Ogled vira Banachov prostor

{{short description|normirani vektorski prostor, ki je poln}}
'''Banachov prôstor''' [banahov ~] je v [[matematika|matematiki]] in še posebej [[funkcionalna analiza|funkcionalni analizi]] [[polni metrični prostor|polni]] [[normirani vektorski prostor]]. Tako je [[vektorski prostor]] z [[metrični prostor|metriko]], ki omogoča izračunavanje [[norma (matematika)|vektorske dolžine]] in [[razdalja|razdalje]] med [[vektor (matematika)|vektorji]] in je poln v smislu, da [[Cauchyjevo zaporedje]] vedno [[konvergenca|konvergira]] k dobro definirani [[limita zaporedja|limiti]] znotraj prostora.

Banachovi prostori se imenujejo po poljskem matematiku [[Stefan Banach|Stefanu Banachu]], ki je uvedel ta koncept in ga sistematično proučeval med letoma 1920 in 1922 skupaj s [[Hans Hahn|Hansom Hahnom]] in [[Eduard Helly|Eduardom Hellyjem]].{{sfnp|Bourbaki|1987|loc=V.87}} [[Maurice René Fréchet]] je prvi uporabil izraz »Banachov prostor«, nato pa je Banach skoval izraz »[[Fréchetov prostor]]«.{{sfnp|Narici|Beckenstein|2011}}{{rp|93}} Banachovi prostori so izvirno nastali iz zgodnejše raziskave o [[funkcijski prostor|funkcijskih prostorih]] [[David Hilbert|Davida Hilberta]], Frécheta in [[Frigyes Riesz|Frigvesa Riesza]]. Banachovi prostori imajo osrednjo vlogo v funkcionalni analizi. Na drugih področjih [[matematična analiza|matematične analize]] so prostori, ki se raziskujejo, velikokrat Banachovi.

== Definicija ==

Banachov prostor je [[polni metrični prostor|polni]] [[normirani vektorski prostor]] <math> (X, \|\cdot\|) \!\, </math>. Normirani prostor je par{{efn|Običajno se prebere {{nowrap|»<math> X \!\, </math> je normirani prostor«}} namesto tehnično pravilnejšega vendar (po navadi) pedantnega {{nowrap|»<math> (X, \|\cdot\|) \!\, </math> je normirani prostor»,}} še posebej, če je norma dobro znana (na primer takšna s [[prostor Lp|prostori <math> L^{p} \!\, </math>]]) ali kadar ni posebne potrebe po izbiri katere koli (enakovredne) norme nad katero koli drugo (zlasti v bolj abstraktni teoriji [[topološki vektorski prostor|topoloških vektorskih prostorov]]), v kateri se ta norma (če je potrebna) pogosto samodejno predpostavi, da je označena z <math> \|\cdot\| \!\, </math>. Vendar pa se v situacijah, ko je poudarek na normi, običajno vidi zapisano <math> (X, \|\cdot\|) \!\, </math> namesto <math> X \!\, </math>. Tehnično pravilna definicija normiranih prostorov kot parov <math> (X, \|\cdot\|) \!\, </math> lahko postane pomembna tudi v kontekstu [[teorija kategorij|teorije kategorij]], kjer je običajno pomembno razlikovanje med kategorijami [[normirani vektorski prostor|normiranih prostorov]], [[normirajoči prostor|normirajočih prostorov]], [[metrični prostor|metričnih prostorov]], [[topološki vektorski prostor|topoloških vektorskih prostorov]], [[topološki prostor|topoloških prostorov]] itd.}}
<math>(X, \|\cdot\|)</math>, sestavljen iz [[vektorski prostor|vektorskega prostora]] <math> X \!\, </math> nad [[Obseg (algebra)|skalarnim poljem]] <math> \mathbb{K} \!\, </math> (kjer je <math> \mathbb{K} \!\, </math> običajno <math> \R \!\, </math> ali <math> \C \!\, </math>) skupaj z razločno{{efn|To pomeni, da če se norma <math> \| \cdot \| \!\, </math> nadomesti z drugo normo <math> \| \, \cdot \, \|^{\prime} \!\, </math>  na <math> X \!\, </math>, potem <math> (X, \| \cdot \|) \!\, </math> {{em|ni}} enako normiran prostor kot <math> \left( X, \| \cdot \|^{\prime} \right) \!\, </math>, niti če so norme enakovredne. Vendar pa enakovrednost norm na danem vektorskem prostoru tvori [[ekvivalenčna relacija|ekvivalenčno relacijo]].}} [[norma (matematika)|normo]] <math> \|\cdot\| : X \to \R \!\, </math>. Kot vse norme tudi ta norma inducira [[translacijska invarianta|translacijsko invariantno]]{{efn|name="translation invariant metric"|Metrika <math> D \!\, </math> v vektorskem prostoru <math> X \!\, </math> naj bi bila '''translacijsko invariantna''', če velja <math> D(x, y) = D(x + z, y + z) \!\, </math> za vse vektorje <math> x, y \in X \!\, </math>. To se zgodi, če in samo če je <math> D(x, y) = D(x - y, 0) \!\, </math> za vse vektorje <math> x, y \in X \!\, </math>. Metrika, ki jo inducira norma, je vedno translacijsko invariantna.}} [[metrični prostor|funkcijo razdalje]], imenovano '''kanonična''' ali '''(normno) inducirana metrika''', definirana za vse vektorje <math> x, y \in X \!\, </math> z:{{efn|Ker je <math> \| - z \| = \| z \| \!\, </math> za vse <math> z \in X \!\, </math>, vedno velja, da je <math> d(x, y) := \| y - x \| = \| x - y \| \!\, </math> za vse <math> x, y \in X \!\, </math>. Tako red <math> x \!\, </math> in <math> y \!\, </math> v tej definiciji nista pomembna.}}

: <math> d(x, y) := \|y - x\| = \|x - y\| \!\, . </math>

To naredi <math> X \!\, </math> v [[metrični prostor]] <math> (X, d) \!\, </math>. Zaporedje <math> x_{1}, x_{2}, \ldots \!\, </math> se imenuje {{nowrap|'''{{em|Cauchyjevo v}} <math> (X, d) \!\, </math>'''}} ali {{nowrap|'''{{em|[[Cauchyjevo zaporedje|<math> d \!\, </math>-Cauchyjevo]]}}'''}} ali {{nowrap|'''{{em|<math> \|\cdot\| \!\,</math>-Cauchyjevo}}'''}}, če za vsako [[realno število]] <math> r > 0 \!\, </math> obstaja nek tak indeks <math> N \!\, </math>, da velja:

: <math> d \left( x_{n}, x_{m} \right) = \left\| x_{n} - x_{m} \right\| < r \!\, , </math>

kadarkoli sta <math> m \!\, </math> in <math> n \!\, </math> večja od <math> N \!\, </math>. Normirani prostor <math> (X, \|\cdot\|) \!\, </math> se imenuje '''{{em|Banachov prostor}}''', kanonična metrika <math> d \!\, </math> pa se imenuje '''{{em|[[polna metrika]]}}''', če je <math> (X, d) \!\, </math> {{em|[[polni metrični prostor]]}}, kar po definiciji pomeni, da za vsako [[Cauchyjevo zaporedje]] <math> x_{1}, x_{2}, \ldots \!\, </math> v <math> (X, d) \!\, </math> obstaja nek takšen <math> x \in X \!\, </math>, da velja:

: <math> \lim_{n \to \infty} x_{n} = x \; \text{ v } (X, d) \!\, , </math>

kjer se zaradi <math> \left\| x_{n} - x \right\| = d \left( x_{n}, x \right) \!\, </math> ta konvergenca zaporedja <math> x \!\, </math> lahko enakovredno izrazi kot:

: <math> \lim_{n \to \infty} \left\| x_{n} - x \right\| = 0 \; \text{ v } \R \!\, . </math>

Norma <math> \|\cdot\| \!\, </math> normiranega prostora <math> (X, \|\cdot\|) \!\, </math> se imenuje '''{{em|{{visible anchor|polna norma|Polna norma}}}}''', če je <math> (X, \|\cdot\|) \!\, </math> Banachov prostor.

'''L-polskalarni produkt'''

Za vsak normiran prostor <math> (X, \|\cdot\|) \!\, </math> obstaja takšen [[L-polskalarni produkt]] <math> \langle \cdot, \cdot \rangle \!\, </math> na <math> X \!\, </math>, da velja <math display=inline> \|x\| = \sqrt{ \langle x, x \rangle} \!\, </math> za vse <math> x \in X \!\, </math>. V splošnem je lahko [[neskončnost|neskončno mnogo]] L-polskalarnih produktov, ki zadovoljujejo temu pogoju. L-polskalarni produkti so posplošitev [[prehilbertov prostor|prostorov skalarnih produktov]], ki so tisto, po čemer se [[Hilbertov prostor|Hilbertovi prostori]] bistveno razlikujejo od vseh drugih Banachovih prostorov. To kaže, da se lahko vse normirane prostore (in s tem vse Banachove prostore) obravnava kot posplošitve (pre)hilbertovih prostorov.

'''Karakterizacija v smislu vrste'''

Struktura vektorskega prostora omogoča, da se poveže obnašanje Cauchyjevih zaporedij z obnašanjem konvergenčnih zaporedij  vektorjev. Normirani prostor <math> X \!\, </math> je Banachov, če in samo če vsaka [[absolutna konvergenca|absolutno konvergentna]] vrsta v <math> X \!\, </math> konvergira v <math> X \!\, </math>.<ref>{{harvtxt|Megginson|1998}}, Izrek&nbsp;1.3.9, str.&nbsp;20.</ref>

: <math> \sum_{n=1}^{\infty} \| v_{n} \| < \infty \quad \text{ sledi da } \quad \sum_{n=1}^{\infty} v_{n}\ \ \text{ konvergira v } \ \ X \!\, . </math>

=== Topologija ===

Kanonična metrika <math> d \!\, </math> normiranega prostora <math> (X, \|\cdot\|) \!\, </math> inducira običajno [[metrična topologija|metrično topologijo]] <math> \tau_{d} \!\, </math> na <math> X \!\, </math>, ki se imenuje '''kanonična''' ali '''normno inducirana [[topologija]]'''. Za vsak normirani prostor se samodejno privzema, da nosi to [[Hausdorffov prostor|Hausdorffovo]] topologijo, razen če ni navedeno drugače. S to topologijo je vsak Banachov prostor [[Baireov prostor]], leprav obstajajo normirani prostori, ki so Baireovi, na pa Banachovi.{{sfnp|Wilansky|2013|p=29}} Norma <math> \|\,\cdot\, \| : \left(X, \tau_{d} \right) \to \R \!\, </math> je vedno [[zvezna funkcija]] glede na topologijo, ki jo inducira.

Odprta in zaprta [[krogla]] polmera <math> r > 0 \!\, </math> s središčem v točki <math> x \in X \!\, </math> sta torej množici:

: <math> B_{r}(x) := \{z \in X : \|z - x\| < r\} \qquad \text{ in } \qquad C_{r}(x) := \{z \in X : \|z - x\| \leq r\} \!\, . </math> 

Vsaka takšna krogla je [[konveksna množica|konveksna]] in [[omejena množica (topološki vektorski prostor)|omejena podmnožica]] <math> X \!\, </math>, vendar [[kompaktni prostor|kompaktna]] krogla/[[okolica (topologija)|okolica]] obstaja, če in samo če je <math> X \!\, </math> [[končnorazsežni vektorski prostor]]. Še posebej noben [[razsežnost (vektorski prostor)|neskončnorazsežni]] normirani prostor ne more biti [[krajevno kompaktni prostor|krajevno kompakten]] ali imeti [[Montelov prostor|Heine-Borelove značilnosti]]. Če je <math> x_{0} \!\, </math> vektor in <math> s \neq 0 \!\, </math> [[skalar]], potem velja:

: <math> x_{0} + s B_{r}(x) = B_{|s| r} \left( x_{0} + s x \right) \qquad \text{ in } \qquad x_{0} + s C_{r}(x) = C_{|s| r} \left( x_{0} + s x \right) \!\, . </math>

Če se uporabi <math> s := 1 \!\, </math>, se vidi, da je ta z normo inducirana topologija [[translacijsko invariantna topologija|translacijsko invariantna]], kar pomeni, da za kateri koli <math> x \in X \!\, </math> in <math> S \subseteq X \!\, </math> je podmnožica <math> S \!\, </math> [[odprta množica|odprta]] (in [[zaprta množica|zaprta]]) v <math> X \!\, </math>, če in samo če to velja za njeno translacijo <math> x + S := \{x + s : s \in S\} \!\, </math>. Posledično je topologija, inducirana z normo, v celoti določena s katero koli [[sistem okolice|bazo okolice]] v izhodišču. Nekatere pogoste baze okolic na izhodišču vključujejo:

: <math> \left\{ B_{r}(0) : r > 0 \right\}, \qquad \left\{ C_{r}(0) : r > 0 \right\} , \qquad \left\{ B_{r_{n}}(0) : n \in \N \right\}, \qquad \text{ ali } \qquad \left\{C_{r_{n}}(0) : n \in \N \right\} \!\, , </math>

kjer je <math> r_{1}, r_{2}, \ldots \!\, </math> [[zaporedje]] pozitivnih realnih šštevil, ki konvergira k <math> 0 \!\, </math> v <math> \R \!\, </math> (kot je na primer <math> r_{n} := 1/n \!\, </math> ali <math> r_{n} := 1/2^{n} \!\, </math>). Tako se lahko na primer vsaka odprta podmnožica <math> U \!\, </math> prostora <math> X \!\, </math> zapiše kot [[unija množic|unija]]:

: <math> U = \bigcup_{x \in I} B_{r_{x}}(x) = \bigcup_{x \in I} x + B_{r_{x}}(0) = \bigcup_{x \in I} x + r_{x} B_{1}(0) \!\, , </math>

indeksirana s kakšno podpmnožico <math>I \subseteq U \!\, </math>, kjer se lahko vsak <math> r_{x} \!\, </math> izbere iz zgoraj omenjenega zaporedja <math> r_{1}, r_{2}, \ldots \!\, </math> (odprte krogle se lahko zamenjajo z zaprtimi, čeprav se morajo zamenjati tudi indeksna množica <math> I \!\, </math> in polmeri <math> r_{x} \!\, </math>). Poleg tega se lahko <math> I \!\, </math> vedno izbere kot [[števna množica|števna]], če je <math> X \!\, </math> {{em|[[separabilni prostor]]}}, kar po definiciji pomeni, da <math> X \!\, </math> vsebuje kakšno števno [[gosta množica|gosto podmnožico]]. 

'''Razredi homeomorfizmov separabilnih Banachovih prostorov'''

Vsi končnorazsežni normirani prostori so separabilni Banachovi prostori in poljubna dva Banachova prostora z enako končno razsežnostjo sta linearno [[homeomorfizem|homeomorfna]]. Vsak separabilni končnorazsežni Hilbertov prostor je linearno izometrično izomorfen separabilnemu Hilbertovemu [[kvadratno integrabilna funkcija|prostoru zaporedja <math> \ell^{2}(\N) \!\, </math>]] s svojo [[prostor Lp|običajno normo]] <math> \| \cdot \|_{2} \!\, </math>.

[[Anderson-Kadecov izrek]] pravi, da je vsak neskončnorazsežni separabilni Fréchetov prostor homeomorfen [[produktni prostor|produktnemu prostoru]] <math display=inline>\prod_{i \in \N} \R \!\, </math> števno mnogih kopij <math> \R \!\, </math> (ta homeomorfizem ni treba da je [[linearna transformacija]]).{{sfnp|Bessaga|Pełczyński|1975|p=189}}{{sfnp|Anderson|Schori|1969|p=315}} Tako so vsi neskončnorazsežni separabilni Fréchetovi prostori homeomorfni med seboj (ali rečeno drugače – njihova topologija je edinstvena [[enakost do|do]] homeomorfizma). Ker je vsak Banachov prostor Fréchetov, velja to tudi za vse neskončnorazsežne separabilne Banachove prostore, vključno z <math> \ell^{2}(\N) \!\, </math>. <math> \ell^{2}(\N) \!\, </math> je dejansko homeomorfen celo svoji lastni [[enotska sfera|enotski {{em|sferi}}]] <math> \left\{ x \in \ell^{2}(\N) : \| x \|_{2} = 1 \right\} \!\, </math>, kar je v ostrem nasprotju s končnorazsežnimi prostori ([[evklidska ravnina]] <math> \R^{2} \!\, </math> na primer ni homeomorfna [[enotska krožnica|enotski krožnici]]).

Ta vzorec v razredih homeomorfizmov se razširi na posplošitve [[metrizabilni prostor|metrizabilnih]] (krajevno evklidskih) [[topološka mnogoterost|topoloških mnogoterosti]], znanih kot {{em|metrične [[Banachova mnogoterost|Banachove mnogoterosti]]}} in so metrični prostori, ki so okrog vsake točke, [[krajevni homeomorfizem|krajevno homeomorfni]] poljubni odprti podmnožici danega Banachovega prostora (metrične [[Hilbertova mnogoterost|Hilbertove mnogoterosti]] in metrične [[Fréchetova mnogoterost|Fréchetove mnogoterosti]] so definirane podobno).{{sfnp|Anderson|Schori|1969|p=315}} Vsaka odprta podmnožica <math> U \!\, </math> Banachovega prostora <math> X \!\, </math> je na primer kanonično metrična Banachova mnogoterost po vzoru na <math> X \!\, </math>, ker je [[inkluzivna preslikava]] <math> U \to X \!\, </math> [[odprta preslikava|odprti]] krajevni homeomorfizem. Z uporabo [[mikrosveženj|mikrosvežnjev]] Hilbertovega prostora je [[David Wilson Henderson]] leta 1969{{sfnp|Henderson|1969}} pokazal, da je vsako metrično mnogoterost, modelirano na separabilnem neskončnorazsežnem Banachovem (ali Fréchetovem) prostoru, mogoče [[vložitev (matematika)|topološko vložiti]] kot [[odprta množica|{{em|odprto}} podmnožico]] <math> \ell^{2}(\N) \!\, </math>, kar posledično tudi dopušča edinstveno [[gladka struktura|gladko strukturo]], zaradi česar je Hilbertova mnogoterost <math> C^{\infty} \!\, </math>.

''' Kompaktne in konveksne podmnožice '''

Obstaja kompaktna podmnožica <math> S \!\, </math> od <math> \ell^{2}(\N) \!\, </math> katere [[konveksna ogrinjača]] <math> \operatorname{co}(S) \!\, </math> {{em|ni}} zaprta in zato tudi {{em|ni}} kompaktna (za primer glej to opombo {{efn|name=ExampleCompactButHullIsNotCompact|Naj je <math> H \!\, </math> separabilni Hilbertov prostor [[prostor Lp|<math> \ell^{2}(\N) \!\, </math>]] kvadratno sumabilnih zaporedij z običajno normo <math> \| \cdot \|_{2} \!\, </math> in naj je <math> e_{n} = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots) \!\, </math> [[standardna baza|standardna]] [[ortonormalna baza]], (ki je enaka <math> 1 \!\, </math> v <math> n^{\text{-ti}} \!\, </math> koordinati). Zaprta množica <math> S = \{0\} \cup \left\{ \tfrac{1}{n} e_{n} : n = 1, 2, \ldots \right\} \!\, </math> je kompaktna, (ker je  [[zaporedoma kompaktni prostor|zaporedoma kompaktna]]), vendar njena konveksna ogrinjača <math> \operatorname{co} S \!\, </math> {{em|ni}} zaprta množica, ker <math> h := \sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{1}{2^{n}} \tfrac{1}{n} e_{n} \!\, </math> pripada zaprtju <math> \operatorname{co} S \!\, </math> v <math> H \!\, </math>, vendar <math> h \not\in\operatorname{co} S \!\, </math>, (ker je vsako zaporedje <math> \left( z_{n} \right)_{n=1}^{\infty} \in \operatorname{co} S \!\, </math> končna [[konveksna kombinacija]] elementov <math> S \!\, </math> in tako je enako <math> z_{n} = 0 \!\, </math> za vse, vendar za končno mnogo koordinat, kar ne velja za <math> h \!\, </math>). Vendar kot v vseh [[polni topološki vektorski prostor|polnih]] Hausdorffovih krajevno konveksnih prostorih je {{em|zaprta}} konveksna ogrinjača <math> K := \overline{\operatorname{co}} S \!\, </math> te kompaktne podmožice kompaktna. Vektorski podprostor <math> X := \operatorname{span} S = \operatorname{span} \left\{ e_{1}, e_{2}, \ldots \right\} \!\, </math> je prehilbertov prostor, ko je opremljen s podstrukturo da jo Hilbertov prostor <math> H \!\, </math> inducira nanj, vendar <math> X \!\, </math> ni poln in <math> h \not\in C := K \cap X \!\, </math>, (ker <math> h \not\in X \!\, </math>). Zaprta konveksna ogrinjača <math> S \!\, </math> v <math> X \!\, </math> (tu »zaprta« pomeni glede na <math> X \!\, </math> in ne glede na <math> H \!\, </math> kot prej)  je enaka <math> K \cap X \!\, </math>, ki ni kompaktna, (ker ni polna podmnožica). To kaže, da v Hausdorffovem krajevno konveksnem prostoru, ki ni poln, zaprta konveksna ogrinjača kompaktne podmnožice morda {{em|ne bo}} kompaktna, (čeprav bo [[totalno omejeni prostor|prekompaktna/popolnoma omejena]]).}}).{{sfnp|Aliprantis|Border|2006|p=185}} Vendar, kot v vseh Banachovih prostorih, bo zaprta konveksna ogrinjača <math> \overline{\operatorname{co}} S \!\, </math> te (in vsake druge) kompaktne podmnožice kompaktna.{{sfnp|Trèves|2006}}{{rp|145}} Toda če normirani prostor ni poln, potem na splošno {{em|ni}} zagotovljeno da bo <math> \overline{\operatorname{co}} S \!\, </math> kompaktna kadar je kompaktna <math> S \!\, </math>. Zgled{{efn|name=ExampleCompactButHullIsNotCompact}} se lahko najde celo v (nepolnem) prehilbertovem vektorskem podprostoru <math> \ell^{2}(\N) \!\, </math>.
 
'''Kot topološki vektorski prostor '''

Ta z normo inducirana topologija prav tako omogoča <math> \left( X, \tau_{d} \right) \!\, </math> v tisto, kar je znano kot [[topološki vektorski prostor]], ki je po definiciji vektorski prostor, opremljen s topologijo, ki naredi operacije seštevanja in skalarnega množenja zvezne. Poudarja se, da je topološki vektorski prostor <math> \left(X, \tau_{d} \right) \!\, </math> je {{em|le}} vektorski prostor skupaj z določeno vrsto topologije; to pomeni, da ko se obravnava kot topološki vektorski prostor, {{em|ni}} povezan z nobeno posebno normo ali metriko (obe sta »[[pozabljivi fuktor|pozabljeni]]«). Ta Hausdorffov topološki vektorski prostor <math> \left( X, \tau_{d} \right) \!\, </math> je celo [[krajevno konveksni topološki vektorski prostor|krajevno konveksen]], ker množica vseh odprtih krogel s središčem v izhodišču tvori [[baza okolice|bazo okolice]] v izhodišču, ki jo sestavljajo konveksne [[uravnotežena množica|uravnotežene]] odprte množice. Ta topološki vektorski prostor je tudi {{em|[[normirajoči prostor|normirajoč]]}}, kar se po definiciji nanaša na vsak topološki vektorski prostor, katerega topologijo inducira neka (morda neznana) norma. Za normirajoče topološke vektorske prostore je [[kriterij normabilnosti Kolmogorova|značilno]], da so Hausdorffovi in imajo omejeno konveksno okolico izhodišča. Vsi Banachovi prostori so [[sodasti prostor|sodasti prostori]], kar pomeni, da je vsak [[sodasta množica|sod]] okolica izhodišča (vse zaprte krogle s središčem v izhodišču so na primer sodi) in zagotavlja, da [[načelo uniformne omejenosti|Banach-Steinhausov izrek]] velja.

'''Primerjava polnih metrizabilnih vektorskih topologij'''

[[izrek o odprti preslikavi (funkcionalna analiza)|Izrek o odprti preslikavi]] (Banach-Schauderjev izrek ali Banachov izrek) implicira, da če sta <math> \tau \!\, </math> in <math> \tau_{2} \!\, </math> topologiji na <math> X \!\, </math>, ki naredita tako <math> (X, \tau) \!\, </math> kot <math> \left( X, \tau_{2} \right) \!\, </math> [[prostor F|polna metrizabilna topološka vektorska prostora]] (na primer Banachove ali Fréchetove prostore) in, če je ena topologija [[primerjava topologij|bolj fina ali groba]] od druge, morata biti enaki, (to je, če <math> \tau \subseteq \tau_{2} \!\, </math> ali <math> \tau_{2} \subseteq \tau \!\, </math>, potem <math> \tau = \tau_{2} \!\, </math>.){{sfnp|Trèves|2006}}{{rp|166–173}} Tako na primer, če sta <math> (X, p) \!\, </math> in <math> (X, q) \!\, </math> Banachova prostora s topologijama <math> \tau_{p} \!\, </math> in <math> \tau_{q} \!\, </math>, in, če ima eden od teh prostorov kakšno odprto kroglo, ki je tudi odprta podmnožica drugega prostora (ali enakovredno, če je eden od <math> p : \left( X, \tau_{q} \right) \to \R \!\, </math> ali <math> q : \left( X, \tau_{p} \right) \to \R \!\, </math> zvezen), potem sta njuni topologiji enaki in njuni [[ekvivalentni normi|normi enakovredni]].

=== Polnost ===

'''Polne norme in ekvivalentne norme '''

Dve normi <math> p \!\, </math> in <math> q \!\, </math> na vektorskem prostoru <math> X \!\, </math> sta [[ekvivalentni normi|{{em|ekvivalentni}}]], če inducirata isto topologijo.<ref name="Conrad Equiv norms">{{navedi splet|last1= Conrad|first1= Keith|title= Equivalence of norms|website=kconrad.math.uconn.edu|lang= en|accessdate= 2020-09-07|url= https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/equivnorms.pdf|archive-url= https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/equivnorms.pdf|archive-date= 2022-10-09|url-status= live}}</ref> To se zgodi, če in samo če obstajata takšni pozitivni realni števili <math> c, C > 0 \!\, </math>, da velja <math display=inline> c q(x) \leq p(x) \leq C q(x) \!\, </math> za vse <math> x \in X \!\, </math>. Če sta <math> p \!\, </math> in <math> q \!\, </math> dve ekvivalentni normi na vektorskem prostoru <math> X \!\, </math>, potem je <math> (X, p) \!\, </math> Banachov prostor, če in samo če je tudi <math> (X, q) \!\, </math> Banachov prostor. Glej to opombo za primer zvezne norme na Banachovem prostoru, ki {{em|ni}} ekvivalentna dani normi tega Banachovega prostora.{{efn|Naj <math> \left( C([0, 1]), \| \cdot \|_{\infty} \right) \!\, </math> označuje [[zvezne funkcije na kompaktnem Hausdorffovem prostoru|Banachov prostor zveznih funkcij]] z največjo normo in naj <math> \tau_{\infty} \!\, </math> označuje topologijo na <math> C([0, 1]) \!\, </math>, ki jo inducira <math> \| \cdot \|_{\infty} \!\, </math>. Vektorski prostor <math> C([0, 1]) \!\, </math> se lahko identificira (prek [[inkluzivna preslikava|inkluzivne preslikave]]) kot pravi [[gosta množica|gosti]] vektorski podprostor <math> X \!\, </math> [[prostor Lp|prostora <math> L^{1} \!\, </math>]] <math> \left( L^{1}([0, 1]), \| \cdot \|_{1} \right) \!\, </math>, za katerega velja <math> \| f \|_{1} \leq \| f \|_{\infty} \!\, </math> za vse <math> f \in X \!\, </math>. Naj <math> p \!\, </math> označuje omejitev [[prostor Lp|norme <math>L_{1} \!\, </math>]] na <math> X \!\, </math>, ki naredi to preslikavo <math> p : X \to \R \!\, </math> normo na <math> X \!\, </math> (v splošnem bo omejitev poljubne norme na poljubni vektorski podprostor nujno spet norma). Normirani prostor <math> (X, p) \!\, </math> {{em|ni}} Banachov prostor, ker je njegova zapolnitev prava [[supermnožica]] <math> \left( L^{1}([0, 1]), \| \cdot \|_1 \right) \!\, </math>. Ker <math> p \leq \| \cdot \|_{\infty} \!\, </math> velja na <math> X \!\, </math>, je preslikava <math> p : \left( X, \tau_{\infty} \right) \to \R \!\, </math> zvezna. Navkljub temu norma <math> p \!\, </math> {{em|ni}} ekvivalentna normi <math> \| \cdot \|_{\infty} \!\, </math>, (ker je <math> \left( X, \| \cdot \|_{\infty} \right) \!\, </math> polna, vendar <math> (X, p) \!\, </math> ni).}}<ref name="Conrad Equiv norms"/> Vse norme na končnorazsežnem vektorskem prostoru so ekvivalentne in vsak končnorazsežni normirani prostor je Banachov prostor.<ref>{{harvtxt|Megginson|1998}}, Posledica&nbsp;1.4.18, str.&nbsp;32.</ref>

'''Polne norme proti polnim metrikam'''

Metrika <math> D \!\, </math> na vektorskem prostoru <math> X \!\, </math> je inducirana z normo na <math> X \!\, </math>, če ina samo če je <math> D \!\, </math> [[translacijska invarianta]]{{efn|name="translation invariant metric"}} in '''{{em|absolutno homogena}}''', kar pomeni, da velja <math> D(sx, sy) = |s| D(x, y) \!\, </math> za vse skalarje <math> s \!\, </math> in vse <math> x, y \in X \!\, </math> – tem primeru funkcija <math> \| x \| := D(x, 0) \!\, </math> definira normo na <math> X \!\, </math> in kanonična metrika, ki jo inducira <math> \| \cdot \| \!\, </math>, je enaka <math> D \!\, </math>.

Naj je <math> (X, \| \cdot \|) \!\, </math> normirani prostor in naj je <math> \tau \!\, </math> normna topologija inducirana na <math> X \!\, </math>. Predpostavi se, da je <math> D \!\, </math> takšna {{em|poljubna}} metrika na <math> X \!\, </math>, da je topologija <math> D \!\, </math>, ki se inducira na <math> X \!\, </math> enaka <math> \tau \!\, </math>. Če je <math> D \!\, </math> translacijska invarianta,{{efn|name="translation invariant metric"}} potem je <math> (X, \| \cdot \| ) \!\, </math> Banachov prostor, če in samo če je <math> (X, D) \!\, </math> polni metrični prostor.{{sfnp|Narici|Beckenstein|2011}}{{rp|47-66}} Če <math> D \!\, </math> {{em|ni}} translacijska invarianta, je možno da je <math> (X, \| \cdot \| ) \!\, </math> Banachov prostor, vendar <math> (X, D) \!\, </math> {{em|ni}} polni metrični prostor{{sfnp|Narici|Beckenstein|2011}}{{rp|47-51}} (glej opombo{{efn|[[Normirani prostor]] <math> (\R,|\cdot |) \!\, </math> je Banachov prostor kjer je absolutna vrednost [[norma (matematika)|norma]] na [[številska premica|realni premici]] <math> \R \!\, </math>, ki inducira običajno [[evklidska topologija|evklidsko topologijo]] na <math> \R \!\, </math>. Naj je definirana metrika <math> D : \R \times \R \to \R \!\, </math> na <math> \R \!\, </math> z <math> D(x, y) = |\arctan(x) - \arctan(y)| \!\, </math> za vse <math> x, y \in \R \!\, </math>. Kakor inducirana metrika {{nowrap|<math> |\cdot| \!\, </math>}}, tudi metrika <math> D \!\, </math> inducira običajno evklidsko topologijo na <math> \R \!\, </math>. Vendar <math> D \!\, </math> ni polna metrika, ker je zaporedje <math> x_{\bull} = \left( x_{i} \right)_{i=1}^{\infty} \!\, </math>, definirano z <math> x_{i} := i \!\, </math>, [[Cauchyjevo zaporedje|{{nowrap|<math> D \!\, </math>-Cauchyjevo}} zaporedje]], vendar ne konvergira k nobeni točki na <math> \R \!\, </math>. Kot posledica nekonvergence  to {{nowrap|<math> D \!\, </math>-Cauchyjevo}} zaporedje ne more biti Cauchyjevo zaporedje v <math> (\R,|\cdot |) \!\, </math>, (to je, da ni Cauchyjevo zaporedje glede na normo <math> |\cdot| \!\, </math>), ker če bi bilo {{nowrap|<math> |\cdot| \!\, </math>-Cauchyjevo}}, bi iz dejstva, da je <math> (\R,|\cdot |) \!\, </math> Banachov prostor, izhajalo da konvergira, (kar je protislovje).{{sfnp|Narici|Beckenstein|2011}}{{rp|47–51}}}} za primer). Nasprotno Kleejev izrek,{{sfnp|Schaefer|Wolff|1999|p=35}}{{sfnp|Klee|1952}}{{efn|V izreku naj je <math> d \!\, </math> takšna {{em|poljubna}} metrika na vektorskem prostoru <math> X \!\, </math>, da topologija <math> \tau \!\, </math>, ki jo inducira <math> d \!\, </math> na <math> X \!\, </math> naredi <math> (X, \tau) \!\, </math> topološki vektorski prostor. Če je <math> (X, d) \!\, </math> [[polni vektorski prostor]], potem je <math> (X, \tau) \!\, </math> [[polni topološki vektorski prostor]].}} ki tudi velja za vse [[metrizabilni topološki vektorski prostor|metrizabilne topološke vektorske prostore]], nakazuje, da če obstaja {{em|poljubna}}{{efn|Ta metrika <math> D \!\, </math> {{em|ni}} privzeto translacijsko invariantna. Tako še posebej {{em|ni nujno}} inducirana z normo.}} polna metrika <math> D \!\, </math> na <math> X \!\, </math>, ki inducira normno topologijo <math> \tau \!\, </math> na <math> X \!\, </math>, potem je <math> (X, \| \cdot \|) \!\, </math> Banachov prostor.

Fréchetov prostor je [[krajevno konveksni topološki vektorski prostor]] katerega topologija inducira neka translacijsko invariantna polna metrika. Vsak Banachov prostor je Fréchetov prostor, obratno pa ne velja – res, obstajajo tudi Fréchetovi prostori na katerih nobena norma ni zvezna funkcija, (kot je na primer [[prostor zaporedij|prostor realnih zaporedij]] <math display=inline> \R^{\N} = \prod_{i \in \N} \R \!\, </math> s [[produktna topologija|produktno topologijo]]). Vendar pa je topologija vsakega Fréchetovega prostora inducirana z neko [[števna množica|števno]] družino realnih (nujno zveznih) preslikav, imenovanih [[polnorma|polnorme]], ki so posplošitve norm. Možno je celo, da ima Fréchetov prostor topologijo, ki jo inducira števna družina {{em|norm}}, (takšne norme bi bile nujno zvezne),{{efn|name=CharacterizationOfContinuityOfANorm|Norma (ali [[polnorma]]) <math> p \!\, </math> na topološkem vektorskem prostoru <math> (X, \tau) \!\, </math> je zvezna, če in samo če je topologija <math> \tau_{p} \!\, </math> ki jo inducira <math> p \!\, </math> na <math> X </math>, [[primerjava topologij|bolj groba]] kot <math> \tau \!\, </math>, (kar pomeni <math> \tau_{p} \subseteq \tau \!\, </math>). To se zgodi, če in samo če obstaja takšna poljubna krogla <math> B \!\, </math> v <math> (X, p) \!\, </math> (da je na primer mogoče <math> \{ x \in X : p(x) < 1 \} \!\, </math>), ki je odprta v <math> (X, \tau) \!\, </math>.}}{{sfnp|Trèves|2006}}{{rp|57–69}} vendar prostor ne bi bil Banachov/[[normizabilni prostor|normizabilen]], ker njegovo topologijo ne more definirati katera koli {{em|posamezna}} norma. Zgled takšnega prostora je Fréchetov prostor <math> C^{\infty}(K) \!\, </math>, katerega definicijo se lahko najde v članku o [[prostori testnih funkcij in porazdelitev|prostorih testnih funkcij in porazdelitev]].

'''Polne norme proti polnim topološkim vektorskim prostorom'''

Obstaja še en pojem polnosti poleg metrične polnosti in to je pojem [[polni topološki vektorski prostor|polnega topološkega vektorskega prostora]], ki uporablja teorijo [[uniformni prostor|uniformnih prostorov]]. Še posebej pojem polnega topološkega vektorskega prostora uporablja edinstveno translacijsko invariantno [[uniformnost (topologija)|uniformnost]], imenovano kanonična uniformnost, ki je odvisna {{em|le}} od vektorskega odštevanja in topologije <math> \tau \!\, </math>, s katero je opremljen vektorski prostor, in zato je zlasti ta pojem polnega topološkega vektorskega prostora neodvisen od katere koli norme, ki je inducirala topologijo <math> \tau \!\, </math> (in velja celo za topološke vektorske prostore, ki sploh {{em|niso}} metrizabilni). Vsak Banachov prostor je poln topološki vektorski prostor. Poleg tega je normirani prostor Banachov prostor (to pomeni, da je njegova z normo inducirana metrika polna), če in samo če je polna kot topološki vektorski prostor. Če je <math> (X, \tau) \!\, </math> [[metrizabilni topološki vektorski prstor]], (kot je na primer katera koli z normo inducirana topologija), potem je <math> (X, \tau) \!\, </math> poln topološki vcektorski prostor, kar pomeni, da je dovolj preveriti, ali vsako Cauchyjevo {{em|zaporedje}} v <math> (X, \tau) \!\, </math> konvergira v <math> (X, \tau) \!\, </math> k neki točki <math> X \!\, </math>, (to pomeni, da ni treba upoštevati bolj splošnega pojma poljubnih Cauchyjevih [[mreža (matematika)|mrež]]).

Če je <math> (X, \tau) \!\, </math> topološki vektorski prostor, katerega topologijo inducira {{em|poljubna}} (mogoče nezana) norma, (takšni prostori se imenujejo {{em|[[normizabilni prostor|normizabilni]]}}), potem je <math> (X, \tau) \!\, </math> polni topološki vektorski prostor, če in samo če se lahko <math> X \!\, </math> priredi norma <math> \| \cdot \| \!\, </math>, ki na <math> X \!\, </math> inducira topologijo <math> \tau \!\, </math> in naredi <math> (X, \|\cdot\|) \!\, </math> Banachov prostor. Hausdorffov krajevno konveksni topološki vektorski prostor <math> X \!\, </math> je normizabilen, če in samo če je [[močno dualni prostor]] <math> X^{\prime}_{b} \!\, </math> normizabilen{{sfnp|Trèves|2006}}{{rp|201}} – v tem primeru je <math> X^{\prime}_{b} \!\, </math> Banachov prostor, (<math> X^{\prime}_{b} \!\, </math> označuje močno dualni prostor <math> X \!\, </math>, katerega topologija je posplošitev topologije, inducirane z [[dualna norma|dualno normo]] na [[zvezni dualni prostor|zveznem dualnem prostoru]] <math> X^{\prime} \!\, </math> – glej to opombo{{efn|<math> X^{\prime} \!\, </math> označuje [[zvezni dualni prostor]] <math> X \!\, </math>. Kadar je <math> X^{\prime} \!\, </math> opremljen s topologijo močnega dualnega prostora, imenovano tudi [[topologije na prostorih linearnih preslikav|topologija uniformne konvergence]] na [[omejena množica (topološki vektorski prostor)|omejenih podmnožicah]] <math> X \!\, </math>, je to naznačeno z zapisom <math> X^{\prime}_{b} \!\, </math>, (včasih se rabi spodnji indeks <math> \beta \!\, </math> namesto <math> b \!\, </math>). Kadar je <math> X \!\, </math> normirani prostor z normo <math> \| \cdot \| \!\, </math>, potem je ta topologija enaka topologiji na <math> X^{\prime} \!\, </math>, ki jo inducira [[dualna norma]]. Na ta način je močna topologija posplošitev običajne topologije, inducirane z dualno normo na <math> X^{\prime} \!\, </math>.}} za več podrobnosti). Če je <math> X \!\, </math> metrizabilni krajevno konveksni topološki vektorski prostor, potem je <math> X \!\, </math> normizabilen, če in samo če je <math> X^{\prime}_{b} </math> [[Fréchet-Urysohnov prostor]].{{sfnp|Gabriyelyan|Ka̧kol|2015}} To kaže, da so v kategoriji krajevno konveksnih topoloških vektorskih prostorov Banachovi prostori točno tisti polni prostori, ki so hkrati metrizabilni in imajo metrizabilne močne dualne prostore.

==== Zapolnitve ====

Vsak normirani prostor je mogoče [[togi premik|izometrično]] vložiti v gosti vektorski podprostor {{em|nekega}} Banachovega prostora, kjer se ta Banachov prostor imenuje '''[[zapolnitev (metrični prostor)|{{em|zapolnitev}}]]''' normiranega prostora. Ta Hausdorffova zapolnitev je edinstvena do izometričnega izomorfizma.

Natančneje, za vsak normirani prostor <math> X \!\, </math> obstaja Banachov prostor <math> Y \!\, </math> in takšno preslikavo <math> T : X \to Y \!\, </math>, tako da je <math> T \!\, </math> izometrična preslikava in <math> T(X) \!\, </math> gosta v <math> Y \!\, </math>. Če je <math> Z \!\, </math> še en takšen Banachov prostor, da obstaja izometrični izomorfizem iz <math> X \!\, </math> na gosto podmnožico <math> Z \!\, </math>, potem je <math> Z \!\, </math> izometrično izomorfen <math> Y \!\, </math>. Ta Banachov prostor <math> Y \!\, </math> je Hausdorffova '''{{em|zapolnitev}}''' normiranega prostora <math> X \!\, </math>. Osnovni metrični prostor za <math> Y \!\, </math> je enak kot metrična zapolnitev <math> X \!\, </math> z operacijami vektorskega prostora, razširjenimi iz <math> X \!\, </math> do <math> Y \!\, </math>. Zapolnitev <math> X \!\, </math> se včasih označuje kot <math> \widehat{X} \!\, </math>.

== Splošna teorija ==

=== Linearni operatorji, izomorfizmi ===
<!-- This section is linked from [[Operator]] -->
{{glavni|omejeni operator }}

Če sta <math> X \!\, </math> in <math> Y \!\, </math> normirana prostora nad istim [[talno polje|talnim poljem]] <math> \mathbb{K} \!\, </math>, se množica vseh [[zvezna unkcija (topologija)|zveznih]] [[linearna transformacija|<math> \mathbb{K} \!\, </math>-linearnih preslikav]] <math> T : X \to Y \!\, </math> označuje kot <math> B(X, Y) \!\, </math>. V neskončnorazsežnih prostorih vse linearne preslikave niso zvezne. Linearna preslikava iz normiranega prostora <math> X \!\, </math> na drugi normirani prostor je zvezna, če in samo če je [[omejeni operator|omejena]] na zaprto [[enotska sfera|enotsko kroglo]] prostora <math> X \!\, </math>. Tako se lahko vektorskemu prostoru <math> B(X, Y) \!\, </math> da [[norma operatorja]]:

: <math> \| T \| = \sup \left\{ \| Tx \|_{Y} \mid x\in X,\ \| x \|_{X} \leq 1 \right\} \!\, . </math>

Za Banachov prostor <math> Y \!\, </math> je prostor <math> B(X, Y) \!\, </math> Banachov prostor glede na to normo. V kategoričnih kontekstih je včasih priročno omejiti [[morfizem|funkcijski prostor]] med dvema Banachovim prostoroma samo na [[metrična preslikava|kratke preslikave]] – v tem primeru se prostor <math> B(X,Y) \!\, </math> ponovno pojavi kot naravni [[bifunktor]].{{sfnp|Yuan|2012}}

Če je <math> X \!\, </math> Banachov prostor, prostor <math> B(X) = B(X, X) \!\, </math> tvori unitalno [[Banachova algebra|Banachovo algebro]] – operacija množenja je dana s kompozicijo linearnih preslikav.

Če sta <math> X \!\, </math> in <math> Y \!\, </math> normirana prostora, potem sta '''izomorfno normirana prostora''', če obstaja takšna linearna [[bijektivna preslikava|bijekcija]] <math> T : X \to Y \!\, </math>, da sta <math> T \!\, </math> in njen inverz <math> T^{-1} \!\, </math> zvezni. Če je eden od prostorov <math> X \!\, </math> ali <math> Y \!\, </math> poln (ali [[refleksivni prostor|refleksiven]], separabilen, itd.), potem je tak tudi drugi prostor. Dva normirana prostora <math> X \!\, </math> in <math> Y \!\, </math> sta '''izometrično izomorfna''', če je naprej tudi <math> T \!\, </math> izometrija, kar pomeni, da je <math> \| T(x) \| = \| x \| \!\, </math> za vse <math> x \!\, </math> v <math> X \!\, </math>. [[Banach-Mazurjev kompaktum|Banach-Mazurjeva razdalja]] <math> d(X, Y) \!\, </math> med dvema izomorfnima, vendar ne izometričnima, prostoroma <math> X \!\, </math> in <math> Y \!\, </math> podaja mero za koliko se dva prostora <math> X \!\, </math> in <math> Y \!\, </math> razlikujeta med seboj.

==== Zvezne in omejene linearne funkcije in polnorme ====

Vsak [[zvezni linearni operator]] je [[omejeni linearni operator]] in če se obravnavajo le normiranimi prostori, velja tudi obratno. To pomeni, da je [[linearni operator]] med dvema normiranima prostoroma [[omejeni operator|omejen]], če in samo če je [[zvezna funkcija]]. Še posebej zato, ker je skalarno polje (ki je <math> \R \!\, </math> ali <math> \C \!\, </math>) normirani prostor, [[linearni funkcional]] na normiranem prostoru je omejeni linearni funkcional, če in samo če je [[zvezni linearni funkcional]]. To omogoča, da se rezultati, povezani z zveznostjo (kot so tisti spodaj), uporabijo za Banachove prostore. Čeprav je omejenost enaka kot zveznost za linearne preslikave med normiranimi prostori, se izraz »omejen« pogosteje uporablja, ko se obravnava predvsem Banachove prostore.

Če je <math> f : X \to \R \!\, </math> [[podaditivna funkcija]], (kot je norma, [[podlinearna funkcija]] ali realni linearni operator), potem{{sfnp|Narici|Beckenstein|2011}}{{rp|192-193}} je <math> f \!\, </math> [[zveznost v točki|zvezna v izhodišču]], če in samo če je <math> f \!\, </math> [[uniformna zveznost|uniformno zvezna]] na celotnem prostoru <math> X \!\, </math> in, če poleg tega velja <math> f(0) = 0 \!\, </math>, je <math> f \!\, </math> zvezna, če in samo če je njena absolutna vrednost <math> |f| : X \to [0, \infty) \!\, </math> zvezna. To se zgodi, če in samo če je <math> \{ x \in X : |f(x)| < 1 \} \!\, </math> odprta podmnožica <math> X \!\, </math>.{{sfnp|Narici|Beckenstein|2011}}{{rp|192-193}}{{efn|Dejstvo, da je <math> \{ x \in X : |f(x)| < 1 \} \!\, </math> odprta, kar nakazuje, da je <math> f : X \to \R \!\, </math> zvezna, poenostavlja dokazovanje zveznosti, ker to pomeni, da je dovolj pokazati, da je <math> \{ x \in X : \left| f(x) - f \left( x_{0} \right) \right| < r \} \!\, </math> odprta za <math> r := 1 \!\, </math> in v <math> x_{0} := 0 \!\, </math> (kjer je <math> f(0) = 0 \!\, </math>), namesto da se pokaže to za {{em|vse}} realne <math> r > 0 \!\, </math> in {{em|vse}} <math> x_{0} \in X \!\, </math>.}} In kar je zelo pomembno za uporabo [[Hahn-Banachov izrek|Hahn-Banachovega izreka]] – linearni funkcional <math> f \!\, </math> je zvezen, če in samo če to velja za njegov [[kompleksno število|realni del]] <math> \operatorname{Re} f \!\, </math> in še več, za <math> \| \operatorname{Re} f \| = \| f \| \!\, </math> in [[linearna forma|realni del <math> \operatorname{Re} f \!\, </math> popolnoma določa]] <math> f \!\,</math>, zato je Hahn-Banachov izrek pogosto naveden samo za realne linearne funkcionale. Tudi linearni funkcional <math> f \!\, </math> na <math> X \!\, </math> je zvezen, če in samo če je polnorma <math> |f| \!\, </math> zvezna, kar se zgodi, če in samo če obstaja takšna zvezna polnorma <math> p : X \to \R \!\, </math>, da je <math> |f| \leq p \!\, </math>. Ta zadnja izjava vključuje linearni funkcional <math> f \!\, </math> in polnorma <math> p \!\, </math> se najde v mnogih različicah Hahn-Banachovega izreka.

=== Osnovni pojmi ===

[[Kartezični produkt]] <math> X \times Y \!\, </math> dveh normiranih prostorov kanonično ni opremljen z normo. Običajno pa se rabi več enakovrednih norm,{{sfnp|Banach|1932}}{{rp|182}} kot na primer:

: <math> \| (x, y) \|_{1} = \| x \| + \| y \| , \qquad \| (x, y) \|_{\infty} = \max (\| x \| , \| y \|) \!\, , </math>

kar zaporedoma odgovarja [[koproduktu]] in [[produkt (teorija kategorij)|produktu]] v kategoriji Banachovih prostorov in kratkih preslikav (obravnavano zgoraj).{{sfnp|Yuan|2012}} Za končne (ko)produkte te norme povzročijo izomorfne normirane prostore in produkt <math> X \times Y \!\, </math> (ali direktna vsota <math> X \oplus Y \!\, </math>) je poln, če in samo če sta oba faktorja polna.

Če je <math> M \!\, </math> [[zaprta množica|zaprti]] [[linearni podprostor]] normiranega prostora <math> X \!\, </math>, obstaja naravna norma na '''kvocientnem prostoru''' <math> X / M \!\, </math>:

: <math> \| x + M \| = \inf\limits_{m \in M} \| x + m \| \!\, . </math>

Kvocient <math> X / M \!\, </math> je Banachov prostor, kadar je <math> X \!\, </math> poln.{{sfnp|Carothers|2005}}{{rp|17–19}} '''Kvocientna preslikava''' iz <math> X \!\, </math> na <math> X / M \!\, </math>, ki preslikuje <math> x \in X \!\, </math> v njegov razred <math> x + M \!\, </math>, je linearna in ima normo enako <math> 1 \!\, </math>, razen kadar je <math> M = X \!\, </math>, ko je kvocient ničelni prostor.

Zaprti linearni podprostor <math> M \!\, </math> od <math> X \!\, </math> se imenuje '''[[komplementni podprostor]]''' od <math> X \!\, </math>, če je <math> M \!\, </math> [[območje funkcije|območje]] [[surjektivna preslikava|surjektivne]] omejene linearne [[projekcija (linearna algebra)|projekcije]] <math> P : X \to M \!\, </math>. V tem primeru je prostor <math> X \!\, </math> izomorfen direktni vsoti <math> M \!\, </math> in <math> \ker P \!\, </math>, jedra projekcije <math> P \!\, </math>.

Naj sta <math> X \!\, </math> in <math> Y \!\, </math> Banachova prostora in naj je <math> T \in B(X, Y) \!\, </math>. Potem obstaja '''kanonična faktorizacija''' od <math> T \!\, </math> kot:{{sfnp|Carothers|2005}}{{rp|17–19}}

: <math> T = T_{1} \circ \pi, \ \ \ T : X \ \overset{\pi}{\longrightarrow}\ X / \ker(T) \ \overset{T_{1}}{\longrightarrow} \ Y \!\, , </math>

kjer je prva preslikava <math> \pi \!\, </math> kvocientna preslikava, druga <math> T_{1} </math> pa preslikuje vsak razred <math> x + \ker T \!\, </math> v kvocientu na sliko <math> T(x) \!\, </math> v <math> Y \!\, </math>. To je dobro definirano, ker imajo vsi elementi v istem razredu enako sliko. Preslikava <math> T_{1} \!\, </math> je linearna bijekcija iz <math> X / \ker T \!\, </math> na območje <math> T(X) \!\, </math>, katere inverz mora biti omejen.

=== Klasični prostori ===

Med osnovne zglede{{sfnp|Banach|1932}}{{rp|11–12}} Banachovih prostorov spadajo: [[prostor Lp|prostori Lp]] <math> L^{p} \!\, </math> in njihovi posebni primeri, [[prostor zaporedij|prostori zaporedij]] <math> \ell^{p} \!\, </math>, ki jih sestavljajo skalarna zaporedja, indeksirana z [[naravno število|naravnimi števili]] <math> \N \!\, </math> – med njimi prostor <math> \ell^{1} \!\, </math> [[absolutna konvergenca|absolutno sumabilnih]] zaporedij in prostor <math> \ell^{2} \!\, </math> kvadratno sumabilnih zaporedij; prostor <math> c_{0} \!\, </math> zaporedij, ki težijo k ničli, in prostor <math> \ell^{\infty} \!\, </math> omejenih zaporedij; prostor <math> C(K) \!\, </math> zveznih skalarnih funkcij kompaktnega Hausdorffovega prostora <math> K \!\, </math>, opremljenega z največjo normo:

: <math> \| f \|_{C(K)} = \max \{ |f(x)| : x \in K \}, \quad f \in C(K) \!\, . </math>

Po [[Banach-Mazurjev izrek|Banach-Mazurjevem izreku]] je vsak Banachov prostor izometrično izomorfen podprostoru nekega prostora <math> C(K) \!\, </math>.<ref>{{harvtxt|Banach|1932}}, Izrek&nbsp;9, str.&nbsp;185.</ref> Za vsak separabilni Banachov prostor <math> X \!\, </math> obstaja takšen zaprti podprostor <math> M \!\, </math> od <math> \ell^{1} \!\, </math>, da je <math> X := \ell^{1} / M \!\, </math>.<ref>{{harvtxt|Carothers|2005}}, Izrek&nbsp;6.1, str.&nbsp;55.</ref>

Vsak Hilbertov prostor služi kot zgled Banachovega prostora. Hilbertov prostor <math> H \!\, </math> na <math> \mathbb{K} = \R, \C \!\, </math> je poln za normo oblike:

: <math> \| x \|_{H} = \sqrt{ \langle x, x \rangle } \!\, , </math>

kjer je:
: <math> \langle \cdot, \cdot \rangle : H \times H \to \mathbb{K} \!\, </math>

skalarni produkt, linearen v svojem prvem argumentu, za katerega velja naslednje:

: <math>\begin{align}
\langle y, x \rangle &= \overline{\langle x, y \rangle}, \quad \text{ za vse } x, y \in H \\
\langle x, x \rangle & \geq 0, \quad \text{ za vse } x \in H \\
\langle x,x \rangle = 0, \text{ če in samo če } x &= 0 \!\, . \end{align} </math>

Prostor <math> L^{2} \!\, </math> je na primer Hilbertov prostor.

[[Hardyjev prostor]] in [[prostor Soboljeva]] sta zgleda Banachovih prostorov, ki sta povezana s prostori <math> L^{p} \!\,</math> in imata dodatno strukturo. Med drugim sta pomembna v različnih vejah matematične analize, [[harmonična analiza|harmonične analize]] in [[parcialna diferencialna enačba|parcialnih diferencialnih enačbah]].

=== Banachove algebre ===

'''[[Banachova algebra]]''' je Banachov prostor <math> A \!\, </math> nad <math> \mathbb{K} = \R \!\, </math> ali <math> \C \!\, </math>, skupaj s takšno strukturo [[algebra nad poljem|algebre na <math> \mathbb{K} \!\, </math>]], da je produktna preslikava <math> A \times A \ni (a, b) \mapsto ab \in A \!\, </math> zvezna. Ekvivalentna norma na <math> A \!\, </math> se lahko najde, tako da velja <math> \| ab \| \leq \| a \| \| b \| \!\, </math> za vse <math> a, b \in A \!\, </math>.

==== Zgledi ====

* Banachov prostor <math> C(K) \!\, </math> s [[točkovni produkt|točkovnim produktom]] je Banachova algebra.
* [[algebra diskov|algebro diskov]] <math> A(\mathbf{D}) \!\, </math> sestavljajo funkcije, [[holomorfna funkcija|holomorfne]] na odprtem enotskem disku <math> D \subseteq \C \!\, </math> in zveznem na svoji [[zapolnitev (topologija)|zapolnitvi]]: <math> \overline{\mathbf{D}} \!\, </math>. Opremljena z največjo normo na <math> \overline{\mathbf{D}} \!\, </math>, je algebra diskov <math> A(\mathbf{D}) \!\, </math> zaprta podalgebra od <math> C \left( \overline{\mathbf{D}} \right) \!\, </math>.
* [[Wienerjeva algebra]] <math> A(\mathbf{T}) \!\, </math> je algebra funkcij na enotski krožnici <math> \mathbf{T} \!\,</math> z absolutno konvergentnimi [[Fourierova vrsta|Fourierovimi vrstami]]. Preko preslikave, ki povezuje funkcijo na <math> \mathbf{T} \!\, </math> z zaporedjem njenih Fourierovih koeficientov, je ta algebra izomorfna Banachovi algebri <math> \ell^{1}(Z) \!\, </math>, kjer je produkt konvolucija zaporedij.
* za vsak Banachov prostor <math> X \!\, </math> je prostor <math> B(X) \!\, </math> omejenih linearnih operatorjev na <math> X \!\, </math> s kompozicijo preslikav kot produktom Banachova algebra.
* [[C*-algebra]] je kompleksna Banachova algebra <math> A \!\, </math> s takšno [[antilinearna preslikava|antilinerno]] [[involucija (matematika)|involucijo]] <math> a \mapsto a^{*} \!\, </math>, da je <math> \left\| a^{*} a \right\| = \| a \|^{2} \!\, </math>. Prostor <math> B(H) \!\, </math> omejenih linearnih operatorjev na Hilbertovem prostoru <math> H \!\, </math> je osnovni zgled C*-algebre. [[Gelfand-Najmarkov izrek]] pravi, da je vsaka C*-algebra izometrično izomorfna C*-podalgebri nekega <math> B(H) \!\, </math>. Prostor <math> C(K) \!\, </math> kompleksnih zveznih funkcij na kompaktnem Hausdorffovem prostoru <math> K \!\, </math> je zgled [[komutativnost|komutativne]] C*-algebre, kjer je involucija, povezana z vsako funkcijo <math> f \!\, </math>, njen [[konjugirano kompleksno število|kompleksni konjugat]] <math> \overline{f} \!\, </math>.

=== Dualni prostor ===

{{glavni|dualni prostor}}

Če je <math> X \!\, </math> normirani prostor in <math> \mathbb{K} \!\, </math> osnovno [[polje (matematika)|polje]] (ali realnih ali kompleksnih števil), je '''zvezni dualni prostor''' prostor zveznih linearnih preslikav iz <math> X \!\, </math> na <math> \mathbb{K} \!\, </math> ali '''zveznih linearnih funkcionalov'''. V tem članku je zapis za zvezni dual <math> X^{\prime} = B(X, \mathbb{K}) \!\, </math>.<ref>Več knjig o funkcionalni analizi rabi zapis <math> X^{*} \!\, </math> za zvezni dual, na primer: {{harvtxt|Carothers|2005}}, {{harvtxt|Lindenstrauss|Tzafriri|1977}}, {{harvtxt|Megginson|1998}}, {{harvtxt|Ryan|2002}}, {{harvtxt|Wojtaszczyk|1991}}.</ref> Ker je <math> \mathbb{K} \!\, </math> Banachov prostor, (ki ima za normo absolutno vrednost), je dual <math> X^{\prime} \!\, </math> banachov prostor za vsak normirani prostor <math> X \!\, </math>. [[Dixmier-Ngov izrek]] karakterizira dualne prostore Banachovih prostorov.

Glavno orodje za dokazovanje obstoja zveznih linearnih funkcionalov je [[Hahn-Banachov izrek]].

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|'''Hahn-Banachov izrek:''' Naj je <math> X \!\,</math> [[vektorski prostor]] nad poljem <math> \mathbb{K} = \R, \C \!\, </math>. Naj je naprej
* <math> Y \subseteq X \!\, </math> [[linearni podprostor]],
* <math> p : X \to \R \!\, </math> [[podlinearna funkcija]] in
* <math> f : Y \to \mathbb{K} \!\, </math> takšen [[linearni funkcional]], da velja <math> \operatorname{Re}(f(y)) \leq p(y) \!\, </math> za vse <math>y \in Y \!\, </math>.

Potem obstaja takšen linearni funkcional <math> F : X \to \mathbb{K} \!\, </math>, da velja:

: <math> F\big\vert_Y = f, \quad \text{ in } \quad \text{ za vse } x \in X, \ \ \operatorname{Re}(F(x)) \leq p(x) \!\, . </math>}}

Še posebej, vsak zvezni linearni funkcional na podprostoru normiranega prostora je mogoče zvezno razširiti na celoten prostor, ne da bi se povečalo normo funkcionala.<ref>{{harvtxt|Megginson|1998}}, Izrek&nbsp;1.9.6, str.&nbsp;75.</ref> Pomemben poseben primer je naslednji: za vsak vektor <math> x \!\, </math> v normiranem prostoru <math> X \!\, </math> obstaja takšen zvezni linearni funkcional <math> f \!\, </math> na <math> X \!\, </math>, da je:

: <math> f(x) = \| x \|_{X}, \quad \| f \|_{X^{\prime}} \leq 1 \!\, . </math>

Kadar <math> x \!\, </math> ni enak [[ničelni vektor|vektorju <math>\mathbf{0} \!\, </math>]], mora imeti funkcional <math> f \!\, </math> normo enako <math> 1 \!\, </math>, in se imenuje '''normirajoči funkcional''' za <math> x \!\, </math>.

[[Hahn-Banachov separacijski izrek]] pravi, da se lahko dve nepovezani neprazni konveksni množici v realnem Banachovem prostoru, od katerih je ena odprta, ločita z zaprto [[afini prostor|afino]] [[hiperravnina|hiperravnino]]. Odprta konveksna množica leži strogo na eni strani hiperravnine, druga konveksna množica pa leži na drugi strani, vendar se lahko dotika hiperravnine.<ref>{{harvtxt|Megginson|1998}}, Izrek&nbsp;2.2.26, str.&nbsp;179.</ref>

Podmnožica <math> S \!\, </math> v Banachovem prostoru <math> X \!\, </math> je '''totalna''', če je [[linearna ogrinjača]]  <math> S \!\,</math> [[gosta množica|gosta]] v <math> X \!\, </math>. Podmožica <math> S \!\, </math> je totalna v <math> X \!\, </math>, če in samo če je edini zvezni linearni funkcional, ki izgine na <math> S \!\, </math>, funkcional <math> \mathbf{0} \!\, </math> – ta ekvivalenca sledi iz Hahn-Banachovega izreka.

Če je <math> X \!\, </math> direktna vsota dveh zaprtih linearnih podprostorov <math> M \!\, </math> in <math> N \!\, </math>, potem je dual <math> X^{\prime} \!\, </math> prostora <math> X \!\, </math> izomorfen direktni vsoti dualov <math> M \!\, </math> in <math> N \!\, </math>.{{sfnp|Carothers|2005}}{{rp|19}} Če je <math> M \!\, </math> zaprti linearni prostor v <math> X \!\, </math>, ga je možno povezati z {{em|ortogonalnim}} <math> M \!\, </math> v dualu:

: <math> M^{\bot} = \left\{ x^{\prime} \in X : x^{\prime}(m) = 0, \ \text{ za vse } m \in M \right\} \!\, . </math>

Ortogonalni <math> M^{\bot} \!\, </math> je zaprti linearni podprostor duala. Dual <math> M \!\, </math> je izometrično izomorfen <math> X' / M^{\bot} \!\, </math>. Dual <math> X / M \!\, </math> je izometrično izomorfen <math> M^{\bot} \!\, </math>.<ref>{{harvtxt|Megginson|1998}}, Izreka&nbsp;1.10.16, 1.10.17 str. 94–95.</ref>

Dual separabilnega Banachovega prostora ni treba, da je separabilen, vendar velja naslednji izrek:

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|'''Izrek:'''<ref>{{harvtxt|Megginson|1998}}, Izrek&nbsp;1.12.11, str.&nbsp;112.</ref> Naj je <math> X \!\, </math> normirani prostor. Če je <math> X' \!\, </math> separabilen, je separabilen <math> X \!\, </math>.}}

Kadar je <math> X' \!\, </math> separabilen, se lahko zgornji kriterij za totalnost uporabi za dokazovanje obstoja števne totalne podmnožice v <math> X \!\, </math>.

==== Šibke topologije ====

'''[[Šibka topologija]]''' na Banachovem prostoru <math> X \!\, </math> je [[primerjava topologij|najbolj groba topologija]] na <math> X \!\, </math> za katero so vsi elementi <math> x^{\prime} \!\, </math> v zveznem dualnem prostoru <math> X^{\prime} \!\, </math> zvezni. Normna topologija je tako bolj fina od šibke topologije. Iz Hahn-Banachoveha separacijskega izreka sledi, da je šibka topologija Hausdorffova in, da je z normo zaprta konveksna podmnožica Banachovega prostora tudi šibko zaprta.<ref>{{harvtxt|Megginson|1998}}, Izrek&nbsp;2.5.16, str.&nbsp;216.</ref> Z normo zvezna linearna preslikava med dvema Banachovima prostoroma <math> X \!\, </math> in <math> Y \!\, </math> je tudi '''šibko zvezna''', kar pomeni, da je zvezna iz šibke topologije od <math> X </math> k tisti od <math> Y \!\, </math>.<ref>{{harvtxt|Wojtaszczyk|1991}}, II.A.8, str.&nbsp;29.</ref>

Če je <math> X \!\, </math> neskončnorazsežen, obstajajo linearne preslikave, ki niso zvezne. Prostor <math> X^{*} \!\, </math> vseh linearnih preslikav iz <math> X \!\, </math> na osnovno polje <math> \mathbb{K} \!\, </math>, (ta prostor <math> X^{*} \!\, </math> se imenuje algebrski dualni prostor, da se ga razlikuje od <math> X^{\prime} \!\, </math>), tudi inducira topologijo na <math> X \!\, </math>, ki je bolj fina od šibke topologije in se v funkcionalni analizi rabi manj.

Na dualnem prostoru <math> X^{\prime} \!\, </math> obstaja topologija, ki je šibkejša od šibke topologije <math> X^{\prime} \!\, </math>, imenovana '''šibka* topologija'''. Je najbolj groba topologija na <math> X^{\prime} \!\, </math> za katero so vse evaluacijske preslikave <math> x^{\prime} \in X^{\prime} \mapsto x^{\prime}(x) \!\, </math>, kjer <math> x \!\, </math> teče čez ves <math> X \!\, </math>, zvezne. Njena pomembnost izhaja iz [[Banach-Alaoglujev izrek|Banach-Alaoglujevega izreka]].

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|'''[[Banach-Alaoglujev izrek]]:''' Naj je <math> X \!\, </math> [[normirani vektorski prostor]]. Potem je [[zaprta množica|zaprta]] [[enotska krogla|enotska]] [[krogla]] <math> B = \left\{ x \in X : \|x\| \leq 1 \right\} \!\, </math> dualnega prostora [[kompaktni prostor|kompaktna]] v šibki* topologiji.}}

Banach-Alaoglujev izrek se lahko dokaže s pomočjo [[izrek Tihonova|izreka Tihonova]] o neskončnih produktih kompaktnih Hausdorffovih prostorov. Kadar je <math> X \!\, </math> separabilen, je enotska krogla <math> B^{\prime} \!\, </math> duala [[metrizabilni prostor|metrizabilno]] kompaktna v šibki* topologiji.<ref name="DualBall">{{harvtxt|Megginson|1998}}, Izrek&nbsp;2.6.23, str.&nbsp;231.</ref>

==== Zgledi dualnih prostorov ====

Dual <math> c_{0} \!\, </math> je izometrično izomorfen <math> \ell^{1} \!\, </math>: za vsak omejeni linearni funkcional <math> f \!\, </math> na <math> c_{0} \!\, </math> obstaja takšen edinstven element <math> y = \left\{ y_{n} \right\} \in \ell^{1} \!\, </math>, da velja:

: <math> f(x) = \sum_{n \in \N} x_{n} y_{n}, \qquad x = \{ x_{n} \} \in c_{0}, \ \ \text{ in } \ \ \| f \|_{(c_{0})'} = \| y \|_{\ell_{1}} \!\, . </math>

Dual <math> \ell^{1} \!\, </math> je izometrično izomorfen <math> \ell^{\infty} \!\, </math>. Dual [[prostor Lp|Lebesguovega prostora]] <math> L^{p}([0, 1]) \!\, </math> je izometrično izomorfen <math> L^{q}([0, 1]) \!\, </math>, kadar je <math> 1 \leq p < \infty \!\, </math> in <math> \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \!\, </math>.

Za vsak vektor <math> y \!\, </math> v Hilbertovem prostoru <math> H \!\, </math> preslikava:

: <math> x \in H \to f_{y}(x) = \langle x, y \rangle \!\, </math>

definira zvezni linearni funkcional <math> f_{y} \!\, </math> na <math> H \!\, </math>. [[Rieszev reprezentacijski izrek]] pravi, da ima vsak zvezni linearni funkcional na <math> H \!\, </math> obliko <math> f_{y} \!\, </math> za edinstveno definiran vektor <math> y \!\, </math> v <math> H \!\, </math>. Preslikava <math> y \in H \to f_{y} \!\, </math> je antilinearna izometrična bijekcija iz <math> H \!\, </math> na svoj dual <math> H' \!\, </math>. Kadar so skalarji realni, je takšna preslikava izometrični izomorfizem.

Kadar je <math> K \!\, </math> kompaktni Hausdorffov topološki prostor, je dual <math> M(K) \!\, </math> od <math> C(K) \!\, </math> prostor [[Radonova mera|Radonovih mer]] v [[Nicolas Bourbaki|Bourbakijevem]] smislu.{{sfnp|Bourbaki|2004}} Podmnožica <math> P(K) \!\, </math> od <math> M(K) \!\, </math>, ki jo sestavljajo nenegativne mere z maso enako <math> 1 \!\, </math> ([[mera verjetnosti|mere verjetnosti]]), je konveksna w*-zaprta podmnožica enotske krogle <math> M(K) \!\, </math>. [[ekstremna točka|Ekstremne točke]] <math> P(K) \!\, </math> so [[Diracova mera|Diracove mere]] na <math> K \!\, </math>. Množica Diracovih mer na <math> K \!\, </math>, opremljena z w*-topologijo, je homeomorfna <math> K \!\, </math>.

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|'''[[Banach-Stoneov izrek]]:''' Če sta <math> K \!\, </math> in <math> L \!\, </math> kompaktna Hausdorffova prostora in, če sta <math> C(K) \!\, </math> in <math> C(L) \!\, </math> izometrično izomorfni, potem sta topološka prostora <math> K \!\, </math> in <math> L \!\, </math> homeomorfna.{{sfnp|Eilenberg|1942}}<ref>glej tudi {{harvtxt|Banach|1932}}, str.&nbsp;170 za metrizabilna <math> K \!\, </math> in <math> L \!\, </math>.</ref>}}

Rezultat sta razširila Dan Amir{{sfnp|Amir|1965}} in M. Cambern{{sfnp|Cambern|1966}}{{sfnp|Cambern|1967}} na primer, ko je multiplikativna [[Banach-Mazurjev kompaktum|Banach-Mazurjeva razdalja]] med <math> C(K) \!\, </math> in <math> C(L) \!\, </math> enaka <math> < 2 \!\, </math>. Izrek ne velja več, ko je razdalja enaka <math> = 2 \!\, </math>.{{sfnp|Cohen|1975}}

V komutativni Banachovi algebri <math> C(K) \!\, </math> so maksimalni idelai ravno jedra Diracovih mer na <math> K \!\, </math>:

: <math>I_{x} = \ker \delta_{x} = \{ f \in C(K) : f(x) = 0 \} , \quad x \in K \!\, . </math>

Na splošno se lahko z [[Gelfand-Mazurjev izrek|Gelfand-Mazurjevim izrekom]] maksimalne ideale unitalne komutativne Banachove algebre identificira z njenimi karakterji – ne samo kot množice, ampak kot topološke prostore: prve s [[spekter C*-algebre|topologijo jedra ogrinjače]] in druge z w*-topologijo. V tej identifikaciji se lahko na prostor maksimalnih idealov gleda kot na w*-kompaktno podmnožico enotske krogle v dualu <math> A' \!\, </math>.

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|'''Izrek:''' Če je <math> K \!\, </math> kompaktni Hausdorffov prostor, potem je prostor maksimalnih ideaalov <math> \Xi \!\, </math> Banachove algebre <math> C(K) \!\, </math> homeomorfen <math> K \!\, </math>.{{sfnp|Eilenberg|1942}}}}

Vsaka unitalna komutativna Banachova algebra ni oblike <math> C(K) \!\, </math> za kakšen kompaktni Hausdorffov prostor <math> K \!\, </math>. Ta uzjava pa velja, le se <math> C(K) \!\, </math> postavi v manjšo kategorijo komutativnih [[C*-algebra|C*-algeber]]. [[Izrail Moisejevič Gelfand|Gelfandov]] [[Gelfandova reprezentacija|reprezentacijski izrek]] za komutativne C*-algebre pravi, da je vsaka komutativna unitalna ''C''*-algebra <math> A \!\, </math> izometrično izomorfna prostoru <math> C(K) \!\, </math>.{{sfnp|Arveson|1976}} Hausdorffov kompaktni prostor <math> K \!\, </math> je tukaj spet prostor maksimalnih idealov, imenovan [[spekter C*-algebre|spekter]] <math> A \!\, </math> v kontekstu C*-algeber.

==== Bidual ====

{{glej tudi|Bidual|refleksivni prostor|polrefleksivni propstor}}

Če je <math> X \!\, </math> normirani prostor, se (zvezni) dual <math> X'' \!\, </math> duala <math> X' \!\, </math> imenuje '''{{visible anchor|bidual}}''' ali '''{{visible anchor|drugi dual}}''' <math> X \!\, </math>. Za vsak normirani prostor <math> X \!\, </math> obstaja naravna preslikava:

: <math>\begin{cases}
F_X : X \to X'' \\
F_X(x) (f) = f(x) & \text{ za vse } x \in X, \text{ in za vse } f \in X' \!\, . \end{cases}</math>

To definira <math> F_{X}(x) \!\, </math> kot zvezni linearni funkcional na <math> X^{\prime} \!\, </math>, to je element <math> X^{\prime\prime} \!\, </math>. Preslikava <math> F_{X} : x \to F_{X}(x) \!\, </math> je linearna preslikava iz <math> X \!\, </math> na <math> X^{\prime\prime} \!\, </math>. Kot posledica obstoja normirajočega funkcionala <math> f \!\, </math> za vsak <math> x \in X \!\, </math> je ta preslikava <math> F_{X} \!\, </math> izometrična in zato [[injektivna preslikava|injektivna]].

Dual od <math> X = c_{0} \!\, </math> je na primer identificiran z <math> \ell^{1} \!\, </math>, dual od <math> \ell^{1} \!\, </math> pa z <math> \ell^{\infty} \!\, </math>, prostorom omejenih skalarnih zaporedij. Pod tema identifikacijama je <math> F_{X} \!\, </math> inkluzivna preslikava iz <math> c_{0} </math> na <math> \ell^{\infty} \!\, </math>. Je res izometrična, vendar ne na.

Če je <math> F_{X} \!\, </math> surjektiven, potem se normirani prostor <math> X \!\, </math> imenuje '''refleksiven''' (glej [[Banachov prostor#Refleksivnost|spodaj]]). Ker je dual normiranega prostora, je bidual <math> X'' \!\, </math> poln, in zato je vsak refleksivni normirani prostor Banachov.

Z uporabo izometrične vložitve <math> F_{X} \!\, </math> je običajno obravnavati normirani prostor <math> X \!\, </math> kot podmnožico njegovega biduala. Ko je <math> X \!\, </math> Banachov prostor, se nanj gleda kot na zaprti linearni podprostor <math> X^{\prime\prime} \!\, </math>. Če <math> X \!\, </math> ni refleksiven, je enotska krogla <math> X \!\, </math> prava podmnožica enotske krogle <math> X^{\prime\prime} \!\, </math>. [[Goldstineov izrek]] pravi, da je enotska krogla normiranega prostora šibko*-gosta v enotski krogli biduala. Z drugimi besedami, za vsak <math> x'' \!\, </math> v bidualu obstaja takšna [[mreža (matematika)|mreža]] <math> \left( x_{i} \right)_{i \in I} \!\, </math> v <math> X \!\, </math>, tako da je:

: <math> \sup_{i \in I} \left\| x_{i} \right\| \leq \| x'' \|, \ \ x''(f) = \lim_{i} f \left( x_{i} \right), \quad f \in X' \!\, . </math>

Mrežo se lahko nadomesti s šibko*-konvergentnim zaporedjem, ko je dual <math> X' \!\, </math> separabilen. Po drugi strani pa elementi biduala <math> \ell^{1} \!\, </math>, ki niso v <math> \ell^{1} \!\, </math>, ne morejo biti šibka*-limita {{em|zaporedij}} v <math> \ell^{1} \!\, </math>, ker je <math>\ell^{1} \!\, </math> šibko zaporedoma poln.

=== Banachovi izreki ===

Tukaj so glavni splošni rezultati o Banachovih prostorih, ki segajo v čas Banachove knjige{{sfnp|Banach|1932}}, in so povezani z [[Baireov izrek o kategoriji|Baireovim izrekom o kategoriji]]. V skladu s tem izrekom poln metrični prostor (kot so: Banachov prostor, Fréchetov prostor ali [[prostor F]]) ne more biti enak uniji števno mnogo zaprtih podmnožic s prazno [[notranjost (topologija)|notranjostjo]]. Zato Banachov prostor ne more biti unija števno mnogo zaprtih podprostorov, razen če je že enak enemu izmed njih – Banachov prostor s števno [[Hamelova baza|Hamelovo bazo]] je končnorazsežen.

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|[[načelo uniformne omejenosti|Banach-Steinhausov izrek]]:''' Naj je <math> X \!\, </math> Banachov prostor in naj je <math> Y \!\, </math> normirani vektorski prostor. Naj je  <math> F \!\, </math> zbirka zveznih linearnih operatorjev iz <math> X \!\, </math> na <math> Y \!\, </math>. Načelo uniformne omejenosti pravi, da, če za vse <math> x \!\, </math> v <math> X \!\, </math> velja <math> \sup_{T \in F} \| T(x) \|_{Y} < \infty \!\, </math>, potem je <math> \sup_{T \in F} \| T \|_{Y} < \infty \!\, </math>.}}

Banach-Steinhausov izrek ni omejen samo na Banachove prostore. Razširi se ga lahko na primer, ko je <math> X \!\, </math> Fréchetov prostor, pod pogojem, da se sklep spremeni na naslednji način: pod isto domnevo obstaja takšna okolica <math > U \!\, </math> od <math> \mathbf{0} \!\, </math> v <math> X \!\, </math>, tako da so vsi <math> T \!\ , </math> v <math> F \!\, </math>  uniformno omejeni na <math> U \!\, </math>:
: <math> \sup_{T \in F} \sup_{x \in U} \; \| T(x) \|_{Y} < \infty \!\, . </math>

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|[[izrek o odprti preslikavi (funkcionalna analiza)|Izrek o odprti preslikavi]]:''' Naj sta <math> X \!\, </math> in <math> Y \!\, </math> Banachova prostora in naj je <math> T : X \to Y \!\, </math> surjektivni zvezni linearni operator. Potem je <math> T \!\, </math> odprta preslikava.}}

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|Posledica:''' Vsak ena proti ena omejeni linearni operator iz Banachovega prostora v Banachov prostor je izomorfizem.}}

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|'''Prvi izrek o izomorfizmu za Banachove prostore:''' Naj sta <math> X \!\, </math> in <math> Y \!\, </math> Banachova prostora in naj je <math> T \in B(X, Y) \!\,</math>. Naj je naprej območje <math> T \!\, </math> zaprto v <math> Y \!\, </math>. Potem je <math> X / \ker T \!\, </math> izomorfen <math> T(X) \!\, </math>.}}

Ta rezultat je neposredna posledica prejšnjega ''Banachovega izreka o izomorfizmu'' in kanonične faktorizacije omejenih linearnih preslikav.

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|'''Posledica:''' Če je Banachov prostor <math> X \!\, </math> notranja direktna vsota zaprtih prostorov <math> M_{1}, \ldots, M_{n} \!\, </math>, potem je <math> X \!\, </math> izomorfen <math> M_{1} \oplus \cdots \oplus M_{n} \!\, </math>}}

To je še ena posledica Banachovega izreka o izomorfizmu, uporabljenega za zvezno bijekcijo iz <math> M_{1} \oplus \cdots \oplus M_{n} \!\, </math> na <math> X \!\, </math>, ki pošilja <math>m_{1}, \cdots, m_{n} \!\, </math> v vsoto <math> m_{1} + \cdots + m_{n} \!\, </math>.

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|'''[[Izrek o zaprtem grafu]]:''' Naj je <math> T : X \to Y \!\, </math> linearna preslikava med Banachovima prostoroma. [[graf (matematika)|Graf]] <math> T \!\, </math> je zaprt v <math> X \times Y \!\,</math>, če in samo če je <math> T \!\, </math> zvezna.}}

{{clear}}

=== Refleksivnost ===

{{glavni|refleksivni prostor}}

Normirani prostor <math> X \!\, </math> se imenuje '''[[refleksivni prostor|refleksiven]]''', kadar je naravna preslikava:

: <math> \begin{cases} F_{X} : X \to X'' \\ F_{X}(x) (f) = f(x) & \text{ za vse } x \in X, \text{ in za vse } f \in X'\end{cases} \!\, </math>

surjektivna. Refleksivni normirani prostori so Banachovi.

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|'''Izrek:''' Če je <math> X \!\, </math> refleksivni Banachov prostor, sta vsak zaprti podprostor <math> X \!\, </math> in vsak kvocientni prostor <math> X \!\, </math> refleksivna.}}

To je posledica Hahn-Banachovega izreka. Nadalje, po izreku o odprti preslikavi, če obstaja omejeni linearni operator iz Banachovega prostora <math> X \!\, </math> v Banachov prostor <math> Y \!\, </math>, potem je <math> > Y \!\, </math> refleksiven.

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|Izrek:''' Če je <math> X \!\, </math> Banachov prostor, potem je <math> X \!\, </math> refleksiven, če in samo če je reflesiven <math> X^{\prime} \!\, </math>.}}

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|'''Posledica:''' Naj je <math> X \!\, </math> refleksivni Banachov prostor. Potem je <math> X \!\, </math> separabilen, če in samo če je separabilen <math> X^{\prime} \!\, </math>.}}

Res, če je dual <math> Y^{\prime} \!\, </math> Banachovega prostora <math> Y \!\, </math> separabilen, potem je separabilen <math> Y \!\, </math>. Če je <math> X \!\, </math> refleksiven in separabilen, potem je separabilen dual <math> X^{\prime} \!\, </math>, in je tako separabilen <math> X^{\prime} \!\, </math>.

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|'''Izrek:''' Naj so <math> X_{1}, \ldots, X_{n} \!\, </math> normirani prostori in naj je <math> X = X_{1} \oplus \cdots \oplus X_{n} \!\, </math>. Potem je <math> X \!\, </math> refleksiven, če in samo če je refleksiven vsak od <math> X_{j} \!\, </math>.}}

Hilbertovi prostori so refleksivni. Prostori <math> L^{p} \!\, </math> so refleksivni kadar je <math> 1 < p < \infty \!\, </math>. Bolj splošno so [[uniformno konveksni prostor|uniformno konveksni prostori]] refleksivni po [[Milman-Pettisov izrek|Milman-Pettisovem izreku]]. Prostori: <math> c_{0}, \ell^{1}, L^{1}([0, 1]), C([0, 1]) \!\, </math> niso refleksivni. V teh primerih nerefleksivnih prostorov <math> X \!\, </math> je bidual <math> X'' \!\, </math> »veliko večji« od <math> X \!\, </math>. Namreč, pod naravno izometrično vložitvijo <math> X \!\, </math> na <math> X'' \!\, </math> je po Hahn-Banachovem izreku kvoicient <math> X^{\prime\prime} / X \!\, </math> neskončnorazsežen in celo neseparabilen. Vendar je [[Robert Clarke James]] skonstruiral takšen primer{{sfnp|James|1951}} nerefleksivnega prostora, po navadi imenovanega »''Jamesov prostor''« in označenega z <math> J \!\, </math>,{{sfnp|Lindenstrauss|Tzafriri|1977}}{{rp|25}} da je kvocient <math> J^{\prime\prime} / J \!\, </math> [[enorasežni prostor|enorazsežen]]. Takšen prostor <math> J \!\, </math> je še naprej izometrično izomorfen svojemu bidualu.

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|'''Izrek:''' Banachov prostor <math> X \!\, </math> je refleksiven, če in samo če je njegova enotska krogla [[kompaktni prostor|kompaktna]] v [[šibja topologija|šibki topologiji]].}}

Kadar je <math> X \!\, </math> refleksiven, sledi, da so vse zaprte in omejene konveksne podmnožice od  <math> X \!\, </math> šibko kompaktne. V Hilbertovem prostoru <math> H \!\, </math> se šibka kompaktnost enotske krogle velikokrat rabi na naslednji način – vsako omejeno zaporedje v <math> H \!\, </math> ima šibko konvergentna podzaporedja.

Šibka kompaktnost enotske krogle zagotavlja orodje za iskanje rešitev refleksivnih prostorov v določenih [[neskončnorazsežna optimizacija|optimizacijskih problemih]]. Vsaka [[konveksna funkcija|konveksna]] zvezna funkcija na enotski krogli <math> B \!\, </math> refleksivnega prostora na primer doseže svoj minimum na neki točki v <math> B \!\, </math>.

Kot poseben primer prejšnjega rezultata, ko je <math> X \!\, </math> refleksivni prostor nad <math> \R \!\, </math>, vsak zvezni linearni funkcional <math> f \!\, </math> v <math> X^{\prime} \!\, </math> doseže svoj maksimum <math> \| f \| \!\, </math> na enotski krogli <math> X \!\, </math>. Naslednji [[Jamesov izrek]] zagotavlja obratno izjavo.

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|'''Jamesov izrek:''' Za Banachov prostor veljata naslednji dve enakovredni značilnosti:
* <math> X \!\, </math> je refleksiven.
* za vse <math> f \!\, </math> v <math> X^{\prime} \!\, </math> obstaja takšen <math> x \in X \!\, </math> z <math> \| x \| \leq 1 \!\, </math>, tako da je <math> f(x) = \| f \| \!\, </math>.}}

Izrek je mogoče razširiti, da poda karakterizacijo šibko kompaktnih konveksnih množic.

Na vsakem nerefleksivnem Banachovem prostoru <math> X \!\, </math> obstajajo zvezni linearni funkcionali, ki ne ''dosegajo norme''. Vendar [[Errett Bishop|Bishop]]-[[Robert Phelps|Phelpsov]] izrek{{sfnp|Bishop|Phelps|1961}} pravi, da so funkcionali, ki dosegajo normo, normno gosti v dualu <math> X^{ \prime} \!\, </math> od <math> X \!\, </math>.

=== Šibke konvergence zaporedij ===

Zaporedje <math> \left\{ x_{n} \right\} \!\, </math> v Banachovem prostoru <math> X \!\, </math> je '''šibko konvergentno''' k vektorju <math> x \in X \!\, </math>, če <math> \left\{ f \left( x_{n} \right) \right\} \!\, </math> konvergira k <math> f(x) \!\, </math> za vsak zvezni linearni funkcional <math> f \!\, </math> v dualu <math> X^{\prime} \!\, </math>. Zaporedje <math> \left\{ x_{n} \right\} \!\, </math> je '''šibko Cauchyjevo zaporedje''', če <math> \left\{ f\left( x_{n} \right) \right\} \!\, </math> konvergira k skalarni limiti <math> L(f) \!\, </math> za vsak <math> f \!\, </math> v <math> X^{\prime} \!\, </math>. Zaporedje <math> \left\{ f_{n} \right\} \!\, </math> v dualu <math> X^{\prime} \!\, </math> je '''šibko* konvergentno''' k funkcionalu <math> f \in X^{\prime} \!\, </math>, če <math> f_{n} (x) \!\, </math> konvergira k <math> f(x) \!\, </math> za vsak <math> x \!\, </math> v <math> X \!\,</math>. Šibka Cauchyjeva zaporedja, šibko konvergentna in šibko* konvergentna zaporedja so normno omejena, kar je posledica [[načelo uniformne omejenosti|Banach-Steinhausovega izreka]].

Kadar je zaporedje <math> \left\{ x_{n} \right\} \!\, </math> v <math> X \!\, </math> šibko Cauchyjevo, limita <math> L \!\, </math> zgoraj definira omejeni linearni funkcional na dualu <math> X^{\prime} \!\, </math> to je, element <math> L \!\, </math> biduala od <math> X \!\, </math> in <math> L \!\, </math> je limita od <math> \left\{ x_{n} \right\} \!\, </math> v šibki*-topologiji biduala. Banachov prostor <math> X \!\, </math> je '''šibko zaporedoma poln''', če je vsako šibko Cauchyjevo zaporedje šibko konvergentno v <math> X \!\, </math>. Iz predhodne razprave sledi, da so refleksivni prostori šibko zaporedoma polni.

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|'''Izrek:'''<ref>{{harvtxt|Wojtaszczyk|1991}}, III.C.14, str.&nbsp;140.</ref> Za vsako mero <math> \mu \!\, </math> je prostor <math> L^{1}(\mu) \!\, </math> šibko zaporedoma poln.}}

Ortonormirano zaporedje v Hilbertovem prostoru je preprosti zgled šibko konvergentnega zaporedja, z limito enako vektorju <math> \mathbf{0} \!\, </math>. [[Schauderjeva baza#Zgledi|Baza enotskega vektorja]] od <math> \ell^{p} \!\, </math> za <math> 1 < p < \infty \!\, </math> ali od <math> c_{0} \!\, </math> je naslednji zgled '''šibko ničelnega zaporedja''', zaporedja, ki konvergira šibko k <math> \mathbf{0} \!\, </math>. Za vsako šibko ničelno zaporedje v Banachovem prostoru obstaja zaporedje konveksnih kombinacij vektorjev iz danega zaporedja, ki normno konvergira k <math> \mathbf{0} \!\, </math>.<ref>{{harvtxt|Diestel|1984}}, Posledica&nbsp;2, str.&nbsp;11.</ref>

Baza enotskega vektorja od <math> \ell^{1} \!\, </math> ni šibko Cauchyjeva. Šibko Cauchyjeva zaporedja v <math> \ell^{1} \!\, </math> so šibko konvergentna, ker so prostori <math> L^{1} \!\, </math> šibko zaporedoma polni. Dejansko so šibko konvergentna zaporedja v <math> \ell^{1} \!\, </math> normno konvergentna.{{sfnp|Diestel|1984}}{{rp|85}} To pomeni, da za <math> \ell^{1} \!\, </math> velja [[Schurova značilnost]].

==== Rezultati, ki vključujejo bazo <math> \ell^{1} \!\, </math> ====

Šibko Cauchyjeva zaporedja in baza <math> \ell^{1} \!\, </math> so nasprotni zgledi dihotomije, vzpostavljene v naslednjem globokem rezultatu Haskella P. Rosenthala.{{sfnp|Rosenthal|1974}} Rosenthalov dokaz velja za realne skalarje. Kompleksno različico rezultata je podal Leonard E. Dor.{{sfnp|Dor|1975}}

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|'''Izrek:'''{{sfnp|Diestel|1984}}{{rp|201}} Naj je <math> \left\{ x_{n} \right\}_{n \in \N} \!\, </math> omejeno zaporedje v Banachovem prostoru. <math> \left\{ x_{n} \right\}_{n \in \N} \!\, </math> ima bodisi šibko Cauchyjevo zaporedje, ali pa dopušča šibko zaporedje, enakovredno standardni bazi enotskega vektorja od <math> \ell^{1} \!\, </math>.}}

Dopolnilo k temu rezultatu sta podala Odell in Rosenthal.{{sfnp|Odell|Rosenthal|1975}}

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|'''Izrek:''' Naj je <math> X \!\, </math> separabilni Banachov prostor. Naslednje je enakovredno:
* prostor <math> X \!\, </math> ne vsebuje zaprtega podprostora izomorfnega k <math> \ell^{1} \!\, </math>.
* vsak element biduala <math> X'' \!\, </math> je šibka* limita zaporedja <math> \left\{ x_{n} \right\} \!\, </math> v <math> X \!\, </math>.}}

Po Goldstineovem izreku je vsak element enotske krogle <math> B^{\prime\prime} \!\, </math> od <math> X^{\prime\prime} \!\, </math> šibka* limita mreže v enotski krogli od <math> X \!\, </math>. Kadar <math> X \!\, </math> ne vsebuje <math> \ell^{1} \!\, </math>, je vsak element od <math> B^{\prime\prime} \!\, </math> šibka* limita {{em|zaporedja}} v enotski krogli od <math> X \!\, </math>.<ref>{{harvtxt|Odell|Rosenthal|1975}}, Podlema str.&nbsp;378 in Opomba str.&nbsp;379.</ref>

Kadar je Banachov prostor <math> X \!\, </math> separabilen, je enotska krogla duala <math> X^{\prime} \!\, </math>, opremljenega s šibko* topologijo, metrizabilno kompaktni prostor <math> K \!\, </math><ref name="DualBall" /> in vsak element <math> x^{\prime\prime} \!\, </math> v bidualu <math> X^{\prime\prime} \!\, </math> definira omejeno funkcijo na <math> K \!\, </math>:

: <math> x' \in K \mapsto x''(x'), \quad \left| x''(x') \right| \leq \left\| x'' \right\| \!\, . </math>

Ta funkcija je zvezna za kompaktno topologijo od <math> K \!\, </math>, če in samo če je <math> x^{\prime\prime} \!\, </math> dejansko v <math> X \!\, </math> in velja za podmnožico od <math> X^{\prime\prime} \!\, </math>. Naj poleg tega za ves preostali razdelek velja, da <math> X \!\, </math> ne vsebuje <math> \ell^{1} \!\, </math>. Po prejšnjem rezultatu Odella in Rosenthala je funkcija <math> x^{\prime\prime} \!\, </math> [[točkovna konvergenca|točkovna limita]] na <math> K \!\, </math> zaporedja <math> \left\{ x_{n} \right\} \subseteq X \!\, </math> zveznih funkcij na <math> K \!\, </math> in je tako [[Baireova funkcija|prva funkcija Bairovega razreda]] na <math> K \!\, </math>. Enotska krogla biduala je točkovno kompaktna podmnožica prvega Baireovega razreda na <math> K \!\, </math>.<ref>za več o točkovno kompaktnih podmnožicah Baireovega razreda glej {{harvtxt|Bourgain |Fremlin|Talagrand|1978}}.</ref>

==== Zaporedja, šibka in šibka* kompaktnost ====

Kadar je <math> X \!\, </math> separabilen, je enotska krogla duala šibko* kompaktna po [[Banach-Alaoglujev izrek|Banach-Alaoglujevem izreku]] in metrizabilna za šibko* topologijo,<ref name="DualBall" /> in zato ima vsako omejeno zaporedje v dualu šibko* konvergentna podzaporedja. To velja za separabilne refleksivne prostore, še bolj pa za ta primer, kot je navedeno spodaj.

Šibka topologija Banachovega prostora <math> X \!\, </math> je metrizabilna, če in samo če je <math> X \!\, </math> končnorazsežen.<ref>{{harvtxt|Megginson|1998}}, Trditev&nbsp;2.5.14, str.&nbsp;215.</ref> Če je dual <math> X' \!\, </math> separabilen, je potem šibka topologija enotske krogle od <math> X \!\, </math> metrizabilna. To velja še posebej za separabilne refleksivne Banachove prostore. Čeprav v splošnem šibka topologija enotske krogle ni metrizabilna, se lahko karakterizira šibko kompaktnost s pomočjo zaporedij.

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|'''[[Eberlein-Šmuljanov izrek]]:'''<ref>{{harvtxt|Wojtaszczyk|1991}}, str.&nbsp;49, II.C.3.</ref> Množica <math> A \!\, </math> v Banachovem prostoru je relativno šibko kompaktna, če in samo če ima vsako zaporedje <math> \left\{ a_{n} \right\} \!\, </math> v <math> A \!\, </math> šibko konvergentno podzaporedje.}}

Banachov prostor <math> X \!\, </math> je refleksiven, če in samo če ima vsako omejeno zaporedje v <math> X \!\, </math> šibko konvergentno podzaporedje.<ref>{{harvtxt|Megginson|1998}}, Posledica&nbsp;2.8.9, str.&nbsp;251.</ref>

Šibko kompaktna podmnožica <math> A \!\, </math> v <math> \ell^{1} \!\, </math> je normno kompaktna. Res ima vsako zaporedje v <math> A \!\, </math> šibko konvergentna podzaporedja po Eberlein-Šmuljanovem izreku, ki so normno konvergentna po Schurovi značilnosti od <math> \ell^{1} \!\, </math>.

=== Tip in kotip ===

{{glavni|tip in kotip Banachovega prostora}}

Način za klasifikacijo Banachovih prostorov je s pomočjo verjetnostnega pojma [[tip in kotip Banachovega prostora|tipa in kotipa]] – ta dva merita, kako daleč je Banachov prostor od Hilbertovega prostora.

== Schauderjeve baze ==

{{glavni|Schauderjeva baza}}

'''[[Schauderjeva baza]]''' v Banachovem prostoru <math> X \!\, </math> je zaporedje <math> \left\{ e_{n} \right\}_{n \geq 0} \!\, </math> vektorjev v <math> X \!\, </math> z značilnostjo, da za vsak vektor <math> x \in X \!\, </math> obstajajo takšni {{em|edinstveno}} definirani sklarji <math> \left\{ x_{n} \right\}_{n \geq 0} \!\, </math>, odvisni od <math> x \!\, </math>, da je:

: <math> x = \sum_{n=0}^{\infty} x_{n} e_{n}, \quad \text{ to je, } \quad x = \lim_{n} P_{n}(x), \ P_{n}(x) := \sum_{k=0}^{n} x_{k} e_{k} \!\, . </math>

Banachovi prostori s Schauderjevo bazo so nujno separabilni, ker števna množica končnih linearnih kompinacij z racionalnimi koedicienti je, (recimo),  gosta.

Iz Banach-Steinhausovega izreka sledi, da so linearne preslikave <math> \left\{ P_{n} \right\} \!\, </math> uniformno omejene z neko konstanto <math> C \!\, </math>. Naj <math> \left\{ e_{n}^{*} \right\} \!\, </math> označuje koordinatne funkcionale, ki vsakemu <math> x \!\, </math> v <math> X \!\, </math> priredijo koordinate <math> x_{n} \!\, </math> od <math> x \!\, </math> v zgornjem izrazu. Imenujejo se '''biortogonalni funkcionali'''. Kadar ima baza vektorjev normo enako <math> 1 \!\, </math>, imajo koordinatni funkcionali <math> \left\{ e_{n}^{*} \right\} \!\, </math> norme enake <math>\,\leq 2 C \!\, </math> v dualu od <math> X \!\, </math>.

Večina klasičnih separabilnih prostorov ima eksplicitne baze. [[Haarov valček|Haarov sistem]] <math> \left\{ h_{n} \right\} \!\, </math> je baza za <math> L^{p}([0, 1]), 1 \leq p < \infty \!\, </math>. [[Schauderjeva baza#Zgledi|Trigonometrični sistem]] je baza v <math> L^{p}(\mathbf{T}) \!\, </math> pri <math> 1 < p < \infty \!\, </math>. Schauderjev sistem je baza v prostoru <math> C([0, 1]) \!\, </math>.{{sfnp|Lindenstrauss|Tzafriri|1977}}{{rp|3}} Vprašanje ali ima algebra diskov <math> A(\mathbf{D}) \!\, </math> bazo<ref>vprašanje se pojavi v Banachovi knjigi, {{harvtxt|Banach|1932}}, §&nbsp;3, str.&nbsp;238.</ref> je ostalo odprto več kot štirideset let dokler [[Sergej Viktorovič Bočkarjov]] leta 1974 ni pokazal, da <math> A(\mathbf{D}) \!\, </math> dovoljuje bazo skonstruirano iz Franklinovega sistema.{{sfnp|Bočkarjov|1974}}

Ker je vsak vektor <math> x \!\, </math> v Banachovem prostoru <math> X \!\, </math> z bazo limita od <math> P_{n}(x) \!\, </math>,  kjer ima <math> P_{n} \!\, </math> končni rang in je uniformno omejena, za vsak prostor <math> X \!\, </math> velja [[aproksimacijska značilnost|omejena aproksimacijska značilnost]]. Prvi primer [[Per Enflo|Pera Enfloja]] prostora za katerega aproksimacijska značilnost ne velja je bil istočasno prvi primer separabilnega Banachovega prostora brez Schauderjeve baze.{{sfnp|Enflo|1973}}

James je karakteriziral refleksivnost v Banachovih prostorih z bazo: prostor <math> X \!\, </math> s Schauderjevo bazo je refleksiven, če in samo če je baza skrčajoča in omejeno polna.{{sfnp|James|1950}}{{sfnp|Lindenstrauss|Tzafriri|1977}}{{rp|9}} V tem primeru biortogonalni funkcionali tvorijo bazo duala <math> X \!\,</math>.

== Tenzorski produkt ==

{{glavni|tenzorski produkt|topološki tenzorski produkt}}
[[slika:Tensor-diagramB.jpg|thumb|right]]

Naj sta <math> X \!\, </math> in <math> Y \!\, </math> dva <math> \mathbb{K} \!\,</math>-vektorska prostora. [[Tenzorski produkt]] <math> X \otimes Y \!\, </math> od <math> X \!\, </math> in <math> Y \!\, </math> je <math> \mathbb{K} \!\, </math>-vektorski prostor <math> Z \!\, </math> z bilinearno preslikavo <math> T : X \times Y \to Z \!\, </math>, ki ima naslednjo [[univerzalna značilnost|univerzalno značilnost]]:

: Če je <math> T_{1} : X \times Y \to Z_{1} \!\, </math> poljubna bilinearna preslikava na <math> \mathbb{K} \!\,</math>-vektorski prostor <math> Z_{1} \!\, </math>, potem obstaja takšna edinstvena linearna preslikava <math> f : Z \to Z_{1} \!\, </math>, da je <math> T_{1} = f \circ T \!\, </math>.

Slika pod <math> T \!\, </math> para <math> (x, y) \!\, </math> v <math> X \times Y \!\, </math> je označena z <math> x \otimes y \!\, </math> in se imenuje '''[[enostavni tenzor]]'''. Vsak element <math> z \!\, </math> v <math> X \otimes Y \!\, </math> je končna vsota takšnih enostavnih tenzorjev.

Obstajajo različne norme, ki jih je mogoče postaviti na tenzorski produkt osnovnih vektorskih prostorov, med drugim [[topološki tenzorski produkt|projektivna vektorska norma]] in injektivna vektorska norma, ki ju je uvedel [[Alexander Grothendieck]] leta 1955.{{sfnp|Grothendieck|1955}}{{sfnp|Grothendieck|1953}}

V splošnem tenzorski produkt polnih prostorov ni spet poln. Kadar se obravnavajo Banachovi prostori, je običajno reči, da je '''projektivni tenzorski produkt'''<ref>{{harvtxt|Ryan|2002}}, §&nbsp;2, str.&nbsp;15.</ref> dveh Banachovih prostorov <math> X \!\, </math> in <math> Y \!\, </math> {{em|[[polni topološki vektorski prostor|zapolnitev]]}} <math> X \widehat{\otimes}_\pi Y \!\, </math> algebrskega tenzorskega produkta <math> X \otimes Y \!\, </math>, opremljenega s projektivno tenzorsko normo, in podobno za '''injektivni tenzorski produkt'''.<ref>{{harvtxt|Ryan|2002}}, §&nbsp;3, str.&nbsp;45.</ref> <math> X \widehat{\otimes}_\varepsilon Y \!\,</math> Grothendieck je posebej dokazal, da velja:<ref>{{harvtxt|Ryan|2002}}, Primer&nbsp;2.19, str.&nbsp;29, in str.&nbsp;49–50.</ref>

: <math> \begin{align}
C(K) \widehat{\otimes}_{\varepsilon} Y &\simeq C(K, Y), \\
L^{1}([0, 1]) \widehat{\otimes}_{\pi} Y &\simeq L^{1}([0, 1], Y) \!\, , \end{align} </math>

kjer je <math> K \!\, </math> kompaktni Hausdorffov prostor, <math> C(K, Y) \!\, </math> Banachov prostor zveznih funkcij iz <math> K \!\, </math> na <math> Y \!\, </math> in <math> L^{1}([0, 1], Y) \!\, </math> prostor [[merljiva funkcija po Bochnerju|merljivih funkcij po Bochnerju]] in integrabilnih iz <math> [0, 1] \!\, </math> na <math> Y \!\, </math>, in kjer so izomorfizmi izometrični. Dva zgornja izomorfizma sta ustrezni razširitvi preslikave, ki pošilja tenzor <math> f \otimes y \!\, </math> k funkciji z vektorsko vrednostjo <math> s \in K \to f(s) y \in Y \!\, </math>.

=== Tenzorski produkti in aproksimacijska značilnost ===

Naj je <math> X \!\, </math> Banachov prostor. Tenzorski produkt <math> X' \widehat \otimes_\varepsilon X \!\, </math> je identificiran izometrično z zaprtjem v <math> B(X) \!\, </math> množice operatorjev s končnim rangom. Kadar ima <math> X \!\, </math> [[aproksimacijska značilnost|aproksimacijsko značilnost]], to zaprtje sovpada s prostorom [[kompaktni operator|kompaktnih operatorjev]] na <math> X \!\, </math>.

Za vsak Banahov prostor <math> Y \!\, </math> obstaja linearna preslikava z naravno normo enako <math> 1 \!\, </math>:

: <math> Y \widehat\otimes_{\pi} X \to Y \widehat\otimes_{\varepsilon} X \!\, , </math>

ki se jo dobi z razširitvijo [[identična preslikava|identične preslikave]] algebrskega tenzorskega produkta. Grothendieck je povezal aproksimacijsko značilnost z vprašanjem, ali je ta preslikava [[injektivna preslikava|ena na ena]], ko je <math> Y \!\, </math> dual <math> X \!\, </math>. Natančneje, za vsak Banachov prostor <math> X \!\, </math> je preslikava:

: <math> X' \widehat \otimes_{\pi} X \ \longrightarrow X' \widehat \otimes_{\varepsilon} X \!\, </math>

injektivna, če in samo če ima <math> X \!\, </math> aproksimacijsko značilnost.<ref>{{harvtxt|Ryan|2002}}, Trditev&nbsp;4.6, str.&nbsp;74.</ref>

Grothendieck je domneval, da morata biti <math> X \widehat{\otimes}_{\pi} Y \!\, </math> in <math> X \widehat{\otimes}_{\varepsilon} Y \!\, </math> različni kadar sta <math> X \!\, </math> in <math> Y \!\, </math> neskončnorazsežna Banachova prostora. To je ovrgel [[Gilles Pisier]] leta 1983.{{sfnp|Pisier|1983}} Pisier je skonstruiral takšen neskončnorazsežen Banachov prostor <math> X \!\, </math>, da sta <math> X \widehat{\otimes}_{\pi} X \!\, </math> in <math> X \widehat{\otimes}_{\varepsilon} X \!\, </math> enaki. Kakor pri Enflojevem primeru je naprej ta prostor <math> X \!\, </math> »narejen na roke« in nima aproksimacijske značilnosti. Na drugi strani je [[Andrzej Szankowski]] dokazal, da klasični prostor <math> B \left( \ell^{2} \right) \!\, </math> nima aproksimacijske značilnosti.{{sfnp|Szankowski|1981}}<ref>Raymond A. Ryan trdi, da je ta razultat podal [[Per Enflo]], {{harvtxt|Ryan|2002|pp=74}}.</ref>

== Nekateri klasifikacijski rezultati ==

=== Karakterizacija Hilbertovega prostora med Banachovimi prostori ===

[[potrebnost in zadostnost|Potreben in zadosten]] pogoj, da je norma Banachovega prostora <math> X \!\, </math> povezana z notranjim produktom, je [[zakon paralelograma|paralelogramska enakost]]:

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|'''Paralelogramska enakost:''' za vse <math> x, y \in X : \qquad \| x + y \|^{2} + \| x - y \|^{2} = 2 \left( \| x \|^{2} + \| y \|^{2} \right) \!\, . </math>}}

Iz tega na primer sledi, da je [[prostor Lp|Lebesguov prostor]] <math> L^{p}([0, 1]) \!\, </math> Hilbertov le, če je <math> p = 2 \!\, </math>. Če je ta enakost izpolnjena, je povezani notranji produkt podan s [[polarizacijska enakost|polarizacijsko enakostjo]]. V primeru realnih skalarjev to da:

: <math> \langle x, y \rangle = \tfrac{1}{4} \left( \| x + y \|^{2} - \| x - y \|^{2} \right) \!\, . </math>

Za kompleksne skalarje, kjer se skalarni produkt definira tako, da je <math> \C \!\, </math>-linearen v <math> x \!\, </math> in antilinearen v <math> y \!\, </math>, polarizacijska enakost da:

: <math> \langle x,y \rangle = \tfrac{1}{4} \left( \| x + y \|^{2} - \| x - y \|^{2} + i \left( \| x + iy \|^{2} - \| x - iy \|^{2} \right) \right) \!\, . </math>

Da se ugotovi ali zakon paralelograma zadostuje, se v realnem primeru opazi, da je <math> \langle x, y \rangle \!\, </math> simetričen, v kompleksnem primeru pa, da izpolnjuje značilnost [[hermitska simetrija|hermitske simetrije]] in <math> \langle i x, y \rangle = i \langle x, y \rangle \!\, </math>. Zakon paralelograma implicira, da je <math> \langle x, y \rangle \!\, </math> aditiven v <math> x \!\, </math>. Iz tega sledi, da je linearen nad racionalnimi števili, torej linearen po zveznosti.

Na voljo je več karakterizacij prostorov, ki so izomorfni (namesto izometrični) Hilbertovim prostorom. Zakon paralelograma je mogoče razširiti na več kot dva vektorja in oslabiti z uvedbo dvostranske neenakosti s konstanto <math> c \geq 1 \!\, </math>: [[Stanisław Kwapień]] je dokazal, da če je:

: <math> c^{-2} \sum_{k=1}^{n} \left\| x_{k} \right\|^{2} \leq \operatorname{Ave}_{\pm} \left\| \sum_{k=1}^{n} \pm x_{k} \right\|^{2} \leq c^{2} \sum_{k=1}^{n} \left\| x_{k} \right\|^{2} \!\, </math>

za vsako celo število <math> n \!\, </math> in vse družine vektorjev <math> \left\{ x_{1}, \ldots, x_{n} \right\} \subseteq X \!\, </math>, potem je Banachov prostor <math> X \!\, </math> izomorfen Hilbertovem.{{sfnp|Kwapień|1970}} Tukaj <math> \operatorname{Ave}_{\pm} \!\, </math> označuje srednjo vrednost nad <math> 2^{n} \!\, </math> možnimi izbirami predznakov <math> \pm 1 \!\, </math>. V istem članku je Kwapień dokazal, da veljavnost [[Parsevalov izrek|Parsevalovega izreka]] z Banachovo vrednostjo za Fourierovo transformacijo kakarkterizira Banachove prostore izomorfne Hilbertovim.

[[Joram Lindenstrauss]] in Lior Tzafriri sta dokazala, da je Banachov prostor, v katerem je vsak zaprt linearni podprostor komplementiran (to je območje omejene linearne projekcije), izomorfen Hilbertovemu prostoru.{{sfnp|Lindenstrauss|Tzafriri|1971}} Dokaz se naslanja na [[izrek Dvoretzkega]] o evklidskih presekih večrazsežnih centralno simetričnih konveksnih teles. Z drugimi besedami, izrek Dvoretzkega pravi, da za vsako celo število <math> n \!\, </math> vsak končnorazsežni normirani prostor z dovolj veliko razsežnostjo v primerjavi z <math> n \!\, </math> vsebuje podprostore skoraj izometrične glede na <math> n \!\, </math>-razsežni evklidski prostor.

Naslednji rezultat daje rešitev tako imenovanega {{em|problema homogenega prostora}}. Neskončnorazsežni Banachov prostor <math> X \!\, </math> je '''homogen''', če je izomorfen vsem svojim neskončnorazsežnim zaprtim podprostorom. Banachov prostor, izomorfen <math> \ell^{2} \!\, </math>, je homogen in Banach se je vprašal obratno.{{sfnp|Banach|1932}}{{rp|245}} Značilnost homogenosti se tam imenuje »propriété&nbsp;(15)«. Banach je zapisal: »on ne connaît aucun exemple d'espace à une infinité de dimensions qui, sans être isomorphe avec <math> (L^{2}) \!\, </math>. possède la propriété&nbsp;(15)«.{{efn|»ne poznamo nobenega primera prostora z neskončnimi razsežnostmi, ki ima, ne da bi bil izomorfen z <math> (L^{2}) \!\, </math> značilnost (15)«.}}

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|'''Izrek:'''{{sfnp|Gowers|1996}} Banachov prostor izomorfen vsem svojim neskončnorazsežnim zaprtim podprostorom je izomorfen separabilnemu Hilbertovemu prostoru.}}

Neskončnorazsežni Banachov prostor je '''[[značilnost dednosti|dedno]] [[nedekompozabilni kontinuum|nedekompozabilen]]''', če noben njegov podprostor ne more biti izomorfen direktni vsoti dveh neskončnorazsežnih Banachovih prostorov. [[William Timothy Gowers|Gowersov]] izrek o dihotomiji{{sfnp|Gowers|1996}} pravi, da vsak neskončnorazsežni Banachov prostor <math> X \!\, </math> vsebuje bodisi podprostor <math> Y \!\, </math> z brezpogojno bazo, ali dedno nedekompozabilni podprostor <math> Z \!\, </math>, ter še posebej <math> Z \!\, </math> ni izomorfen svojim zaprtim hiperravninam.{{sfnp|Gowers|1994}} Če je <math> X \!\, </math> homogen, mora zato imeti brezpogojno bazo. Nato izhaja iz delne rešitve, ki sta jo pridobila Ryszard A. Komorowski in [[Nicole Tomczak-Jaegermann]] za prostore z brezpogojno bazo, {{sfnp|Komorowski|Tomczak-Jaegermann|1995}}{{sfnp|Komorowski|Tomczak -Jaegermann|1998}}, da je <math> X \!\, </math> izomorfen <math> \ell^{2} \!\, </math>.

=== Metrična klasifikacija ===

Če je <math> T : X \to Y \!\, </math> [[togi premik|izometrija]] iz Banachovega prostora <math> X \!\, </math> na Banachov prostor <math> Y \!\, </math>, (kjer sta oba <math> X \!\, </math> in <math> Y \!\, </math> vektorska prostora nad <math> \R \!\, </math>),  potem [[Mazur-Ulamov izrek]] pravi, da mora biti <math> T \!\, </math>afina transformacija. Še posebej, če je <math> T(0_{X}) = 0_{Y} \!\, </math>, to je <math> T \!\, </math> preslikuje ničlo od <math> X \!\, </math> na ničlo od <math> Y \!\, </math>, potem mora biti <math> T \!\, </math> linearna. Ta rezultat implicira, da metrika v Banachovem prostoru in na splošno v normiranih prostorih popolnoma zajame njihovo linearno strukturo.

=== Topološka klasifikacija ===

Končnorazsežni Banachovi prostori so homeomorfni kot topološki prostori, če in samo če imajo isto razsežnost kot vektorski prostori.

[[Anderson-Kadecov izrek]] (1965–66) dokazuje,{{sfnp|Bessaga|Pełczyński|1975|pp=177–230}} da sta poljubna neskončnorazsežna separabilna Banachova prostora homeomorfna kot topološka prostora. Kadecov izrek je razširil H. Torunczyk, ki je dokazal,{{sfnp|Torunczyk|1981}} da sta poljubna Banachova prostora homeomorfna, če in samo če imata enak [[topologija teorije množic|karakter gostote]], najmanjšo [[kardinalnost]] goste podmožice.

=== Prostori zveznih funkcij ===

Kadar sta kompaktna Hausdorffova prostora <math> K_{1} \!\, </math> in <math> K_{2} \!\, </math> homeomorfna, sta Banachova prostora <math> C \left( K_{1} \right) \!\, </math> in <math> C \left( K_{2} \right) \!\, </math> izometrična. Obratno, kadar <math> K_{1} \!\, </math> ni homeomorfen <math> K_{2} \!\, </math>, mora biti (multiplikativna) Banach-Mazurjeva razdalja med <math> C \left( K_{1} \right) \!\, </math> in <math> C \left( K_{2} \right) \!\, </math> večja ali enaka od <math> 2 \!\, </math>, (glej zgoraj [[Banachov prostor#Zgledi dualnih prostorov|rezultate Amirja in Camberna]]). Čeprav imajo neštevni kompaktni metrični prostori lahko različne homeomorfne tipe, velja naslednji Milyutinov rezultat:{{sfnp|Milyutin|1966}}

{{polje za navedke|align=right|width=98%|bgcolor=#ffffff|fontsize=100%|'''Izrek:'''{{sfnp|Milyutin|1966}}{{sfnp|Rosenthal|2003}} Naj je <math> K \!\, </math> neštevni kompaktni metrični prostor. Potem je <math> C(K) \!\, </math> izomorfen <math> C([0, 1]) \!\,</math>.}}

Razmere so različne za [[števna množica|števno neskončne]] kompaktne Hausdorffove prostore. Vsak števno neskončni kompaktni <math> K \!\, </math> je homeomorfen nekemu zaprtemu intervalu [[ordinalno število|ordinalnih števil]]:

: <math> \langle 1, \alpha \rangle = \{ \gamma \ :\ 1 \leq \gamma \leq \alpha\} \!\, , </math>

opremljenemu s [[topologija urejenosti|topologijo urejenosti]], kjer je <math> \alpha \!\, </math> števno neskočni ordinal.<ref>Lahko se vzame <math> \alpha = \omega^{\beta n} \!\, </math>, kjer je <math> \beta + 1 \!\, </math> [[Izpeljana množica|Cantor-Bendixsonov rang]] od <math> K \!\, </math> in <math> n > 0 \!\, </math> končno šzevilo točk v <math> \beta \!\, </math>-ti izpeljani množici <math> K(\beta) \!\, </math> od <math> K \!\, </math>. Glej {{harvtxt|Mazurkiewicz|Sierpiński|1920}}.</ref> Banachov prostor <math> C(K) \!\, </math> je nato izometričen k <math> C( \langle 1, \alpha \rangle ) \!\, </math>. Kadar sta <math> \alpha, \beta \!\, </math> števno neskončna ordinala, in, če se privzame <math> \alpha \leq \beta \!\, </math>, sta prostora <math> C( \langle 1, \alpha \rangle ) \!\, </math> in <math> C( \langle 1, \beta \rangle ) \!\, </math> izomorfna, če in samo če je <math> \beta < \alpha \!\, </math>.{{sfnp|Bessaga|Pełczyński|1960}} Banachovi prostori:

: <math> C(\langle 1, \omega\rangle), \ C(\langle 1, \omega^{\omega} \rangle), \ C(\langle 1, \omega^{\omega^{2}}\rangle), \ C(\langle 1, \omega^{\omega^{3}} \rangle), \cdots, C(\langle 1, \omega^{\omega^{\omega}} \rangle), \cdots \!\, </math>

na primer med seboj niso izomorfni.

== Zgledi ==

{{glavni|seznam Banachovih prostorov}}

Glosar simbolov za spodnjo razpredelnico:

* <math> \mathbb{F} \!\, </math> – [[polje (matematika)|polje]] [[realno število|realnih števil]] <math> \R \!\, </math> ali [[kompleksno število|kompleksnih števil]] <math> \C \!\,</math>,
* <math> K \!\, </math> – [[kompaktni Hausdorffov prostor]],
* <math> p, q \in \R \!\, </math> – realna števila z <math> 1 < p, q < \infty \!\, </math>, ki so [[konjugirani indeks|Hölderjevi konjugati]], kar pomeni, da za njih velja <math> \frac{1}{q} + \frac{1}{p} = 1 \!\, </math> in tako tudi <math> q = \frac{p}{p-1} \!\, </math>,
* <math> \Sigma \!\, </math> – [[σ-algebra|<math> \sigma \!\, </math>-algebra]] množic,
* <math> \Xi \!\, </math> – [[polje množic|algebra množic]] (za prostore se zahteva le končna aditivnost, kot je na primer [[prostor ba]]),
* <math> \mu \!\, </math> –  [[mera (matematika)|mera]] z [[totalna variacija|variacijo]] <math> |\mu| \!\, </math>. Pozitivna mera je funkcija množice z realnimi vrednostmi, definirana na <math> \sigma \!\, </math>-algebri, ki je števno aditivna.

{| align="left" class="wikitable" style="text-align:center"
|- align="center"
| style="border-bottom: 2px solid #303060" colspan=7| '''klasični Banachovi prostori'''
|-
! !! [[dualni prostor]] !! [[refleksivni prostor|refleksivni]] !! [[Banachov prostor#Šibke konvergence zaporedij|šibko zaporedoma polni]] !! colspan="2"|[[normirani vektorski prostor|norma]] !! opombe
|-
! [[evklidski prostor|<math> \mathbb{F}^{n} \!\, </math>]]
| <math> \mathbb{F}^{n} \!\, </math> ||{{yes}} || {{yes}}
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> \| x \|_{2} \!\, </math>
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> = \left( \sum_{i=1}^{n} |x_{i}|^{2}\right)^{1/2} \!\, </math>
| evklidski prostor
|-
! [[prostor Lp|<math> \ell^{n}_{p} \!\, </math>]]
| <math> \ell^{n}_{q} \!\, </math> || {{yes}} || {{yes}}
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> \| x \|_{p} \!\, </math>
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> = \left( \sum_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p} \right)^{\frac{1}{p}} \!\, </math>
|
|-
! [[prostor Lp|<math> \ell^{n}_{\infty} \!\, </math>]]
| <math> \ell^{n}_{1} \!\, </math>|| {{yes}} || {{yes}}
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| [[uniformna norma|<math> \| x \|_{\infty} \!\, </math>]]
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> = \max\nolimits_{1\le i\le n} |x_{i}| \!\, </math>
|
|-
! [[prostor Lp|<math> \ell^{p} \!\, </math>]]
| <math> \ell^{q} \!\, </math> || {{yes}} || {{yes}}
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> \| x \|_{p} \!\, </math>
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> = \left(\sum_{i=1}^{\infty} |x_{i}|^{p} \right)^{\frac{1}{p}} \!\, </math>
|
|-
! [[prostor Lp|<math> \ell^{1} \!\, </math>]]
| <math> \ell^{\infty} \!\, </math> || {{no}} || {{yes}}
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> \| x \|_{1} \!\, </math>
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> = \sum_{i=1}^{\infty} \left| x_{i} \right| \!\, </math>
|
|-
! [[L-neskončnost|<math> \ell^{\infty} \!\, </math>]]
| [[prostor ba|<math> \operatorname{ba} \!\, </math>]] || {{no}} || {{no}}
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| [[uniformna norma|<math> \| x \|_{\infty} \!\, </math>]]
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> = \sup\nolimits_{i} \left| x_{i} \right| \!\, </math>
|
|-
! [[prostor c|<math> \operatorname{c} \!\, </math>]]
| <math> \ell^{1} \!\, </math> || {{no}} || {{no}}
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| [[uniformna norma|<math> \| x \|_{\infty} \!\, </math>]]
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> = \sup\nolimits_{i} \left| x_{i} \right| \!\, </math>
|
|-
! [[prostor ničelni zaporedij|<math> c_{0} \!\, </math>]]
| <math> \ell^{1} \!\, </math> || {{no}} || {{no}}
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| [[uniformna norma|<math> \| x \|_{\infty} \!\, </math>]]
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> = \sup\nolimits_{i} \left| x_{i} \right| \!\, </math>
| izomorfen vendar ne izometričen <math> c \!\, </math>
|-
! [[prostor bv|<math> \operatorname{bv} \!\, </math>]]
| <math>\ell^{\infty}</math> || {{no}} || {{yes}}
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> \| x \|_{bv} \!\, </math>
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> = \left| x_{1} \right| + \sum_{i=1}^{\infty} \left| x_{i+1} - x_{i} \right| \!\, </math>
| izometrično izomorfen <math> \ell^{1} \!\, </math>
|-
! [[prostor bv|<math> \operatorname{bv}_{0} \!\, </math>]]
| <math> \ell^{\infty} \!\, </math> || {{no}} || {{yes}}
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> \| x \|_{bv_{0}} \!\, </math>
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> = \sum_{i=1}^{\infty} \left| x_{i+1} - x_{i} \right| \!\, </math>
| izometrično izomorfen <math> \ell^{1} \!\, </math>
|-
! [[prostor bs|<math> \operatorname{bs} \!\, </math>]]
| [[prostor ba|<math> \operatorname{ba} \!\, </math>]] || {{no}} || {{no}}
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> \| x \|_{bs} \!\, </math>
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> = \sup\nolimits_{n} \left| \sum_{i=1}^{n} x_{i} \right| \!\, </math>
| izometrično izomorfen <math> \ell^{\infty} \!\, </math>
|-
! [[prostor cs|<math> \operatorname{cs} \!\, </math>]]
| <math> \ell^{1} \!\, </math>|| {{no}} || {{no}}
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> \| x \|_{bs} \!\, </math>
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> = \sup\nolimits_{n} \left| \sum_{i=1}^{n}x_{i} \right| \!\, </math>
| izometrično izomorfen <math> c \!\, </math>
|-
! [[prostor ba|<math> B(K, \Xi) \!\, </math>]]
| [[prostor ba|<math> \operatorname{ba}(\Xi) \!\, </math>]] || {{no}} || {{no}}
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> \| f \|_{B} \!\, </math>
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> = \sup\nolimits_{k \in K} |f(k)| \!\, </math>
|
|-
! [[zvezne funkcije na kompaktnem Hausdorffovem prostoru|<math> C(K) \!\, </math>]]
| [[prostor ba|<math> \operatorname{rca}(K) \!\, </math>]] || {{no}} || {{no}}
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> \| x \|_{C(K)} \!\, </math>
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> = \max\nolimits_{k \in K} |f(k)| \!\, </math>
|
|-
! [[prostor ba|<math> \operatorname{ba}(\Xi) \!\, </math>]]
| ? || {{no}} || {{yes}}
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> \| \mu \|_{ba} \!\, </math>
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> = \sup\nolimits_{S\in\Sigma} |\mu|(S) \!\, </math>
|
|-
! [[prostor ba|<math> \operatorname{ca}(\Sigma) \!\, </math>]]
| ? || {{no}} || {{yes}}
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> \| \mu \|_{ba} \!\, </math>
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> = \sup\nolimits_{S\in\Sigma} |\mu|(S) \!\, </math>
| zaprti podprostor <math>\operatorname{ba}(\Sigma) \!\, </math>
|-
! [[prostor ba|<math> \operatorname{rca}(\Sigma) \!\, </math>]]
| ? || {{no}} || {{yes}}
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> \| \mu \|_{ba} \!\, </math>
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> = \sup\nolimits_{S\in\Sigma} |\mu|(S) \!\, </math>
| zaprti podprostor <math>\operatorname{ca}(\Sigma) \!\, </math>
|-
! [[prostor Lp|<math> L^{p}(\mu) \!\, </math>]]
| <math> L^{q}(\mu) \!\, </math> || {{yes}} || {{yes}}
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> \| f \|_{p} \!\, </math>
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> = \left (\int |f|^{p}\,d\mu \right)^{\frac{1}{p}} \!\, </math>
|
|-
! [[prostor L1|<math> L^{1}(\mu) \!\, </math>]]
|<math> L^{\infty}(\mu) \!\, </math> || {{no}} || {{yes}}
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math>\| f \|_{1} \!\, </math>
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> = \int |f|\,d\mu \!\, </math>
| dual je <math> L^{\infty}(\mu) \!\, </math>, če je <math> \mu \!\, </math> [[σ-končna mera|<math> \sigma \!\, </math>-končna]]
|-
! [[omejena variacija|<math> \operatorname{BV}([a, b]) \!\, </math>]]
| ? || {{no}} || {{yes}}
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math>\| f \|_{BV} \!\, </math>
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> = V_{f}([a, b]) + \lim\nolimits_{x \to a^{+}}f(x) \!\, </math>
| <math> V_{f}([a, b]) \!\, </math> je [[totalna variacija]] od <math> f \!\, </math>
|-
! [[omejena variacija|<math> \operatorname{NBV}([a, b]) \!\, </math>]]
| ? || {{no}} || {{yes}} 
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> \| f \|_{BV} \!\, </math>
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> = V_{f}([a, b]) \!\, </math>
| <math> \operatorname{NBV}([a, b]) \!\, </math> sestavljajo takšne funkcije <math> \operatorname{BV}([a, b]) \!\, </math>, da je <math> \lim\nolimits_{x \to a^{+}} f(x) = 0 \!\, </math>
|-
! [[absolutno zvezna funkcija|<math> \operatorname{AC}([a, b]) \!\, </math>]]
| <math> \mathbb{F} + L^{\infty}([a, b]) \!\, </math> || {{no}} || {{yes}}
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> \| f \|_{BV} \!\, </math>
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> = V_{f}([a, b]) + \lim\nolimits_{x \to a^{+}} f(x) \!\, </math>
| izomorfen [[prostor Soboljeva|prostoru Soboljeva]] <math> W^{1, 1}([a, b]) \!\, </math>
|-
! [[odvedljiva funkcija|<math> C^{n}([a, b]) \!\, </math>]]
| [[prostor ba|<math> \operatorname{rca}([a, b]) \!\, </math>]] || {{no}} || {{no}}
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> \| f \| \!\, </math>
|style="text-align: left; border-style: solid none solid none;"| <math> = \sum_{i=0}^{n} \sup\nolimits_{x \in [a,b]} \left| f^{(i)}(x) \right| \!\, </math>
| izomorfen <math>\R^{n} \oplus C([a, b]) \!\, </math> v bistvu po [[Taylorjev izrek|Taylorjevem izreku]]
|}

{{clear}}

== Odvodi ==

Na Banachovem prostoru je mogoče definirati več konceptov odvoda. Za podrobnosti glej članka o [[Fréchetov odvod|Fréchetovem odvodu]] in [[Gateauxjev odvod|Gateauxjevem odvodu]]. Fréchetov odvod omogoča razširitev koncepta [[totalni odvod|totalnega odvoda]] na Banachove prostore. Gateauxjev odvod omogoča razširitev [[smerni odvod|smernega odvoda]] na [[krajevno konveksni topološki vektorski prostor|krajevno konveksne]] [[topološki vektorski prostor|topološke vektorske prostore]]. Fréchetova diferenciabilnost je močnejši pogoj kot Gateauxjeva diferenciabilnost. [[Kvaziodvod]] je še ena posplošitev smernega odvoda, ki implicira močnejši pogoj kot Gateauxjeva diferenciabilnost, a šibkejši pogoj kot Fréchetova diferenciabilnost.

== Posplošitve ==

Več pomembnih prostorov v funkcionalni analizi, na primer prostor vseh neskončno pogosto diferenciabilnih funkcij <math>\R \to \R,</math> ali prostor vseh [[porazdelitev (matematika)|porazdelitev]] na <math> \R,</math> sta polna, vendar nista normirana vektorska prostora in zato nista Banachova prostora. V Fréchetovem prostoru je še vedno polna metrika, medtem ko so [[LF-prostor]]i polni [[uniformni prostor|uniformni]] vektorski prostori, ki nastanejo kot limite Fréchetovih prostorov.

== Glej tudi ==

{{div col|colwidth=27em}}
* {{annotated link|prostor (matematika)}}
** {{annotated link|prostor Besova}}
** {{annotated link|Fréchetov prostor}}
** {{annotated link|Hardyjev prostor}}
** {{annotated link|Hilbertov prostor}}
** {{annotated link|L-polskalarni produkt}}
** {{annotated link|prostor Lp|prostor <math> L^{p} \!\, </math>}}
** {{annotated link|prostor Soboljeva}}
** {{annotated link|Triebel-Lizorkinov prostor}}
** {{annotated link|Banachova mreža}}
* {{annotated link|Banachov disk}}
* {{annotated link|Banachova mnogoterost}}
** {{annotated link|Banachov sveženj}}
* {{annotated link|problem distorzije}}
* {{annotated link|interpolacijski prostor}}
* {{annotated link|krajevno konveksni topološki vektorski prostor}}
* {{annotated link|modul in karakteristika konveksnosti}}
* {{annotated link|Smithov prostor}}
* {{annotated link|topološki vektorski prostor}}
* {{annotated link|Cirelsonov prostor}}
{{div col end}}

== Opombe ==

{{seznam opomb}}

== Sklici ==

{{refbegin|4|normalfont=yes}}
{{sklici}}
{{refend}}

== Viri ==

{{refbegin|1|normalfont=yes}}
* {{citat|last1= Aliprantis|first1= Charalambos Dionisios|authorlink1= Charalambos Dionisios Aliprantis|last2= Border|first2= Kim C.|authorlink2= Kim C. Border|title= Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|date= 2006|edition= 3.|publisher= Springer Science & Business Media|location= Berlin|isbn= 978-3-540-29587-7|oclc= 262692874|url= https://books.google.com/books?id=4hIq6ExH7NoC}}
* {{citat|last1= Amir|first1= Dan|title= On isomorphisms of continuous function spaces|journal= [[Israel Journal of Mathematics]]|date= 1965|volume= 3|issue= 4|pages= 205–210|doi= 10.1007/bf03008398|doi-access= free|s2cid= 122294213}}
* {{citat|last1= Anderson|first1= R. D.|last2= Schori|first2= R.|title= Factors of infinite-dimensional manifolds|journal= Transactions of the American Mathematical Society|date= 1969|volume=142|pages= 315–330|publisher= Ameriško matematično društvo (AMS)|issn= 0002-9947|doi= 10.1090/s0002-9947-1969-0246327-5|url= https://www.ams.org/journals/tran/1969-142-00/S0002-9947-1969-0246327-5/S0002-9947-1969-0246327-5.pdf}}
* {{citat|last1= Arveson|first1= W.|title= An Invitation to C*-Algebra|date= 1976|publisher= Springer-Verlag|isbn= 0-387-90176-0}}
* {{citat|last1= Bachman|first1= George|last2= Narici|first2= Lawrence|title= Functional Analysis|date= 2000|edition= 2.|publisher= Dover Publications|location= Mineola, New York|isbn= 978-0486402512|oclc= 829157984}}
* {{citat|last1= Banach|first1= Stefan|authorlink1= Stefan Banach|title= Théorie des Opérations Linéaires|date= 1932|lang= fr|trans-title= Theory of Linear Operations|publisher= Subwencji Funduszu Kultury Narodowej|location= Varšava|volume= 1|series= (Monografie Matematyczne)|zbl= 0005.20901|url= http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/pdf/teoria-operacji-fr/banach-teorie-des-operations-lineaires.pdf|accessdate= 2020-07-11|archive-url= https://web.archive.org/web/20140111122706/http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/pdf/teoria-operacji-fr/banach-teorie-des-operations-lineaires.pdf|archive-date= 2014-01-11}}
* {{citat|last1= Beauzamy|first1= Bernard|title= Introduction to Banach Spaces and their Geometry|date= 1985|orig-year= 1982|edition= 2. popravljena|publisher= North-Holland}}
* {{citat|last1= Bessaga|first1= Czesław|last2= Pełczyński|first2= Aleksander|title= Spaces of continuous functions. IV. On isomorphical classification of spaces of continuous functions|journal= [[Studia Mathematica]]|date= 1960|volume= 19|issue= |pages= 53–62}}
* {{citat|last1= Bessaga|first1= Czesław|last2= Pełczyński|first2= Aleksander|title= Selected Topics in Infinite-Dimensional Topology|date= 1975|series= (Monografie Matematyczne)|publisher= Panstwowe wyd. naukowe|location= Varšava|url= https://books.google.com/books?id=7n9sAAAAMAAJ}}
* {{citat|last1= Bishop|first1= Errett|authorlink1= Errett Bishop|last2= Phelps|first2= Robert|authorlink2= Robert Phelps|title=A proof that every Banach space is subreflexive|journal= Bulletin of the American Mathematical Society|date= 1961|volume= 67|pages= 97–98|doi= 10.1090/s0002-9904-1961-10514-4|doi-access= free}}
* {{citat|last1= Bočkarjov|first1= Sergej Viktorovič|authorlink1= Sergej Viktorovič Bočkarjov|title= Existence of a basis in the space of functions analytic in the disc, and some properties of Franklin's system|journal= Mat. Sb. (N.S.)|date= 1974|volume= 95(137)|issue= |pages= 3–18, 159|lang= ru}}
* {{citat|last1= Bourbaki|first1= Nicolas|authorlink1= Nicolas Bourbaki|translator-last1= Eggleston|translator-first1= H. G.|translator-last2= Madan|translator-first2= S.|title= Topological Vector Spaces: Chapters 1–5|date= 1987|orig-year= 1981|publisher= Springer-Verlag|location= Berlin; New York|series= ([[Éléments de mathématique]])|isbn= 3-540-13627-4|oclc= 17499190}}
* {{citat|last1= Bourbaki|first1= Nicolas|authorlink1= |title= Integration I|date= 2004|publisher= Springer Verlag|isbn= 3-540-41129-1}}
* {{citat|last1= Bourgain|first1= Jean|authorlink1= Jean Bourgain|last2= Fremlin|first2= D. H.|last3= Talagrand|first3= Michel|title= Pointwise Compact Sets of Baire-Measurable Functions|journal= [[American Journal of Mathematics]]|date= 1978|volume= 100|issue= 4|pages= 845–886|jstor= 2373913|doi= 10.2307/2373913}}
* {{citat|last1= Cambern|first1= M.|title= A generalized Banach–Stone theorem|journal= Proceedings of the American Mathematical Society|date= 1966|volume= 17|issue= 2|pages= 396–400|doi= 10.1090/s0002-9939-1966-0196471-9|doi-access= free}}
* {{citat|last1= Cambern|first1= M.|title= On isomorphisms with small bound|journal= Proceedings of the American Mathematical Society|date= 1967|volume= 18|issue= 6|pages= 1062–1066|doi= 10.1090/s0002-9939-1967-0217580-2|doi-access= free}}
* {{citat|last1= Carothers|first1= Neal L.|title= A short course on Banach space theory|date= 2005|series= (London Mathematical Society Student Texts)|volume= 64|publisher= Cambridge University Press|location= Cambridge|pages= xii+184|isbn= 0-521-84283-2}}
* {{citat|last1= Cohen|first1= H. B.|title= A bound-two isomorphism between <math>C(X)</math> Banach spaces|journal= Proceedings of the American Mathematical Society|date= 1975|volume= 50|pages= 215–217|doi= 10.1090/s0002-9939-1975-0380379-5|doi-access= free}}
* {{citat|last1= Conway|first1= John Bligh|authorlink1= John Bligh Conway|title= A course in functional analysis|date= 1990|edition= 2.| publisher= [[Springer Publishing|Springer-Verlag]]|location= New York|series= ([[Graduate Texts in Mathematics]])|volume= 96|isbn= 978-0-387-97245-9|oclc= 21195908}}
* {{citat|last1= Diestel|first1= Joseph|title= Sequences and series in Banach spaces|date= 1984|series= (Graduate Texts in Mathematics)|volume= 92|publisher= Springer-Verlag|location= New York|pages=[https://archive.org/details/sequencesseriesi0000dies/page/ xii+261]|isbn= 0-387-90859-5|url= https://archive.org/details/sequencesseriesi0000dies/page/}}
* {{citat|last1= Dor|first1= Leonard E.|title= On sequences spanning a complex ℓ<sup>1</sup> space|journal= Proceedings of the American Mathematical Society|date= 1975|volume= 47|pages= 515–516|doi= 10.1090/s0002-9939-1975-0358308-x|doi-access= free}}
* {{citat|last1= Dunford|first1= Nelson|authorlink1= Nelson Dunford|last2= Schwartz|first2= Jacob Theodore|authorlink2= Jacob Theodore Schwartz|author3= with the assistance of W. G. Bade and R. G. Bartle|title= Linear Operators. I. General Theory|date= 1958|publisher= Interscience Publishers, Inc.|location= New York|series= (Pure and Applied Mathematics)|volume= 7|mr= 0117523}}
* {{citat|last1= Edwards|first1= Robert Edmund|authorlink1= Robert Edmund Edwards|title= Functional Analysis: Theory and Applications|date= 1995|publisher= Dover Publications|location= New York|isbn= 978-0-486-68143-6|oclc= 30593138}}
* {{citat|last1= Eilenberg|first1= Samuel|title= Banach Space Methods in Topology|journal= [[Annals of Mathematics]]|date= 1942|volume= 43|issue= 3|pages= 568–579|doi= 10.2307/1968812|jstor= 1968812}}
* {{citat|last1= Enflo|first1= Per|authorlink1= Per Enflo|title= A counterexample to the approximation property in Banach spaces|journal= [[Acta Mathematica]]|date= 1973|volume= 130|pages= 309–317|doi= 10.1007/bf02392270|s2cid=120530273|doi-access= free}}
* {{citat|last1= Gabriyelyan|first1= Saak S.|last2= Ka̧kol|first2= Jerzy|title= On topological spaces and topological groups with certain local countable networks|journal= Topology and its Applications|date= 2015-08-01|volume= 190|issue= |pages= 59–73|doi= 10.1016/j.topol.2015.04.015|arxiv= 1412.1497}}
* {{citat|last1= Gowers|first1= William Timothy|authorlink1= William Timothy Gowers|title= A solution to Banach's hyperplane problem|journal= [[Bulletin of the London Mathematical Society]]|date= 1994|volume= 26|issue= 6|pages= 523–530|doi= 10.1112/blms/26.6.523}}
* {{citat|last1= Gowers|first1= William Timothy|authorlink1= |title= A new dichotomy for Banach spaces|journal= [[Geometric and Functional Analysis]]|date= 1996|volume= 6|issue= |pages= 1083–1093}}
* {{citat|last1= Grothendieck|first1= Alexander|authorlink1= Alexander Grothendieck|title= Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques|journal= Bol. Soc. Mat. São Paulo|date= 1953|volume= |issue= 8|pages= 1–79}}
* {{citat|last1= Grothendieck|first1= Alexander|authorlink1= |title= Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires|journal= [[Memoirs of the American Mathematical Society]]|date= 1955|volume= |issue= 16|pages= 140}}
* {{citat|last1= Grothendieck|first1= Alexander|authorlink1= |translator-last1= Chaljub|translator-first1= Orlando|title= Topological Vector Spaces|date= 1973|publisher= Gordon and Breach Science Publishers|location= New York|isbn= 978-0-677-30020-7|oclc= 886098|url= https://archive.org/details/topologicalvecto0000grot}}
* {{citat|last1= Henderson|first1= David Wilson|authorlink1= David Wilson Henderson|title= Infinite-dimensional manifolds are open subsets of Hilbert space|journal= Bulletin of the American Mathematical Society|date= 1969|volume= 75|issue= 4|pages= 759–762|doi= 10.1090/S0002-9904-1969-12276-7|mr= 0247634|doi-access= free}}
* {{citat|last1= James|first1= Robert Clarke|authorlink1= Robert Clarke James|title= Bases and reflexivity of Banach spaces|journal= Annals of Mathematics|date= 1950|volume= 52|issue= 2|pages= 518–527}}
* {{citat|last1= James|first1= Robert Clarke|authorlink1= |title= A non-reflexive Banach space isometric with its second conjugate space|journal= Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.|date= 1951|volume= 37|issue= 3|pages= 174–177|doi= 10.1073/pnas.37.3.174|pmc= 1063327|pmid= 16588998|bibcode= 1951PNAS...37..174J|doi-access= free}}
* {{citat|last1= Khaleelulla|first1= S. M.|title= Counterexamples in Topological Vector Spaces|date= 1982|publisher= [[Springer-Verlag]]|location= Berlin; Heidelberg; New York|volume= 936|series= ([[Lecture Notes in Mathematics]])|isbn= 978-3-540-11565-6|oclc= 8588370}}
* {{citat|last1= Klee|first1= Victor LaRue|authorlink1= Victor LaRue Klee|title= Invariant metrics in groups (solution of a problem of Banach)|journal= Proceedings of the American Mathematical Society|date= 1952|volume= 3|issue= 3|pages= 484–487|url= https://www.ams.org/journals/proc/1952-003-03/S0002-9939-1952-0047250-4/S0002-9939-1952-0047250-4.pdf|archive-url= https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://www.ams.org/journals/proc/1952-003-03/S0002-9939-1952-0047250-4/S0002-9939-1952-0047250-4.pdf|archive-date= 2022-10-09|url-status= live|doi= 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4|doi-access= free}}
* {{citat|last1= Komorowski|first1= Ryszard A.|last2= Tomczak-Jaegermann|first2= Nicole|authorlink2= Nicole Tomczak-Jaegermann|title= Banach spaces without local unconditional structure|journal= Israel Journal of Mathematics|date= 1995|volume= 89|issue= 1–3|pages= 205–226|arxiv= math/9306211|doi= 10.1007/bf02808201|doi-access= free|s2cid= 5220304}}
* {{citat|last1= Komorowski|first1= Ryszard A.|last2= Tomczak-Jaegermann|first2= Nicole|authorlink2= |title= Erratum to: Banach spaces without local unconditional structure|journal= Israel Journal of Mathematics|date= 1998|volume= 105|pages= 85–92|arxiv= math/9607205|doi= 10.1007/bf02780323|doi-access= free|s2cid= 18565676}}
* {{citat|last1= Kwapień|first1= Stanisław|authorlink1= Stanisław Kwapień|title= A linear topological characterization of inner-product spaces|journal= Studia Mathematica|date= 1970|volume= 38|issue= |pages= 277–278}}
* {{citat|last1= Lindenstrauss|first1= Joram|authorlink1= Joram Lindenstrauss|last2= Tzafriri|first2= Lior|title= On the complemented subspaces problem|journal= Israel Journal of Mathematics|date= 1971|volume= 9|issue= 2|pages= 263–269|doi= 10.1007/BF02771592|doi-access= free}}
* {{citat|last1= Lindenstrauss|first1= Joram|authorlink1= |last2= Tzafriri|first2= Lior|title= Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces|date= 1977|publisher= Springer-Verlag|location= Berlin|series= (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete)|volume= 92|isbn= 3-540-08072-4}}
* {{citat|last1= Mazurkiewicz|first1= Stefan|authorlink1= Stefan Mazurkiewicz|last2= Sierpiński|first2= Wacław Franciszek |authorlink2= Wacław Franciszek Sierpiński|title= Contribution à la topologie des ensembles dénombrables|journal= [[Fundamenta Mathematicae]]|date= 1920|volume= 1|issue= |pages= 17–27}}
* {{citat|last1= Megginson|first1= Robert Eugene|authorlink1= Robert Eugene Megginson|title= An introduction to Banach space theory|date= 1998|series= (Graduate Texts in Mathematics)|volume= 183|publisher= Springer-Verlag|location= New York|pages= xx+596|isbn= 0-387-98431-3}}
* {{citat|last1= Milyutin|first1= Alekseĭ A.|title= Isomorphism of the spaces of continuous functions over compact sets of the cardinality of the continuum|journal= Teor. Funkciĭ Funkcional. Anal. i Priložen. Vyp.|date= 1966|volume= 2|issue= |pages= 150–156|lang= ru}}
* {{citat|last1= Narici|first1= Lawrence|last2= Beckenstein|first2= Edward|title= Topological Vector Spaces|date= 2011|edition= 2.|publisher= CRC Press|location= Boca Raton, FL|series= (Pure and applied mathematics)|isbn= 978-1584888666|oclc= 144216834}}
* {{citat|last1= Odell|first1= Edward W.|last2= Rosenthal|first2= Haskell P.|title= A double-dual characterization of separable Banach spaces containing ℓ<sup>1</sup>|journal= Israel Journal of Mathematics|date= 1975|volume= 20|issue= 3–4|pages= 375–384|doi= 10.1007/bf02760341|doi-access= free|s2cid= 122391702|url= http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/133414/CommentatMathUnivCarolRetro_50-2009-1_5.pdf|archive-url= https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/133414/CommentatMathUnivCarolRetro_50-2009-1_5.pdf|archive-date= 2022-10-09|url-status= live}}
* {{citat|last1= Pisier|first1= Gilles|authorlink1= Gilles Pisier|title= Counterexamples to a conjecture of Grothendieck|journal= Acta Mathematica|date= 1983|volume= 151|issue= |pages= 181–208}}
* {{citat|last1= Riesz|first1= Frigyes|authorlink1= Frigyes Riesz|last2= Szőkefalvi-Nagy|first2= Béla|authorlink2= Béla Szőkefalvi-Nagy|translator-last1= Boron|translator-first1= Leo F.|title= Functional Analysis|date= 1990|publisher= [[Dover Publications]]|location= New York|orig-year= 1955|isbn= 0-486-66289-6|oclc= 21228994}}
* {{citat|last1= Rosenthal|first1= Haskell P.|title= A characterization of Banach spaces containing ℓ<sup>1</sup>|journal= Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.|date= 1974|volume= 71|issue= 6|pages= 2411–2413|doi= 10.1073/pnas.71.6.2411|pmid= 16592162|pmc= 388466|arxiv= math.FA/9210205|bibcode= 1974PNAS...71.2411R|doi-access= free}}
* {{citat|last1= Rosenthal|first1= Haskell P.|chapter= The Banach spaces C(K)|title= Handbook of the geometry of Banach spaces, Vol. 2|date= 2003|pages= 1547–1602|publisher= North-Holland|location= Amsterdam}}
* {{citat|last1= Rudin|first1= Walter|authorlink1= Walter Rudin|title= Functional Analysis|date= 1991|edition= 2.|volume= 8|publisher= [[McGraw-Hill Science/Engineering/Math]]|location= New York, NY|series= (International Series in Pure and Applied Mathematics)|isbn= 978-0-07-054236-5|oclc= 21163277|url= https://archive.org/details/functionalanalys00rudi}}
* {{citat|last1= Ryan|first1= Raymond A.|title= Introduction to Tensor Products of Banach Spaces|date= 2002|publisher= Springer-Verlag|series= (Springer Monographs in Mathematics)|location= London|pages= xiv+225|isbn= 1-85233-437-1}}
* {{citat|last1= Szankowski|first1= Andrzej|authorlink1= Andrzej Szankowski|title= <math> B(H) \!\, </math> does not have the approximation property|journal= Acta Mathematica|date= 1981|volume= 147|issue= |pages= 89–108}}
* {{citat|last1= Schaefer|first1= Helmut Heinrich|authorlink1= Helmut Heinrich Schaefer|last2= Wolff|first2= Manfred P.|title= Topological Vector Spaces|date= 1999|edition= 2.|volume= 8|publisher= Springer New York Imprint Springer|location= New York, NY|series= ([[Graduate Texts in Mathematics|GTM]])|isbn= 978-1-4612-7155-0|oclc= 840278135}}
* {{citat|last1= Swartz|first1= Charles|title= An introduction to Functional Analysis|date= 1992|publisher= M. Dekker|location= New York|isbn= 978-0-8247-8643-4|oclc= 24909067}}
* {{citat|last1= Torunczyk|first1= H.|title= Characterizing Hilbert Space Topology|journal= Fundamenta Mathematicae|date= 1981|volume= |issue= |pages= 247–262}}
* {{citat|last1= Trèves|first1= François|authorlink1= François Trèves|title= Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels|date= 2006|orig-year= 1967|publisher= Dover Publications|location= Mineola, N.Y.|isbn= 978-0-486-45352-1|oclc= 853623322}}
* {{citat|last1= Wilansky|first1= Albert|authorlink1= Albert Wilansky|title= Modern Methods in Topological Vector Spaces|date= 2013|publisher= Dover Publications, Inc|location= Mineola, New York|isbn= 978-0-486-49353-4|oclc= 849801114}}
* {{citat|last1= Wojtaszczyk|first1= Przemysław|title= Banach spaces for analysts|date= 1991|series= (Cambridge Studies in Advanced Mathematics)|volume= 25|publisher= Cambridge University Press|location= Cambridge|pages= xiv+382|isbn= 0-521-35618-0}}
* {{citat|last1= Yuan|first1= Qiaochu|title= Banach spaces (and Lawvere metrics, and closed categories)|date= 2012-06-23|website= Annoying Precision|url= https://qchu.wordpress.com/2012/06/23/banach-spaces-and-lawvere-metrics-and-closed-categories/}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==

{{kategorija v Zbirki|Banach spaces|Banachovi prostori}}
* {{springer|title=Banach space|id=p/b015190}}
* {{MathWorld|id=BanachSpace|title=Banach Space}} {{v jeziku|en}}

{{normativna kontrola}}

[[Kategorija:Banachovi prostori| ]]
[[Kategorija:Funkcionalna analiza]]
[[Kategorija:Normirani prostori| ]]
[[Kategorija:Topološki vektorski prostori]]
[[Kategorija:1920 v znanosti]]