Ogled vira Zunanji produkt

{{short description|računska operacija z vektorji v zunanji algebri kot posplošitev vektorskega produkta, kjer je rezulat število (skalar)}}
'''Zunánji prodúkt''' (tudi '''vnánji prodúkt''') je v [[linearna algebra|linearni algebri]] [[računska operacija]] z [[vektor (matematika)|vektorji]]. Je posplošitev [[vektorski produkt|vektorskega produkta]], le da je rezultat v tem primeru [[število]] ([[skalar]]). Zunanji produkt se označi z znakom <math> \wedge \!\, </math> ('''Λ'''). Je produkt v tem smislu, da tvori s [[seštevanje]]m in [[skalarni produkt|skalarnim množenjem]] [[algebra nad poljem|algebro nad poljem]], imenovano [[zunanja algebra]]. Verjetno je kvalificiran kot zunanji do te mere, da je njegov rezultat [[linearna neodvisnost|linearno neodvisen]] od njegovih operandov.

V [[abstraktna algebra|abstraktni algebri]] pojem zunanjega produkta omogoča algebrsko upoštevanje konceptov usmerjenih območij in prostornin ter, v kateri koli [[razsežnost]]i, [[determinanta|determinant]], preko [[vektorski produkt|vektorskega produkta]], ki so osnova obravnavanih [[podprostor]]ov.

[[slika:Exterior calc triple product.png|thumb|right|Različni zunanji produkti treh [[vektor (matematika)|vektorjev]]]]

Če sta v [[kartezična ravnina|kartezični ravnini]] podana vektorja <math> \mathbf\vec{a} = (a_{1}, a_{2}) \!\, </math> in <math> \mathbf\vec{b} = (b_{1}, b_{2}) \!\, </math>, je njun zunanji produkt enak:

: <math> \mathbf\vec{a} \land \mathbf\vec{b} = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \!\, . </math>

Čeprav ime tega ne pove, je zunanji produkt [[multilinearna preslikava|izmeničen]]. V tem smislu se razlikuje od [[tenzorski produkt|tenzorskega produkta]], katerega dejansko predstavlja [[antisimetričnost|antisimetrizacijo]].

== Zgodovina ==

Zunanji prudukt si je okoli leta [[1844 v znanosti|1844]] zamislil nemški matematik [[Hermann Günther Grassmann]]. Ta koncept je leta 1878 integriral [[William Kingdon Clifford]] v svojo [[geometrijska algebra|geometrijsko algebro]], imenovano tudi [[Cliffordova algebra]], ki posplošuje in razvija delo Grassmanna ([[Grassmanova algebra]]) kot tudi [[William Rowan Hamilton|Williama Rowana Hamiltona]] leta 1843 o [[kvaternion]]ih. Clifford je opisoval kvaternione kot posebno obliko transformacij (imenoval jih je rotorje). Grassmannova algebra pa je opisovala določene značilnosti, kot so [[dolžina]], [[površina]] in [[prostornina]]. Clifford je definiral nov produkt, ki se imenuje [[geometrijski produkt]].

== Zunanji produkt vektorjev ==

=== Značilnosti ===

Za razliko od vektorskega produkta dveh vektorjev, zunanji produkt dveh vektorjev <math> E \!\, </math>, imenovan [[bivektor]], ni vektor istega [[vektorski prostor|prostora]], temveč novega prostora, označenega z <math> \wedge^{2} (E) \!\, </math>. Medtem ko je vektorski produkt definiran samo v [[trirazsežni prostor|3-razsežnem prostoru]], je zunanji produkt definiran za poljubni koli vektorski prostor.

Pomembne značilnosti zunanjega produkta vektorjev:

* zunanji produkt dveh vektorjev je [[multilinearna preslikava|izmeničen]] – zunanji produkt vektorja s samim seboj je enak [[nič]]:

:: <math> \mathbf\vec{a} \wedge \mathbf\vec{a} = 0 \!\, . </math>

* zunanji produkt je [[bilinearna preslikava|bilinearen]]:

::<math> \mathbf\vec{a} \wedge (\beta \mathbf\vec{b}) = \beta (\mathbf\vec{a} \wedge \mathbf\vec{b}) = (\beta \mathbf\vec{a}) \wedge \mathbf\vec{b} \!\, , </math>

:: <math> \mathbf\vec{a} \wedge (\mathbf\vec{b} + \mathbf\vec{c}) = \mathbf\vec{a} \wedge \mathbf\vec{b} + \mathbf\vec{a} \wedge \mathbf\vec{c} \!\, , </math>

::<math> (\mathbf\vec{b} + c) \wedge \mathbf\vec{a} = \mathbf\vec{b} \wedge \mathbf\vec{a} + \mathbf\vec{c} \wedge \mathbf\vec{a} \!\, . </math>

* zaradi bilinearnosti pomeni, da je [[antisimetrična relacija|antisimetričen]]:{{efn|<math> (\mathbf\vec{a} + \mathbf\vec{b}) \wedge (\mathbf\vec{a} + \mathbf\vec{b}) = \mathbf\vec{a} \wedge \mathbf\vec{b} + \mathbf\vec{b} \wedge \mathbf\vec{a} = 0 \!\, </math>.}}

:: <math> \mathbf\vec{a} \land \mathbf\vec{b} = -\mathbf\vec{b} \land \mathbf\vec{a} \!\, . </math>

* če je prostor <math> E \!\, </math> opremljen z [[evklidska metrika|evklidsko metriko]], potem je tudi <math> \wedge^{2} (E) \!\, </math> in je [[norma (matematika)|norma]] bivektorja enaka:

::<math> \| \mathbf\vec{a} \wedge \mathbf\vec{b} \| = \| \mathbf\vec{a} \| \| \mathbf\vec{b} \| \sin (\widehat{\mathbf\vec{a}, \mathbf\vec{b}}) \!\, . </math>

* zunanji produkt dveh vektorjev predstavlja [[ploščina|ploščino]] [[paralelogram]]a.

Posplošitev te računske operacije je zunanji produkt v ''Grassmannovi algebri'', ki se imenuje tudi ''[[zunanja algebra]]''.

=== Povezava z vektorskim produktom ===

Zunanji produkt in [[Josiah Willard Gibbs|Gibbsov]] [[vektorski produkt]] sta povezana z [[relacija dualnosti|relacijo dualnosti]]. Rezultat vektorskega produkta je dejansko prikriti bivektor, ki je nadomeščen z vektorjem, in je njegov dvojnik v trirazsežnem prostoru. To pojasnjuje, zakaj je vektorski produkt veljaven le v trirazsežnem prostoru. Pravzaprav je le v takem prostoru dual bivektorja vektor.

Od vektorskega produkta se lahko preide k zunanjemu produktu z uporabo naslednje relacije:

: <math> \mathbf\vec{a} \times \mathbf\vec{b} = -I (\mathbf\vec{a} \wedge \mathbf\vec{b}) \!\, , </math>

kjer je <math> I \!\, </math> [[enotski psevdoskalar]] 3-razsežnega prostora. Tukaj križ ([[krat]]) predstavlja vektorski produkt.

=== Povezava s tenzorskim produktom ===

V skladu z najbolj klasičnim stališčem dejstvo, da je paralelepiped, podprt z družino vektorjev, »sploščen«, takoj ko je ta družina povezana, vodi do tega, da se zunanji produkt obravnava kot rezultat antisimetrizacije [[tenzorski produkt|tenzorskega produkta]], to je, da je najsplošnejša oblika asociativnega produkta. Takšno antisimetrizacijo se doseže s prehodom na kvocient, v tem primeru kvocient tenzorske algebre, povezane z vektorskim prostorom, ki se ga obravnava, z [[bilateralni ideal|bilateralnim idealom]] te algebre, ustvarjene s [[tenzorski kvadrat|tenzorskimi kvadrati]] <math> \mathbf\vec{u} \otimes \mathbf\vec{u} \!\, </math>, saj naj bi bili ti »sploščeni«. Tako se dobi zunanjo algebro <math> \bigwedge E \!\, </math> vektorskega prostora <math> E \!\, </math>. Tako je na določen način pojem zunanje algebre vektorskega prostora pred pojmom zunanjega produkta dveh vektorjev.

Zunanji produkt in tenzorski produkt, ki delujeta znotraj različnih algeber, načeloma ni mogoče združiti v istem izrazu. Torej, se formule:

: <math> \mathbf\vec{a} \wedge \mathbf\vec{b} = \mathbf\vec{a} \otimes \mathbf\vec{b} - \mathbf\vec{b} \otimes \mathbf\vec{a} \!\, , </math>

včasih predstavljene kot definicijo zunanjega produkta ne bi smelo jemati dobesedno, temveč kot izražanje možnosti vložitve vektorskega prostora <math> \wedge^{2} E \!\, </math> v <math> \otimes^{2}E \!\, </math>, kjer <math> \wedge ^{2}E \!\, </math> označuje [[vektorski podprostor]] zunanje algebre <math> \bigwedge E \!\, </math>, ki ga ustvarijo »paralelogrami« (ali bivektorja) <math> \mathbf\vec{u} \wedge \mathbf\vec{v} </math>.

== Zunanji produkt multivektorjev ==

Zunanji podukt velja tudi za [[multivektor]]je. Z multivektorjem se razume najsplošnejši element geometrijske algebre, in sicer za [[n-razsežni prostor|<math> n \!\, </math>-razsežni prostor]]:

: <math> M = \alpha + \beta \mathbf\vec{A}_{1} + \gamma \mathbf\vec{A}_{2} + \cdots + \mu \mathbf\vec{A}_{k} + \cdots \nu \mathbf\vec{A}_{n} \!\, , </math>

kjer grške črke predstavljajo skalarne vrednosti in <math> \mathbf\vec{A} \!\, </math> indeksirane <math> p \!\, </math>-vektorje s <math> p \le n \!\, </math>.

== Večkratni zunanji produkt ==

{{glej tudi|zunanja algebra}}

V splošnem primeru se lahko z zunanjim produktom oblikuje entitete, ki se jih lahko imenuje <math> p \!\, </math>-vektorji. Tako je:

: <math> \mathbf\vec{a}_{1} \wedge \mathbf\vec{a}_{2} \wedge \cdots \wedge \mathbf\vec{a}_{p} \in \wedge^{p} (E) \!\, . </math>

Če je <math> p \!\, </math> strogo večji od razsežnosti prostora <math> E \!\, </math>, potem je <math> \wedge^{p} (E) \!\, </math> [[ničelni prostor]].

Če je <math> n \!\, </math> enak razsežnosti E, potem je <math> \wedge^{n} (E) \!\, </math> [[vektorska premica]].

Če je <math> E \!\, </math> na primer 3-razsežni evklidski prostor, so [[trivektor]]ji [[mnogokratnik]]i enotskega psevdoskalarja <math> I \!\, </math>:

: <math> \mathbf\vec{a} \wedge \mathbf\vec{b} \wedge \mathbf\vec{c} = \lambda I \!\, , </math>

kjer je skalar [[prostornina]] [[paralelepiped]]a, zgrajena na teh treh vektorjih.

== Opombe ==

{{seznam opomb}}

== Viri ==

{{refbegin|1|normalfont=yes}}
* {{citat|last1= Stöcker|first1= Horst|authorlink1= Horst Stöcker|title= Matematični priročnik z osnovami računalništva|date= 2006|pages= 366|publisher= [[Tehniška založba Slovenije]]|location= Ljubljana|isbn= 86-365-0587-9|cobiss= 229576192|oclc= 449201276}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==

* {{MathWorld|id=WedgeProduct|title=Wedge Product|author= Todd, Rowland|lang=en}}

{{linearna algebra}}

{{škrbina-mat}}

[[Kategorija:Linearna algebra]]
[[Kategorija:Abstraktna algebra]]
[[Kategorija:1844 v znanosti]]