Limita funkcije

Limita funkcije na sliki obstaja in je enaka 4, saj so za vnaprej izbran (poljubno ozek, na sliki rumeni) pas okrog vrednosti 4 vse vrednosti f(x) od nekega x naprej v njegovi notranjosti

Predloga:Infinitezimalni račun Limíta fúnkcije v točki a je število, ki se mu vrednost funkcije f(x) približuje, ko se vrednost spremenljivke x približuje danemu številu a.

Limito funkcije v točki a označimo $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ (beri: "limita f(x), ko gre x proti a).

Limita funkcije v točki a je enaka funkcijski vrednosti f(a), če in samo če je funkcija v točki a zvezna.

Matematična definicija

Limita funkcije je definirana s pomočjo limite zaporedja.

Naj bo f realna funkcija realne spremenljivke. Imejmo zaporedje x_n, ki ima limito a. Za to zaporedje tvorimo ustrezno zaporedje vrednosti y_n = f(x_n). Če ima dobljeno zaporedje y_n limito b in je ta limita neodvisna od tega, kako izberemo zaporedje x_n, ki gre proti a, potem število b imenujemo limita funkcije f v točki a.

Računanje limite

Krajšanje

V praksi limito funkcije najpogosteje izračunamo tako, da enačbo funkcije okrajšamo in potem vstavimo ustrezni a.

Zgled: funkcija $f(x)=\frac{x^2-9}{4x-12}$ pri x = 3 ni definirana (deljenje z 0) in torej tam ni zvezna. Če ulomek okrajšamo, dobimo limito:

$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{4x-12}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-3)(x+3)}{4(x-3)}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x+3}{4}=\frac{3+3}{4}=\frac{3}{2}$

Torej za zgornjo funkcijo velja: če se x približuje vrednosti 3, se f(x) približuje vrednosti 3/2.

L'Hôpitalovo pravilo

Drugi postopek, ki se ga v praksi pogosto uporablja, je l'Hôpitalovo pravilo. Če se števec in imenovalec funkcije oba približujeta vrednosti 0 (ko gre x proti a), potem lahko števec in imenovalec odvajamo in velja:

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(a)}{g^{\prime }(a)}$

Zgled za uporabo l'Hôpitalovega pravila:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\frac{\cos 0}{1}=1$