Seznam integralov hiperboličnih funkcij

Seznam integralov hiperboličnih funkcij vsebuje integrale hiperboličnih funkcij.

V vseh obrazcih je konstanta a neničelna vrednost, C označuje aditivno konstanto.

$\int \mathrm{sh}axdx=\frac{1}{a}\mathrm{ch}ax+C$

$\int \mathrm{ch}axdx=\frac{1}{a}\mathrm{sh}ax+C$

$\int {\mathrm{sh}}^{2}axdx=\frac{1}{4a}\mathrm{sh}2ax-\frac{x}{2}+C$

$\int {\mathrm{ch}}^{2}axdx=\frac{1}{4a}\mathrm{sh}2ax+\frac{x}{2}+C$

$\int {\mathrm{th}}^{2}axdx=x-\frac{\mathrm{th}ax}{a}+C$

$\int {\mathrm{sh}}^{n}axdx=\frac{1}{an}{\mathrm{sh}}^{n-1}ax\mathrm{ch}ax-\frac{n-1}{n}\int {\mathrm{sh}}^{n-2}axdx\text{(za }n>0\text{)}$

tudi: $\int {\mathrm{sh}}^{n}axdx=\frac{1}{a(n+1)}{\mathrm{sh}}^{n+1}ax\mathrm{ch}ax-\frac{n+2}{n+1}\int {\mathrm{sh}}^{n+2}axdx\text{(za }n<0\text{, }n\ne -1\text{)}$

$\int {\mathrm{ch}}^{n}axdx=\frac{1}{an}\mathrm{sh}ax{\mathrm{ch}}^{n-1}ax+\frac{n-1}{n}\int {\mathrm{ch}}^{n-2}axdx\text{(za }n>0\text{)}$

tudi: $\int {\mathrm{ch}}^{n}axdx=-\frac{1}{a(n+1)}\mathrm{sh}ax{\mathrm{ch}}^{n+1}ax-\frac{n+2}{n+1}\int {\mathrm{ch}}^{n+2}axdx\text{(za }n<0\text{, }n\ne -1\text{)}$

$\int \frac{dx}{\sinh ax}=\frac{1}{a}\ln |\mathrm{th}\frac{ax}{2}|+C$

tudi: $\int \frac{dx}{\mathrm{sh}ax}=\frac{1}{a}\ln \left|\frac{\mathrm{ch}ax-1}{\mathrm{sh}ax}\right|+C$

tudi: $\int \frac{dx}{\mathrm{sh}ax}=\frac{1}{a}\ln \left|\frac{\mathrm{sh}ax}{\mathrm{ch}ax+1}\right|+C$

tudi: $\int \frac{dx}{\sinh ax}=\frac{1}{a}\ln \left|\frac{\mathrm{ch}ax-1}{\mathrm{ch}ax+1}\right|+C$

$\int \frac{dx}{\mathrm{ch}ax}=\frac{2}{a}\arctan e^{ax}+C$

tudi: $\int \frac{dx}{\cosh ax}=\frac{1}{a}\arctan (\mathrm{sh}ax)+C$

$\int \frac{dx}{{\sinh }^{n}ax}=-\frac{\mathrm{ch}ax}{a(n-1){\mathrm{sh}}^{n-1}ax}-\frac{n-2}{n-1}\int \frac{dx}{{\sinh }^{n-2}ax}\text{(za }n\ne 1\text{)}$

$\int \frac{dx}{{\mathrm{ch}}^{n}ax}=\frac{\mathrm{sh}ax}{a(n-1){\mathrm{ch}}^{n-1}ax}+\frac{n-2}{n-1}\int \frac{dx}{{\mathrm{ch}}^{n-2}ax}\text{(za }n\ne 1\text{)}$

$\int \frac{{\mathrm{ch}}^{n}ax}{{\sinh }^{m}ax}dx=\frac{{\mathrm{ch}}^{n-1}ax}{a(n-m){\mathrm{sh}}^{m-1}ax}+\frac{n-1}{n-m}\int \frac{{\mathrm{ch}}^{n-2}ax}{{\mathrm{sh}}^{m}ax}dx\text{(za }m\ne n\text{)}$

tudi: $\int \frac{{\mathrm{ch}}^{n}ax}{{\mathrm{sh}}^{m}ax}dx=-\frac{{\mathrm{ch}}^{n+1}ax}{a(m-1){\mathrm{sh}}^{m-1}ax}+\frac{n-m+2}{m-1}\int \frac{{\mathrm{ch}}^{n}ax}{{\mathrm{sh}}^{m-2}ax}dx\text{(za }m\ne 1\text{)}$

tudi: $\int \frac{{\mathrm{ch}}^{n}ax}{{\sinh }^{m}ax}dx=-\frac{{\mathrm{ch}}^{n-1}ax}{a(m-1){\mathrm{sh}}^{m-1}ax}+\frac{n-1}{m-1}\int \frac{{\mathrm{ch}}^{n-2}ax}{{\mathrm{sh}}^{m-2}ax}dx\text{(za }m\ne 1\text{)}$

$\int \frac{{\mathrm{sh}}^{m}ax}{{\mathrm{ch}}^{n}ax}dx=\frac{{\mathrm{sh}}^{m-1}ax}{a(m-n){\mathrm{ch}}^{n-1}ax}+\frac{m-1}{n-m}\int \frac{{\mathrm{sh}}^{m-2}ax}{{\mathrm{ch}}^{n}ax}dx\text{(za }m\ne n\text{)}$

tudi: $\int \frac{{\mathrm{sh}}^{m}ax}{{\mathrm{ch}}^{n}ax}dx=\frac{{\mathrm{sh}}^{m+1}ax}{a(n-1){\mathrm{ch}}^{n-1}ax}+\frac{m-n+2}{n-1}\int \frac{{\mathrm{sh}}^{m}ax}{{\cosh }^{n-2}ax}dx\text{(za }n\ne 1\text{)}$

tudi: $\int \frac{{\mathrm{sh}}^{m}ax}{{\cosh }^{n}ax}dx=-\frac{{\mathrm{sh}}^{m-1}ax}{a(n-1){\mathrm{ch}}^{n-1}ax}+\frac{m-1}{n-1}\int \frac{{\mathrm{sh}}^{m-2}ax}{{\mathrm{ch}}^{n-2}ax}dx\text{(za }n\ne 1\text{)}$

$\int x\mathrm{sh}axdx=\frac{1}{a}x\mathrm{ch}ax-\frac{1}{a^2}\mathrm{sh}ax+C$

$\int x\mathrm{ch}axdx=\frac{1}{a}x\mathrm{sh}ax-\frac{1}{a^2}\mathrm{ch}ax+C$

$\int x^2\mathrm{ch}axdx=-\frac{2x\mathrm{ch}ax}{a^2}+(\frac{x^2}{a}+\frac{2}{a^3})\mathrm{sh}ax+C$

$\int \mathrm{th}axdx=\frac{1}{a}\ln \mathrm{ch}ax+C$

$\int \mathrm{ch}axdx=\frac{1}{a}\ln |\mathrm{sh}ax|+C$

$\int {\mathrm{th}}^{n}axdx=-\frac{1}{a(n-1)}{\mathrm{th}}^{n-1}ax+\int {\mathrm{th}}^{n-2}axdx\text{(za }n\ne 1\text{)}$

$\int {\mathrm{ch}}^{n}axdx=-\frac{1}{a(n-1)}{\mathrm{ch}}^{n-1}ax+\int {\mathrm{ch}}^{n-2}axdx\text{(za }n\ne 1\text{)}$

$\int \mathrm{sh}ax\mathrm{sh}bxdx=\frac{1}{a^2-b^2}(a\mathrm{sh}bx\mathrm{ch}ax-b\mathrm{ch}bx\mathrm{sh}ax)+C\text{(za }{a}^2\ne b^2\text{)}$

$\int \mathrm{ch}ax\mathrm{ch}bxdx=\frac{1}{a^2-b^2}(a\mathrm{sh}ax\mathrm{ch}bx-b\mathrm{sh}bx\mathrm{ch}ax)+C\text{(za }{a}^2\ne b^2\text{)}$

$\int \mathrm{ch}ax\mathrm{sh}bxdx=\frac{1}{a^2-b^2}(a\mathrm{sh}ax\mathrm{sh}bx-b\mathrm{ch}ax\mathrm{ch}bx)+C\text{(za }{a}^2\ne b^2\text{)}$

$\int \mathrm{sh}(ax+b)\sin (cx+d)dx=\frac{a}{a^2+c^2}\mathrm{ch}(ax+b)\sin (cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\mathrm{sh}(ax+b)\cos (cx+d)+C$

$\int \mathrm{sh}(ax+b)\cos (cx+d)dx=\frac{a}{a^2+c^2}\mathrm{ch}(ax+b)\cos (cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\mathrm{sh}(ax+b)\sin (cx+d)+C$

$\int \mathrm{ch}(ax+b)\sin (cx+d)dx=\frac{a}{a^2+c^2}\mathrm{sh}(ax+b)\sin (cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\mathrm{ch}(ax+b)\cos (cx+d)+C$

$\int \mathrm{ch}(ax+b)\cos (cx+d)dx=\frac{a}{a^2+c^2}\mathrm{sh}(ax+b)\cos (cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\mathrm{ch}(ax+b)\sin (cx+d)+C$

Glej tudi

• seznam integralov racionalnih funkcij
• seznam integralov iracionalnih funkcij
• seznam integralov trigonometričnih funkcij
• seznam integralov krožnih funkcij
• seznam integralov inverznih hiperboličnih funkcij
• seznam integralov eksponentnih funkcij
• seznam integralov logaritemskih funkcij
• seznam integralov Gaussovih funkcij