Robbinsova konstanta

Robbinsova konstanta je v geometriji konstanta enaka povprečni razdalji med dvema naključno izbranima točkama v enotski kocki. Imenuje se po ameriškem matematiku Davidu Petru Robbinsu (1942–2003). Je poseben primer za razdaljo v trirazsežni enotski hiperkocki. Lahko se izrazi kot:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }(3)& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2+(x_3-y_3{)}^2}\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2\mathrm{d}{x}_3\mathrm{d}{y}_1\mathrm{d}{y}_2\mathrm{d}{y}_3\\ & =\frac{4+17\sqrt{2}-6\sqrt{3}-7\pi }{105}+\frac{\ln (1+\sqrt{2})}{5}+\frac{2\ln (2+\sqrt{3})}{5}\\ & =\frac{4+17\sqrt{2}-6\sqrt{3}-7\pi }{105}+\frac{\mathrm{arsinh}1}{5}+\frac{2\ln (2+\sqrt{3})}{5}.\end{array}$

Njena desetiška vrednost je Predloga:OEIS:

$\mathrm{\Delta }(3)=0,661707182267176235155831133248\dots .$

Če se točki namesto v notranjosti izbirata na ploskvah enotske kocke, je povprečna razdalja enaka Predloga:OEIS:

${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{f}}(3)=\frac{7}{5}\mathrm{\Delta }(3)=0,926390055174046729218163586547\dots .$

Sorodna razdalja je v enotskem kvadratu:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }(2)& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2}\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2\mathrm{d}{y}_1\mathrm{d}{y}_2\\ & =\frac{2+\sqrt{2}+5\ln (1+\sqrt{2})}{15}\\ & =\frac{2+\sqrt{2}+5\mathrm{arsinh}1}{15}.\end{array}$

katere desetiška vrednost je Predloga:OEIS:

$\mathrm{\Delta }(2)=0,521405433164720678330982356607\dots .$

Posebni primer je konstanta v enotskem intervalu:

$\mathrm{\Delta }(1)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{(x-y{)}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{3}=0,\bar{3}.$

Viri

• Predloga:Citat

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld