Trikotniško kvadratno število

Trikotniško kvadratno število je v matematiki število, ki je hkrati trikotniško in kvadratno število (popolni kvadrat). Obstaja neskončno mnogo trikotniških kvadratov. Ti so dani z enačbo:

$N_k=\frac{1}{32}{({(1+\sqrt{2})}^{2k}-{(1-\sqrt{2})}^{2k})}^2.$

k-ti trikotniški kvadrat N_k je enak s-temu kvadratnemu številu in t-jevemu trikotniškemu številu, tako da velja:

$s(N)=\sqrt{N}$,

$t(N)=\lfloor \sqrt{2N}\rfloor .$

t je dan z enačbo:

$t(N_k)=\frac{1}{4}[{({(1+\sqrt{2})}^k+{(1-\sqrt{2})}^k)}^2-{(1+(-1{)}^k)}^2]$.

Trikotniška kvadratna števila lahko določimo tudi rekurzivno:

$N_k=\{\begin{array}{ccc}0;& & k=0;\\ 1;& & k=1;\\ 34N_{k-1}-N_{k-2}+2;& & \text{sicer.}\end{array}$

Prva trikotniška kvadratna števila so Predloga:OEIS:

(0), 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, ...

Ko se k veča, se razmerje t/s približuje kvadratnemu korenu od 2:

$\begin{array}{cccc}N=1& s=1& t=1& t/s=1\\ N=36& s=6& t=8& t/s=1.3333333\\ N=1225& s=35& t=49& t/s=1.4\\ N=41616& s=204& t=288& t/s=1.4117647\\ N=1,413,721& s=1189& t=1681& t/s=1.4137931\\ N=48,024,900& s=6930& t=9800& t/s=1.4141414\\ N=1,631,432,881& s=40391& t=57121& t/s=1.4142011\end{array}$

Zunanje povezave

• Alexander Bogomolny, Trikotniška števila, ki so tudi kvadratna. (Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles). Predloga:Ikona en