Kravčukove matrike

Kravčukove matrike so v matematiki matrike, katerih elementi so vrednosti Kravčukovih polinomov v nenegativnih celih točkah. Imenujejo se po Mihajlu Pilipoviču Kravčuku

Kravčukova matrika K⁽ⁿ⁾ je reda (n+1)×(n+1). Vrednosti elementov Kravčukove matrike so enake:

$K_{ij}^{(n)}={\mathrm{\Sigma }}_k(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-j}{i-k}).$

Za nekaj prvih vrednosti n so matrike enake:

$K^{(0)}=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]K^{(1)}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]K^{(2)}=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 0& -2\\ 1& -1& 1\end{array}\right]$

$K^{(3)}=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 3& 1& -1& -3\\ 3& -1& -1& 3\\ 1& -1& 1& -1\end{array}\right]K^{(4)}=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 4& 2& 0& -2& -4\\ 6& 0& -2& 0& 6\\ 4& -2& 0& 2& -4\\ 1& -1& 1& -1& 1\end{array}\right]$

$K^{(5)}=\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 5& 3& 1& -1& -3& -5\\ 10& 2& -2& -2& 2& 10\\ 10& -2& -2& 2& 2& -10\\ 5& -3& 1& 1& -3& 5\\ 1& -1& 1& -1& 1& -1\end{array}\right]$

$K^{(6)}=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 6& 4& 2& 0& -2& -4& -6\\ 15& 5& -1& -3& -1& 5& 15\\ 20& 0& -4& 0& 4& 0& -20\\ 15& -5& -1& 3& -1& -5& 15\\ 6& -4& 2& 0& -2& 4& -6\\ 1& -1& 1& -1& 1& -1& 1\end{array}\right]$

Stolpce Kravčukove matrike imamo lahko za posplošene binomske koeficiente. Vrstice določajo Kravčukove polinome. Za določen n ima i-ti Kravčukov polinom vrednost iz t-te vrstice:

$k_i(j,n)=K_{ij}^{(n)}.$

Kvadrat Kravčukove matrike je sorazmeren z identično matriko:

${\left[K^{(n)}\right]}^2=2^n\cdot I.$

Zunanje povezave

• Krawtchouk encyclopediaPredloga:Slepa povezava Predloga:Ikona en