Ogled vira Apéryjeva konstanta

{{short description|Vsota obratnih vrednosti kubov naravnih števil.}}
{| class="infobox bordered" width = 55 cellpadding=5
| colspan="2" align="center" | {{iracionalna števila}}
|-
|[[dvojiški številski sistem|dvojiško]]
| {{gaps|1,0011|0011|1011|1010|...}}
|-
| [[desetiški številski sistem|desetiško]]
| {{gaps|1,20205|69031|59594|2854...}}
|-
| [[šestnajstiški številski sistem|šestnajstiško]]
| {{gaps|1,33BA|004F|0062|1383|...}}
|-
| [[verižni ulomek]]
| <math> [1; 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 1, \cdots \!\, </math><br />{{small|Verižni ulomek <math> \zeta(3) \!\, </math> je [[neskončni verižni ulomek|neskončen]], ni pa znano ali je [[periodični verižni ulomek|periodičen]] ali ne.}}
|}

'''Apéryjeva konstanta''' je v [[matematika|matematiki]], na meji med [[teorija števil|teorijo števil]] in [[specialna funkcija|specialnimi funkcijami]], [[vsota]] [[obratna vrednost|obratnih vrednosti]] [[kub (algebra)|kubov]] [[naravno število|naravnih števil]]. Določena je kot število:

: <math> \zeta(3) = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1^3} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{n^3}\right) \!\, , </math>

kjer je <math> \zeta \!\, </math> [[Riemannova funkcija zeta]]. Njena približna [[desetiški številski sistem|desetiška]] vrednost je enaka {{OEIS|id=A002117}}:<ref name="wede_2001" />

: <math> \zeta(3) = 1,20205 \ 69031 \ 59594 \ 28539 \ 97381 \ 61511 \ 44999 \ 07649 \ 86292 \ldots \!\, . </math>

[[matematična konstanta|Konstanta]] se imenuje po [[Roger Apéry|Rogerju Apéryju]]. Naravno se pojavlja v mnogih fizikalnih problemih, vključno z izrazi drugega in tretjega reda [[elektron]]skega [[giromagnetno razmerje|giromagnetnega razmerja]] s pomočjo [[kvantna elektrodinamika|kvantne elektrodinamike]] (QED). Pojavlja se tudi pri analizi [[naključno minimalno vpeto drevo|naključnih minimalno vpetih dreves]]<ref name="frie_1985" /> in v povezavi s [[funkcija gama|funkcijo gama]] pri reševanju določenih [[integral]]ov z [[eksponentna funkcija|eksponentnimi funkcijami]] v količniku, ki se občasno pojavlja v [[fizika|fiziki]], na primer pri izračunavanju [[dvorazsežni prostor|dvorazsežnega]] primera [[Debyejev model|Debyjevega modela]] in [[Stefan-Boltzmannov zakon|Sfefan-Boltzmannovega zakona]].

== Iracionalno število ==

Apéry je leta 1978 [[matematični dokaz|dokazal]], da je konstanta [[iracionalno število]].<ref name="aper_1979" /> Ta rezultat je znan kot [[Apéryjev izrek]]. Izvirni dokaz je kompleksen in težek za razumevanje.<ref name="poor_1979" /> Kasneje so našli preprostejše dokaze.<ref name="beuk_1979" /><ref name="zudi_2002" />

[[Frits Beukers|Beukersov]] preprostejši dokaz iracionalnosti vključuje aproksimacijo integranda znanega trojnega integrala za <math> \zeta(3) \!\, </math>:

: <math> \zeta(3) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1}{1-xyz} \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} z \!\, </math>

z [[Legendrovi polinomi|Legendrovimi polinomi]]. Van der Poortenov članek še posebej obravnava ta pristop, kjer je navedeno, da velja:

: <math> I_{3} := -\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{P_{n}(x) P_{n}(y) \log(xy)}{1-xy} \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y = b_{n} \zeta(3) - a_{n} \!\, , </math>

kjer je <math> |I| \leq \zeta(3) (1-\sqrt{2})^{4n} \!\, </math>, <math> P_{n}(z) \!\, </math> Legendrovi polinomi, [[podzaporedje|podzaporedja]] <math> b_{n}, 2 \operatorname{lcm}(1,2,\ldots,n) \cdot a_{n} \in \mathbb{Z}</math> pa so [[celo število|cela]] ali [[skoraj celo število|skoraj cela števila]].

Ni znano ali je Apéryjeva konstanta [[transcendentno število]].

== Glej tudi ==

* [[Baselski problem]]

== Sklici ==

{{sklici|4|refs=
<ref name="aper_1979" >{{sktxt|Apéry|1979}}.</ref>
<ref name="beuk_1979" >{{sktxt|Beukers|1979}}.</ref>
<ref name="frie_1985" >{{sktxt|Frieze|1985}}.</ref>
<ref name="poor_1979" >{{sktxt|van der Poorten|1979}}.</ref>
<ref name="wede_2001" >{{sktxt|Wedeniwski|2001}}.</ref>
<ref name="zudi_2002" >{{sktxt|Zudilin|2002}}.</ref>
}}

== Viri ==

{{refbegin|4}}
* {{citat
 | first = Roger
 | last = Apéry|authorlink1= Roger Apéry
 | title = Irrationalité de <math>\zeta 2</math> et <math>\zeta 3</math>
 | date = 1979
 | journal = Astérisque
 | volume = 61
 | pages = 11–13
 | url = http://www.numdam.org/item/AST_1979__61__11_0/
}}
* {{citat
 | first1 = Frits
 | last1 = Beukers|authorlink1= Frits Beukers
 | title = A Note on the Irrationality of <math>\zeta(2)</math> and <math>\zeta(3)</math>
 | journal = Bull. London Math. Soc.
 | volume = 11
 | issue = 3
 | pages = 268–272
 | date = 1979
 | doi=10.1112/blms/11.3.268
}}
* {{citat
 | last = Frieze | first = Alan Michael | author-link = Alan Michael Frieze
 | doi = 10.1016/0166-218X(85)90058-7
 | issue = 1
 | journal = [[Discrete Applied Mathematics]]
 | mr = 770868
 | pages = 47–56
 | title = On the value of a random minimum spanning tree problem
 | volume = 10
 | date = 1985| doi-access = free
 }}
* {{citat
 |first=Alfred 
 |last=van der Poorten 
 |author-link=Alfred van der Poorten 
 |title=A proof that Euler missed ... Apéry's proof of the irrationality of <math>\zeta(3)</math>
 |journal=[[The Mathematical Intelligencer]] 
 |volume=1 
 |issue=4 
 |date=1979 
 |pages=195–203 
 |doi=10.1007/BF03028234 
 |s2cid=121589323 
 |url=http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf 
 |url-status=dead 
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf 
 |archive-date=2011-07-06 
}}
* {{citat
 | first = Sebastian
 | last = Wedeniwski
 | title = The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places
 | editor = Simon Plouffe
 | date = 2001
 | publisher = Project Gutenberg
 | url = http://www.gutenberg.org/cache/epub/2583/pg2583.html
}} (sporočilo Simonu Plouffeju z vsemi decimalkami vendar s krajšim besedilom, ki ga je uredil Simon Plouffe).
* {{citat
 | first = Sebastian
 | last = Wedeniwski
 | title = The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places
 | url = http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/Zeta3.txt
 | date = 13. december 1998
 }} (sporočilo Simonu Plouffeju z izvirnim besedilom, vendar z le nekaj decimalkami).
* {{citat
 | first1 = Vadim Valentinovič
 | last1 = Zudilin|authorlink1= Vadim Valentinovič Zudilin
 | title = One of the numbers <math>\zeta(5)</math>, <math>\zeta(7)</math>, <math>\zeta(9)</math>, <math>\zeta(11)</math> is irrational
 | journal = Russ. Math. Surv.
 | date = 2001
 | volume = 56
 | pages = 774–776
 | doi = 10.1070/RM2001v056n04ABEH000427
 | issue = 4
 | bibcode = 2001RuMaS..56..774Z
}}
* {{citat
 | first1 = Vadim Valentinovič
 | last1 = Zudilin
 | title = An elementary proof of Apéry's theorem
 | arxiv = math/0202159
 | date = 2002
|bibcode = 2002math......2159Z }}
{{refend}}

{{iracionalno število}}

{{math-stub}}

[[Kategorija:Matematične konstante]]
[[Kategorija:Analitična teorija števil]]
[[Kategorija:Iracionalna števila]]
[[Kategorija:Funkcije zeta in L-funkcije]]
[[Kategorija:Nerešeni matematični problemi]]
[[Kategorija:1978 v znanosti]]