Konstanta omega

Konstanta omega je matematična konstanta določena kot:

$\mathrm{\Omega }{e}^{\mathrm{\Omega }}=1.$

Je vrednost ${\mathrm{W}}_0(1)$:

$\mathrm{\Omega }\equiv {\mathrm{W}}_0(1),$

kjer je ${\mathrm{W}}_0$ Lambertova funkcija W za realne argumente, ki je rešitev enačbe:

$x=\frac{1}{e^x},$

oziroma:

$x=\ln \left(\frac{1}{x}\right).$

Ime konstante izhaja iz drugega imena za Lambertovo funkcijo W, funkcije Ω.

Številska desetiška vrednost je približno: Predloga:OEIS

$\mathrm{\Omega }=0,5671432904097838729999686622\dots .$

Za konstanto velja:

$e^{-\mathrm{\Omega }}=\mathrm{\Omega },$

oziroma enakovredno:

$\frac{1}{\mathrm{\Omega }}=e^{\mathrm{\Omega }},$

kar da:

$\ln {\mathrm{\Omega }}^{-1}=\mathrm{\Omega }.$

Zapišemo jo lahko tudi s tetracijo:

$\mathrm{\Omega }=u^{u^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}},$

kjer je $u=1/e$.

Konstanto Ω lahko izračunamo iterativno, če začnemo S poljubno z vrednostjo Ω₀ (npr. Ω₀ = 1), in upoštevamo zaporedje:

${\mathrm{\Omega }}_{n+1}=e^{-{\mathrm{\Omega }}_n}.$

To zaporedje bo pri n→∞ konvergiralo k Ω, sicer počasi. Hitreje konvergira zaporedje:

${\mathrm{\Omega }}_{n+1}=\frac{1+{\mathrm{\Omega }}_n}{1+e^{{\mathrm{\Omega }}_n}}.$

Konstanto lahko zapišemo z integralom:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{(e^x-x{)}^2+{\pi }^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{1+\mathrm{\Omega }}=0,6381037433651107785224073855\dots ,$

v primerjavi z:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{(e^x-x+1{)}^2+{\pi }^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}.$

Iracionalnost in transcendentnost

Da je Ω iracionalno število, se lahko dokaže iz dejstva, da je e transcendentno število. Če bi bila Ω racionalno število, bi obstajali takšni celi števili p in q, da bi veljalo:

$\frac{p}{q}=\mathrm{\Omega },$

in naprej:

$1=\frac{p{e}^{\left(\frac{p}{q}\right)}}{q}$

$e={\left(\frac{q}{p}\right)}^{\left(\frac{q}{p}\right)}=\sqrt[p]{\frac{q^q}{p^q}},$

e pa bi bilo algebrsko število stopnje p. Ker je e trancendentno število, mora biti Ω iracionalno.

Ω je dejansko transcendetno število, kar je neposredna posledica Lindemann-Weierstrassovega izreka. Če bi bila Ω algebrsko število, bi bilo exp(Ω) transcendentno, in prav tako exp⁻¹(Ω). To pa nasprotuje privzetku, da je algebrsko.

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld
• Michon, Gérard P., Numerical Constants, The Omega constant Predloga:Ikona en