Haynes - Shockleyev eksperiment

V Haynes - Shockleyev eksperimentu v polprevodnik (recimo tipa n) vbrizgamo vrzeli, lahko s sunkom napetosti ali pa z laserskim pulzom. V našem primeru na polprevodnik na razdalji d priključimo elektrodi, na eni vbrizgamo vrzeli, z drugo pa opazujemo signal. Zanimajo nas gibljivost nosilcev električnega naboja, difuzijska konstanta in relaksacijski čas v polprevodniku, ki jih s tem poskusom lahko določimo. Problem bomo obravnavali v eni dimenziji.

Najprej si pogledamo enačbe za tok vrzeli in elektronov:

$j_e=-{\mu }_{n}nE-D_n\frac{\partial n}{\partial x}$

$j_p=-{\mu }_{p}pE-D_n\frac{\partial p}{\partial x}$

kjer je $\mu =e\beta D$ gibljivost, velja $v=\mu E$.

Velja tudi kontinuitetna enačba:

$\frac{\partial n}{\partial t}=\frac{-(n-n_0)}{{\tau }_n}-\frac{\partial j_e}{\partial x}$

$\frac{\partial p}{\partial t}=\frac{-(p-p_0)}{{\tau }_p}-\frac{\partial j_p}{\partial x}$

Upoštevamo, da se elektroni in vrzeli rekombinirajo z relaksacijskim čason $\tau$.

Definiramo $p_1=p-p_0$ in $n_1=n-n_0$ in sestavimo zgornje enačbe v:

$\frac{\partial p_1}{\partial t}=D_p\frac{{\partial }^2{p}_1}{\partial x^2}-{\mu }_{p}p\frac{\partial E}{\partial x}-{\mu }_{p}E\frac{\partial p_1}{\partial x}-\frac{p_1}{{\tau }_p}$

$\frac{\partial n_1}{\partial t}=D_n\frac{{\partial }^2{n}_1}{\partial x^2}+{\mu }_{n}n\frac{\partial E}{\partial x}+{\mu }_{n}E\frac{\partial n_1}{\partial x}-\frac{n_1}{{\tau }_n}$

Upoštevali smo, da sta $p_0$ in $n_0$ konstantna, zato odpadeta pri odvodu.

Poglejmo si člen, v katerem nastopa gradient električnega polja. Laplaceova enačba nam pove:

$\rho =-ϵ{ϵ}_0\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}=ϵ{ϵ}_0\frac{\partial E}{\partial x}$

$\frac{\partial E}{\partial x}=\frac{\rho }{ϵ{ϵ}_0}=\frac{e_0((p-p_0)-(n-n_0))}{ϵ{ϵ}_0}$

Zdaj uvedemo $n_2=p_1+n_1$ in $n_3=p_1-n_1<<n_2$. Gibalni enačbi lahko zapišem z uporabo novih spremenljivk:

$\frac{\partial n_2}{\partial t}=D_p\frac{{\partial }^2{n}_2}{\partial x^2}-{\mu }_{p}p\frac{\partial E}{\partial x}-{\mu }_{p}E\frac{\partial n_2}{\partial x}-\frac{n_2}{{\tau }_p}$

$\frac{\partial n_2}{\partial t}=D_n\frac{{\partial }^2{n}_2}{\partial x^2}+{\mu }_{n}n\frac{\partial E}{\partial x}+{\mu }_{n}E\frac{\partial n_2}{\partial x}-\frac{n_2}{{\tau }_n}$

Vidimo, da sta zgornji enačbi sklopljeni, saj v njiju nastopajo enake količine, razlikujejo pa se konstante. Zdaj ju bomo združili v eno enačbo:

$\frac{\partial n_2}{\partial t}=D^{*}\frac{{\partial }^2{n}_2}{\partial x^2}+{\mu }^{*}E\frac{\partial n_2}{\partial x}-\frac{n_2}{{\tau }^{*}},$

kjer so $D^{*}=\frac{D_n{D}_p(p+n)}{p{D}_p+n{D}_n}$, ${\mu }^{*}=\frac{{\mu }_n{\mu }_p(p-n)}{p{\mu }_p+n{\mu }_n}$ in $\frac{1}{{\tau }^{*}}=\frac{p{\mu }_p{\tau }_p+n{\mu }_n{\tau }_n}{{\tau }_p{\tau }_n(p{\mu }_p+n{\mu }_n)}.$

Če predpostavimo, da je n>>p oziroma $p\to 0$ (kar je seveda res v polprevodniku, v katerega smo vbrizgali samo nekaj vrzeli, ostalo so pa elektroni), vidimo, da $D^{*}\to D_p$, ${\mu }^{*}\to {\mu }_p$ in $\frac{1}{{\tau }^{*}}\to \frac{1}{{\tau }_p}$. Vidimo, da se vrzeli takoj zasenčijo z elektroni, torej se polprevodnik obnaša, kot da po njem potuje samo oblak vrzeli.

Enačbo za gibljivost zdaj lahko rešimo in dobimo zvezo:

$n_2(x,t)=A\frac{1}{\sqrt{4\pi D^{*}t}}{e}^{-t/{\tau }^{*}}{e}^{-\frac{(x+{\mu }^{*}Et-x_0{)}^2}{4D^{*}t}}$

To lahko interpretiramo takole: ob začetnem sunku napetosti ali laserskem pulzu se ustvarijo vrzeli v obliki delta funkcije. Vrzeli potem začnejo potovati proti elektrodi, kjer jih zaznamo. Signal na drugi elektrodi ima torej obliko Gaussove krivulje.

Parametre $\mu ,D$ in $\tau$ določimo iz oblike krivulje in količin $t_0$, ki je čas, ki ga vrh sunka porabi do druge elektrode in $\delta t$, ki je širina sunka ob času $t_0$.

${\mu }^{*}=\frac{d}{E{t}_0}$

$D^{*}=({\mu }^{*}E{)}^2\frac{(\delta t{)}^2}{16t_0}$

Viri

• Wang:Solid State Electronics