Krivočrtni koordinatni sistem

Slika:Curvilinear.svg

Krivočrtne, afine in kartezične koordinate v dvorazsežnem prostoru.

Krivočrtni koordinatni sistem je koordinatni sistem v Evklidskem prostoru v katerem so lahko koordinatne premice ukrivljene. Te koordinate se lahko dobijo iz kartezičnega koordinatnega sistema z uporabo preslikave, ki je lokalno inverzibilna v vsaki točki. To pa pomeni, da lahko v vsaki točki, ki je dana v kartezičnem koordinatnem sistemu pretvorimo koordinate v krivočrtne in nazaj.

Izraz je skoval francoski matematik Gabriel Lamé (1795 - 1870).

V dvorazsežnem prikažemo lego točke s koordinatama ($x_1,x_2$), vektor pa v obliki $𝐱=x_1{𝐞}_1+x_2{𝐞}_2$ kjer sta ${𝐞}_1,{𝐞}_2$ bazna vektorja. Na podoben način lahko opišemo lego neke točke v krivočrtnem koordinatnem sistemu. Koordinate v tem sistemu pa označimo kot (${\xi }^1,{\xi }^2$). Vektor lege pa z $𝐱={\xi }^1{𝐠}_1+{\xi }^2{𝐠}_2$. Količini ${\xi }^i$ in $x_i$ sta povezani s preslikavo ${\xi }^i={\phi }_i(x_1,x_2)$

Bazna vektorja ${𝐠}_i$ in ${𝐞}_i$ sta povezana z

${𝐠}_i=\frac{\partial x_1}{\partial {\xi }^i}{𝐞}_1+\frac{\partial x_2}{\partial {\xi }^i}{𝐞}_2$.

Koordinatne črte so nivojske krivulje za ${\xi }^1$ in ${\xi }^2$ v dvorazsežni ravnini.

Zgled za krivočrtne koordinate je polarni koordinatni sistem. V tem primeru je preslikava enaka

${\xi }^1=r=\sqrt{x_1^2+x_2^2};{\xi }^2=\theta ={\tan }^{-1}(x_2/x_1)$

Splošna oblika krivočrtnih koordinat

Slika:General curvilinear coordinates 1 sl.svg

Koordinatne ploskve, koordinatne smeri in koordinatne osi splošne oblike krivočrtnih koordinat.

V kartezičnem koordinatnem sistemu je lega točke P(x, y, z) določena s presekom treh med seboj pravokotnih ravnin x = konst., y = konst. z = konst. Koordinate x, y, in z so povezane s tremi novimi vrednostmi q₁, q₂ in q₃ z enačbami

x = x(q₁,q₂,q₃)     neposredna preslikava

y = y(q₁,q₂,q₃)     (krivočrtne v kartezične koordinate)

z = z(q₁,q₂,q₃).

Zgornje enačbe lahko zapišemo tudi kot

q₁ = q₁(x, y, z)     inverzna preslikava

q₂ = q₂(x, y, z)     (kartezične v krivočrtne koordinate)

q₃ = q₃(x, y, z).

Funkcija preslikav je bijektivna in zadovoljuje zahteve v domeni:

• funkcije so gladke
• determinanta obratne Jakobijeve matrike ni enaka nič.

To pa lahko zapišemo kot

$|J^{-1}|=\det \frac{\partial (q_1,q_2,q_3)}{\partial (x,y,z)}=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial q_1}{\partial x}& \frac{\partial q_1}{\partial y}& \frac{\partial q_1}{\partial z}\\ \frac{\partial q_2}{\partial x}& \frac{\partial q_2}{\partial y}& \frac{\partial q_2}{\partial z}\\ \frac{\partial q_3}{\partial x}& \frac{\partial q_3}{\partial y}& \frac{\partial q_3}{\partial z}\end{array}\right|\ne 0$.

Dano točko lahko opišemo tako, da podamo koordinate x, y in z ali pa koordinate q₁, q₂ in q₃. Inverzna enačba opisuje ploskev v novih koordinatah in presečišče treh ploskev določa lego točke v trirazsežnem prostoru. Ploskve q₁ = konstanta, q₂ = konstanta in q₃ = konstanta, se imenujejo koordinatne ploskve. Prostorske krivulje, ki jih dobimo na presečiščih dveh ploskev, pa so koordinatne črte. Koordinatne osi so določene kot tangente na koordinatne črte na preseku treh ploskev. To v splošnem stalne smeri v prostoru, kar velja za kartezične koordinate. Količina (q₁, q₂, q₃) so krivočrtne koordinate točke P(q₁, q₂, q₃).

V splošnem pa so (q₁, q₂,.... q_n) krivočrtne koordinate v n-razsežnem prostoru.

Zgled: Sferne koordinate

Slika:Spherical coordinate elements sl.svg

Koordinatne ploskve, koordinatne smeri in koordinatne osi sfernih koordinat. Ploskve: r - sfere, θ - stožci, φ - polravnine; smeri: r - straight beams, θ – vertikalni polkrogi, φ – horizontalne krožnice; osi: r – ravna smer, θ – tangente na vertikalne polkrožnice, φ – tangente na horizontalne krožnice.

Sferne koordinate so najpogosteje uporabljene krivočrtne koordinate. Krivočrtne koordinate (q₁, q₂, q₃).

V tem sistemu koordinate običajno označujemo z r (razdalja od pola, velja r ≥ 0), θ (zenitna razdalja ali širina 0 ≤ θ ≤ 180°) in φ (azimut ali dolžina 0 ≤ φ ≤ 360°).

Neposredna povezava med kartezičnimi in sfernimi koordinatami je

$\begin{array}{cc}x& =r\sin \theta \cos \varphi \\ y& =r\sin \theta \sin \varphi \\ z& =r\cos \theta \end{array}$.

Z rešivijo za r, θ, in φ, dobimo obratne odnose med sfernimi in kartezičnimi koordinatami

$\begin{array}{cc}r& =\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \theta & =\arccos \left(\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\right)\\ \phi & =\arctan \left(\frac{y}{x}\right)\end{array}$.

Krivočrtna lokalna baza

Pojem baze

Predloga:Glavni Da bi definirali vektor s pomočjo koordinat potrebujemo še pojem baze. Baza je v trirazsežnem prostoru množica linearno neodvisnih vektorjev$\{{𝐞}_1,{𝐞}_2,{𝐞}_3\}$, ki jih imenujemo bazni vektorji. Vsak bazni vektor je povezan z eno koordinato pripadajoče razsežnosti. Vsak vektor $𝐯$ lahko prikažemo kot vsoto vektorjev $v_i{𝐞}_i$, ki jih dobimo kot zmnožek baznega vektorja (${𝐞}_i$) s skalarnim koeficientom ($v_i$), ki ga imenujemo komponenta. Vsak vektor ima natančno komponento v vsaki razsežnosti in ga lahko prikažemo kot

$𝐯=v_1{𝐞}_1+v_2{𝐞}_2+v_3{𝐞}_3$.

Za takšen koordinatni sistem in njegovo bazo se zahteva, da je vsaj ena vrednost $v_i\ne 0$ velja

$v_1{𝐞}_1+v_2{𝐞}_2+v_3{𝐞}_3\ne 0$. Ta pogoj se imenuje linearna neodvisnost.

Linearna neodvisnost pravi, da ne obstajajo bazni vektorji z velikostjo nič, ker bi v tem primeru dobili vektor z velikostjo nič, če bi ga množili s poljubno komponento. Nekoplanarni vektorji so linearno neodvisni. Katerikoli trije nekoplanarni vektorji lahko služijo kot baza v treh razsežnostih.

Bazni vektorji v krivočrtnih koordinatah

Za splošno obliko krivočrtnih koordinat se bazni vektorji in komponente spreminjajo od točke do točke. Poglejmo n-razsežni vektor $𝐯$, ki je izražen v kartezičnih koordinatah kot

$𝐯=v^1{𝐞}_1+v^2{𝐞}_2+v^3{𝐞}_3+\dots +v^n{𝐞}_n$.

Če spremenimo bazne vektorje v $\{{𝐠}_1,{𝐠}_2,{𝐠}_3,\dots ,{𝐠}_n\}$ potem vektor $𝐯$ v novi bazi opisuje isti vektor

$𝐯={\hat{v}}^1{𝐠}_1+{\hat{v}}^2{𝐠}_2+{\hat{v}}^3{𝐠}_3+\dots +{\hat{v}}^n{𝐠}_n$,

kjer so

• ${\hat{v}}^i$ komponente vektorja v novi bazi.

Torej je vsota, ki opisuje vektor $𝐯$ v novi bazi je sestavljena iz drugih vektorjev, vsota pa ostane enaka.

Kovariantna in kontravariantna baza

Predloga:Glavni Bazne vektorje lahko povežemo s koordinatnim sistemom na dva načina

• lahko jih postavimo tako, da so kolinearni z osmi
• lahko jih postavimo tako, da so pravokotni (normalni) na koordinatne ploskve.

V prvem primeru se vektorji transformirajo kot kovariantni vektorji. V drugem primeru se bazni vektorji transformirajo kot kontravariantni vektorji. Pri označevanju teh dveh vrst baznih vektorjev uporabljamo dva načina. Kovariantne vektorje označujemo s spodnjimi oznakami, kontravariantne vektorje pa označujemo z zgornjimi oznakami. To pomeni, da v odvisnosti od tega kako jih zgradimo, imamo za splošne krivočrtne koordinate dve skupini baznih vektorjev v vsaki točki: $\{{𝐠}_1,{𝐠}_2,{𝐠}_3\}$ za kovariantno bazo in $\{{𝐠}^1,{𝐠}^2,{𝐠}^3\}$ za kontravariantno bazo.

Vektor $𝐯$ lahko izrazimo v katerikoli bazi

$𝐯=v^1{𝐠}_1+v^2{𝐠}_2+v^3{𝐠}_3=v_1{𝐠}^1+v_2{𝐠}^2+v_3{𝐠}^3$.

Pri tem je lahko vektor $𝐯$ kovarianten ali kontravarianten v odvisnosti od vrste njegovih komponent.

Zunanje povezave

• Krivočrtne koordinate na MathWorld Predloga:Ikona en
• Prof. R. Brannon - e-knjiga o krivočrtnih koordinatah Predloga:Ikona en