svojo enačbo, ki je enaka Eulerjevi iz leta 1755:

: <math> \pi = 4 \left( 5 \,\operatorname{arc\, tg}\, \frac{1}{7} + 2 \,\operatorname{arc\, tg}\, \frac{3}{79} \right) \!\, </math>

in ki hitreje konvergira kot Machinova enačba. Dobljeni rezultat je preveril s podobno [[Huttonova enačba|Huttonovo enačbo]]:

: <math> \pi = 4 \left( 2 \,\operatorname{arc\, tg}\, \frac{1}{3} + \operatorname{arc\, tg}\, \frac{1}{7} \right) \!\, . </math>

Pri tem je drugi člen razvil v vrsto le enkrat. Vegov račun je dal 137 pravilnih decimalk ''π''. Danes je dognano, da je Vega delal samostojno in ni le na novo odkril Eulerjevega dela. Japonski matematiki so v njegovem času uporabljali dva približka:

: <math> \begin{align}
 \pi &= [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,4] \\
     &= \left\{3, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \frac{103993}{33102},
\frac{104348}{33215}, \frac{208341}{66317}, \frac{312689}{99532}, \frac{833719}{265381}, \frac{1146408}{364913}, \frac{5419351}{1725033} \right\} \\
     &= 3,14159265358981538324194377730744861 \!\, \end{align} </math>

in

: <math> \begin{align}
\pi = &[3;7,15,1,2,292,1,1,1,4,1,2,1,1,14,30,2,19,1,1,11,1,3,1,1,1,1,3] \\  
    = &\left\{3, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \frac{1043}{332}, \frac{304911}{97057}, \frac{305954}{97389}, \frac{610865}{194446}, \frac{916819}{291835}, \frac{4278141}{1361786}, \frac{5194960}{1653621}, \right. \\
      &\left. \frac{14668061}{4669028}, \frac{19863021}{6322649}, \frac{34531082}{10991677}, \frac{503298169}{160206127}, \frac{15133476152}{4817175487}, \frac{30770250473}{9794557101}, \right. \\
      &\left. \frac{599768235139}{190913760406}, \frac{630538485612}{200708317507}, \frac{1230306720751}{391622077913}, \frac{14163912413873}{4508551174550}, \frac{15394219134624}{4900173252463}, \right. \\
      &\left. \frac{60346569817745}{19209070931939}, \frac{75740788952369}{24109244184402}, \frac{136087358770114}{43318315116341}, \frac{211828147722483}{67427559300743}, \right. \\
      &\left. \frac{347915506492597}{110745874417084}, \frac{1255574667200274}{399665182551995} \right\} \\
    = & \, 3,14156629602561954577603945201650090 \!\, , \end{align} </math>

ki so ju verjetno dobili na podoben način kot Wallis leta 1655 z razvitjem v neskončni [[verižni ulomek]], saj je prvi 6. sodi približek neskončnega verižnega ulomka za ''π'', drugi pa se od prvega razlikuje v 9. členu in, ki se razlikujeta šele na 13. decimalki. Med temi japonskimi matematiki so bili verjetno [[Takakazu Šinsuke Seki]] (okoli 1642–1708), ki je leta 1700 našel 10 pravilnih mest, [[Katahiro Takebe|Hikodžiro Katahiro Kenko Takebe]] (1664–1739), ki je leta 1722 našel 42 (41 pravilnih) mest za ''π'', [[Jošikijo Kamata]] (1678–1744), ki je leta 1730 našel 25 mest in [[Jošisuke Macunaga|Jošisuke (Riohicu) Macunaga]] (okoli 1690–1744), ki je leta 1739 našel 51 (50) decimalk ''π''-ja z isto metodo kot Newton leta 1665 z vrsto arc sin (1/2) = ''π''/6:

: <math> \pi = 3 \left( 1 + \frac{1^{2}}{4 \cdot 6} + \frac{1^{2} \cdot 3^{2}}{4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10} + \frac{1^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}}{4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 14} + \frac{1^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}}{4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 14 \cdot 16 \cdot 18} + \cdots \right) \!\, , </math>

kjer je treba za takšno točnost vzeti približno 140 členov. Prvi približki neskončnega verižnega ulomka za to vrsto so:

: <math> \pi_{1} = [3] \!\, , </math>
: <math> \pi_{2} = [3;8] \!\, , </math>
: <math> \pi_{3} = [3;7,5,4,4] \!\, , </math>
: <math> \pi_{4} = [3;7,11,1,5,1,1,3,9] \!\, , </math>
: <math> \pi_{5} = [3;7,15,51,7,1,1,1,3,3,2] \!\, , </math>
: <math> \pi_{6} = [3;7,15,1,3,1,8,1,1,32,1,14,1,5,1,7] \!\, , </math>
: <math> \pi_{7} = [3;7,15,1,21,2,7,1,1,1,11,1,1,1,1,1,5,1,3,1,2,2,24] \!\, , </math>
: <math> \pi_{8} = [3;7,15,1,82,1,1,4,5,1,1,1,12,1,6,3,1,6,1,2,3,2] \!\, . </math>

[[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] (1752–1833) je leta 1794 pokazal, da je <math>\pi^{2}</math> in s tem ''π'' iracionalno število. Izrazil je tudi domnevo, da je ''π'' transcendentno število.

== 19. stoletje ==

[[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] (1777–1855) je razvil nov postopek za izračun decimalk, po katerem so risali mreže kvadratov s stranicami dolžine 1 in na njih od nekega središča v oglišču enega kvadrata kroge z različno dolgimi polmeri. Pri tem so šteli kvadrate, ki so vsaj z enim oglišče padli v načrtane kroge. Pri tem je opazil da z naraščanjem polmera krogov razmerje ploščine teh vseh kvadratov v notranjosti krogov in kvadratom polmerov krogov teži k vrednosti ''π''. Kot rezultat tega postopka izhaja preglednica:

{| class="wikitable"
|---
| <math>r\,\!</math> || <math>p(r)\,\!</math> || <math>p(r)^{2}\,\!</math>
|---
| 10 || 317 || 3,17
|---
| 20 || 1257 || 3,1425
|---
| 30 || 2821 || 3,1344
|---
| 100 || 31417 || 3,1417
|---
| 200 || 1256290 || 3,140725
|---
| 300 || 2826963 || 3,14107
|}

kjer je <math>p(r)</math> ploščina kvadratov v danem krogu z enim ogliščem in <math>r</math> polmer kroga. V limiti, ko <math>r</math> pobegne čez vse meje, vrednost <math>p(r)^{2}</math> teži k ''π''. S to metodo so se ognili Arhimedovi mnogokotniški metodi, konvergence pa s tem niso pospešili.

[[William Rutherford|Rutherford]] (1798–1871) je leta 1841 izračunal 208 decimalk, od katerih je bilo pravilnih 152. Računal je z enačbo:

: <math> \pi = 4 \left( 4 \, \operatorname{arc\, tg}\, \frac{1}{5} - \operatorname{arc\, tg}\, \frac{1}{70} + \operatorname{arc\, tg}\, \frac{1}{99} \right) \!\, . </math>

V začetku 19. stoletja so se matematiki strinjali z Lambertovo in Legendrovo domnevo, vendar niso poznali še nobeno transcendentno število. [[Joseph Liouville|Liouville]] (1809–1882) je leta 1840 dokazal obstoj takšnih transcendentnih števil in leta 1844 tudi dokazal, da ''e'' in njegov kvadrat <math>e^{2}</math> nista korena nobene kvadratne enačbe z racionalnimi koeficienti. Če število ''b'' ni racionalno in je ''n'' najmanjše takšno naravno število, da velja:

: <math> a_{n} b^{n} + a_{n-1} b^{n-1} + \cdots + a_{1} b + a_{0} = 0 \,\! , </math>

pri vsakem racionalnem ''a'' in <math>a_{n} \ne 0</math>, potem obstaja takšen ''g'', da za poljubno racionalno število <math>x = p/q</math> in <math>p, q \in \mathbb{Z}, q > 0</math> velja:

: <math> \left | b - \frac{p}{q} \right | > \frac{g}{q^{n}} \,\! . </math>

Izrek je precej težak. Dovolj je, če se vzame na primer število, imenovano [[Liouvillova konstanta]]:

: <math> b = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10^{n !}} = 0,110001000000000000000001000 ... \,\! , </math>

kjer se vidi, da za vsak ''g'' obstajata takšna ''p'' in ''q'', da zgornja enačba ne velja. Tedaj je zato ''b'' transcendentno število. S tem je Liouville našel že vsaj eno transcendentno število. Brez problema je našel naprej še druge takšne zglede nealgebrskih iracionalnih števil. [[Johann Martin Zacharias Dase|Dase]] (1824–1861) je istega leta 1844 z enačbo:

: <math> \pi = 4 \left( \operatorname{arc\, tg}\, \frac{1}{2} + \operatorname{arc\, tg}\, \frac{1}{5} + \operatorname{arc\, tg}\, \frac{1}{8} \right) \!\, . </math>

izračunal 205 decimalk, od tega pravilnih 200. Njegov rezultat so objavili v [[August Leopold Crelle|Crelleovi]] reviji ''[[Crelleova revija|Journal für die reine und angewandte Mathematik]]'', ki je začel izhajati leta 1826. Tudi [[Leopold Karl Schulz plemeniti Strassnitzky|Strassnitzky]] (1803–1852) je istega leta izračunal enako število decimalk. [[Thomas Clausen|Clausen]] (1801–1885) je leta 1847 s Huttonovo enačbo:

: <math> \pi = 4\left(2 \,\operatorname{arc\, tg}\, \frac{1}{3} + \,\operatorname{arc\, tg}\, \frac{1}{7} \right) \,\! </math>

izračunal 250 števk, od tega 248 pravilnih. Lehmann je leta 1853 izračunal pravilnih 261 decimalk. Rutherford pa istega leta pravilnih 440 decimalk. Richer je leta 1855 dosegel 500 pravilnih decimalk.

[[slika:William Shanks PI.png|thumb|right|200px|Shanksov izračun ''π''-ja na 607 decimalk objavljen leta 1853]]
[[Charles Hermite|Hermite]] (1822–1901) je leta 1873 dokazal, da je število ''e'' transcendentno. V njegovem delu ni pomemben samo rezultat ampak tudi metoda s katero je prišel do rezultatov. To metodo uporabljajo še danes. Malo kasneje je leta 1874 [[William Shanks]] (1812–1882) z Machinovo enačbo določil ''π'' na 707 decimalk. Za svoj izračun je Shanks potreboval več kot 20 let. D. F. Ferguson je leta 1944 s pomočjo mehanskega [[računalo|računala]] okril napako v Shanksovem izračunu, kjer je bilo pravilnih 527 decimalk.<ref>{{sktxt|O'Connor|Robertson|2007}}.</ref><ref>{{sktxt|Smyth|2010}}.</ref>

Da je prišla nova doba, je pokazal [[Ferdinand von Lindemann|von Lindemann]] (1852–1939), profesor matematike na Univerzi v [[Freiburg]]u. Leta 1882 je sklenil začetno verigo tovrstnih dokazovanj obstoja transcendentnih števil in s pomočjo Hermitove metode iz leta 1873 dokazal Lambertovo in Legendrovo domnevo in s tem transcendentno naravo še Ludolfovemu številu ([[Lindemann-Weierstrassov izrek]]). Tako je končno rešil drugi starogrški problem, problem kvadrature kroga. Na različne načine so ta dokaz podali tudi [[Karl Weierstrass|Weierstrass]] (1815–1897) leta 1885, [[Adolf Hurwitz|Hurwitz]] (1859–1919), [[Marie Ennemond Camille Jordan|Jordan]] (1838–1922), [[David Hilbert|Hilbert]] (1862–1943) leta 1893, [[Theodor Vahlen|Vahlen]] (1869–1945) in drugi. Lindemannov naslednik na Univerzi v tedanjem Königsbergu in pobudnik matematike 20. stoletja Hilbert je leta 1899 poenostavil obstoječa dokaza transcendentnosti števil ''e'' in ''π''. Tudi drugi matematiki tedaj so take dokaze poenostavljali, s čimer se je spet pokazala pravilna usmeritev matematike ob zatonu 19. stoletja. Prav tako kot so že prej mislili, da je problem kvadrature kroga rešljiv z osnovnimi geometrijskimi pripomočki, se se sedaj javljale upravičene ali neupravičene kritike samih matematikov do teh vprašanj, najbolj vneta pa je bila Kroneckerjeva aritmetična šola, katere podobne zamisli obstajajo še danes, posebno med matematično usmerjenimi fiziki. Ko so vsi čestitali von Lindemannu za njegov dokaz transcendentnosti ''π''-ja, je [[Leopold Kronecker|Kronecker]] (1823–1891) rekel: »Kakšno korist ima vaš lep dokaz, če iracionalna števila ne obstajajo?« Tukaj je Kronecker slučajno negiral obstoj ''π'' kot neko nadštevno število. S tem je bil manj radikalen od nekaterih svojih somišljenikov, čeprav je prvi začel razvijati [[intuicionizem]] in je bila ta izjava samo aforizem na zapletena raziskovanja osnov matematike. Hurwitz in [[Paul Albert Gordan|Gordan]] (1837–1912) sta podala elementarna dokaza za transcendentnost števila ''π''.

== 20. stoletje ==

Po [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|Brouwerju]] (1881–1966), če se predpostavi in trdi, da se nekje v desetiškem razvoju ''π''-ja pojavi niz števk 123456789. Ali je ta trditev pravilna ali ni? Po njem se o tem ne da soditi pritrdilno ali ne, ker ne obstaja neka znana metoda za takšno presojo. S tem se sprijazni s [[Platon]]ovim idejnim svetom. Če se naprej predpostavi, da <math>n_{1}, n_{2}, n_{3}, ... </math> označujejo števčna mesta, kjer se to [[zaporedje]] pojavi. Ali naprej vrsta <math>1/n_{1} + 1/n_{2} + 1/n_{3} + ... </math> konvergira ali divergira? Vse dotlej dokler nekdo ne ustvari, oziroma ne najde <math>n_{1}, n_{2}, n_{3}, ... </math> ni znan odgovor na to vprašanje. Trditev, da ta vrsta konvergira, ni niti pravilna niti napačna. Brouwer je pozneje leta 1907 in 1912 še radikalneje od Kroneckerja in po njem zahteval konstrukcije matematičnih »entitet«, katerih obstoj se dokazuje vsebinsko, brez kakršnekoli metode za njihovo predstavljanje s končnim številom operacij, ki se jih lahko izvede s silami, s katerimi v danem času razpolaga človek. S tem je pokazal poreklo takšnih težav pri nekritični uporabi klasične [[Aristotel]]ove logike na [[neskončnost|neskončnih]] [[množica]]h, katerim ni bila namenjena. Čeprav bi se Kronecker s takšno nenamemnostjo strinjal, pa ni mogel preboleti da je dejanska neskončnost sama po sebi ena od ovir matematike. [[Georg Ferdinand Cantor|Cantor]] (1845–1918) je leta 1874 dokazal, da je transcendentnih števil več, ne samo kot naravnih, ampak več tudi kot algebrskih, ker je množica algebrskih števil [[števnost|števna]], in ima zato množica transcendentnih števil [[kardinalnost|moč]] [[kontinuum (teorija množic)|kontinuum]]a. S tem njegovim odkritjem je bilo konec dvoma v njegovo teorijo množic. Čeprav sta ti dve števili dokaj oddaljeni od zdravega razuma, sta prisotni tudi v naravnih zakonih, kot je [[Planckov zakon]] [[sevanje|sevanja]] za [[črno telo]] iz tega časa:

: <math> \frac{\mathrm{d}_{j\lambda}}{\mathrm{d}_{\lambda}} = \frac{2\pi c^2}{\lambda^5(e^\frac{hc}{k_{B} T \lambda} - 1)} \,\! . </math>

Lord [[William Thomson|Kelvin]] (1824–1937) ju je v posplošenem Gaussovem verjetnostnem integralu:

: <math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{e^{x^2}} \mathrm{d} x = \sqrt{\pi} \!\, </math>

uporabil kar za definicjo matematike in pri tem pripomnil: »Matematik je tisti, ki mu je resničnost te enačbe prav tako očitna, kakor je dvakrat dva štiri.«

:: »''Če dvakrat dva ni štiri, potem obstajajo čarovnice ...''« —[[Felix Hausdorff|Hausdorff]]

Da stvari v zvezi z merjenjem števila ''π'' tudi v fiziki niso tako enostavne, je poskrbel [[Albert Einstein|Einstein]] (1879-1955) s svojima [[teorija relativnosti|teorijama relativnosti]]. O tem je kot primer pisal:

: »''Poleg tega naletimo po definiciji prostorskih koordinat na nepremostljive težave. Če namreč postavi opazovalec, ki se giblje z vrtljivo ploščo, svojo mersko palico, (ki je majhna v primerjavi s polmerom plošče) tangencialno na rob plošče, potem ima palica, gledano z Galilejevimi očmi, dolžino majšo od 1, ker se gibajoča telesa krajšajo v smeri gibanja, kar smo pojasnili v 12. poglavju. In če svoje merske palice ne položi tangencialno, temveč v smeri polmera, potem se gledano iz sistema K palica ne krajša. Če torej opazovalec meri s svojo mersko palico najprej obseg plošče, potem pa še njen premer in ta dva rezultata deli med seboj, ne dobi kot kvocient znano število π = 3,14 ..., temveč neko večje število. Točno vrednost π bi dobil z istim postopkom na neki drugi plošči, ki bi mirovala glede na K. To dokazuje, da izreki evklidske geometrije ne veljajo točno na vrtljivi plošči in s tem splošno v nekem gravitacijskem polju, oziroma vsaj takrat ne, če palici pripisujemo dolžino 1 v vseh položajih in v vseh smereh.''« —Albert Einstein, ''Moja teorija'', O splošni teoriji relativnosti, Obnašanje ur in merskih palic na vrtljivem referenčnem telesu, str. 65, Polaris/Kronos, Beograd/Zagreb 1990.

V vrtečem se opazovalnem sistemu zaradi vzdolžnega [[skrčenje dolžine|skrčenja]] razmerje med obsegom krožnice in njegovim polmerom ni enako kot v običajnem ravnem prostoru.<ref>{{sktxt|Strnad|2005|pp=90}}.</ref>

Leta 1900 je Hilbert podal tedaj [[Hilbertovi problemi|nerešljiv problem]] v tej podobni matematični veji ali je <math>2^{\sqrt{2}}</math> transcedentno število. [[Rodjon Osijevič Kuzmin|Kuzmin]] (1891–1949) je leta 1930 dokazal, da je neskončno mnogo transcendentnih števil, med katerimi je tudi zgornje Hilbertovo <math>2^{\sqrt{2}}</math>, ki se izrazi s prvimi približki neskončnega verižnega ulomka:

: <math> 2^{\sqrt{2}} = [2;1,1,1,72,3,4,1,3,2,1] = \frac{116115}{43568} = 2,66514414268 \,\! . </math>

Kuzmin je dokazal trancendentnost števil oblike <math>a^{b}</math>, kjer je ''a'' algebrsko število, ''b'' pa kvadratno realno iracionalno število. Še malo kasneje leta 1934 sta [[Aleksander Osipovič Gelfond|Gelfond]] (1906–1968) in [[Theodor Schneider|Schneider]] (1911–1988) neodvisno dokazala širši izrek, da je <math>a^{b}</math> vsaj iracionalno število in celo, da je transcendentno število, kjer je ''a'' katerokoli algebrsko število, različno od 0 ali 1, in ''b'' katero koli iracionalno algebrsko število. Med takšnimi sta posebej na primer <math>\pi^{e}</math> in <math>i^{-2i} = e^{\pi}</math>

Naj je še na primer ''a'' = 10. Za vsak takšen <math>b \in \mathbb{R}</math> naj je definirana potenca <math>10^{b} = g.</math> Če je <math>g \in \mathbb{N}</math> in ''g'' > 1 in še <math>g \ne 10^{n}</math>, pri <math>n \in \mathbb{N}</math>, potem ''b'' ne more biti algebrsko število. Po [[Gelfond-Schneiderjev izrek|Gelfond-Schneiderjevem izreku]] je za iracionalni algebrski ''b'' potenca <math>10^{b}</math> transcendentno in torej nikdar naravno število. Tako so desetiški logaritmi od 1 in od  <math>10^{n}</math> različnih naravnih števil tudi transcendentna števila, kot na primer log 2. Pred Gelfondovim rezultatom je bilo malo znanih transcendentnih števil. Po Gelfond-Schneiderjevem izreku je lahko različnih transcendentnih števil neskončno mnogo.

Leta 1910 je [[Srinivasa Ajangar Ramanudžan|Ramanudžan]] (1887–1920) našel več [[vrsta (matematika)|neskončni vrst]], ki hitro konvergirajo, kot na primer:

: <math> \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4n)!}{(n!)^{4} 4^{4n}} \frac{1103+26390n}{99^{4n}} \,\! , </math>

s katero je moč v vsakem koraku izračunati novih 8 števk. Ramanudžanove vrste so osnova za najhitrejše [[algoritem|algoritme]], ki se trenutno uporabljajo za izračun ''π''. Če se pri zgornji vrsti vzame le en člen, je približek enak:

: <math> \begin{align}
 \pi &\approx \frac{3^{4} \cdot 11^{2} \sqrt{2}}{2^{2}\cdot 1103} \\
     &= [3;7,15,1,410,1,1,36,1,16,7,7,38,1,1,1,1,1,2,1,1,1,5,7,2,2,3,3,1,2,1,3,1,3, \cdots] \\
     &= \left\{3, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \frac{145883}{46436}, \frac{146238}{46549}, \frac{292121}{92985}, \frac{10662594}{3394009}, \frac{10954715}{3486994}, \frac{185938034}{59185913}, \frac{1312520953}{417788385},  \ldots \right\} \\
     &= 3,14159265358979387799 \ldots \!\, , \end{align} </math>

in [[absolutna vrednost]] napake <math>0,764235\cdot 10^{-7}</math>. Drugi člen da vrednost, točno že na 16 števk:

: <math> \begin{align}
 \pi &\approx \frac{2^{3} \cdot 3^{11} \cdot 11^{6} \sqrt{2}}{5^{5}\cdot 7 \cdot 4423 \cdot 11681} \\
     &= [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,1,5,5,1,3,2,5,1,1,1,3,1,10,1,3,1,2,14,1,3,1, \cdots] \\
     &= 3,14159265358979387799890582630601309421664502932284887917396379150578 \ldots \!\, . \end{align} </math>

Razlikuje se šele 14-i konvergent. Leta 1914 je z geometrijsko konstrukcijo podal približek:

: <math> \begin{align}
 \pi &\approx \left( 9^{2} + \frac{19^{2}}{22} \right)^{1/4} \\
     & = [3;7,15,1,291,1,1,7,1,2,1,1,1,1,1,3,6,3,1,1,4,2,12,1,2,1,13,5,1,2,1,8,4, \cdots] \\
     &= \left\{3, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \frac{103638}{32989}, \frac{103993}{33102}, \frac{207631}{66091}, \frac{1557410}{495739}, \frac{1765041}{561830}, \frac{5087492}{1619399}, \frac{6852533}{2181229},  \ldots \right\} \\
     &= 3,14159265258264612520 \ldots \!\, \end{align} </math>

z napako <math>-0,100714711325\cdot 10^{-8}</math>.

Ramanudžan je podal tudi približek:

: <math> \begin{align}
 \pi &\approx \frac{9}{5} + \sqrt{\frac{9}{5}} = [3;7,16,1,1,1,2,1,6,1,2,1,1,1,16,7,2,1,1,5, \cdots ] \\
     &= \left\{3, \frac{22}{7}, \frac{355}{113}, \frac{377}{120}, \frac{732}{233}, \frac{1109}{353}, \frac{2950}{939}, \frac{4059}{1292}, \frac{27304}{8691}, \frac{31363}{9983}, \ldots \right\} \\
     &= 3,1416407864998738 \ldots \!\, . \end{align} </math>

Transcendentna [[Ramanudžanova konstanta]], ki jo je leta 1859 odkril Hermite:

: <math> \begin{align} e^{\pi \sqrt{163}} &\approx 2^{3} \cdot 3 \cdot 10939058860032031 = 640320^{3} + 744 = 12^{3}(231^{2}-1)^{3} + 744 \\
                       &= 262537412640768744 \end{align} \!\, , </math>

da dober približek, točen na 30. decimalk:

: <math> \begin{align}
 \pi &= \frac{\ln 262537412640768744 }{\sqrt{163}} \\
     &= [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,3,13,31,1,2,34,1, \cdots ] \\
     &= 3,141592653589793238462643383279 [\ldots] \!\, . 
\end{align} </math>

Schneider je leta 1937 dokazal transcendentnost [[Gaussova konstanta|Gaussove konstante]]:

: <math> G = \frac{1}{\operatorname{M}(1, \sqrt{2})} = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1 - x^4}} = 0.8346268\dots \!\, , </math>

kjer je <math>\operatorname{M} (1, \sqrt{2})\, </math> [[aritmetično-geometrična sredina]] števila 1 in [[kvadratni koren števila 2|kvadratnega korena števila 2]].<ref group=A>{{sktxt|Schneider|1937}}.</ref>

[[slika:Pi 30K.gif|thumb|right|200px|Numerična aproksimacija ''π''-ja: naključno porazdeljene točke znotraj [[enotski kvadrat|enotskega kvadrata]]. Pri tem nekatere padejo v notranjost [[enotska krožnica|enotske krožnice]]. Delež točk znotraj krožnice se približuje <math>\pi / 4\!\, </math>]]
Na pariški svetovni razstavi so leta 1937 v matematičnem pavilijonu na notranjo stran kupole izpisali ''π'' z vsemi do tedaj znanimi decimalkami. Ob tem so za obiskovalce razstavili mehansko napravo, ki je simulirala empirično določitev ''π''-ja. To je bila običajna šahovska plošča z iglo, ki je bila dolga kot stranica enega šahovskega polja. Če so metali iglo na ploščo, je včasih padla v posamezno polje tako, da pri tem ni sekala njegovih stranic. [[Verjetnost]], da se je to zgodilo, je bila:

: <math> p = \pi - 3 = 0,14 = 14 \, \% \,\! , </math>

kar pomeni, da je pri 100-tih metih približno 14-krat padla v polje, ne da bi sekala njegove stranice. Pri 10.000 metih je bila verjetnost:

: <math> p = \pi - 3 = 0,142 \qquad \mathrm{in\; od\; tukaj\;} \pi = 3,142 \,\! . </math>

Takšne metode se danes imenujejo metode Monte Carlo in izvirajo še iz časa grofa [[Georges-Louis Leclerc de Buffon|de Buffona]] (1707–1788), [[René Descartes|Descartesovega]] učenca, ki je leta 1777 podal prvi primer geometrijske verjetnosti za praktično določitev števila ''π''.

Leta 1946 je D. F. Ferguson z mehanskim računalom izračunal 620 pravilnih decimalk in januarja 1947 710 pravilnih decimalk. Septembra istega leta je neodvisno od [[John William Wrench|Wrencha]] (1911–2009) izračunal 808 pravilnih decimalk. Leta 1949 sta izračunala 1120 pravilnih decimalk. Istega leta so na [[Univerza Pensilvanije|Univerzi Pensilvanije]] z elektronskim [[računalnik]]om [[ENIAC]], ki so ga na tej univerzi zgradili leta 1946 v ekipi, ki sta jo vodila [[John William Mauchly|Mauchly]] (1907–1980) in [[John Presper Eckert|Eckert]] (1919–1995), prvikrat z računskim strojem izračunali decimalke ''π''-ja. Pri tem so izboljšali že takoj na začetku vrednost skoraj za dvakrat. Pri tem so za 2037 pravilnih decimalk porabili približno 70 ur čistega časa delovanja računalnika. Na roke bi to brez priprave zahtevalo čas celega življenja. Leto kasneje 1950 je nemška družba [[Staaten]] z elektronskim računalnikom določila 2000 decimalk v še krajšem času.

[[Kurt Mahler|Mahler]] (1903–1988) je leta 1953 dokazal da ''π'' ni [[Liouvillovo število]]. S. C. Nicholson in J. Jeenel sta leta 1954 z računalnikom [[IBM]] [[IBM NORC|NORC]] v 13-ih minutah izračunala pravilnih 3089 decimalk. Leta 1957 je G. E. Felton z računalnikom [[Ferranti]] [[Ferranti Pegasus|Pegasus]] izračunal 7480 pravilnih decimalk. Naslednje leto 1958 januarja je Francois Genuys z računalnikom [[IBM 704]] v 1,7 ure izračunal 10.000 pravilnih decimalk. Istega leta maja je Felton z računalnikom Pegasus v 33-ih urah izračunal 10.021 pravilnih decimalk. Leta 1959 je Genuys z računalnikom IBM 704 v Parizu v 4,3 ure izračunal 16.167 pravilnih decimalk. Leta 1961 so v Londonu z računalnikom [[IBM 7090]] v 39-ih minutah izračunali 20.000 pravilnih decimalk. Istega leta sta [[Daniel Shanks]] (1917–1996) in Wrench z računalnikom IBM 7090 v New Yorku v 8,7 urah izračunala 100.265 pravilnih decimalk.<ref group=A>{{sktxt|Shanks|Wrench|1962}}.</ref> Uporabila sta [[Carl Størmer|Størmer]]jevo enačbo iz leta 1896:

: <math> \pi = 4 \left( 6 \,\operatorname{arc\, tg}\,\frac{1}{8} + 2 \,\operatorname{arc\, tg}\,\frac{1}{57} + \,\operatorname{arc\, tg}\,\frac{1}{239} \right) \!\, </math>

in Gaussovo iz leta 1863:

: <math> \pi = 4 \left( 12 \,\operatorname{arc\, tg}\,\frac{1}{18} + 8 \,\operatorname{arc\, tg}\,\frac{1}{57} - 5 \,\operatorname{arc\, tg}\,\frac{1}{239} \right) \!\, . </math>

Harry Polachek je iztiskal 100.000 števk v zlati barvi in izpis podaril [[Smithsonova ustanova|Smithsonovi ustanovi]].<ref group=A>{{sktxt|Polachek|Tomayko|1996}}.</ref>

M. Jean Guilloud in J. Filliatre sta leta 1966 z računalnikom [[IBM 7030 Stretch]] v Parizu v 28-ih urah izračunala 250.000 pravilnih decimalk. Naslednje leto 1967 sta Guilloud in M. Dichampt z računalnikom [[CDC 6600]] v Parizu v 28-ih urah izračunala 500.000 pravilnih decimalk. Leta 1973 sta Guilloud in Martin Bouyer z računalnikom [[CDC 7600]] izračunala 1.001.250 pravilnih decimalk. Od leta 1975 so z novo odkrito metodo omogočili najzmoglivejšim računalnikom, da so v nekaj urah izračunali 100 milijonov decimalk ([[Gauss-Legendrov algoritem|Salamin-Brentov algoritem]]). [[Jasumada Kanada|Kanada]] in [[Kazumori Mijoši|Mijoši]] sta leta 1981 z računalnikom [[FACOM M-200]] izračunala 2.000.036 pravilnih decimalk. Guilloud je istega leta izračunal 2.000.050 decimalk. [[Jošiaki Tamura|Tamura]] je leta 1982 z računalnikom [[MELCOM 900II]] izračunal 2.097.144 decimalk. Skupaj s Kanado je istega leta z računalnikom [[HITAC M-280H]] izračunal najprej 4.194.288 decimalk, nato pa še 8.388.576 decimalk. Skupaj s Kanado in S. Jošinom je leta 1983 z istim računalnikom izračunal 16.777.206 decimalk. Oktobra istega leta sta Kanada in [[Jasunori Uširo|Uširo]] s superračunalnikom [[HITAC S-810|HITAC S-810/20]] izračunala 10.013.395 pravilnih decimalk. [[Bill Gosper|Gosper]] je oktobra leta 1985 z Ramanudžanovo vrsto z računalnikom [[Symbolics 3670]] izračunal 17.526.200 decimalk. Ramanudžanovo vrsto je pretvoril v verižni ulomek, s čimer je lahko računanje zaporednih števk ustavil na poljubnem mestu, in drugič nadaljeval od tam. Naslednje leto januarja 1986 je [[David Harold Bailey|Bailey]] s pomočjo [[superračunalnik]]a [[Cray-2]] v 28-ih urah izračunal 29.360.111 decimalk. Njegov algoritem je naslednji:

{|class="wikitable"
|-
| <math>y_{0} = \sqrt{2}-1 </math> || <math> a_{0} = 6-4\sqrt{2} </math>
|-
| <math> y_{n+1}=\frac{1-(1-y_{n}^{4})^{1/4}}{1+(1-y_{n}^{4})^{1/4}} </math> || <math> a_{n+1} = a_{n} \left( 1+y_{n+1} \right) ^{4} - 2^{2n+3} y_{n+1} (1+y_{n+1}+y_{n+1}^{2}) \!\, </math>
|}

potem <math>a_{n}</math> konvergira s četrto potenco k <math>1/\pi</math>.

Septembra sta Kanada in Tamura izračunala 33.554.414 decimalk, oktobra pa 67.108.839 decimalk, oboje s superračunalnikom HITAC S-810/20. Januarja leta 1987 so Kanada, Tamura in [[Jošinobu Kubo|Kubo]] s superračunalnikom [[NEC SX-2]] izračunali 134.214.700 pravilnih decimalk. Januarja leta 1988 sta Kanada in Tamura s superračunalnikom [[HITAC S-820|HITAC S-820/80]] določila 201.326.551 pravilnih decimalk in sta s tem 13,4-milijon krat presegla svoje prednike pred 200 leti.

Ameriška matematika brata [[David Chudnovsky|David]] in [[Gregory Chudnovsky]] z [[Univerza Columbia|Univerze Columbia]] sta maja leta 1989 s superračunalnikoma CRAY-2 in [[IBM 3090/VF]] izračunala 480.000.000 decimalk. Junija istega leta, točno dvesto let po Vegovem rekordu, sta s svojo enačbo in s posebnim računalniškim programom na superračunalniku [[IBM 3090]] postavila rekord 535.339.270 pravilnih decimalk. Tako je danes teoretično mogoče izračunati poljubno število decimalk s čimer Brouwerjevo vprašanje seveda še vedno ostaja odprto. [[Brata Chudnovsky]] sta uporabila različico Ramanudžanove neskončne vrste: 

: <math> \frac{1}{\pi} = 12 \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{(6n)!}{(3n)!(n!)^{3}} \frac{13591409 + 545140134n}{(640320^{3})^{n + 1/2}} \,\! , </math>

s katero se v vsakem koraku izračuna 14 novih števk.<ref group=A>{{sktxt|Chudnovsky|Chudnovsky|1989}}.</ref>

Istega leta sta julija Kanada in Tamura s superračunalnikom HITAC S-820/80 izračunala 536.870.898 (~ <math>2^{29}\!\, </math>) pravilnih decimalk.<ref>{{sktxt|Stanič|1989}}.</ref> Naslednji rekord sta spet postavila brata Chudnovsky še istega leta s superračunalnikom IBM 3090 in avgusta izračunala 1.011.196.691 pravilnih decimalk. Tudi Kanada in Tamura sta še istega leta novembra s superračunalnikom HITAC S-820/80 določila 1.073.740.799 pravilnih decimalk. Brata Chudnovsky sta avgusta leta 1991 z doma narejenim paralenim računalnikom zračunala 2.260.000.000 decimalk, maja leta 1994 pa 4.044.000.000 decimalk z novim doma narejenim paralelnim računalnikom.

Kanada in [[Daisuke Takahaši|Takahaši]] sta junija leta 1995 z dvoprocesorskim superračunalnikom [[HITAC S-3800|HITAC S-3800/480]] izračunala 3.221.220.000 decimalk, avgusta in septembra z istim superračunalnikom 4.294.960.000 in 6.442.450.000 decimalk. [[Simon Plouffe|Plouffe]] je tega leta odkril obrazec za algoritem BBP ([[Bailey-Borwein-Plouffejeva formula]]):

: <math> \pi = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{4n}} \left( \frac{4}{8n+1} - \frac{2}{8n+4} - \frac{1}{8n+5} - \frac{1}{8n+6}\right) \!\, , </math>

s katerim je moč izračunati ''n''-to [[dvojiški številski sistem|dvojiško]] števko števila ''π'', brez poznavanja oziroma računanja predhodnih števk, kar se je prej zdelo nemogoče.<ref group=A>{{sktxt|Bailey|Borwein|Plouffe|1997-04}}.</ref>

Čez dve leti, junija 1997, sta Kanada in Takahaši s 1024-procesorskim superračunalnikom [[HITACHI SR2201]] izračunala 51.539.600.000 pravilnih decimalk. Tega leta je [[Fabrice Bellard|Bellard]] zapisal [[Bellardova formula|različico algoritma BBP]]:

: <math> \begin{align}
\pi = \frac1{2^6} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{10n}} \, \left(-\frac{2^{5}}{4n+1} \right. & {} - \frac1{4n+3} + \frac{2^{8}}{10n+1} - \frac{2^{6}}{10n+3} \left. {} - \frac{2^{2}}{10n+5} - \frac{2^{2}}{10n+7} + \frac1{10n+9} \right), \end{align} </math>

ki je približno za 43 % hitrejša od Plouffejeve.<ref group=A>{{sktxt|Bellard|1997}}.</ref> Izhajal je iz klasične enačbe:

: <math> \pi = 4 \left( 2 \,\operatorname{arc\, tg}\, \frac{1}{2} - \,\operatorname{arc\, tg}\, \frac{1}{7} \right) \,\! , </math>

in vrste:

: <math> \operatorname{arc\, tg}\, \frac{1}{a-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{2n}}{a^{4n+3}} \left( \frac{a^{2}}{4n+1} + \frac{2a}{4n+2} + \frac{2}{4n+3} \right) \!\, . </math>

Ni znano ali obstaja še hitrejši obrazec od njegovega.

Še dve leti kasneje aprila 1999 sta Kanada in Takahaši na [[Univerza v Tokiu|Univerzi v Tokiu]] s superačunalnikom [[HITACHI SR8000 ]] izračunala 68.719.470.000 decimalk, septembra pa sta s superračunalnikom [[HITACHI SR8000/MPP]] in drugo različico Ramanudžanove neskončne vrste izračunala 206.158.430.000 pravilnih decimalk.

== 21. stoletje ==

6. decembra 2002 je Kanada in skupina devetih članov s superračunalnikom HITACHI SR8000/MPP na Oddelku za informacijske znanosti tokijske univerze v 600-tih urah izračunala 1,2411 bilijona pravilnih decimalk. Rezultat so objavili 20. oktobra 2005.<ref group=A>{{sktxt|Kanada|2005}}.</ref> Za izračun so uporabili prirejeni Machinovi enačbi:

: <math> \pi = 4 \left( 12 \,\operatorname{arc\, tg}\,\frac{1}{49} + 32 \,\operatorname{arc\, tg}\,\frac{1}{57} - 5 \,\operatorname{arc\, tg}\,\frac{1}{239} + 12 \,\operatorname{arc\, tg}\,\frac{1}{110443} \right) \!\, , </math> [[Kikuo Takano|Takano]] (1982).

: <math> \pi = 4 \left( 44 \,\operatorname{arc\, tg}\,\frac{1}{57} + 7 \,\operatorname{arc\, tg}\,\frac{1}{239} - 12 \,\operatorname{arc\, tg}\,\frac{1}{682} + 24 \,\operatorname{arc\, tg}\,\frac{1}{12943} \right) \!\, , </math> Størmer (1896).

Ti približki imajo toliko števk, da nimajo več praktične uporabe, razen za preskušanje superračunalnikov. [[normalno število|Normalnost]] števila ''π'' bo na koncu vedno odvisna od neskončnega niza števk in ne od končnega izračuna. Aprila 2004 je Kanadova skupina izračunala skupaj 1,3511 bilijona decimalk. Aprila 2009 je Takahaši s sodelavci in s superračunalnikom [[T2K Open Supercomputer]] v 73-ih urah in 36-ih minutah v Središču za računalniške znanosti [[Univerza v Cukubi|Univerze v Cukubi]] izračunal 2.576.980.377.524 decimalk. 31. decembra 2009 je Bellard z osebnim računalnikom izračunal 2.699.999.990.000 desetiških števk števila ''π''. Račune je izvedel v dvojiškem sistemu z vrsto bratov Chudnovsky, nato pa jih je pretvoril v desetiški sistem in preveril s svojim obrazcem. Za računanje in preverbo dvojiških števk, pretvorbo in preverbo v desetiški sistem je potreboval skupaj 131 dni.<ref group=A>{{sktxt|Bellard|2010}}.</ref>

3. avgusta 2010 je [[Šigeru Kondo|Kondo]] s prirejenim osebnim računalnikom, ki ga je sestavil sam, in programom y-cruncher Alexandra J. Yeeja izračunal 5.000.000.000.000 števk števila ''π''. Računanje je skupaj s preverjanjem trajalo 90 dni, od 4. maja do 3. avgusta. Primarno in sekundarno preverjanje je trajalo 64 in 66 ur.<ref group=A>{{sktxt|Yee|Kondo|2010-08-02}}.</ref>

16. oktobra 2011 sta Kondo in Yee po osmih mesecih pravilno izračunala 10 bilijonov (10<sup>13</sup>) in petdeset decimalk z enako metodo in izboljšano strojno opremo.<ref group=A>{{sktxt|Aron|2011}}.</ref><ref group=A>{{sktxt|Yee|Kondo|2011-10-22}}.</ref>

Z enako metodo in še izboljšano strojno opremo sta po 94-ih dneh 23. decembra 2013 izračunala 12.100.000.000.050 decimalk.<ref group=A>{{sktxt|Yee|Kondo|2013-11-28}}.</ref>

Oktobra 2014 je Sandon Van Ness pod psevdonimom »houkouonchi« s programom y-cruncher izračunal 13,3 bilijonov decimalk.<ref group=A name="Yee2018">{{sktxt|Yee|2018}}.</ref>

{{sidro|21. stoletje – trenutni svetovni rekord|Trenutni svetovni rekord|Svetovni rekord|Trenutni rekord}}
Novembra 2016 so Peter Trueb in njegovi sponzorji pri podjetju Dectris s programom y-cruncher in [[strežnik|strežniškim]] računalnikom [[Dell PowerEdge|Dell R930]] izračunali in popolnoma preverili 22,4 bilijonov decimalk, oziroma <math>\pi^{e}\!\,</math> bilijon decimalk zaokroženo navzdol (22.459.157.718.361). Izračun je trajal (s tremi vmesnimi prekinitvami) 105 dni, samo računanje pa 89 dni.<ref>{{navedi splet|url= http://www.numberworld.org/y-cruncher/|title= y-cruncher - A Multi-Threaded Pi Program|website= www.numberworld.org|date= |accessdate= 2016-11-29|language= en}}</ref><ref>{{navedi splet|url= http://www.pi2e.ch/|title= π<sup>e</sup> trillion digits of π|date= |accessdate= 2018-05-10|language= en}}</ref> Za izračun toliko decimalk je bilo treba izračunati 1.583.677.621.196 členov enačbe bratov Chudnovsky.<ref group=A>{{sktxt|Trueb|2016}}.</ref>

[[Emma Haruka Iwao]] je 21. januarja 2019 izračunala 31.415.926.535.897 decimalk s programom y-cruncher v0.7.6 in računalnike platforme v oblakih [[Google Cloud Platform|Google Cloud]]. Račun je trajal 121 dni od 22. septembra 2018 s pomočjo algoritma bratov Chudnovsky.<ref group=A>{{sktxt|Yee|2019}}.</ref>

29. januarja 2020 je Timothy Mullican zaključil izračun 50 bilijonov števk s pomočjo starejšega, vendar še vedno močnega osebnega računalnika, in programa y-cruncher v trajanju 303 dni od 1. aprila 2019.<ref>{{navedi splet|url= http://numberworld.org/y-cruncher/news/2020.html#2020_1_29|title= The Pi Record Returns to the Personal Computer|access-date= 30. januarja 2020|language= en}}</ref><ref group=A>{{sktxt|Mullican|2019}}.</ref>

== Sklici (A) ==

{{sklici|group=A|4}}

== Sklici ==

{{sklici|4}}

== Viri ==

{{refbegin|3}}
* [http://pidayinternational.org/Pi_History/HISTORY_OF_PI.htm ''History of Pi''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080517121518/http://www.pidayinternational.org/Pi_History/HISTORY_OF_PI.htm |date=2008-05-17 }} na pidayinternational.org {{ikona en}}
* {{citat|last1= Aron|first1= Jacob|url= https://www.newscientist.com/blogs/shortsharpscience/2011/10/pi-10-trillion.html|title= Epic pi quest sets 10 trillion digit record|date= 19. december 2011|publisher= Newscientist.com|accessdate= 17. maja 2013|language= en}}
* {{citat|last1= Almkvist|first1= Gert|last2= Krattenthaler|first2= Christian|last3= Petersson|first3= Joakim|title= Some New Formulas for π|journal= Experimental Mathematics|date= 2003|volume= 14|issue= 4|url= http://www.expmath.org/expmath/volumes/12/12.4/Almkvist.pdf|accessdate= 2011-02-14|archive-date= 2004-12-07|archive-url= https://web.archive.org/web/20041207112356/http://www.expmath.org/expmath/volumes/12/12.4/Almkvist.pdf|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Bailey|first1= David Harold|authorlink1= |last2= Borwein|first2= Peter Benjamin|authorlink2= |last3= Plouffe|first3= Simon|authorlink3= |date= april 1997|title= On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants|journal= Mathematics of Computation|volume= 66|issue= 218|pages= 903–913|url= http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf|accessdate= 2011-02-16|archive-date= 2011-06-10|archive-url= https://web.archive.org/web/20110610051436/http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Bailey|first1= David Harold|authorlink1= |last2= Borwein|first2= Jonathan Michael|authorlink2= |title= High-Precision Arithmetics in Mathematical Physics|date= 2015|journal= Mathematics|volume= 3|issue= 2|pages=337–367|doi= 10.3390/math3020337}}
* {{citat|last1= Beeler|first1= Michael|last2= Gosper|first2= Ralph William|authorlink2= |last3= Schroeppel|first3= Richard|authorlink3= |title= HAKMEM|work= MIT Artificial Intelligence Laboratory, Cambridge, MA|date= februar 1972|url= http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/hakmem.html|accessdate= 2013-05-21|archive-date= 2013-06-21|archive-url= https://web.archive.org/web/20130621190855/http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/hakmem.html|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Bellard|first1= Fabrice|authorlink1= |url= http://bellard.org/pi/pi_bin.pdf|title= A new formula to compute the n'th binary digit of pi|date= 20. januar 1997|accessdate= 15. februarja 2011|language= en}}
* {{citat|last1= Bellard|first1= Fabrice|authorlink1= |url= http://bellard.org/pi/pi2700e9/|title= Pi Computation Record|date= 2010-08-04|accessdate= 15. februar 2011|language= en}}
* {{citat|last1= Bloodworth|first1= Carey|title= pi-ref.doc|url= http://www.boo.net/~jasonp/pi-ref.txt|date= 1996-08-11|accessdate= 18. avgusta 2011|language= en|archive-date= 2010-11-23|archive-url= https://web.archive.org/web/20101123193635/http://www.boo.net/~jasonp/pi-ref.txt|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Brent|first1= Richard Peirce|authorlink1= |last2= Zimmermann|first2= Paul|authorlink2= |title= Modern Computer Arithmetic|url= http://www.loria.fr/~zimmerma/mca/pub226.html|date= oktober 2010|publisher= Cambridge University Press}}
* {{citat|last1= Chudnovsky|first1= David V.|last2= Chudnovsky|first2= Gregory V.|title= The Computation of Classical Constants|date= november 1989|journal= [[Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|Proc. Nati. Acad. Sci. USA]]|volume= 86|issue= 21|pages= 8178–8182|doi= 10.1073/pnas.86.21.8178|jstor= 34831|pmc= 298242|pmid= 16594075|issn= 0027-8424|url= https://www.pnas.org/content/pnas/86/21/8178.full.pdf|accessdate= 2019-05-24|archive-date= 2018-07-26|archive-url= https://web.archive.org/web/20180726105112/http://www.pnas.org/content/pnas/86/21/8178.full.pdf|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Conway|first1= John Horton|authorlink1= |last2= Guy|first2= Richard Kenneth|authorlink2= Richard Kenneth Guy|title= The book of numbers|publisher= Springer-Verlag|location= New York|date= 1996|url= http://books.google.si/books?id=0--3rcO7dMYC|isbn= 0-387-97993-X|cobiss= 8600409}}
* {{citat|last1= Davidov|first1= Avgust Juljevič|authorlink1= |title= Элементарная геометрія въ объемѣ гимназическаго курса|date= 1879|edition= 11|publisher= Knižni magazin O. I. Salajeva|location= Moskva|url= http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%28%D0%94%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BE%D0%B2%29.djvu&page=1}}
* {{citat|last1= Finkel|first1= Benjamin Franklin|authorlink1= |date= 1897|title= Biography- Leonard Euler|journal= The American Mathematical Monthly|volume= 4|issue= 12|pages= 300|doi= 10.2307/2968971}}
* {{citat|last1= Grasselli|first1= Jože|authorlink1= Jože Grasselli|title= Enciklopedija števil|date= 2008|publisher= [[Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije|DMFA]] – založništvo|location= Ljubljana|series= Matematika – fizika : zbirka univerzitetnih učbenikov in monografij|issn= 1408-1571|volume= 45|isbn= 978-961-212-209-6|cobiss=243138304}}
* {{citat|last1= Guillera|first1= Jesus|title= History of the formulas and algorithms for pi|url= http://arxiv.org/abs/0807.0872|date= 2009-04-02|id= {{arxiv|0807.0872v3}}}}
* {{citat|last1= Jones|first1= William|authorlink1= |title=Synopsis palmariorum matheseos|location= London|date= 1706}}
* {{citat|last1= Kanada|first1= Jasumada|authorlink1= |url= http://www.super-computing.org/pi_current.html|title= Najava na Kanadovi spletni strani laboratorija|website= Super-computing.org|date= 20. oktober 2005|accessdate= 11. decembra  2017|language= en|archive-date= 2011-03-12|archive-url= https://web.archive.org/web/20110312035524/http://www.super-computing.org/pi_current.html|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Kline|first1= Morris|authorlink1= |title= Euler and Infinite Series|journal= Mathematics Magazine|date= november 1983|volume= 56|issue= 5|pages= 307–314|url= http://www.jstor.org/stable/2690371|doi= 10.2307/2690371}}
* {{citat|last1= de Lagny|first1= Thomas Fantet|authorlink1= |title= Mémoire sur la quadrature du cercle, & sur la mesure de tout arc, tout secteur, & tout segment donné|journal= Histoire de l'Académie royale des sciences (1719)|date= 1721|pages= 135–145}}
* {{citat|last1= Lange|first1= Leo Jerome|authorlink1= |title= An Elegant Continued Fraction for ''π''|journal= The American Mathematical Monthly|volume= 106|issue= 5|date= maj 1999|pages= 456–458|jstor= 2589152|doi= 10.2307/2589152}}
* {{citat|last1= Legiša|first1= Peter|authorlink1= |last2= Razpet|first2= Marko|authorlink2= |title= Vegovih 140 decimalk krožne konstante|journal= [[Obzornik za matematiko in fiziko]]|volume= 60|date= 2013|issue= 6|pages= 212-224}} <font color=darkblue> (Math. Subj. Class. (2010): 01A50) </font>
* {{citat|last1= Mortici|first1= Cristinel|title= Estimating ''π'' from the Wallis sequence|journal= Mathematical Communication|date= 2012|volume= 17|issue= 2|pages= 489–495|url= http://hrcak.srce.hr/file/137301|issn= 1331-0623}}
* {{citat|last1= Mullican|first1= Timothy|url= https://blog.timothymullican.com/calculating-pi-my-attempt-breaking-pi-record|title= Calculating Pi: My attempt at breaking the Pi World Record|date= 26. junij 2019|access-date= 30. januarja 2020|language= en}}
* {{citat|last1= Munafo|first1= Robert|title= Notable Properties of Specific Numbers|url= http://www.mrob.com/pub/math/numbers-2.html#l3_14159a|date= 1996–2013|accessdate= 1. decembra 2013|language= en}}
* {{citat|last1= O'Connor|first1= John J.|last2= Robertson|first2= Edmund Frederick|authorlink2= |title= William Shanks|url= http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Shanks.html|date= 2007|publisher= Arhiv zgodovine matematike MacTutor, Šola za matematiko in statistiko, Univerza svetega Andreja|accessdate= 30. oktobra 2012|language= en|archive-date= 2019-03-25|archive-url= https://web.archive.org/web/20190325095432/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Shanks.html|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Plestenjak|first1= Bor|authorlink1= Bor Plestenjak|title= Razširjen uvod v numerične metode|date= 2015|publisher= [[Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije|DMFA]] – založništvo|location= Ljubljana|series= Matematika – fizika : zbirka univerzitetnih učbenikov in monografij|issn= 1408-1571|volume= 52|isbn= 978-961-212-264-5|cobiss= 938562252|oclc= 449615476}}
* {{citat|last1= Polachek|first1= Harry|last2= Tomayko|first2= James|editor= |date= 1996|title= Anecdotes: Computers vs. the Human Race|url= http://www.priorartdatabase.com/IPCOM/000129969/|accessdate= 2009-04-22|journal= IEEE Annals of the History of Computing|volume= 18|issue= 4|page= 60|publisher= Institute of Electrical and Electronic Engineers|issn= 1058-6180|quote= In order to assure the preservation of this document, I arranged for two clear copies of the output to be printed and specially bound (inscribed in gold letters)—one of which I donated to the Smithsonian Institution in Washington, D.C.; the other I kept. The transfer to the Smithsonian took place at a small ceremony, attended by about 25 invited guests.}}
* {{citat|last1= Razpet|first1= Marko|authorlink1= |title= Iracionalnost krožne konstante|journal= Obzornik za matematiko in fiziko|volume= 56|date= 2009|issue= 2|pages= 41-47}} <font color=darkblue> (Math. Subj. Class. (2009): 11J99, 30E99) </font>
* {{citat|last1= Razpet|first1= Marko|authorlink= |title= Več kot 150 decimalk krožne konstante pred letom 1800|journal= Obzornik za matematiko in fiziko|volume= 60|date= 2013|issue= 4|pages= 129-136}} <font color=darkblue> (Math. Subj. Class. (2010): 01A50, 01A55) </font>
* {{citat|last1= Razpet|first1= Marko|authorlink1= |title= The Origin of Geometry in Indija [Nove knjige]|journal= Obzornik za matematiko in fiziko|volume= 67|date= 2020|issue= 1|pages= 35-37}}
* {{citat|last1= Richeson|first1= David|title= Circular reasoning: who first proved that <math>C/d\, </math> is a constant?|date= 2013|arxiv= 1303.0904}}
* {{citat|last1= Schneider|first1= Theodor|authorlink1= |url= http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002278537|title= Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale|journal= Mathematische Annalen|date= 1937|volume= 113|pages= 1–13}}
* {{citat|last1= Shanks|first1= Daniel|authorlink1= |last2= Wrench|first2= John William|authorlink2= |date= 1962|title= Calculation of π to 100,000 Decimals|journal= Mathematics Computation|volume= 16|pages= 76–99|issn= 0025-5718|doi=10.2307/2003813}}
* {{navedi novice|last1= Smyth|first1= Chris|url= http://www.timesonline.co.uk/tol/news/science/article6978433.ece|work= The Times|location= London|title= Pi a mathematical story that would take 49000 years to tell|date= 2010-01-07|language= en|accessdate= 2018-05-10|archive-date= 2020-07-16|archive-url= https://web.archive.org/web/20200716232202/https://www.thetimes.co.uk/|url-status= dead}}
* {{navedi disertacijo|last1= Skubic|first1= Katja|title= Verižni ulomki in neskončne vrste|type= diplomsko delo|chapter= |url= http://pefprints.pef.uni-lj.si/id/eprint/2464|author= |year= 2014|publisher= Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta, Matematika in računalništvo|accessdate= 4. januarja 2020|docket= |oclc= 898599403|cobiss= 10216009}}{{Slepa povezava|date=oktober 2023 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* {{citat|last1= Stanič|first1= Samo|title= Dvajset tisoč decimal števila &pi;|date= 1989|journal= Presek|publisher= Društvo matematikov, ﬁzikov in astronomov Slovenije|location= Ljubljana|url= http://www.presek.si/17/982-Stanic.pdf|accessdate= 2019-05-24|archive-date= 2018-12-22|archive-url= https://web.archive.org/web/20181222151314/http://www.presek.si/17/982-Stanic.pdf|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Strnad|first1= Janez|authorlink1= Janez Strnad|date= 2005|title= Einstein. E = mc²|edition=1.|publisher= Modrijan|location= Ljubljana|pages= 523|isbn= 961-241-036-4|cobiss= 220223744|oclc= 447878218}}
* {{citat|last1= Trueb|first1= Peter|title= The Chudnovsky Formula|date= 30. julij 2016|accessdate= 10. maja 2018|url= http://pi2e.ch/blog/2016/07/30/the-chudnovsky-formula/|language= en}}
* {{citat|last1= Varadarajan|first1= Veeravalli Seshadri|authorlink= |title= Euler and his work on infinite series|journal= Bulletin of the American Mathematical Society|date= oktober 2007|volume= 44|issue= 4|pages= 515–539|mr= 2338363|doi= 10.1090/S0273-0979-07-01175-5}}
* {{MathWorld|urlname= PiFormulas|title= Pi Formulas}}
* {{citat|last1= Yee|first1= Alexander J.|url= http://www.numberworld.org/y-cruncher/|title= y-cruncher: A Multi-Threaded Pi Program|date= 2018|accessdate= 14. marca 2018|language= en}}
* {{citat|last1= Yee|first1= Alexander J.|last2= Kondo|first2= Šigeru|url= http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/announce_en.html|title= 5 Trillion Digits of Pi - New World Record|date= 2. avgust 2010|accessdate= 15. februarja 2011|language= en}}
* {{citat|last1= Yee|first1= Alexander J.|last2= Kondo|first2= Šigeru|url= http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html|title= Round 2... 10 Trillion Digits of Pi|date= 22. oktober 2011|accessdate= 17. maja 2013|language= en}}
* {{citat|last1= Yee|first1= Alexander J.|last2= Kondo|first2= Šigeru|url= http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-12t/|title= 12.1 Trillion Digits of Pi|date= 28. december 2013|accessdate= 30. marca 2015|language= en}}
* {{citat|last1= Yee|first1= Alexander J.|title= Google Cloud Topples the Pi Record|date= 14. marec 2019|website= www.numberworld.org/|url= http://www.numberworld.org/blogs/2019_3_14_pi_record/|accessdate= 24. maja 2019|language= en}}
* {{citat|last1= Žabkar|first1= Albin|authorlink1= Albin Žabkar|title= Geometrija za šesti razred gimnazije|date= 1965|publisher= [[Državna založba Slovenije|DZS]]|location= Ljubljana|isbn= |cobiss= 187725056}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==

* Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal, [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html ''Numbers, constants and computation''] {{ikona en}}
* O'Connor, John J.; [[Edmund  Frederick Robertson|Robertson, Edmund  Frederick]], [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html ''A history of Pi''], stran Univerze svetega Andreja, [[Arhiv zgodovine matematike MacTutor]] {{ikona en}}
* {{MathWorld|id=PiFormulas|title=Pi Formulas}}

{{zvezdica}}

[[Kategorija:Zgodovina matematike]]
[[Kategorija:Pi]]