Ogled vira Centralni moment

'''Centralni moment''' k-tega reda [[realna števila|realne]] [[slučajna spremenljivka|slučajne spremenljivke]] X za [[srednja vrednost|srednjo vrednost]] je v [[verjetnostni račun|teoriji verjetnosti]] in [[statistika|statistiki]] [[moment (matematika)|moment]], ki je enak </br> 
:<math> \mu_k = E \left[ ( X - E[X] )^k \right] </math>

kjer je 
* E [[operator]] [[pričakovana vrednost|pričakovane vrednosti]] slučajne spremenljivke.

Pri slučajnih spremenljivkah, ki nimajo določene srednje vrednosti, centralni moment ni določljiv. Za [[zvezna porazdelitev|zvezne]] [[univarianta|univariantne]] [[verjetnostna porazdelitev|verjetnostne porazdelitve]] s [[funkcija gostote verjetnosti|funkcijo gostote verjetnosti]] f(x), je moment za srednjo vrednost enak
:<math> \mu_k = E \left[ ( X - E[X] )^k \right]  = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^k f(x)\,dx. </math>
Za slučajne spremenljivke, ki nimajo srednje vrednosti (primer [[Caushyjeva porazdelitev]]), centralnega momenta ni možno določiti. 
 
Za diskretno spremenljivko je odgovarjajoči obrazec enak 
:<math>\mu_k = \sum_{i = 0}^m (x_i-\mu_k)^k p_x(x_i)</math>
kjer je 
* <math> \mu \!</math> pričakovana vrednost (srednja vrednost)
* <math> f(x) \!</math> verjetnostna porazdelitev.

Nekaj prvih centralnih momentov je tudi razumljivih in splošno uporabljanih
* ničelni (reda nič) centralni moment (µ<sub>0</sub>) je 1
* prvi centralni moment (µ<sub>1</sub>) je 0
* drugi centralni moment (µ<sub>2</sub>) se imenuje [[varianca]], ki se označuje z &sigma;<sup>2</sup>, kjer je &sigma; [[standardni odklon]]
* tretji centralni moment (µ<sub>3</sub>) se uporablja za definicijo [[standardizirani moment|standardiziranih momentov]], ki se uporabljajo za definicijo [[koeficient simetrije|koeficienta simetrije]] 
* četrti centralni moment (µ<sub>4</sub>) se uporablja za definicijo [[sploščenost]]i.

== Lastnosti ==
* n-ti centralni moment je invarianta za premik (translacijo)
:<math>\mu_n(X+c)=\mu_n(X).\,</math>
* Za vse n je centralni moment [[homogeni polinom|homogen]] stopnje n
:<math>\mu_n(cX)=c^n\mu_n(X).\,</math>
* za vse n &nbsp;&le;&nbsp;3
:<math>\mu_n(X+Y)=\mu_n(X)+\mu_n(Y)\ \mathrm{za}\ n\leq 3.\,</math>

== Moment glede na izhodišče ==
Včasih je bolj ugodno, da določamo moment glede na izhodišče in ne glede na srednjo vrednost. Splošna formula za pretvorbo n-tega momenta glede na izhodišče v moment glede na srednjo vrednost je
:<math>
\mu_n = \sum_{j=0}^n {n \choose j} (-1) ^{n-j} \mu'_j \mu^{n-j},
</math>

kjer je
* μ srednja vrednost porazdelitve
Moment glede na izhodišče pa je podan z

:<math>
\mu'_j = \int_{-\infty}^{+\infty} x^j f(x)\,dx.
</math>

Za primere, ko je ''n'' = 2, 3, 4 , ki so najbolj zanimivi, ker so povezani z [[varianca|varianco]], [[koeficient simetrije|koeficientom simetrije]] in [[sploščenost|sploščenostjo]] dobimo:

:<math>\mu_2 = \mu'_2 - \mu^2\,</math>

:<math>\mu_3 = \mu'_3 - 3 \mu \mu'_2 + 2 \mu^3\,</math>

:<math>\mu_4 = \mu'_4 - 4 \mu \mu'_3 + 6 \mu^2 \mu'_2 - 3 \mu^4.\,</math>.

== Glej tudi ==
* [[standardizirani moment]]

[[Kategorija:Statistika]]
[[Kategorija:Verjetnostne porazdelitve]]

[[fr:Moment (mathématiques)#Moment centré]]