Laplaceova transformacija

Laplaceova transformácija [laplásova ~] je integralska transformacija, ki funkcijo iz časovnega prostora t preslika v frekvenčni prostor kompleksne spremenljivke s:

$ℒ\left[f\left(t\right)\right]=F\left(s\right)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f\left(t\right)dt.$

Kot je razvidno iz te enačbe, se za čase t<0 predpostavi f(t)=0.

Laplaceova transformacija se imenuje v čast francoskega matematika, fizika in astronoma markiza Pierre-Simona de Laplacea, ki jo je razvil.

Transformacije nekaterih funkcij ter lastnosti Laplaceove transformacije so razvidne iz razpredelnice:

$f(t)$	$F(s)$
$a_1\cdot f_1\left(t\right)+a_2\cdot f_2\left(t\right)$	$a_1\cdot F_1\left(s\right)+a_2\cdot F_2\left(s\right)$
$\delta \left(t\right)$	$1$
$1$	$\frac{1}{s}$
$t^n,n\in 𝒩$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
$t^{\alpha },\alpha \in ℛ,\alpha >0$	$\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{s^{\alpha +1}}$
$e^{-at}$	$\frac{1}{s+a}$
$t^n\cdot e^{-at}$	$\frac{n!}{{(s+a)}^{n+1}}$
$\sin at$	$\frac{a}{(s^2+a^2)}$
$\cos at$	$\frac{s}{(s^2+a^2)}$
$\sin (at+\phi )$	$\frac{s\cdot \sin \phi +a\cdot \cos \phi }{(s^2+a^2)}$
$\sinh at$	$\frac{a}{(s^2-a^2)}$
$\cosh at$	$\frac{s}{(s^2-a^2)}$
$f\left(at\right)$	$\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)$
$f\left(t\right)e^{at}$	$F(s-a)$
$f(t-a)$	$F\left(s\right)e^{-as}$
$\underset{0}{\overset{t}{\int }}f\left(\tau \right)d\tau$	$\frac{F\left(s\right)}{s}$
$\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(t-\tau )g\left(\tau \right)d\tau$	$F\left(s\right)G\left(s\right)$
$\frac{df\left(t\right)}{dt}$	$sF\left(s\right)-f\left(0\right)$
$\frac{d^{n}f\left(t\right)}{d{t}^n}$	$s^{n}F\left(s\right)-s^{n-1}f\left(0\right)-s^{n-2}{f}^{\prime }\left(0\right)-\dots -s{f}^{(n-2)}\left(0\right)-f^{(n-1)}\left(0\right)$

Laplaceovo transformacijo periodične funkcije s periodo T lahko izračunamo tudi takole:

$F\left(s\right)=\underset{0}{\overset{T}{\int }}f\left(t\right)e^{-st}dt\cdot \frac{1}{1-e^{-sT}}.$

Inverzno Laplaceovo transformacijo lahko izračunamo z Bromwichevim integralom:

$f\left(t\right)={ℒ}^{-1}\left[F\left(s\right)\right]=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma -i\mathrm{\infty }}{\overset{\gamma +i\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{st}F\left(s\right)ds.$

V praksi največkrat tako časovno kot kompleksno frekvenčno funkcijo razstavimo na elemente iz razpredelnice in Laplaceovo oz. inverzno Laplaceovo transformacijo izvedemo s pomočjo njunih lastnosti in funkcij iz te razpredelnice.

Kot lahko opazimo v razpredelnici, lahko z Laplaceovo transformacijo, pretvorimo diferencialne enačbe in enačbe s funkcijami, kot so transcedentne funkcije, v algebrske in racionalne enačbe v frekvenčnem prostoru, kjer jih je mnogo enostavneje rešiti in nato z inverzno Laplaceovo transformacijo pretvoriti nazaj v časovni prostor.

Laplaceova transformacija se precej uporablja v teoriji sistemov, saj nam računanje konvolucijskega integrala, ki se tam precej uporablja, pretvori v produkt dveh funkcij. Poleg tega Laplaceovi transformi prenosnih funkcij sistemov povedo marsikatero lastnost sistema (npr. stabilnost ipd.)