Trilinearni koordinatni sistem

Trilinearni koordinatni sistem opisuje lege točk glede na dani trikotnik. Trilinearne koordinate opisujejo relativne razdalje od treh stranic trikotnika. Trilinearne koordinate spadajo med homogene koordinate. Običajno govorimo o trilinearnih koordinatah. Trilinearne koordinate so povezane s težiščnim koordinatnim sistemom.

Zgledi

Središče včrtanega kroga trikotnika ima trilinearne koordinate, ki jih označujemo kot 1 : 1 : 1. To so usmerjene razdalje od središča včrtanega kroga do posameznih stranic trikotnika. Te razdalje so proporcionalne pravim razdaljam. Označevanje x : y : z moramo ločiti od pravih razdalj, ki so enake (kx, ky, kz) in jih uporabljamo za označevanje urejene trojice . Pri tem je

$k=\frac{2\sigma }{ax+by+cz}$

kjer je

• $a$ dolžina stranice BC
• $b$ dolžina stranice CA
• $a$ dolžina stranice BC
• $c$ dolžina stranice AB
• $\sigma$ površina trikotnika ABC

Trilinearne koordinate nekaterih točk v trikotniku:

• A = 1 : 0 : 0 (oglišče A)
• B = 0 : 1 : 0 (oglišče B)
• C = 0 : 0 : 1 (oglišče C)
• središče včrtane krožnice = 1 : 1 : 1
• težišče = bc : ca : ab = 1/a : 1/b : 17c
• središče očrtane krožnice = cos A : cos B : cos C
• višinska točka (ortocenter) = sec A : sec B : sec C
• Eulerjev krog (Feuerbacherjev krog ali krožnica devetih točk) = cos(B − C) : cos(C − A) : cos(A − B).
• simediana (Lemionova ali Grebejeva točka) = a : b : c = sin A : sin B : sin C

Trilinearne koordinate so lahko tudi negativne, v tem primeru leži točka zunaj trikotnika.

Zgledi z negativnimi trilinearnimi koordinatami

• središče tangentne krožnice nad stranico $a$ ima trilinearne koordinate enake -1 : 1 :1
• središče tangentne krožnice nad stranico $b$ 1 : -1 :1
• središče tangentne krožnice nad stranico $c$ 1 : 1 : -1

Uporaba

Trilinearne koordinate omogočajo uporabo mnogih metod v geometriji trikotnika. Primer: Imamo tri točke s trilinearnimi koordinatami

P = p : q : r

U = u : v : w

X = x : y : z

Te točke so kolinearne samo in samo, če je determinanta

$D=\left|\begin{array}{ccc}p& q& r\\ u& v& w\\ x& y& z\end{array}\right|$

enaka nič.

Zunanje povezave

• Encyclopedia of Triangle Centers – ETC Predloga:Ikona en
• Trilinearne koordinate na MathWorld Predloga:Ikona en
• Trilinearne koordinate na MathWorld Predloga:Ikona en
• Trilinearne koordinate Predloga:Ikona en
• Trilinearne koordinate Predloga:Ikona en