Banachov prostor

Predloga:Short description Banachov prôstor [banahov ~] je v matematiki in še posebej funkcionalni analizi polni normirani vektorski prostor. Tako je vektorski prostor z metriko, ki omogoča izračunavanje vektorske dolžine in razdalje med vektorji in je poln v smislu, da Cauchyjevo zaporedje vedno konvergira k dobro definirani limiti znotraj prostora.

Banachovi prostori se imenujejo po poljskem matematiku Stefanu Banachu, ki je uvedel ta koncept in ga sistematično proučeval med letoma 1920 in 1922 skupaj s Hansom Hahnom in Eduardom Hellyjem.Predloga:Sfnp Maurice René Fréchet je prvi uporabil izraz »Banachov prostor«, nato pa je Banach skoval izraz »Fréchetov prostor«.Predloga:SfnpPredloga:Rp Banachovi prostori so izvirno nastali iz zgodnejše raziskave o funkcijskih prostorih Davida Hilberta, Frécheta in Frigvesa Riesza. Banachovi prostori imajo osrednjo vlogo v funkcionalni analizi. Na drugih področjih matematične analize so prostori, ki se raziskujejo, velikokrat Banachovi.

Definicija

Banachov prostor je polni normirani vektorski prostor $(X,\Vert \cdot \Vert )$. Normirani prostor je parPredloga:Efn $(X,\Vert \cdot \Vert )$, sestavljen iz vektorskega prostora $X$ nad skalarnim poljem $𝕂$ (kjer je $𝕂$ običajno $ℝ$ ali $ℂ$) skupaj z razločnoPredloga:Efn normo $\Vert \cdot \Vert :X\to ℝ$. Kot vse norme tudi ta norma inducira translacijsko invariantnoPredloga:Efn funkcijo razdalje, imenovano kanonična ali (normno) inducirana metrika, definirana za vse vektorje $x,y\in X$ z:Predloga:Efn

$d(x,y):=\Vert y-x\Vert =\Vert x-y\Vert .$

To naredi $X$ v metrični prostor $(X,d)$. Zaporedje $x_1,x_2,\dots$ se imenuje Predloga:Nowrap ali Predloga:Nowrap ali Predloga:Nowrap, če za vsako realno število $r>0$ obstaja nek tak indeks $N$, da velja:

$d(x_n,x_m)=\Vert x_n-x_m\Vert <r,$

kadarkoli sta $m$ in $n$ večja od $N$. Normirani prostor $(X,\Vert \cdot \Vert )$ se imenuje Predloga:Em, kanonična metrika $d$ pa se imenuje Predloga:Em, če je $(X,d)$ Predloga:Em, kar po definiciji pomeni, da za vsako Cauchyjevo zaporedje $x_1,x_2,\dots$ v $(X,d)$ obstaja nek takšen $x\in X$, da velja:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=x\text{ v }(X,d),$

kjer se zaradi $\Vert x_n-x\Vert =d(x_n,x)$ ta konvergenca zaporedja $x$ lahko enakovredno izrazi kot:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert x_n-x\Vert =0\text{ v }ℝ.$

Norma $\Vert \cdot \Vert$ normiranega prostora $(X,\Vert \cdot \Vert )$ se imenuje Predloga:Em, če je $(X,\Vert \cdot \Vert )$ Banachov prostor.

L-polskalarni produkt

Za vsak normiran prostor $(X,\Vert \cdot \Vert )$ obstaja takšen L-polskalarni produkt $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ na $X$, da velja $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ za vse $x\in X$. V splošnem je lahko neskončno mnogo L-polskalarnih produktov, ki zadovoljujejo temu pogoju. L-polskalarni produkti so posplošitev prostorov skalarnih produktov, ki so tisto, po čemer se Hilbertovi prostori bistveno razlikujejo od vseh drugih Banachovih prostorov. To kaže, da se lahko vse normirane prostore (in s tem vse Banachove prostore) obravnava kot posplošitve (pre)hilbertovih prostorov.

Karakterizacija v smislu vrste

Struktura vektorskega prostora omogoča, da se poveže obnašanje Cauchyjevih zaporedij z obnašanjem konvergenčnih zaporedij vektorjev. Normirani prostor $X$ je Banachov, če in samo če vsaka absolutno konvergentna vrsta v $X$ konvergira v $X$.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\Vert v_n\Vert <\mathrm{\infty }\text{ sledi da }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n\text{ konvergira v }X.$

Topologija

Kanonična metrika $d$ normiranega prostora $(X,\Vert \cdot \Vert )$ inducira običajno metrično topologijo ${\tau }_d$ na $X$, ki se imenuje kanonična ali normno inducirana topologija. Za vsak normirani prostor se samodejno privzema, da nosi to Hausdorffovo topologijo, razen če ni navedeno drugače. S to topologijo je vsak Banachov prostor Baireov prostor, leprav obstajajo normirani prostori, ki so Baireovi, na pa Banachovi.Predloga:Sfnp Norma $\Vert \cdot \Vert :(X,{\tau }_d)\to ℝ$ je vedno zvezna funkcija glede na topologijo, ki jo inducira.

Odprta in zaprta krogla polmera $r>0$ s središčem v točki $x\in X$ sta torej množici:

$B_r(x):=\{z\in X:\Vert z-x\Vert <r\}\text{ in }{C}_r(x):=\{z\in X:\Vert z-x\Vert \le r\}.$

Vsaka takšna krogla je konveksna in omejena podmnožica $X$, vendar kompaktna krogla/okolica obstaja, če in samo če je $X$ končnorazsežni vektorski prostor. Še posebej noben neskončnorazsežni normirani prostor ne more biti krajevno kompakten ali imeti Heine-Borelove značilnosti. Če je $x_0$ vektor in $s\ne 0$ skalar, potem velja:

$x_0+s{B}_r(x)=B_{|s|r}(x_0+sx)\text{ in }{x}_0+s{C}_r(x)=C_{|s|r}(x_0+sx).$

Če se uporabi $s:=1$, se vidi, da je ta z normo inducirana topologija translacijsko invariantna, kar pomeni, da za kateri koli $x\in X$ in $S\subseteq X$ je podmnožica $S$ odprta (in zaprta) v $X$, če in samo če to velja za njeno translacijo $x+S:=\{x+s:s\in S\}$. Posledično je topologija, inducirana z normo, v celoti določena s katero koli bazo okolice v izhodišču. Nekatere pogoste baze okolic na izhodišču vključujejo:

$\{B_r(0):r>0\},\{C_r(0):r>0\},\{B_{r_n}(0):n\in \mathbb{N}\},\text{ ali }\{C_{r_n}(0):n\in \mathbb{N}\},$

kjer je $r_1,r_2,\dots$ zaporedje pozitivnih realnih šštevil, ki konvergira k $0$ v $ℝ$ (kot je na primer $r_n:=1/n$ ali $r_n:=1/2^n$). Tako se lahko na primer vsaka odprta podmnožica $U$ prostora $X$ zapiše kot unija:

$U=\bigcup _{x\in I}{B}_{r_x}(x)=\bigcup _{x\in I}x+B_{r_x}(0)=\bigcup _{x\in I}x+r_x{B}_1(0),$

indeksirana s kakšno podpmnožico $I\subseteq U$, kjer se lahko vsak $r_x$ izbere iz zgoraj omenjenega zaporedja $r_1,r_2,\dots$ (odprte krogle se lahko zamenjajo z zaprtimi, čeprav se morajo zamenjati tudi indeksna množica $I$ in polmeri $r_x$). Poleg tega se lahko $I$ vedno izbere kot števna, če je $X$ Predloga:Em, kar po definiciji pomeni, da $X$ vsebuje kakšno števno gosto podmnožico.

Razredi homeomorfizmov separabilnih Banachovih prostorov

Vsi končnorazsežni normirani prostori so separabilni Banachovi prostori in poljubna dva Banachova prostora z enako končno razsežnostjo sta linearno homeomorfna. Vsak separabilni končnorazsežni Hilbertov prostor je linearno izometrično izomorfen separabilnemu Hilbertovemu prostoru zaporedja ${\ell }^2(\mathbb{N})$ s svojo običajno normo $\Vert \cdot {\Vert }_2$.

Anderson-Kadecov izrek pravi, da je vsak neskončnorazsežni separabilni Fréchetov prostor homeomorfen produktnemu prostoru $\prod _{i\in \mathbb{N}}ℝ$ števno mnogih kopij $ℝ$ (ta homeomorfizem ni treba da je linearna transformacija).Predloga:SfnpPredloga:Sfnp Tako so vsi neskončnorazsežni separabilni Fréchetovi prostori homeomorfni med seboj (ali rečeno drugače – njihova topologija je edinstvena do homeomorfizma). Ker je vsak Banachov prostor Fréchetov, velja to tudi za vse neskončnorazsežne separabilne Banachove prostore, vključno z ${\ell }^2(\mathbb{N})$. ${\ell }^2(\mathbb{N})$ je dejansko homeomorfen celo svoji lastni [[enotska sfera|enotski Predloga:Em]] $\{x\in {\ell }^2(\mathbb{N}):\Vert x{\Vert }_2=1\}$, kar je v ostrem nasprotju s končnorazsežnimi prostori (evklidska ravnina ${ℝ}^2$ na primer ni homeomorfna enotski krožnici).

Ta vzorec v razredih homeomorfizmov se razširi na posplošitve metrizabilnih (krajevno evklidskih) topoloških mnogoterosti, znanih kot Predloga:Em in so metrični prostori, ki so okrog vsake točke, krajevno homeomorfni poljubni odprti podmnožici danega Banachovega prostora (metrične Hilbertove mnogoterosti in metrične Fréchetove mnogoterosti so definirane podobno).Predloga:Sfnp Vsaka odprta podmnožica $U$ Banachovega prostora $X$ je na primer kanonično metrična Banachova mnogoterost po vzoru na $X$, ker je inkluzivna preslikava $U\to X$ odprti krajevni homeomorfizem. Z uporabo mikrosvežnjev Hilbertovega prostora je David Wilson Henderson leta 1969Predloga:Sfnp pokazal, da je vsako metrično mnogoterost, modelirano na separabilnem neskončnorazsežnem Banachovem (ali Fréchetovem) prostoru, mogoče topološko vložiti kot [[odprta množica|Predloga:Em podmnožico]] ${\ell }^2(\mathbb{N})$, kar posledično tudi dopušča edinstveno gladko strukturo, zaradi česar je Hilbertova mnogoterost $C^{\mathrm{\infty }}$.

Kompaktne in konveksne podmnožice

Obstaja kompaktna podmnožica $S$ od ${\ell }^2(\mathbb{N})$ katere konveksna ogrinjača $\mathrm{co}(S)$ Predloga:Em zaprta in zato tudi Predloga:Em kompaktna (za primer glej to opombo Predloga:Efn).Predloga:Sfnp Vendar, kot v vseh Banachovih prostorih, bo zaprta konveksna ogrinjača $\overline{\mathrm{co}}S$ te (in vsake druge) kompaktne podmnožice kompaktna.Predloga:SfnpPredloga:Rp Toda če normirani prostor ni poln, potem na splošno Predloga:Em zagotovljeno da bo $\overline{\mathrm{co}}S$ kompaktna kadar je kompaktna $S$. ZgledPredloga:Efn se lahko najde celo v (nepolnem) prehilbertovem vektorskem podprostoru ${\ell }^2(\mathbb{N})$.

Kot topološki vektorski prostor

Ta z normo inducirana topologija prav tako omogoča $(X,{\tau }_d)$ v tisto, kar je znano kot topološki vektorski prostor, ki je po definiciji vektorski prostor, opremljen s topologijo, ki naredi operacije seštevanja in skalarnega množenja zvezne. Poudarja se, da je topološki vektorski prostor $(X,{\tau }_d)$ je Predloga:Em vektorski prostor skupaj z določeno vrsto topologije; to pomeni, da ko se obravnava kot topološki vektorski prostor, Predloga:Em povezan z nobeno posebno normo ali metriko (obe sta »pozabljeni«). Ta Hausdorffov topološki vektorski prostor $(X,{\tau }_d)$ je celo krajevno konveksen, ker množica vseh odprtih krogel s središčem v izhodišču tvori bazo okolice v izhodišču, ki jo sestavljajo konveksne uravnotežene odprte množice. Ta topološki vektorski prostor je tudi Predloga:Em, kar se po definiciji nanaša na vsak topološki vektorski prostor, katerega topologijo inducira neka (morda neznana) norma. Za normirajoče topološke vektorske prostore je značilno, da so Hausdorffovi in imajo omejeno konveksno okolico izhodišča. Vsi Banachovi prostori so sodasti prostori, kar pomeni, da je vsak sod okolica izhodišča (vse zaprte krogle s središčem v izhodišču so na primer sodi) in zagotavlja, da Banach-Steinhausov izrek velja.

Primerjava polnih metrizabilnih vektorskih topologij

Izrek o odprti preslikavi (Banach-Schauderjev izrek ali Banachov izrek) implicira, da če sta $\tau$ in ${\tau }_2$ topologiji na $X$, ki naredita tako $(X,\tau )$ kot $(X,{\tau }_2)$ polna metrizabilna topološka vektorska prostora (na primer Banachove ali Fréchetove prostore) in, če je ena topologija bolj fina ali groba od druge, morata biti enaki, (to je, če $\tau \subseteq {\tau }_2$ ali ${\tau }_2\subseteq \tau$, potem $\tau ={\tau }_2$.)Predloga:SfnpPredloga:Rp Tako na primer, če sta $(X,p)$ in $(X,q)$ Banachova prostora s topologijama ${\tau }_p$ in ${\tau }_q$, in, če ima eden od teh prostorov kakšno odprto kroglo, ki je tudi odprta podmnožica drugega prostora (ali enakovredno, če je eden od $p:(X,{\tau }_q)\to ℝ$ ali $q:(X,{\tau }_p)\to ℝ$ zvezen), potem sta njuni topologiji enaki in njuni normi enakovredni.

Polnost

Polne norme in ekvivalentne norme

Dve normi $p$ in $q$ na vektorskem prostoru $X$ sta [[ekvivalentni normi|Predloga:Em]], če inducirata isto topologijo. To se zgodi, če in samo če obstajata takšni pozitivni realni števili $c,C>0$, da velja $cq(x)\le p(x)\le Cq(x)$ za vse $x\in X$. Če sta $p$ in $q$ dve ekvivalentni normi na vektorskem prostoru $X$, potem je $(X,p)$ Banachov prostor, če in samo če je tudi $(X,q)$ Banachov prostor. Glej to opombo za primer zvezne norme na Banachovem prostoru, ki Predloga:Em ekvivalentna dani normi tega Banachovega prostora.Predloga:Efn Vse norme na končnorazsežnem vektorskem prostoru so ekvivalentne in vsak končnorazsežni normirani prostor je Banachov prostor.

Polne norme proti polnim metrikam

Metrika $D$ na vektorskem prostoru $X$ je inducirana z normo na $X$, če ina samo če je $D$ translacijska invariantaPredloga:Efn in Predloga:Em, kar pomeni, da velja $D(sx,sy)=|s|D(x,y)$ za vse skalarje $s$ in vse $x,y\in X$ – tem primeru funkcija $\Vert x\Vert :=D(x,0)$ definira normo na $X$ in kanonična metrika, ki jo inducira $\Vert \cdot \Vert$, je enaka $D$.

Naj je $(X,\Vert \cdot \Vert )$ normirani prostor in naj je $\tau$ normna topologija inducirana na $X$. Predpostavi se, da je $D$ takšna Predloga:Em metrika na $X$, da je topologija $D$, ki se inducira na $X$ enaka $\tau$. Če je $D$ translacijska invarianta,Predloga:Efn potem je $(X,\Vert \cdot \Vert )$ Banachov prostor, če in samo če je $(X,D)$ polni metrični prostor.Predloga:SfnpPredloga:Rp Če $D$ Predloga:Em translacijska invarianta, je možno da je $(X,\Vert \cdot \Vert )$ Banachov prostor, vendar $(X,D)$ Predloga:Em polni metrični prostorPredloga:SfnpPredloga:Rp (glej opomboPredloga:Efn za primer). Nasprotno Kleejev izrek,Predloga:SfnpPredloga:SfnpPredloga:Efn ki tudi velja za vse metrizabilne topološke vektorske prostore, nakazuje, da če obstaja Predloga:EmPredloga:Efn polna metrika $D$ na $X$, ki inducira normno topologijo $\tau$ na $X$, potem je $(X,\Vert \cdot \Vert )$ Banachov prostor.

Fréchetov prostor je krajevno konveksni topološki vektorski prostor katerega topologija inducira neka translacijsko invariantna polna metrika. Vsak Banachov prostor je Fréchetov prostor, obratno pa ne velja – res, obstajajo tudi Fréchetovi prostori na katerih nobena norma ni zvezna funkcija, (kot je na primer prostor realnih zaporedij ${ℝ}^{\mathbb{N}}=\prod _{i\in \mathbb{N}}ℝ$ s produktno topologijo). Vendar pa je topologija vsakega Fréchetovega prostora inducirana z neko števno družino realnih (nujno zveznih) preslikav, imenovanih polnorme, ki so posplošitve norm. Možno je celo, da ima Fréchetov prostor topologijo, ki jo inducira števna družina Predloga:Em, (takšne norme bi bile nujno zvezne),Predloga:EfnPredloga:SfnpPredloga:Rp vendar prostor ne bi bil Banachov/normizabilen, ker njegovo topologijo ne more definirati katera koli Predloga:Em norma. Zgled takšnega prostora je Fréchetov prostor $C^{\mathrm{\infty }}(K)$, katerega definicijo se lahko najde v članku o prostorih testnih funkcij in porazdelitev.

Polne norme proti polnim topološkim vektorskim prostorom

Obstaja še en pojem polnosti poleg metrične polnosti in to je pojem polnega topološkega vektorskega prostora, ki uporablja teorijo uniformnih prostorov. Še posebej pojem polnega topološkega vektorskega prostora uporablja edinstveno translacijsko invariantno uniformnost, imenovano kanonična uniformnost, ki je odvisna Predloga:Em od vektorskega odštevanja in topologije $\tau$, s katero je opremljen vektorski prostor, in zato je zlasti ta pojem polnega topološkega vektorskega prostora neodvisen od katere koli norme, ki je inducirala topologijo $\tau$ (in velja celo za topološke vektorske prostore, ki sploh Predloga:Em metrizabilni). Vsak Banachov prostor je poln topološki vektorski prostor. Poleg tega je normirani prostor Banachov prostor (to pomeni, da je njegova z normo inducirana metrika polna), če in samo če je polna kot topološki vektorski prostor. Če je $(X,\tau )$ metrizabilni topološki vektorski prstor, (kot je na primer katera koli z normo inducirana topologija), potem je $(X,\tau )$ poln topološki vcektorski prostor, kar pomeni, da je dovolj preveriti, ali vsako Cauchyjevo Predloga:Em v $(X,\tau )$ konvergira v $(X,\tau )$ k neki točki $X$, (to pomeni, da ni treba upoštevati bolj splošnega pojma poljubnih Cauchyjevih mrež).

Če je $(X,\tau )$ topološki vektorski prostor, katerega topologijo inducira Predloga:Em (mogoče nezana) norma, (takšni prostori se imenujejo Predloga:Em), potem je $(X,\tau )$ polni topološki vektorski prostor, če in samo če se lahko $X$ priredi norma $\Vert \cdot \Vert$, ki na $X$ inducira topologijo $\tau$ in naredi $(X,\Vert \cdot \Vert )$ Banachov prostor. Hausdorffov krajevno konveksni topološki vektorski prostor $X$ je normizabilen, če in samo če je močno dualni prostor $X_b^{\prime }$ normizabilenPredloga:SfnpPredloga:Rp – v tem primeru je $X_b^{\prime }$ Banachov prostor, ($X_b^{\prime }$ označuje močno dualni prostor $X$, katerega topologija je posplošitev topologije, inducirane z dualno normo na zveznem dualnem prostoru $X^{\prime }$ – glej to opomboPredloga:Efn za več podrobnosti). Če je $X$ metrizabilni krajevno konveksni topološki vektorski prostor, potem je $X$ normizabilen, če in samo če je $X_b^{\prime }$ Fréchet-Urysohnov prostor.Predloga:Sfnp To kaže, da so v kategoriji krajevno konveksnih topoloških vektorskih prostorov Banachovi prostori točno tisti polni prostori, ki so hkrati metrizabilni in imajo metrizabilne močne dualne prostore.

Zapolnitve

Vsak normirani prostor je mogoče izometrično vložiti v gosti vektorski podprostor Predloga:Em Banachovega prostora, kjer se ta Banachov prostor imenuje [[zapolnitev (metrični prostor)|Predloga:Em]] normiranega prostora. Ta Hausdorffova zapolnitev je edinstvena do izometričnega izomorfizma.

Natančneje, za vsak normirani prostor $X$ obstaja Banachov prostor $Y$ in takšno preslikavo $T:X\to Y$, tako da je $T$ izometrična preslikava in $T(X)$ gosta v $Y$. Če je $Z$ še en takšen Banachov prostor, da obstaja izometrični izomorfizem iz $X$ na gosto podmnožico $Z$, potem je $Z$ izometrično izomorfen $Y$. Ta Banachov prostor $Y$ je Hausdorffova Predloga:Em normiranega prostora $X$. Osnovni metrični prostor za $Y$ je enak kot metrična zapolnitev $X$ z operacijami vektorskega prostora, razširjenimi iz $X$ do $Y$. Zapolnitev $X$ se včasih označuje kot $\hat{X}$.

Splošna teorija

Linearni operatorji, izomorfizmi

Če sta $X$ in $Y$ normirana prostora nad istim talnim poljem $𝕂$, se množica vseh zveznih $𝕂$-linearnih preslikav $T:X\to Y$ označuje kot $B(X,Y)$. V neskončnorazsežnih prostorih vse linearne preslikave niso zvezne. Linearna preslikava iz normiranega prostora $X$ na drugi normirani prostor je zvezna, če in samo če je omejena na zaprto enotsko kroglo prostora $X$. Tako se lahko vektorskemu prostoru $B(X,Y)$ da norma operatorja:

$\Vert T\Vert =\sup \{\Vert Tx{\Vert }_Y\mid x\in X,\Vert x{\Vert }_X\le 1\}.$

Za Banachov prostor $Y$ je prostor $B(X,Y)$ Banachov prostor glede na to normo. V kategoričnih kontekstih je včasih priročno omejiti funkcijski prostor med dvema Banachovim prostoroma samo na kratke preslikave – v tem primeru se prostor $B(X,Y)$ ponovno pojavi kot naravni bifunktor.Predloga:Sfnp

Če je $X$ Banachov prostor, prostor $B(X)=B(X,X)$ tvori unitalno Banachovo algebro – operacija množenja je dana s kompozicijo linearnih preslikav.

Če sta $X$ in $Y$ normirana prostora, potem sta izomorfno normirana prostora, če obstaja takšna linearna bijekcija $T:X\to Y$, da sta $T$ in njen inverz $T^{-1}$ zvezni. Če je eden od prostorov $X$ ali $Y$ poln (ali refleksiven, separabilen, itd.), potem je tak tudi drugi prostor. Dva normirana prostora $X$ in $Y$ sta izometrično izomorfna, če je naprej tudi $T$ izometrija, kar pomeni, da je $\Vert T(x)\Vert =\Vert x\Vert$ za vse $x$ v $X$. Banach-Mazurjeva razdalja $d(X,Y)$ med dvema izomorfnima, vendar ne izometričnima, prostoroma $X$ in $Y$ podaja mero za koliko se dva prostora $X$ in $Y$ razlikujeta med seboj.

Zvezne in omejene linearne funkcije in polnorme

Vsak zvezni linearni operator je omejeni linearni operator in če se obravnavajo le normiranimi prostori, velja tudi obratno. To pomeni, da je linearni operator med dvema normiranima prostoroma omejen, če in samo če je zvezna funkcija. Še posebej zato, ker je skalarno polje (ki je $ℝ$ ali $ℂ$) normirani prostor, linearni funkcional na normiranem prostoru je omejeni linearni funkcional, če in samo če je zvezni linearni funkcional. To omogoča, da se rezultati, povezani z zveznostjo (kot so tisti spodaj), uporabijo za Banachove prostore. Čeprav je omejenost enaka kot zveznost za linearne preslikave med normiranimi prostori, se izraz »omejen« pogosteje uporablja, ko se obravnava predvsem Banachove prostore.

Če je $f:X\to ℝ$ podaditivna funkcija, (kot je norma, podlinearna funkcija ali realni linearni operator), potemPredloga:SfnpPredloga:Rp je $f$ zvezna v izhodišču, če in samo če je $f$ uniformno zvezna na celotnem prostoru $X$ in, če poleg tega velja $f(0)=0$, je $f$ zvezna, če in samo če je njena absolutna vrednost $|f|:X\to [0,\mathrm{\infty })$ zvezna. To se zgodi, če in samo če je $\{x\in X:|f(x)|<1\}$ odprta podmnožica $X$.Predloga:SfnpPredloga:RpPredloga:Efn In kar je zelo pomembno za uporabo Hahn-Banachovega izreka – linearni funkcional $f$ je zvezen, če in samo če to velja za njegov realni del $\mathrm{Re}f$ in še več, za $\Vert \mathrm{Re}f\Vert =\Vert f\Vert$ in realni del $\mathrm{Re}f$ popolnoma določa $f$, zato je Hahn-Banachov izrek pogosto naveden samo za realne linearne funkcionale. Tudi linearni funkcional $f$ na $X$ je zvezen, če in samo če je polnorma $|f|$ zvezna, kar se zgodi, če in samo če obstaja takšna zvezna polnorma $p:X\to ℝ$, da je $|f|\le p$. Ta zadnja izjava vključuje linearni funkcional $f$ in polnorma $p$ se najde v mnogih različicah Hahn-Banachovega izreka.

Osnovni pojmi

Kartezični produkt $X\times Y$ dveh normiranih prostorov kanonično ni opremljen z normo. Običajno pa se rabi več enakovrednih norm,Predloga:SfnpPredloga:Rp kot na primer:

$\Vert (x,y){\Vert }_1=\Vert x\Vert +\Vert y\Vert ,\Vert (x,y){\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\max (\Vert x\Vert ,\Vert y\Vert ),$

kar zaporedoma odgovarja koproduktu in produktu v kategoriji Banachovih prostorov in kratkih preslikav (obravnavano zgoraj).Predloga:Sfnp Za končne (ko)produkte te norme povzročijo izomorfne normirane prostore in produkt $X\times Y$ (ali direktna vsota $X\oplus Y$) je poln, če in samo če sta oba faktorja polna.

Če je $M$ zaprti linearni podprostor normiranega prostora $X$, obstaja naravna norma na kvocientnem prostoru $X/M$:

$\Vert x+M\Vert =\inf {\mathrm{\backslash limits}}_{m\in M}\Vert x+m\Vert .$

Kvocient $X/M$ je Banachov prostor, kadar je $X$ poln.Predloga:SfnpPredloga:Rp Kvocientna preslikava iz $X$ na $X/M$, ki preslikuje $x\in X$ v njegov razred $x+M$, je linearna in ima normo enako $1$, razen kadar je $M=X$, ko je kvocient ničelni prostor.

Zaprti linearni podprostor $M$ od $X$ se imenuje komplementni podprostor od $X$, če je $M$ območje surjektivne omejene linearne projekcije $P:X\to M$. V tem primeru je prostor $X$ izomorfen direktni vsoti $M$ in $\ker P$, jedra projekcije $P$.

Naj sta $X$ in $Y$ Banachova prostora in naj je $T\in B(X,Y)$. Potem obstaja kanonična faktorizacija od $T$ kot:Predloga:SfnpPredloga:Rp

$T=T_1\circ \pi ,T:X\stackrel{\pi }{⟶}X/\ker (T)\stackrel{T_1}{⟶}Y,$

kjer je prva preslikava $\pi$ kvocientna preslikava, druga $T_1$ pa preslikuje vsak razred $x+\ker T$ v kvocientu na sliko $T(x)$ v $Y$. To je dobro definirano, ker imajo vsi elementi v istem razredu enako sliko. Preslikava $T_1$ je linearna bijekcija iz $X/\ker T$ na območje $T(X)$, katere inverz mora biti omejen.

Klasični prostori

Med osnovne zgledePredloga:SfnpPredloga:Rp Banachovih prostorov spadajo: prostori Lp $L^p$ in njihovi posebni primeri, prostori zaporedij ${\ell }^p$, ki jih sestavljajo skalarna zaporedja, indeksirana z naravnimi števili $\mathbb{N}$ – med njimi prostor ${\ell }^1$ absolutno sumabilnih zaporedij in prostor ${\ell }^2$ kvadratno sumabilnih zaporedij; prostor $c_0$ zaporedij, ki težijo k ničli, in prostor ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ omejenih zaporedij; prostor $C(K)$ zveznih skalarnih funkcij kompaktnega Hausdorffovega prostora $K$, opremljenega z največjo normo:

$\Vert f{\Vert }_{C(K)}=\max \{|f(x)|:x\in K\},f\in C(K).$

Po Banach-Mazurjevem izreku je vsak Banachov prostor izometrično izomorfen podprostoru nekega prostora $C(K)$. Za vsak separabilni Banachov prostor $X$ obstaja takšen zaprti podprostor $M$ od ${\ell }^1$, da je $X:={\ell }^1/M$.

Vsak Hilbertov prostor služi kot zgled Banachovega prostora. Hilbertov prostor $H$ na $𝕂=ℝ,ℂ$ je poln za normo oblike:

$\Vert x{\Vert }_H=\sqrt{⟨x,x⟩},$

kjer je:

$⟨\cdot ,\cdot ⟩:H\times H\to 𝕂$

skalarni produkt, linearen v svojem prvem argumentu, za katerega velja naslednje:

$\begin{array}{cc}⟨y,x⟩& =\overline{⟨x,y⟩},\text{ za vse }x,y\in H\\ ⟨x,x⟩& \ge 0,\text{ za vse }x\in H\\ ⟨x,x⟩=0,\text{ če in samo če }x& =0.\end{array}$

Prostor $L^2$ je na primer Hilbertov prostor.

Hardyjev prostor in prostor Soboljeva sta zgleda Banachovih prostorov, ki sta povezana s prostori $L^p$ in imata dodatno strukturo. Med drugim sta pomembna v različnih vejah matematične analize, harmonične analize in parcialnih diferencialnih enačbah.

Banachove algebre

Banachova algebra je Banachov prostor $A$ nad $𝕂=ℝ$ ali $ℂ$, skupaj s takšno strukturo algebre na $𝕂$, da je produktna preslikava $A\times A\ni (a,b)\mapsto ab\in A$ zvezna. Ekvivalentna norma na $A$ se lahko najde, tako da velja $\Vert ab\Vert \le \Vert a\Vert \Vert b\Vert$ za vse $a,b\in A$.

Zgledi

• Banachov prostor $C(K)$ s točkovnim produktom je Banachova algebra.
• algebro diskov $A(𝐃)$ sestavljajo funkcije, holomorfne na odprtem enotskem disku $D\subseteq ℂ$ in zveznem na svoji zapolnitvi: $\overline{𝐃}$. Opremljena z največjo normo na $\overline{𝐃}$, je algebra diskov $A(𝐃)$ zaprta podalgebra od $C\left(\overline{𝐃}\right)$.
• Wienerjeva algebra $A(𝐓)$ je algebra funkcij na enotski krožnici $𝐓$ z absolutno konvergentnimi Fourierovimi vrstami. Preko preslikave, ki povezuje funkcijo na $𝐓$ z zaporedjem njenih Fourierovih koeficientov, je ta algebra izomorfna Banachovi algebri ${\ell }^1(Z)$, kjer je produkt konvolucija zaporedij.
• za vsak Banachov prostor $X$ je prostor $B(X)$ omejenih linearnih operatorjev na $X$ s kompozicijo preslikav kot produktom Banachova algebra.
• C*-algebra je kompleksna Banachova algebra $A$ s takšno antilinerno involucijo $a\mapsto a^{*}$, da je $\Vert a^{*}a\Vert =\Vert a{\Vert }^2$. Prostor $B(H)$ omejenih linearnih operatorjev na Hilbertovem prostoru $H$ je osnovni zgled C*-algebre. Gelfand-Najmarkov izrek pravi, da je vsaka C*-algebra izometrično izomorfna C*-podalgebri nekega $B(H)$. Prostor $C(K)$ kompleksnih zveznih funkcij na kompaktnem Hausdorffovem prostoru $K$ je zgled komutativne C*-algebre, kjer je involucija, povezana z vsako funkcijo $f$, njen kompleksni konjugat $\bar{f}$.

Dualni prostor

Če je $X$ normirani prostor in $𝕂$ osnovno polje (ali realnih ali kompleksnih števil), je zvezni dualni prostor prostor zveznih linearnih preslikav iz $X$ na $𝕂$ ali zveznih linearnih funkcionalov. V tem članku je zapis za zvezni dual $X^{\prime }=B(X,𝕂)$. Ker je $𝕂$ Banachov prostor, (ki ima za normo absolutno vrednost), je dual $X^{\prime }$ banachov prostor za vsak normirani prostor $X$. Dixmier-Ngov izrek karakterizira dualne prostore Banachovih prostorov.

Glavno orodje za dokazovanje obstoja zveznih linearnih funkcionalov je Hahn-Banachov izrek.

Še posebej, vsak zvezni linearni funkcional na podprostoru normiranega prostora je mogoče zvezno razširiti na celoten prostor, ne da bi se povečalo normo funkcionala. Pomemben poseben primer je naslednji: za vsak vektor $x$ v normiranem prostoru $X$ obstaja takšen zvezni linearni funkcional $f$ na $X$, da je:

$f(x)=\Vert x{\Vert }_X,\Vert f{\Vert }_{X^{\prime }}\le 1.$

Kadar $x$ ni enak vektorju $\mathrm{𝟎}$, mora imeti funkcional $f$ normo enako $1$, in se imenuje normirajoči funkcional za $x$.

Hahn-Banachov separacijski izrek pravi, da se lahko dve nepovezani neprazni konveksni množici v realnem Banachovem prostoru, od katerih je ena odprta, ločita z zaprto afino hiperravnino. Odprta konveksna množica leži strogo na eni strani hiperravnine, druga konveksna množica pa leži na drugi strani, vendar se lahko dotika hiperravnine.

Podmnožica $S$ v Banachovem prostoru $X$ je totalna, če je linearna ogrinjača $S$ gosta v $X$. Podmožica $S$ je totalna v $X$, če in samo če je edini zvezni linearni funkcional, ki izgine na $S$, funkcional $\mathrm{𝟎}$ – ta ekvivalenca sledi iz Hahn-Banachovega izreka.

Če je $X$ direktna vsota dveh zaprtih linearnih podprostorov $M$ in $N$, potem je dual $X^{\prime }$ prostora $X$ izomorfen direktni vsoti dualov $M$ in $N$.Predloga:SfnpPredloga:Rp Če je $M$ zaprti linearni prostor v $X$, ga je možno povezati z Predloga:Em $M$ v dualu:

$M^{\mathrm{\perp }}=\{x^{\prime }\in X:x^{\prime }(m)=0,\text{ za vse }m\in M\}.$

Ortogonalni $M^{\mathrm{\perp }}$ je zaprti linearni podprostor duala. Dual $M$ je izometrično izomorfen $X^{\prime }/M^{\mathrm{\perp }}$. Dual $X/M$ je izometrično izomorfen $M^{\mathrm{\perp }}$.

Dual separabilnega Banachovega prostora ni treba, da je separabilen, vendar velja naslednji izrek:

Kadar je $X^{\prime }$ separabilen, se lahko zgornji kriterij za totalnost uporabi za dokazovanje obstoja števne totalne podmnožice v $X$.

Šibke topologije

Šibka topologija na Banachovem prostoru $X$ je najbolj groba topologija na $X$ za katero so vsi elementi $x^{\prime }$ v zveznem dualnem prostoru $X^{\prime }$ zvezni. Normna topologija je tako bolj fina od šibke topologije. Iz Hahn-Banachoveha separacijskega izreka sledi, da je šibka topologija Hausdorffova in, da je z normo zaprta konveksna podmnožica Banachovega prostora tudi šibko zaprta. Z normo zvezna linearna preslikava med dvema Banachovima prostoroma $X$ in $Y$ je tudi šibko zvezna, kar pomeni, da je zvezna iz šibke topologije od $X$ k tisti od $Y$.

Če je $X$ neskončnorazsežen, obstajajo linearne preslikave, ki niso zvezne. Prostor $X^{*}$ vseh linearnih preslikav iz $X$ na osnovno polje $𝕂$, (ta prostor $X^{*}$ se imenuje algebrski dualni prostor, da se ga razlikuje od $X^{\prime }$), tudi inducira topologijo na $X$, ki je bolj fina od šibke topologije in se v funkcionalni analizi rabi manj.

Na dualnem prostoru $X^{\prime }$ obstaja topologija, ki je šibkejša od šibke topologije $X^{\prime }$, imenovana šibka* topologija. Je najbolj groba topologija na $X^{\prime }$ za katero so vse evaluacijske preslikave $x^{\prime }\in X^{\prime }\mapsto x^{\prime }(x)$, kjer $x$ teče čez ves $X$, zvezne. Njena pomembnost izhaja iz Banach-Alaoglujevega izreka.

Banach-Alaoglujev izrek se lahko dokaže s pomočjo izreka Tihonova o neskončnih produktih kompaktnih Hausdorffovih prostorov. Kadar je $X$ separabilen, je enotska krogla $B^{\prime }$ duala metrizabilno kompaktna v šibki* topologiji.

Zgledi dualnih prostorov

Dual $c_0$ je izometrično izomorfen ${\ell }^1$: za vsak omejeni linearni funkcional $f$ na $c_0$ obstaja takšen edinstven element $y=\left\{y_n\right\}\in {\ell }^1$, da velja:

$f(x)=\sum _{n\in \mathbb{N}}{x}_n{y}_n,x=\{x_n\}\in c_0,\text{ in }\Vert f{\Vert }_{(c_0{)}^{\prime }}=\Vert y{\Vert }_{{\ell }_1}.$

Dual ${\ell }^1$ je izometrično izomorfen ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$. Dual Lebesguovega prostora $L^p([0,1])$ je izometrično izomorfen $L^q([0,1])$, kadar je $1\le p<\mathrm{\infty }$ in $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

Za vsak vektor $y$ v Hilbertovem prostoru $H$ preslikava:

$x\in H\to f_y(x)=⟨x,y⟩$

definira zvezni linearni funkcional $f_y$ na $H$. Rieszev reprezentacijski izrek pravi, da ima vsak zvezni linearni funkcional na $H$ obliko $f_y$ za edinstveno definiran vektor $y$ v $H$. Preslikava $y\in H\to f_y$ je antilinearna izometrična bijekcija iz $H$ na svoj dual $H^{\prime }$. Kadar so skalarji realni, je takšna preslikava izometrični izomorfizem.

Kadar je $K$ kompaktni Hausdorffov topološki prostor, je dual $M(K)$ od $C(K)$ prostor Radonovih mer v Bourbakijevem smislu.Predloga:Sfnp Podmnožica $P(K)$ od $M(K)$, ki jo sestavljajo nenegativne mere z maso enako $1$ (mere verjetnosti), je konveksna w*-zaprta podmnožica enotske krogle $M(K)$. Ekstremne točke $P(K)$ so Diracove mere na $K$. Množica Diracovih mer na $K$, opremljena z w*-topologijo, je homeomorfna $K$.

Rezultat sta razširila Dan AmirPredloga:Sfnp in M. CambernPredloga:SfnpPredloga:Sfnp na primer, ko je multiplikativna Banach-Mazurjeva razdalja med $C(K)$ in $C(L)$ enaka $<2$. Izrek ne velja več, ko je razdalja enaka $=2$.Predloga:Sfnp

V komutativni Banachovi algebri $C(K)$ so maksimalni idelai ravno jedra Diracovih mer na $K$:

$I_x=\ker {\delta }_x=\{f\in C(K):f(x)=0\},x\in K.$

Na splošno se lahko z Gelfand-Mazurjevim izrekom maksimalne ideale unitalne komutativne Banachove algebre identificira z njenimi karakterji – ne samo kot množice, ampak kot topološke prostore: prve s topologijo jedra ogrinjače in druge z w*-topologijo. V tej identifikaciji se lahko na prostor maksimalnih idealov gleda kot na w*-kompaktno podmnožico enotske krogle v dualu $A^{\prime }$.

Vsaka unitalna komutativna Banachova algebra ni oblike $C(K)$ za kakšen kompaktni Hausdorffov prostor $K$. Ta uzjava pa velja, le se $C(K)$ postavi v manjšo kategorijo komutativnih C*-algeber. Gelfandov reprezentacijski izrek za komutativne C*-algebre pravi, da je vsaka komutativna unitalna C*-algebra $A$ izometrično izomorfna prostoru $C(K)$.Predloga:Sfnp Hausdorffov kompaktni prostor $K$ je tukaj spet prostor maksimalnih idealov, imenovan spekter $A$ v kontekstu C*-algeber.

Bidual

Če je $X$ normirani prostor, se (zvezni) dual $X^{″}$ duala $X^{\prime }$ imenuje Predloga:Visible anchor ali Predloga:Visible anchor $X$. Za vsak normirani prostor $X$ obstaja naravna preslikava:

$\{\begin{array}{c}{F}_X:X\to X^{″}\\ F_X(x)(f)=f(x)& \text{ za vse }x\in X,\text{ in za vse }f\in X^{\prime }.\end{array}$

To definira $F_X(x)$ kot zvezni linearni funkcional na $X^{\prime }$, to je element $X^{\prime \prime }$. Preslikava $F_X:x\to F_X(x)$ je linearna preslikava iz $X$ na $X^{\prime \prime }$. Kot posledica obstoja normirajočega funkcionala $f$ za vsak $x\in X$ je ta preslikava $F_X$ izometrična in zato injektivna.

Dual od $X=c_0$ je na primer identificiran z ${\ell }^1$, dual od ${\ell }^1$ pa z ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$, prostorom omejenih skalarnih zaporedij. Pod tema identifikacijama je $F_X$ inkluzivna preslikava iz $c_0$ na ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$. Je res izometrična, vendar ne na.

Če je $F_X$ surjektiven, potem se normirani prostor $X$ imenuje refleksiven (glej spodaj). Ker je dual normiranega prostora, je bidual $X^{″}$ poln, in zato je vsak refleksivni normirani prostor Banachov.

Z uporabo izometrične vložitve $F_X$ je običajno obravnavati normirani prostor $X$ kot podmnožico njegovega biduala. Ko je $X$ Banachov prostor, se nanj gleda kot na zaprti linearni podprostor $X^{\prime \prime }$. Če $X$ ni refleksiven, je enotska krogla $X$ prava podmnožica enotske krogle $X^{\prime \prime }$. Goldstineov izrek pravi, da je enotska krogla normiranega prostora šibko*-gosta v enotski krogli biduala. Z drugimi besedami, za vsak $x^{″}$ v bidualu obstaja takšna mreža ${\left(x_i\right)}_{i\in I}$ v $X$, tako da je:

$\underset{i\in I}{\sup }\Vert x_i\Vert \le \Vert x^{″}\Vert ,x^{″}(f)=\underset{i}{\lim }f\left(x_i\right),f\in X^{\prime }.$

Mrežo se lahko nadomesti s šibko*-konvergentnim zaporedjem, ko je dual $X^{\prime }$ separabilen. Po drugi strani pa elementi biduala ${\ell }^1$, ki niso v ${\ell }^1$, ne morejo biti šibka*-limita Predloga:Em v ${\ell }^1$, ker je ${\ell }^1$ šibko zaporedoma poln.

Banachovi izreki

Tukaj so glavni splošni rezultati o Banachovih prostorih, ki segajo v čas Banachove knjigePredloga:Sfnp, in so povezani z Baireovim izrekom o kategoriji. V skladu s tem izrekom poln metrični prostor (kot so: Banachov prostor, Fréchetov prostor ali prostor F) ne more biti enak uniji števno mnogo zaprtih podmnožic s prazno notranjostjo. Zato Banachov prostor ne more biti unija števno mnogo zaprtih podprostorov, razen če je že enak enemu izmed njih – Banachov prostor s števno Hamelovo bazo je končnorazsežen.

Banach-Steinhausov izrek ni omejen samo na Banachove prostore. Razširi se ga lahko na primer, ko je $X$ Fréchetov prostor, pod pogojem, da se sklep spremeni na naslednji način: pod isto domnevo obstaja takšna okolica $U$ od $\mathrm{𝟎}$ v $X$, tako da so vsi $T,$ v $F$ uniformno omejeni na $U$:

$\underset{T\in F}{\sup }\underset{x\in U}{\sup }\Vert T(x){\Vert }_Y<\mathrm{\infty }.$

Ta rezultat je neposredna posledica prejšnjega Banachovega izreka o izomorfizmu in kanonične faktorizacije omejenih linearnih preslikav.

To je še ena posledica Banachovega izreka o izomorfizmu, uporabljenega za zvezno bijekcijo iz $M_1\oplus \cdots \oplus M_n$ na $X$, ki pošilja $m_1,\cdots ,m_n$ v vsoto $m_1+\cdots +m_n$.

Refleksivnost

Normirani prostor $X$ se imenuje refleksiven, kadar je naravna preslikava:

$\{\begin{array}{c}{F}_X:X\to X^{″}\\ F_X(x)(f)=f(x)& \text{ za vse }x\in X,\text{ in za vse }f\in X^{\prime }\end{array}$

surjektivna. Refleksivni normirani prostori so Banachovi.

To je posledica Hahn-Banachovega izreka. Nadalje, po izreku o odprti preslikavi, če obstaja omejeni linearni operator iz Banachovega prostora $X$ v Banachov prostor $Y$, potem je $>Y$ refleksiven.

Res, če je dual $Y^{\prime }$ Banachovega prostora $Y$ separabilen, potem je separabilen $Y$. Če je $X$ refleksiven in separabilen, potem je separabilen dual $X^{\prime }$, in je tako separabilen $X^{\prime }$.

Hilbertovi prostori so refleksivni. Prostori $L^p$ so refleksivni kadar je $1<p<\mathrm{\infty }$. Bolj splošno so uniformno konveksni prostori refleksivni po Milman-Pettisovem izreku. Prostori: $c_0,{\ell }^1,L^1([0,1]),C([0,1])$ niso refleksivni. V teh primerih nerefleksivnih prostorov $X$ je bidual $X^{″}$ »veliko večji« od $X$. Namreč, pod naravno izometrično vložitvijo $X$ na $X^{″}$ je po Hahn-Banachovem izreku kvoicient $X^{\prime \prime }/X$ neskončnorazsežen in celo neseparabilen. Vendar je Robert Clarke James skonstruiral takšen primerPredloga:Sfnp nerefleksivnega prostora, po navadi imenovanega »Jamesov prostor« in označenega z $J$,Predloga:SfnpPredloga:Rp da je kvocient $J^{\prime \prime }/J$ enorazsežen. Takšen prostor $J$ je še naprej izometrično izomorfen svojemu bidualu.

Kadar je $X$ refleksiven, sledi, da so vse zaprte in omejene konveksne podmnožice od $X$ šibko kompaktne. V Hilbertovem prostoru $H$ se šibka kompaktnost enotske krogle velikokrat rabi na naslednji način – vsako omejeno zaporedje v $H$ ima šibko konvergentna podzaporedja.

Šibka kompaktnost enotske krogle zagotavlja orodje za iskanje rešitev refleksivnih prostorov v določenih optimizacijskih problemih. Vsaka konveksna zvezna funkcija na enotski krogli $B$ refleksivnega prostora na primer doseže svoj minimum na neki točki v $B$.

Kot poseben primer prejšnjega rezultata, ko je $X$ refleksivni prostor nad $ℝ$, vsak zvezni linearni funkcional $f$ v $X^{\prime }$ doseže svoj maksimum $\Vert f\Vert$ na enotski krogli $X$. Naslednji Jamesov izrek zagotavlja obratno izjavo.

Izrek je mogoče razširiti, da poda karakterizacijo šibko kompaktnih konveksnih množic.

Na vsakem nerefleksivnem Banachovem prostoru $X$ obstajajo zvezni linearni funkcionali, ki ne dosegajo norme. Vendar Bishop-Phelpsov izrekPredloga:Sfnp pravi, da so funkcionali, ki dosegajo normo, normno gosti v dualu $X^{\prime }$ od $X$.

Šibke konvergence zaporedij

Zaporedje $\left\{x_n\right\}$ v Banachovem prostoru $X$ je šibko konvergentno k vektorju $x\in X$, če $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ konvergira k $f(x)$ za vsak zvezni linearni funkcional $f$ v dualu $X^{\prime }$. Zaporedje $\left\{x_n\right\}$ je šibko Cauchyjevo zaporedje, če $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ konvergira k skalarni limiti $L(f)$ za vsak $f$ v $X^{\prime }$. Zaporedje $\left\{f_n\right\}$ v dualu $X^{\prime }$ je šibko* konvergentno k funkcionalu $f\in X^{\prime }$, če $f_n(x)$ konvergira k $f(x)$ za vsak $x$ v $X$. Šibka Cauchyjeva zaporedja, šibko konvergentna in šibko* konvergentna zaporedja so normno omejena, kar je posledica Banach-Steinhausovega izreka.

Kadar je zaporedje $\left\{x_n\right\}$ v $X$ šibko Cauchyjevo, limita $L$ zgoraj definira omejeni linearni funkcional na dualu $X^{\prime }$ to je, element $L$ biduala od $X$ in $L$ je limita od $\left\{x_n\right\}$ v šibki*-topologiji biduala. Banachov prostor $X$ je šibko zaporedoma poln, če je vsako šibko Cauchyjevo zaporedje šibko konvergentno v $X$. Iz predhodne razprave sledi, da so refleksivni prostori šibko zaporedoma polni.

Ortonormirano zaporedje v Hilbertovem prostoru je preprosti zgled šibko konvergentnega zaporedja, z limito enako vektorju $\mathrm{𝟎}$. Baza enotskega vektorja od ${\ell }^p$ za $1<p<\mathrm{\infty }$ ali od $c_0$ je naslednji zgled šibko ničelnega zaporedja, zaporedja, ki konvergira šibko k $\mathrm{𝟎}$. Za vsako šibko ničelno zaporedje v Banachovem prostoru obstaja zaporedje konveksnih kombinacij vektorjev iz danega zaporedja, ki normno konvergira k $\mathrm{𝟎}$.

Baza enotskega vektorja od ${\ell }^1$ ni šibko Cauchyjeva. Šibko Cauchyjeva zaporedja v ${\ell }^1$ so šibko konvergentna, ker so prostori $L^1$ šibko zaporedoma polni. Dejansko so šibko konvergentna zaporedja v ${\ell }^1$ normno konvergentna.Predloga:SfnpPredloga:Rp To pomeni, da za ${\ell }^1$ velja Schurova značilnost.

Rezultati, ki vključujejo bazo ${\ell }^1$

Šibko Cauchyjeva zaporedja in baza ${\ell }^1$ so nasprotni zgledi dihotomije, vzpostavljene v naslednjem globokem rezultatu Haskella P. Rosenthala.Predloga:Sfnp Rosenthalov dokaz velja za realne skalarje. Kompleksno različico rezultata je podal Leonard E. Dor.Predloga:Sfnp

Dopolnilo k temu rezultatu sta podala Odell in Rosenthal.Predloga:Sfnp

Po Goldstineovem izreku je vsak element enotske krogle $B^{\prime \prime }$ od $X^{\prime \prime }$ šibka* limita mreže v enotski krogli od $X$. Kadar $X$ ne vsebuje ${\ell }^1$, je vsak element od $B^{\prime \prime }$ šibka* limita Predloga:Em v enotski krogli od $X$.

Kadar je Banachov prostor $X$ separabilen, je enotska krogla duala $X^{\prime }$, opremljenega s šibko* topologijo, metrizabilno kompaktni prostor $K$ in vsak element $x^{\prime \prime }$ v bidualu $X^{\prime \prime }$ definira omejeno funkcijo na $K$:

$x^{\prime }\in K\mapsto x^{″}(x^{\prime }),|x^{″}(x^{\prime })|\le \Vert x^{″}\Vert .$

Ta funkcija je zvezna za kompaktno topologijo od $K$, če in samo če je $x^{\prime \prime }$ dejansko v $X$ in velja za podmnožico od $X^{\prime \prime }$. Naj poleg tega za ves preostali razdelek velja, da $X$ ne vsebuje ${\ell }^1$. Po prejšnjem rezultatu Odella in Rosenthala je funkcija $x^{\prime \prime }$ točkovna limita na $K$ zaporedja $\left\{x_n\right\}\subseteq X$ zveznih funkcij na $K$ in je tako prva funkcija Bairovega razreda na $K$. Enotska krogla biduala je točkovno kompaktna podmnožica prvega Baireovega razreda na $K$.

Zaporedja, šibka in šibka* kompaktnost

Kadar je $X$ separabilen, je enotska krogla duala šibko* kompaktna po Banach-Alaoglujevem izreku in metrizabilna za šibko* topologijo, in zato ima vsako omejeno zaporedje v dualu šibko* konvergentna podzaporedja. To velja za separabilne refleksivne prostore, še bolj pa za ta primer, kot je navedeno spodaj.

Šibka topologija Banachovega prostora $X$ je metrizabilna, če in samo če je $X$ končnorazsežen. Če je dual $X^{\prime }$ separabilen, je potem šibka topologija enotske krogle od $X$ metrizabilna. To velja še posebej za separabilne refleksivne Banachove prostore. Čeprav v splošnem šibka topologija enotske krogle ni metrizabilna, se lahko karakterizira šibko kompaktnost s pomočjo zaporedij.

Banachov prostor $X$ je refleksiven, če in samo če ima vsako omejeno zaporedje v $X$ šibko konvergentno podzaporedje.

Šibko kompaktna podmnožica $A$ v ${\ell }^1$ je normno kompaktna. Res ima vsako zaporedje v $A$ šibko konvergentna podzaporedja po Eberlein-Šmuljanovem izreku, ki so normno konvergentna po Schurovi značilnosti od ${\ell }^1$.

Tip in kotip

Način za klasifikacijo Banachovih prostorov je s pomočjo verjetnostnega pojma tipa in kotipa – ta dva merita, kako daleč je Banachov prostor od Hilbertovega prostora.

Schauderjeve baze

Schauderjeva baza v Banachovem prostoru $X$ je zaporedje ${\left\{e_n\right\}}_{n\ge 0}$ vektorjev v $X$ z značilnostjo, da za vsak vektor $x\in X$ obstajajo takšni Predloga:Em definirani sklarji ${\left\{x_n\right\}}_{n\ge 0}$, odvisni od $x$, da je:

$x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_n{e}_n,\text{ to je, }x=\underset{n}{\lim }{P}_n(x),P_n(x):=\sum _{k=0}^n{x}_k{e}_k.$

Banachovi prostori s Schauderjevo bazo so nujno separabilni, ker števna množica končnih linearnih kompinacij z racionalnimi koedicienti je, (recimo), gosta.

Iz Banach-Steinhausovega izreka sledi, da so linearne preslikave $\left\{P_n\right\}$ uniformno omejene z neko konstanto $C$. Naj $\left\{e_n^{*}\right\}$ označuje koordinatne funkcionale, ki vsakemu $x$ v $X$ priredijo koordinate $x_n$ od $x$ v zgornjem izrazu. Imenujejo se biortogonalni funkcionali. Kadar ima baza vektorjev normo enako $1$, imajo koordinatni funkcionali $\left\{e_n^{*}\right\}$ norme enake $\le 2C$ v dualu od $X$.

Večina klasičnih separabilnih prostorov ima eksplicitne baze. Haarov sistem $\left\{h_n\right\}$ je baza za $L^p([0,1]),1\le p<\mathrm{\infty }$. Trigonometrični sistem je baza v $L^p(𝐓)$ pri $1<p<\mathrm{\infty }$. Schauderjev sistem je baza v prostoru $C([0,1])$.Predloga:SfnpPredloga:Rp Vprašanje ali ima algebra diskov $A(𝐃)$ bazo je ostalo odprto več kot štirideset let dokler Sergej Viktorovič Bočkarjov leta 1974 ni pokazal, da $A(𝐃)$ dovoljuje bazo skonstruirano iz Franklinovega sistema.Predloga:Sfnp

Ker je vsak vektor $x$ v Banachovem prostoru $X$ z bazo limita od $P_n(x)$, kjer ima $P_n$ končni rang in je uniformno omejena, za vsak prostor $X$ velja omejena aproksimacijska značilnost. Prvi primer Pera Enfloja prostora za katerega aproksimacijska značilnost ne velja je bil istočasno prvi primer separabilnega Banachovega prostora brez Schauderjeve baze.Predloga:Sfnp

James je karakteriziral refleksivnost v Banachovih prostorih z bazo: prostor $X$ s Schauderjevo bazo je refleksiven, če in samo če je baza skrčajoča in omejeno polna.Predloga:SfnpPredloga:SfnpPredloga:Rp V tem primeru biortogonalni funkcionali tvorijo bazo duala $X$.

Tenzorski produkt

Naj sta $X$ in $Y$ dva $𝕂$-vektorska prostora. Tenzorski produkt $X\otimes Y$ od $X$ in $Y$ je $𝕂$-vektorski prostor $Z$ z bilinearno preslikavo $T:X\times Y\to Z$, ki ima naslednjo univerzalno značilnost:

Če je $T_1:X\times Y\to Z_1$ poljubna bilinearna preslikava na $𝕂$-vektorski prostor $Z_1$, potem obstaja takšna edinstvena linearna preslikava $f:Z\to Z_1$, da je $T_1=f\circ T$.

Slika pod $T$ para $(x,y)$ v $X\times Y$ je označena z $x\otimes y$ in se imenuje enostavni tenzor. Vsak element $z$ v $X\otimes Y$ je končna vsota takšnih enostavnih tenzorjev.

Obstajajo različne norme, ki jih je mogoče postaviti na tenzorski produkt osnovnih vektorskih prostorov, med drugim projektivna vektorska norma in injektivna vektorska norma, ki ju je uvedel Alexander Grothendieck leta 1955.Predloga:SfnpPredloga:Sfnp

V splošnem tenzorski produkt polnih prostorov ni spet poln. Kadar se obravnavajo Banachovi prostori, je običajno reči, da je projektivni tenzorski produkt dveh Banachovih prostorov $X$ in $Y$ Predloga:Em $X{\hat{\otimes }}_{\pi }Y$ algebrskega tenzorskega produkta $X\otimes Y$, opremljenega s projektivno tenzorsko normo, in podobno za injektivni tenzorski produkt. $X{\hat{\otimes }}_{\epsilon }Y$ Grothendieck je posebej dokazal, da velja:

$\begin{array}{cc}C(K){\hat{\otimes }}_{\epsilon }Y& \simeq C(K,Y),\\ L^1([0,1]){\hat{\otimes }}_{\pi }Y& \simeq L^1([0,1],Y),\end{array}$

kjer je $K$ kompaktni Hausdorffov prostor, $C(K,Y)$ Banachov prostor zveznih funkcij iz $K$ na $Y$ in $L^1([0,1],Y)$ prostor merljivih funkcij po Bochnerju in integrabilnih iz $[0,1]$ na $Y$, in kjer so izomorfizmi izometrični. Dva zgornja izomorfizma sta ustrezni razširitvi preslikave, ki pošilja tenzor $f\otimes y$ k funkciji z vektorsko vrednostjo $s\in K\to f(s)y\in Y$.

Tenzorski produkti in aproksimacijska značilnost

Naj je $X$ Banachov prostor. Tenzorski produkt $X^{\prime }{\hat{\otimes }}_{\epsilon }X$ je identificiran izometrično z zaprtjem v $B(X)$ množice operatorjev s končnim rangom. Kadar ima $X$ aproksimacijsko značilnost, to zaprtje sovpada s prostorom kompaktnih operatorjev na $X$.

Za vsak Banahov prostor $Y$ obstaja linearna preslikava z naravno normo enako $1$:

$Y{\hat{\otimes }}_{\pi }X\to Y{\hat{\otimes }}_{\epsilon }X,$

ki se jo dobi z razširitvijo identične preslikave algebrskega tenzorskega produkta. Grothendieck je povezal aproksimacijsko značilnost z vprašanjem, ali je ta preslikava ena na ena, ko je $Y$ dual $X$. Natančneje, za vsak Banachov prostor $X$ je preslikava:

$X^{\prime }{\hat{\otimes }}_{\pi }X⟶X^{\prime }{\hat{\otimes }}_{\epsilon }X$

injektivna, če in samo če ima $X$ aproksimacijsko značilnost.

Grothendieck je domneval, da morata biti $X{\hat{\otimes }}_{\pi }Y$ in $X{\hat{\otimes }}_{\epsilon }Y$ različni kadar sta $X$ in $Y$ neskončnorazsežna Banachova prostora. To je ovrgel Gilles Pisier leta 1983.Predloga:Sfnp Pisier je skonstruiral takšen neskončnorazsežen Banachov prostor $X$, da sta $X{\hat{\otimes }}_{\pi }X$ in $X{\hat{\otimes }}_{\epsilon }X$ enaki. Kakor pri Enflojevem primeru je naprej ta prostor $X$ »narejen na roke« in nima aproksimacijske značilnosti. Na drugi strani je Andrzej Szankowski dokazal, da klasični prostor $B\left({\ell }^2\right)$ nima aproksimacijske značilnosti.Predloga:Sfnp

Nekateri klasifikacijski rezultati

Karakterizacija Hilbertovega prostora med Banachovimi prostori

Potreben in zadosten pogoj, da je norma Banachovega prostora $X$ povezana z notranjim produktom, je paralelogramska enakost:

Iz tega na primer sledi, da je Lebesguov prostor $L^p([0,1])$ Hilbertov le, če je $p=2$. Če je ta enakost izpolnjena, je povezani notranji produkt podan s polarizacijsko enakostjo. V primeru realnih skalarjev to da:

$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2).$

Za kompleksne skalarje, kjer se skalarni produkt definira tako, da je $ℂ$-linearen v $x$ in antilinearen v $y$, polarizacijska enakost da:

$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2+i(\Vert x+iy{\Vert }^2-\Vert x-iy{\Vert }^2)).$

Da se ugotovi ali zakon paralelograma zadostuje, se v realnem primeru opazi, da je $⟨x,y⟩$ simetričen, v kompleksnem primeru pa, da izpolnjuje značilnost hermitske simetrije in $⟨ix,y⟩=i⟨x,y⟩$. Zakon paralelograma implicira, da je $⟨x,y⟩$ aditiven v $x$. Iz tega sledi, da je linearen nad racionalnimi števili, torej linearen po zveznosti.

Na voljo je več karakterizacij prostorov, ki so izomorfni (namesto izometrični) Hilbertovim prostorom. Zakon paralelograma je mogoče razširiti na več kot dva vektorja in oslabiti z uvedbo dvostranske neenakosti s konstanto $c\ge 1$: Stanisław Kwapień je dokazal, da če je:

$c^{-2}\sum _{k=1}^n{\Vert x_k\Vert }^2\le {\mathrm{Ave}}_{\pm }{\Vert \sum _{k=1}^n\pm x_k\Vert }^2\le c^2\sum _{k=1}^n{\Vert x_k\Vert }^2$

za vsako celo število $n$ in vse družine vektorjev $\{x_1,\dots ,x_n\}\subseteq X$, potem je Banachov prostor $X$ izomorfen Hilbertovem.Predloga:Sfnp Tukaj ${\mathrm{Ave}}_{\pm }$ označuje srednjo vrednost nad $2^n$ možnimi izbirami predznakov $\pm 1$. V istem članku je Kwapień dokazal, da veljavnost Parsevalovega izreka z Banachovo vrednostjo za Fourierovo transformacijo kakarkterizira Banachove prostore izomorfne Hilbertovim.

Joram Lindenstrauss in Lior Tzafriri sta dokazala, da je Banachov prostor, v katerem je vsak zaprt linearni podprostor komplementiran (to je območje omejene linearne projekcije), izomorfen Hilbertovemu prostoru.Predloga:Sfnp Dokaz se naslanja na izrek Dvoretzkega o evklidskih presekih večrazsežnih centralno simetričnih konveksnih teles. Z drugimi besedami, izrek Dvoretzkega pravi, da za vsako celo število $n$ vsak končnorazsežni normirani prostor z dovolj veliko razsežnostjo v primerjavi z $n$ vsebuje podprostore skoraj izometrične glede na $n$-razsežni evklidski prostor.

Naslednji rezultat daje rešitev tako imenovanega Predloga:Em. Neskončnorazsežni Banachov prostor $X$ je homogen, če je izomorfen vsem svojim neskončnorazsežnim zaprtim podprostorom. Banachov prostor, izomorfen ${\ell }^2$, je homogen in Banach se je vprašal obratno.Predloga:SfnpPredloga:Rp Značilnost homogenosti se tam imenuje »propriété (15)«. Banach je zapisal: »on ne connaît aucun exemple d'espace à une infinité de dimensions qui, sans être isomorphe avec $(L^2)$. possède la propriété (15)«.Predloga:Efn

Neskončnorazsežni Banachov prostor je dedno nedekompozabilen, če noben njegov podprostor ne more biti izomorfen direktni vsoti dveh neskončnorazsežnih Banachovih prostorov. Gowersov izrek o dihotomijiPredloga:Sfnp pravi, da vsak neskončnorazsežni Banachov prostor $X$ vsebuje bodisi podprostor $Y$ z brezpogojno bazo, ali dedno nedekompozabilni podprostor $Z$, ter še posebej $Z$ ni izomorfen svojim zaprtim hiperravninam.Predloga:Sfnp Če je $X$ homogen, mora zato imeti brezpogojno bazo. Nato izhaja iz delne rešitve, ki sta jo pridobila Ryszard A. Komorowski in Nicole Tomczak-Jaegermann za prostore z brezpogojno bazo, Predloga:SfnpPredloga:Sfnp, da je $X$ izomorfen ${\ell }^2$.

Metrična klasifikacija

Če je $T:X\to Y$ izometrija iz Banachovega prostora $X$ na Banachov prostor $Y$, (kjer sta oba $X$ in $Y$ vektorska prostora nad $ℝ$), potem Mazur-Ulamov izrek pravi, da mora biti $T$afina transformacija. Še posebej, če je $T(0_X)=0_Y$, to je $T$ preslikuje ničlo od $X$ na ničlo od $Y$, potem mora biti $T$ linearna. Ta rezultat implicira, da metrika v Banachovem prostoru in na splošno v normiranih prostorih popolnoma zajame njihovo linearno strukturo.

Topološka klasifikacija

Končnorazsežni Banachovi prostori so homeomorfni kot topološki prostori, če in samo če imajo isto razsežnost kot vektorski prostori.

Anderson-Kadecov izrek (1965–66) dokazuje,Predloga:Sfnp da sta poljubna neskončnorazsežna separabilna Banachova prostora homeomorfna kot topološka prostora. Kadecov izrek je razširil H. Torunczyk, ki je dokazal,Predloga:Sfnp da sta poljubna Banachova prostora homeomorfna, če in samo če imata enak karakter gostote, najmanjšo kardinalnost goste podmožice.

Prostori zveznih funkcij

Kadar sta kompaktna Hausdorffova prostora $K_1$ in $K_2$ homeomorfna, sta Banachova prostora $C\left(K_1\right)$ in $C\left(K_2\right)$ izometrična. Obratno, kadar $K_1$ ni homeomorfen $K_2$, mora biti (multiplikativna) Banach-Mazurjeva razdalja med $C\left(K_1\right)$ in $C\left(K_2\right)$ večja ali enaka od $2$, (glej zgoraj rezultate Amirja in Camberna). Čeprav imajo neštevni kompaktni metrični prostori lahko različne homeomorfne tipe, velja naslednji Milyutinov rezultat:Predloga:Sfnp

Razmere so različne za števno neskončne kompaktne Hausdorffove prostore. Vsak števno neskončni kompaktni $K$ je homeomorfen nekemu zaprtemu intervalu ordinalnih števil:

$⟨1,\alpha ⟩=\{\gamma :1\le \gamma \le \alpha \},$

opremljenemu s topologijo urejenosti, kjer je $\alpha$ števno neskočni ordinal. Banachov prostor $C(K)$ je nato izometričen k $C(⟨1,\alpha ⟩)$. Kadar sta $\alpha ,\beta$ števno neskončna ordinala, in, če se privzame $\alpha \le \beta$, sta prostora $C(⟨1,\alpha ⟩)$ in $C(⟨1,\beta ⟩)$ izomorfna, če in samo če je $\beta <\alpha$.Predloga:Sfnp Banachovi prostori:

$C(⟨1,\omega ⟩),C(⟨1,{\omega }^{\omega }⟩),C(⟨1,{\omega }^{{\omega }^2}⟩),C(⟨1,{\omega }^{{\omega }^3}⟩),\cdots ,C(⟨1,{\omega }^{{\omega }^{\omega }}⟩),\cdots$

na primer med seboj niso izomorfni.

Zgledi

Glosar simbolov za spodnjo razpredelnico:

• $𝔽$ – polje realnih števil $ℝ$ ali kompleksnih števil $ℂ$,
• $K$ – kompaktni Hausdorffov prostor,
• $p,q\in ℝ$ – realna števila z $1<p,q<\mathrm{\infty }$, ki so Hölderjevi konjugati, kar pomeni, da za njih velja $\frac{1}{q}+\frac{1}{p}=1$ in tako tudi $q=\frac{p}{p-1}$,
• $\mathrm{\Sigma }$ – $\sigma$-algebra množic,
• $\mathrm{\Xi }$ – algebra množic (za prostore se zahteva le končna aditivnost, kot je na primer prostor ba),
• $\mu$ – mera z variacijo $|\mu |$. Pozitivna mera je funkcija množice z realnimi vrednostmi, definirana na $\sigma$-algebri, ki je števno aditivna.

klasični Banachovi prostori
	dualni prostor	refleksivni	šibko zaporedoma polni	norma		opombe
${𝔽}^n$	${𝔽}^n$	Predloga:Yes	Predloga:Yes	$\Vert x{\Vert }_2$	$={(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^2)}^{1/2}$	evklidski prostor
${\ell }_p^n$	${\ell }_q^n$	Predloga:Yes	Predloga:Yes	$\Vert x{\Vert }_p$	$={(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}$
${\ell }_{\mathrm{\infty }}^n$	${\ell }_1^n$	Predloga:Yes	Predloga:Yes	$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$	$=\max {\mathrm{\backslash nolimits}}_{1\le i\le n}|x_i|$
${\ell }^p$	${\ell }^q$	Predloga:Yes	Predloga:Yes	$\Vert x{\Vert }_p$	$={(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}$
${\ell }^1$	${\ell }^{\mathrm{\infty }}$	Predloga:No	Predloga:Yes	$\Vert x{\Vert }_1$	$=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\left|x_i\right|$
${\ell }^{\mathrm{\infty }}$	$\mathrm{ba}$	Predloga:No	Predloga:No	$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$	$=\sup {\mathrm{\backslash nolimits}}_i\left|x_i\right|$
$\mathrm{c}$	${\ell }^1$	Predloga:No	Predloga:No	$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$	$=\sup {\mathrm{\backslash nolimits}}_i\left|x_i\right|$
$c_0$	${\ell }^1$	Predloga:No	Predloga:No	$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$	$=\sup {\mathrm{\backslash nolimits}}_i\left|x_i\right|$	izomorfen vendar ne izometričen $c$
$\mathrm{bv}$	${\ell }^{\mathrm{\infty }}$	Predloga:No	Predloga:Yes	$\Vert x{\Vert }_{bv}$	$=\left|x_1\right|+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_{i+1}-x_i|$	izometrično izomorfen ${\ell }^1$
${\mathrm{bv}}_0$	${\ell }^{\mathrm{\infty }}$	Predloga:No	Predloga:Yes	$\Vert x{\Vert }_{b{v}_0}$	$=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_{i+1}-x_i|$	izometrično izomorfen ${\ell }^1$
$\mathrm{bs}$	$\mathrm{ba}$	Predloga:No	Predloga:No	$\Vert x{\Vert }_{bs}$	$=\sup {\mathrm{\backslash nolimits}}_n\left|\sum _{i=1}^n{x}_i\right|$	izometrično izomorfen ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$
$\mathrm{cs}$	${\ell }^1$	Predloga:No	Predloga:No	$\Vert x{\Vert }_{bs}$	$=\sup {\mathrm{\backslash nolimits}}_n\left|\sum _{i=1}^n{x}_i\right|$	izometrično izomorfen $c$
$B(K,\mathrm{\Xi })$	$\mathrm{ba}(\mathrm{\Xi })$	Predloga:No	Predloga:No	$\Vert f{\Vert }_B$	$=\sup {\mathrm{\backslash nolimits}}_{k\in K}|f(k)|$
$C(K)$	$\mathrm{rca}(K)$	Predloga:No	Predloga:No	$\Vert x{\Vert }_{C(K)}$	$=\max {\mathrm{\backslash nolimits}}_{k\in K}|f(k)|$
$\mathrm{ba}(\mathrm{\Xi })$	?	Predloga:No	Predloga:Yes	$\Vert \mu {\Vert }_{ba}$	$=\sup {\mathrm{\backslash nolimits}}_{S\in \mathrm{\Sigma }}|\mu |(S)$
$\mathrm{ca}(\mathrm{\Sigma })$	?	Predloga:No	Predloga:Yes	$\Vert \mu {\Vert }_{ba}$	$=\sup {\mathrm{\backslash nolimits}}_{S\in \mathrm{\Sigma }}|\mu |(S)$	zaprti podprostor $\mathrm{ba}(\mathrm{\Sigma })$
$\mathrm{rca}(\mathrm{\Sigma })$	?	Predloga:No	Predloga:Yes	$\Vert \mu {\Vert }_{ba}$	$=\sup {\mathrm{\backslash nolimits}}_{S\in \mathrm{\Sigma }}|\mu |(S)$	zaprti podprostor $\mathrm{ca}(\mathrm{\Sigma })$
$L^p(\mu )$	$L^q(\mu )$	Predloga:Yes	Predloga:Yes	$\Vert f{\Vert }_p$	$={(\int |f{|}^{p}d\mu )}^{\frac{1}{p}}$
$L^1(\mu )$	$L^{\mathrm{\infty }}(\mu )$	Predloga:No	Predloga:Yes	$\Vert f{\Vert }_1$	$=\int |f|d\mu$	dual je $L^{\mathrm{\infty }}(\mu )$, če je $\mu$ $\sigma$-končna
$\mathrm{BV}([a,b])$	?	Predloga:No	Predloga:Yes	$\Vert f{\Vert }_{BV}$	$=V_f([a,b])+\lim {\mathrm{\backslash nolimits}}_{x\to a^{+}}f(x)$	$V_f([a,b])$ je totalna variacija od $f$
$\mathrm{NBV}([a,b])$	?	Predloga:No	Predloga:Yes	$\Vert f{\Vert }_{BV}$	$=V_f([a,b])$	$\mathrm{NBV}([a,b])$ sestavljajo takšne funkcije $\mathrm{BV}([a,b])$, da je $\lim {\mathrm{\backslash nolimits}}_{x\to a^{+}}f(x)=0$
$\mathrm{AC}([a,b])$	$𝔽+L^{\mathrm{\infty }}([a,b])$	Predloga:No	Predloga:Yes	$\Vert f{\Vert }_{BV}$	$=V_f([a,b])+\lim {\mathrm{\backslash nolimits}}_{x\to a^{+}}f(x)$	izomorfen prostoru Soboljeva $W^{1,1}([a,b])$
$C^n([a,b])$	$\mathrm{rca}([a,b])$	Predloga:No	Predloga:No	$\Vert f\Vert$	$=\sum _{i=0}^n\sup {\mathrm{\backslash nolimits}}_{x\in [a,b]}|f^{(i)}(x)|$	izomorfen ${ℝ}^n\oplus C([a,b])$ v bistvu po Taylorjevem izreku

Odvodi

Na Banachovem prostoru je mogoče definirati več konceptov odvoda. Za podrobnosti glej članka o Fréchetovem odvodu in Gateauxjevem odvodu. Fréchetov odvod omogoča razširitev koncepta totalnega odvoda na Banachove prostore. Gateauxjev odvod omogoča razširitev smernega odvoda na krajevno konveksne topološke vektorske prostore. Fréchetova diferenciabilnost je močnejši pogoj kot Gateauxjeva diferenciabilnost. Kvaziodvod je še ena posplošitev smernega odvoda, ki implicira močnejši pogoj kot Gateauxjeva diferenciabilnost, a šibkejši pogoj kot Fréchetova diferenciabilnost.

Posplošitve

Več pomembnih prostorov v funkcionalni analizi, na primer prostor vseh neskončno pogosto diferenciabilnih funkcij $ℝ\to ℝ,$ ali prostor vseh porazdelitev na $ℝ,$ sta polna, vendar nista normirana vektorska prostora in zato nista Banachova prostora. V Fréchetovem prostoru je še vedno polna metrika, medtem ko so LF-prostori polni uniformni vektorski prostori, ki nastanejo kot limite Fréchetovih prostorov.

Glej tudi

• Predloga:Annotated link
  • Predloga:Annotated link
  • Predloga:Annotated link
  • Predloga:Annotated link
  • Predloga:Annotated link
  • Predloga:Annotated link
  • Predloga:Annotated link
  • Predloga:Annotated link
  • Predloga:Annotated link
  • Predloga:Annotated link
• Predloga:Annotated link
• Predloga:Annotated link
  • Predloga:Annotated link
• Predloga:Annotated link
• Predloga:Annotated link
• Predloga:Annotated link
• Predloga:Annotated link
• Predloga:Annotated link
• Predloga:Annotated link
• Predloga:Annotated link

Viri

• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat

Zunanje povezave

• Predloga:Springer
• Predloga:MathWorld Predloga:V jeziku