Apéryjeva konstanta

Predloga:Iracionalna števila
dvojiško	Predloga:Gaps
desetiško	Predloga:Gaps
šestnajstiško	Predloga:Gaps
verižni ulomek	$[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,\cdots$ Predloga:Small

Apéryjeva konstanta je v matematiki, na meji med teorijo števil in specialnimi funkcijami, vsota obratnih vrednosti kubov naravnih števil. Določena je kot število:

$\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{n^3}),$

kjer je $\zeta$ Riemannova funkcija zeta. Njena približna desetiška vrednost je enaka Predloga:OEIS:

$\zeta (3)=1,202056903159594285399738161511449990764986292\dots .$

Konstanta se imenuje po Rogerju Apéryju. Naravno se pojavlja v mnogih fizikalnih problemih, vključno z izrazi drugega in tretjega reda elektronskega giromagnetnega razmerja s pomočjo kvantne elektrodinamike (QED). Pojavlja se tudi pri analizi naključnih minimalno vpetih dreves in v povezavi s funkcijo gama pri reševanju določenih integralov z eksponentnimi funkcijami v količniku, ki se občasno pojavlja v fiziki, na primer pri izračunavanju dvorazsežnega primera Debyjevega modela in Sfefan-Boltzmannovega zakona.

Iracionalno število

Apéry je leta 1978 dokazal, da je konstanta iracionalno število. Ta rezultat je znan kot Apéryjev izrek. Izvirni dokaz je kompleksen in težek za razumevanje. Kasneje so našli preprostejše dokaze.

Beukersov preprostejši dokaz iracionalnosti vključuje aproksimacijo integranda znanega trojnega integrala za $\zeta (3)$:

$\zeta (3)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1-xyz}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$

z Legendrovimi polinomi. Van der Poortenov članek še posebej obravnava ta pristop, kjer je navedeno, da velja:

$I_3:=-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{P_n(x)P_n(y)\log (xy)}{1-xy}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=b_n\zeta (3)-a_n,$

kjer je $|I|\le \zeta (3)(1-\sqrt{2}{)}^{4n}$, $P_n(z)$ Legendrovi polinomi, podzaporedja $b_n,2\mathrm{lcm}(1,2,\dots ,n)\cdot a_n\in \mathbb{Z}$ pa so cela ali skoraj cela števila.

Ni znano ali je Apéryjeva konstanta transcendentno število.

Glej tudi

• Baselski problem

Viri

• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat (sporočilo Simonu Plouffeju z vsemi decimalkami vendar s krajšim besedilom, ki ga je uredil Simon Plouffe).
• Predloga:Citat (sporočilo Simonu Plouffeju z izvirnim besedilom, vendar z le nekaj decimalkami).
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat