Odvod

Graf funkcije narisane v črnem in tangenta te funkcije narisane v rdečem. Naklon tangente je enak odvodu funkcije v označeni točki.

Predloga:Infinitezimalni račun Odvòd v matematiki predstavlja spremembo funkcije pri spremembi njenega argumenta. Opisuje najboljšo linearno aproksimacijo funkcije v bližini vrednosti funkcije z nekim argumentom.

Diferenciacija in izpeljava

$m=\frac{\text{sprememba v }y}{\text{sprememba v }x}=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$

Definicija z diferenčnim količnikom

Naj bo $y=f(x)$ funkcija $x$-a.

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$

Ta izraz je Newtonov diferenčni kvocient. Odvod je vrednost diferenčnega kvocienta, ko je sekanta vedno bližje tangenti.

Formalno je odvod funkcije f od a enak limiti:

$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

diferenčnega kvocienta ko se h približuje ničli. Če limita obstaja, je funkcija f odvedljiva v točki a. Tu je f'(a) eden izmed zapisov odvoda (glej tu).

Zveznost in odvedljivost

Če je funkcija f v točki a odvedljiva, je tam tudi zvezna. Obratna zveza ne velja.

Zapisovanje odvoda

Leibnizev zapis

Zapis odvoda, ki ga je uvedel Gottfried Wilhelm Leibniz je med najstarejšimi.

$\frac{dy}{dx},\frac{d(f(x))}{dx},\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\frac{d}{dx}(f(x)).$

Višje odvode zapišemo kot

$\frac{d^{n}y}{d{x}^n},\frac{d^n(f(x))}{d{x}^n},\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{i}\frac{d^n}{d{x}^n}(f(x))$

za n-ti odvod funkcije y=f(x)

Lagrangeev zapis

Eden najbolj uporabljenih zapisov za odvajanje je uvedel Joseph-Louis de Lagrange. Za oznako je uporabil znak unča. Tako je diferencialni koeficient funkcije f(x) označen z f'(x) ali krajše f' .

Newtonov zapis

Newtonov zapis za odvajanje, imenovan tudi zapis s piko, je postavljena pika nad funkcijo za predstavitev diferencialnega koeficienta. Če je funkcija y = f(t) odvisna od spremenljivke t, njen odvod zapišemo

$\dot{y}$

Newtonov zapis se uporablja predvsem v fiziki, kjer je običajno s piko označen časovni odvod, oziroma odvod po času.

Eulerjev zapis

Eulerjev zapis uporablja diferencialni operator D, ki ga predpostavimo funkciji f in dobimo prvi odvod Df.

Računanje odvoda

Pravila za sestavljanje funkcij

• odvod vsote/razlike:

$(f(x)\pm g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)$

• odvod produkta:

$(f(x)\cdot g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

• odvod količnika:

$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$

• odvod kompozituma:

$(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$

Odvodi elementarnih funkcij

• odvod konstante: če je g(x) = c (konstanta), potem

$g^{\prime }(x)=0$

• odvod potence: če je $f(x)=x^r$, kjer je r realno število, potem

$f^{\prime }(x)=r{x}^{r-1}$,

Pravilo za odvod potence lahko uporabljamo tudi za primere ko r ni celo število. Takrat pravilo velja tam, kjer je funkcija definirana. Na primer: če je r = 1/2, sledi $f^{\prime }(x)=(1/2)x^{-1/2}$ in funkcija je definirana le za nenegativne vrednost x.

• odvod eksponentne funkcije:
  • Naravna eksponentna funkcija $f(x)=e^x$ se pri odvajanju ne spremeni: $f^{\prime }(x)=e^x$.
  • V splošnem pa je odvod funkcije $f(x)=a^x$ enak $f^{\prime }(x)=a^x\ln a$.

• odvod logaritemske funkcije:
  • Naravna logaritemska funkcija $f(x)=\ln x$ ima odvod $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$.
  • V splošnem je odvod logaritemske funkcije $f(x)={\log }_{a}x$ enak $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln a}$.

Odvodi trigonometrijskih funkcij

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$

$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

$(\sin 2x{)}^{\prime }=2\cos 2x$

$(\cos 2x{)}^{\prime }=-2\sin 2x$

$(\sin (nx){)}^{\prime }=n\cos (nx)$

$({\sin }^{2}x{)}^{\prime }=2\sin x\cos x=\sin 2x$

$({\cos }^{2}x{)}^{\prime }=-2\sin x\cos x=-\sin 2x$

$({\sin }^{n}x{)}^{\prime }=n{\sin }^{(n-1)}x\cos x$

$({\cos }^{n}x{)}^{\prime }=-n\sin x{\cos }^{(n-1)}x$

$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x};\cos x\ne 0$

$(\cot x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x};\sin x\ne 0$

$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$

Odvodi drugih funkcij:

$(k{)}^{\prime }=0$(k)' je konstanta

$(e^x{)}^{\prime }=e^x$

$(\ln |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$

Odvajanje v višjih razsežnostih

Smerni odvod

Naj bo $n$ skalarno polje in $\overrightarrow{b}$ neki vektor. Zanima nas sprememba skalarnega polja v smeri vektorja $\overrightarrow{b}$.

Ogledamo si izraz

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{u(x+h{b}_1,y+h{b}_2,z+h{b}_3)-u(x,y,z)}{h}=\frac{\text{d}u}{\text{d}\overrightarrow{b}}$

Definirali smo smerni odvod skalarnega polja v smeri $\overrightarrow{b}$

$\frac{\text{d}u}{\text{d}h}=\frac{\text{d}u}{\text{d}x}\frac{\text{d}x}{\text{d}h}+\frac{\text{d}u}{\text{d}y}\frac{\text{d}y}{\text{d}h}+\frac{\text{d}u}{\text{d}z}\frac{\text{d}z}{\text{d}h}$

Sledi

$\frac{\text{d}u}{\text{d}\overrightarrow{b}}=\frac{\text{d}u}{\text{d}x}{b}_1+\frac{\text{d}u}{\text{d}y}{b}_2+\frac{\text{d}u}{\text{d}z}{b}_3$

pri čemer je $\overrightarrow{b}$ enotski vektor.

Torej

$\frac{\text{d}u}{\text{d}\overrightarrow{b}}=\text{grad}u(b_1,b_2,b_3)=\text{grad}u\overrightarrow{b},\overrightarrow{b}$ enotski

$\frac{\text{d}u}{\text{d}\overrightarrow{b}}=\text{grad}u\cdot \overrightarrow{b}$

Totalni odvod, Jacobijeva funkcija (Jakobij), diferencial

Jacobijeva determinanta parcialnih odvodov primer za vpeljavo novih spremenljivk:

$J=\left|\begin{array}{ccc}{x}_u& x_v& x_w\\ y_u& y_v& y_w\\ z_u& z_v& z_w\end{array}\right|$

Glej tudi

• integral

Zunanje povezave

• http://www.e-studij.si/Odvod Predloga:Webarchive
• WIMS Function Calculator makes online calculation of derivatives; this software also enables interactive exercises.
• ADIFF online symbolic derivatives calculator.