Centralni moment

Centralni moment k-tega reda realne slučajne spremenljivke X za srednjo vrednost je v teoriji verjetnosti in statistiki moment, ki je enak

${\mu }_k=E[(X-E[X]{)}^k]$

kjer je

• E operator pričakovane vrednosti slučajne spremenljivke.

Pri slučajnih spremenljivkah, ki nimajo določene srednje vrednosti, centralni moment ni določljiv. Za zvezne univariantne verjetnostne porazdelitve s funkcijo gostote verjetnosti f(x), je moment za srednjo vrednost enak

${\mu }_k=E[(X-E[X]{)}^k]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\mu {)}^{k}f(x)dx.$

Za slučajne spremenljivke, ki nimajo srednje vrednosti (primer Caushyjeva porazdelitev), centralnega momenta ni možno določiti.

Za diskretno spremenljivko je odgovarjajoči obrazec enak

${\mu }_k=\sum _{i=0}^m(x_i-{\mu }_k{)}^k{p}_x(x_i)$

kjer je

• $\mu$ pričakovana vrednost (srednja vrednost)
• $f(x)$ verjetnostna porazdelitev.

Nekaj prvih centralnih momentov je tudi razumljivih in splošno uporabljanih

• ničelni (reda nič) centralni moment (µ₀) je 1
• prvi centralni moment (µ₁) je 0
• drugi centralni moment (µ₂) se imenuje varianca, ki se označuje z σ², kjer je σ standardni odklon
• tretji centralni moment (µ₃) se uporablja za definicijo standardiziranih momentov, ki se uporabljajo za definicijo koeficienta simetrije
• četrti centralni moment (µ₄) se uporablja za definicijo sploščenosti.

Lastnosti

• n-ti centralni moment je invarianta za premik (translacijo)

${\mu }_n(X+c)={\mu }_n(X).$

• Za vse n je centralni moment homogen stopnje n

${\mu }_n(cX)=c^n{\mu }_n(X).$

• za vse n  ≤ 3

${\mu }_n(X+Y)={\mu }_n(X)+{\mu }_n(Y)\mathrm{z}\mathrm{a}n\le 3.$

Moment glede na izhodišče

Včasih je bolj ugodno, da določamo moment glede na izhodišče in ne glede na srednjo vrednost. Splošna formula za pretvorbo n-tega momenta glede na izhodišče v moment glede na srednjo vrednost je

${\mu }_n=\sum _{j=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})(-1{)}^{n-j}\mu {\text{'}}_j{\mu }^{n-j},$

kjer je

• μ srednja vrednost porazdelitve

Moment glede na izhodišče pa je podan z

$\mu {\text{'}}_j=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{j}f(x)dx.$

Za primere, ko je n = 2, 3, 4 , ki so najbolj zanimivi, ker so povezani z varianco, koeficientom simetrije in sploščenostjo dobimo:

${\mu }_2=\mu {\text{'}}_2-{\mu }^2$

${\mu }_3=\mu {\text{'}}_3-3\mu \mu {\text{'}}_2+2{\mu }^3$

${\mu }_4=\mu {\text{'}}_4-4\mu \mu {\text{'}}_3+6{\mu }^2\mu {\text{'}}_2-3{\mu }^4.$.

Glej tudi

• standardizirani moment