Legendrovi polinomi

Legendrovi polinómi [ležándrovi ~] so rešitve Legendrove diferencialne enačbe:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[(1-x^2)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{P}_n(x)]+n(n+1)P_n(x)=0.$

Imenovani so po Adrien-Marieu Legendru. Ta navadna diferencialna enačba je pogosto rabljena v fiziki in na drugih tehničnih področjih. Pojavi se pri reševanju Laplaceove enačbe in sorodnih parcialnih diferencialnih enačbah v sfernih koordinatah.

$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}[(x^2-1{)}^n].$

Ortogonalnost

Pomembna značilnost Legendrovih polinomov je, da so ortogonalni v L² na intervalu −1 ≤ x ≤ 1:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_m(x)P_n(x)\mathrm{d}x=\frac{2}{2n+1}{\delta }_{mn},$

(kjer je δ_mn oznaka za Kroneckerjevo delto, ki je 1, ko je m = n in 0 sicer).

Zgledi Legendrovih polinomov

Prvih nekaj Legendrovih polinomov:

n	$P_n(x)$
0	$1$
1	$x$
2	$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}(3x^2-1)$
3	$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}(5x^3-3x)$
4	$\begin{array}{c}\frac{1}{8}\end{array}(35x^4-30x^2+3)$
5	$\begin{array}{c}\frac{1}{8}\end{array}(63x^5-70x^3+15x)$
6	$\begin{array}{c}\frac{1}{16}\end{array}(231x^6-315x^4+105x^2-5)$
7	$\begin{array}{c}\frac{1}{16}\end{array}(429x^7-693x^5+315x^3-35x)$
8	$\begin{array}{c}\frac{1}{128}\end{array}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)$
9	$\begin{array}{c}\frac{1}{128}\end{array}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)$
10	$\begin{array}{c}\frac{1}{256}\end{array}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)$

Glej tudi

• polinomi Čebišova