Ogled vira Dirichletova funkcija eta

[[Slika:DirichletEta.png|thumb|right|250px|[[barva|Barvna]] predstavitev Dirichletove funkcije <math>\eta (s)\, </math> v [[kompleksna ravnina|kompleksni ravnini]]. Barva [[Točka (geometrija)|točke]] <math>s\, </math> odkriva vrednost funkcije <math>\eta (s)\, </math>. Temnejše barve označujejo vrednosti blizu [[0|nič]], odtenek pa [[argument (kompleksna analiza)|argument]] vrednosti. Ustvarjena je s tiskalniško knjižnico [[matplotlib]] z različico metode [[domensko barvanje|domenskega barvanja]].<ref>{{navedi splet|url= http://nbviewer.ipython.org/github/empet/Math/blob/master/DomainColoring.ipynb|title= Visualizing complex-valued functions with Matplotlib and Mayavi|date= |accessdate= 2015-07-04|language= en}}</ref>]]

'''Dirichletova funkcija eta''' (običajna označba <math>\eta (s)\, </math>) je v [[matematika|matematiki]] in še posebej v [[analitična teorija števil|analitični teoriji števil]] [[specialna funkcija]] definirana kot [[Dirichletova vrsta]], ki [[konvergentna vrsta|konvergira]] za vsako [[kompleksno število]] z [[realni del|realnim delom]] večjim od [[0]]:

: <math>\eta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{s}} = \frac{1}{1^{s}} - \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} - \frac{1}{4^{s}} + \cdots, \qquad (\Re (s) > 0). \!\, </math>

Imenuje se po nemškem matematiku [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Petru Gustavu Lejeuneu Dirichletu]]. Ta Dirichletova vrsta je alternirajoča vsota, ki odgovarja razvoju [[Riemannova funkcija zeta|Riemannove funkcije ζ(''s'')]] v Dirichletovo vrsto. Zaradi tega je Dirichletova funkcija η znana tudi kot '''alternirajoča funkcija zeta''', označena tudi kot <math>\zeta_{*}(s)\,</math>.<ref>{{sktxt|Sondow|2012}}.</ref> Velja naslednja preprosta zveza:

: <math> \eta (s) = \left( 1 - \frac{2}{2^{s}} \right) \zeta (s) = \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right) \zeta (s) = \left(1-2^{1-s} \right) \zeta (s) \!\, . </math>

Čeprav razvoj Dirichletove funkcije η v Dirichletovo vrsto konvergira le za vsako kompleksno število ''s'' z realnim delom večjim od 0, njegova [[divergentna vrsta|Abelova vsota]] obstaja za poljubno kompleksno število. Zaradi tega se lahko Dirichletova funkcija η definira kot [[cela funkcija]]. Zgornja zveza tako kaže, da je Riemannova funkcija ζ [[meromorfna funkcija|meromorfna]] z enostavnim [[pol (kompleksna analiza)|polom]] v točki ''s'' = 1 in morda v polih v drugih [[ničla funkcije|ničlah]] s faktorjem <math>1-2^{1-s}\, </math>.

Enakovredno se lahko definira:

: <math> \eta (s) = \frac{1}{\Gamma (s)}\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x+1} \mathrm{d} x \!\, , </math>

kjer je Γ(''s'') [[funkcija gama|funkcija  Γ]]. Tako določena funkcija je definirana tudi v območju pozitivnega realnega dela. To da Dirichletovo funkcijo η kot [[Mellinova transformacija]].

[[Godfrey Harold Hardy|Hardy]] je dal preprost [[matematični dokaz|dokaz]] [[funkcijska enačba|funkcijske enačbe]] za Dirichletovo funkcijo η:

: <math> \eta (-s) = 2 \frac{1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}} \pi^{-s-1} s \sin\left( \frac{\pi s}{2} \right) \Gamma (s) \eta (s+1) \!\, . </math>

Od tod neposredno izhaja tudi funkcijska enačba za Riemannovo funkcijo ζ, kakor tudi drug način za razširitev definicije Dirichletove funkcije η na celotno [[kompleksna avnina|kompleksno ravnino]].

== Eulerjev produkt za Dirichletovo funkcijo η ==

Pomembnost Dirichletove funkcije η v [[teorija števil|teoriji števil]] je podobno kot Riemannove funkcije ζ v njeni povezanosti s [[praštevilo|praštevili]], ki jo za <math>\Re (s) > 1\, </math> podaja [[neskončni produkt|neskončni]] [[Eulerjev produkt]]:

: <math> \eta (s) = \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right) \prod_{p \in \mathbb{P}} \frac{1}{1 - \frac{1}{p^s}} = \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right) \frac{1}{(1-\frac{1}{2^s})(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{5^s})\cdots} \!\, . </math>

== Ničle Dirichletove funkcije η ==

[[ničla (kompleksna analiza)|Ničle]] Dirichletove funkcije η vsebujejo vse ničle Riemannove funkcije ζ: za neskončno mnogo negativnih sodih [[celo število|celih števil]] ([[realno število|realne]] enako oddaljene enostavne (trivialne) ničle); neskončno mnogo ničel vzdolž [[kritična premica|kritične premice]], od katerih je znano, da ni nobena mnogokratna, in več kot 40 %, za katere se je dokazalo, da so enostavne, in domnevne ničle na kritičnem traku in ne tudi na kritični premici. Če zadnje obstajajo, morajo ležati na ogliščih pravokotnikov simetrično okrog osi ''x'' in kritične premice, njihova multiplikativnost pa ni znana. Poleg tega faktor <math>1-2^{1-s}\, </math> doda neskončno mnogo kompleksni enostavnih ničel, ki ležijo na enako oddaljenih točkah na premici <math>\Re(s)=1\, </math>, v <math>s_n=1+2n\pi i/\ln 2\, </math>, kjer je ''n'' [[neničelno število|neničelno]] celo število.

Po [[Riemannova domneva|Riemannovi domnevi]] naj bi ničle Dirichletove funkcije η ležale simetrično glede na realno os na dveh vzporednih premicah <math>\Re(s)=1/2, \Re(s)=1\, </math>, in na pravokotnem [[poltrak]]u, ki ga tvori negativna realna os.

== Landauov problem z ζ(''s'') = η(''s'')/0 in rešitve ==

V enačbi η(''s'')&nbsp;=&nbsp;(1&minus;2<sup>1&minus;''s''</sup>)&nbsp;ζ(''s'') se »pol funkcije ζ(''s'') v točki ''s''&nbsp;=&nbsp;1 izniči z ničlo drugega faktorja,«<ref>{{sktxt|Titchmarsh|1986|pp=17}}.</ref> tako, da vrednost η(1) ni niti [[neskončnost|neskončna]] niti enaka 0. Vendar mora v enačbi:

: <math> \zeta (s)=\frac{\eta (s)}{1-2^{1-s}} \!\, , </math>

funkcija η biti enaka 0 v vseh točkah <math>s_n = 1+n\frac{2\pi}{\ln{2}}i, n\ne0, n \in Z\, </math>, kjer je [[števec]] enak 0, če je Riemannova funkcija ζ tam [[analitična funkcija|analitična]] in končna. Na problem dokazovanja tega brez vnaprejšnje definicije Riemannove funkcije ζ je opozoril [[Edmund Landau|Landau]] v svoji razpravi o teoriji ševil iz leta 1909: »Ali je vrsta η različna od 0 ali ne v točkah <math>s_n \ne 1\, </math>, oziroma ali so to poli ali ne, tukaj ni takoj razvidno.«<ref>{{sktxt|Landau|1909|pp=160}}.</ref>

Prvo rešitev Landauovega problema je skoraj 40 let kasneje objavil [[David Vernon Widder|Widder]] v svoji knjigi ''The Laplace Transform''.<ref>{{sktxt|Widder|1946|pp=230}}.</ref> Uporabil je naslednje praštevilo 3 namesto 2 za definicijo Dirichletove vrste, ki je podobna funkciji η. Tako definirana funkcija se imenuje funkcija <math>\lambda\, </math> in je definirana za <math>\Re(s)>0\, </math> z nekaterimi ničlami tudi na <math>\Re(s)=1\, </math>, vendar te niso enake kot tiste pri funkciji η.
{{hidden begin|titlestyle = background:palegreen;|
title=Posredni dokaz za funkcijo η(''s''<sub>''n''</sub>) = 0 po Widdru}}

: <math> \begin{align}
\lambda (s)=(1-\frac{3}{3^s})\zeta (s) =
(1+\frac{1}{2^s})-\frac{2}{3^s}+(\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s})-\frac{2}{6^s}+\ldots
\end{align} </math>

Če je <math>s\, </math> realen in strogo pozitiven, vrsta konvergira, ker se predznak skupaj zloženih členov zaporedoma spreminja, njihova absolutna vrednost pa pada proti 0. Po izreku o enakomerni konvergenci Dirichletove vrste, ki ga je prvi dokazal [[ Eugène Cahen|Cahen]] leta 1894, je funkcija <math>\lambda(s)\, </math> potem analitična za <math>\Re(s)>0\, </math>, območje, ki vključuje premico <math>Re(s)=1\, </math>. Sedaj se lahko ustrezno definira kjer števci niso enaki 0:

: <math> \zeta (s) = \frac{\eta (s)}{1-\frac{2}{2^{s}}} \!\, , </math>

ali:

: <math> \zeta (s) = \frac{\lambda (s)}{1-\frac{3}{3^{s}}} \!\, . </math>

Ker je <math>\frac{\ln 3}{\ln 2}\, </math> [[iracionalno število]], števci v obeh definicijah istočasno niso enaki 0 razen za <math>s=1\, </math>, in je tako funkcija <math>\zeta(s)\, </math> dobro definirana in anaalitična za <math>\Re(s)>0\, </math> razen v točki <math>s=1\, </math>. Končno se posredno dobi, da je <math>\eta(s_n)=0\, </math> kadar je <math>s_n \ne 1\, </math>:

: <math> \eta (s_{n}) = (1-\frac{2}{2^{s_{n}}})\zeta (s_{n})
          = \frac{1-\frac{2}{2^{s_{n}}}}{1-\frac{3}{3^{s_{n}}}} \lambda(s_{n}) = 0 \!\, . </math>
{{hidden end}}

Elementarni in od <math>\zeta\, </math> neodvisni dokaz za ničelnost funkcije η v <math>s_n \ne 1\, </math> je objavil [[Jonathan Sondow|Sondow]] leta 2003.<ref>{{sktxt|Sondow|2003}}.</ref> Izraža vrednost funkcije η kot limito posebnih Riemannovih vsot povezanih z integralom, za katerega se ve, da je enak 0, z zvezo med delnimi vsotami Dirichletove vrste, ki določajo funkciji η in ζ za <math>\Re(s)>1\, </math>.

{{hidden begin|titlestyle = background:palegreen;|
title=Neposredni dokaz za funkcijo η(''s''<sub>''n''</sub>) = 0 po Sondowu}}
Z enostavno algebro na končnih vsotah se lahko za poljubni kompleksni ''s'' zapiše:

: <math> \eta_{2n} (s)
     =  \sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k-1}}{k^{s}}
     =   1-\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}-\frac{1}{4^{s}}+\ldots+\frac{(-1)^{2n-1}}{{(2n)}^{s}}
     =   1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\ldots+\frac{1}{{(2n)}^{s}}
      - 2(\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\ldots+\frac{1}{{(2n)}^{s}}) \!\, </math>

: <math>  =   (1-\frac{2}{2^{s}})\zeta_{2n} (s) + \frac{2}{2^{s}}(\frac{1}{{(n+1)}^{s}}+\ldots+\frac{1}{{(2n)}^{s}})
 =   (1-\frac{2}{2^{s}})\zeta_{2n} (s) + \frac{2n}{{(2n)}^{s}}\,\frac{1}{n}\,(\frac{1}{{(1+1/n)}^{s}}+
                  \ldots + \frac{1}{{(1+n/n)}^{s}}) \!\, . </math>

Če je sedaj <math>s=1+it\, </math> in <math>2^s=2\, </math>, je faktor, ki množi funkcijo <math>\zeta_{2n} (s)\, </math>, enak 0, in velja:

: <math> \eta_{2n} (s) = \frac{1}{n^{it}} R_{n} (\frac{1}{{(1+x)}^{s}},0,1) \!\, , </math>

kjer Rn(''f''(''x''),''a'',''b'') označuje posebno Riemannovo vsoto, ki aproksimira integral funkcije ''f''(''x'') čez [''a'',''b''].
Za ''t''&nbsp;=&nbsp;0, oziroma ''s''&nbsp;=&nbsp;1, velja:

: <math> \eta (1) = \lim_{n\to\infty} \eta_{2n} (1) = \lim_{n\to\infty} R_{n}(\frac{1}{1+x},0,1) = \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{1+x} = \ln 2 \ne 0 \!\, . </math>

Drugače, če je <math>t \ne 0\, </math>, potem velja <math>|n^{1-s}|=|n^{-it}|=1\, </math>, od koder sledi:

: <math> |\eta (s)| = \lim_{n\to\infty} |\eta_{2n} (s)| = \lim_{n\to\infty} |R_{n}(\frac{1}{{(1+x)}^{s}},0,1)|
   =  |\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{{(1+x)}^{s}}| = |\frac{2^{1-s}-1}{1-s}| = |\frac{1-1}{-it}| = 0 \!\, . </math>
{{hidden end}}

Če se privzame <math>\eta (s_{n})=0\, </math> za vsako točko <math>s_{n} \ne 1\, </math>, kjer je <math>2^{s_{n}}=2\, </math>, se lahko sedaj definira funkcija <math>\zeta (s_{n})\,</math> z zveznosjo kot sledi:

: <math> \zeta (s_{n}) = \lim_{s\to s_{n}}\frac{\eta (s)}{1-\frac{2}{2^{s}}}
 = \lim_{s\to s_{n}}\frac{\eta (s)-\eta (s_{n})}{\frac{2}{2^{s_{n}}}-\frac{2}{2^{s}}}
 = \lim_{s\to s_{n}}\frac{\eta (s)-\eta (s_{n})}{s-s_{n}}\,\frac{s-s_{n}}{\frac{2}{2^{s_{n}}}-\frac{2}{2^{s}}}
 = \frac{\eta' (s_{n})}{\ln 2} \!\, . </math>

Navidezna [[matematična singularnost|singularnost]] funkcije ζ v <math>s_{n} \ne 1\, </math> je sedaj odstranjena, dokazano pa je, da je funkcija ζ analitična povsod v <math>\Re (s) > 0\, </math>, razen v točki <math>s=1\, </math>, kjer je:

: <math> \lim_{s\to1} (s-1)\zeta (s) = \lim_{s\to 1} \frac{\eta (s)}{\frac{1-2^{1-s}}{s-1}}
 = \frac{\eta (1)}{\ln 2} = 1 \!\, . </math>

== Integralski izrazi ==

Navede se lahko več [[integral]]skih formul, ki vsebujejo funkcijo η. Prva sledi iz spremembe spremenljivke integralske reprezentacije funkcije Γ<ref>{{sktxt|Abel|1823}}.</ref>, kar da Mellinovo transformacijo, ki se lahko izrazi na različne načine kot dvojni inegral.<ref>{{sktxt|Sondow|2005|loc=formula 18}}.</ref>. To velja za <math>\Re(s) > 0\, </math>:

: <math> \begin{align}
\Gamma(s)\eta (s) & = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s-1}}{e^{x}+1} \, \mathrm{d} x
= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{x} \frac{x^{s-2}}{e^{x}+1} \, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} x \\[8pt]
& =\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \frac{(t+r)^{s-2}}{e^{t+r}+1}{\mathrm{d} r} \, \mathrm{d} t
= \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{(-\ln(x y))^{s-2}}{1 + x y} \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \!\, . \end{align} </math>

Cauchy-Schlömilchova transformacija<ref>{{sktxt|Amdeberhan|Glasser|Jones|Moll|2010|pp=12}}.</ref> se lahko uporabi za dokaz te druge reprezentacije, veljavne za <math>\Re (s) > -1\, </math>. [[Integracija po delih]] prvega integrala zgoraj v tem razdelku da drugo izpeljavo:

: <math> 2^{1-s}\,\Gamma (s+1)\,\eta (s) = 2 \int_0^\infty \frac{x^{2s+1}}{\cosh^2(x^2)} \, \mathrm{d} x
= \int_{0}^{\infty} \frac{t^{s}}{\cosh^{2}(t)} \, \mathrm{d} t \!\, . </math>

Naslednja formula po Lindelöfu iz leta 1905<ref>{{sktxt|Lindelöf|1905|pp=103}}.</ref> velja za celotno kompleksno ravnino, kjer je glavna vrednost vzeta za logaritem implicitno v eksponentu:

: <math> \eta (s) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{(1/2 + i t)^{-s}}{e^{\pi t}+e^{-\pi t}} \, \mathrm{d} t \!\, . </math>

To odgovarja Jensenovi formuli iz leta 1895<ref name="jensen_1895">{{sktxt|Jensen|1895|pp=346}}.</ref> za celo funkcijo <math>(s-1)\,\zeta (s)\, </math>, veljavno na celotni kompleksni ravnini, kar je tudi dokazal Lindelöf:

: <math> (s-1) \zeta (s) = 2\pi\,\int_{-\infty}^{\infty} \frac{(1/2 + i t)^{1-s}}{(e^{\pi t}+e^{-\pi t})^2} \, \mathrm{d} t \!\, . </math>

Jensen je zapisal: »Ta formula, enkratna po svoji preprostosti, se lahko dokaže enostavno s pomočjo Cauchyjevega izreka, tako pomembnega za seštevanje vsot.«<ref name="jensen_1895" /> Podobno s pretvorbo integracijske poti na konturne integrale se lahko dobi druge formule za funkcijo η, kot je na primer naslednja posplošitev,<ref name="milgram_2013">{{sktxt|Milgram|2013}}.</ref> veljavna za <math>0 < c < 1\, </math> in vse  <math>s\, </math> :

: <math> \eta (s) = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{(c + i t)^{-s}}{\sin{(\pi(c+i t))}} \, \mathrm{d} t \!\, . </math>

Ničle negativne realne osi se izničijo, ko gre <math>c\to 0^+\, </math><ref name="milgram_2013" />, in se dobi formula, veljavna za <math>\Re(s)\, < 0</math> :

: <math> \eta (s) = - \sin\left(\frac{s\pi}{2}\right) \int_{0}^{\infty} \frac{t^{-s}}{\sinh{(\pi t)}} \, \mathrm{d} t \!\, . </math>

== Numerični algoritmi ==

Večina tehnik [[pospeševanje konvergence|pospeševanja konvergence]] vrst razvitih za [[alternirajoča vrsta|alternirajoče vrste]], se lahko učinkovito uporabi pri računanju Dirichletove funkcije η. Ena še posebej enostavna, vendar smiselna metoda je uporaba [[Eulerjeva tansformacija|Eulerjeve transformcije]] za alternirajoče vrste, ki da:

: <math> \eta (s) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}} \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} {n \choose k} \frac {1}{(k+1)^{s}} \!\, . </math>

Druga notranja vsota je [[končna razlika|vnaprejšnja razlika]].

=== Borweinova metoda ===

[[Peter Borwein|Borwein]] je uporabil približke s pomočjo [[polinomi Čebišova|polinomov Čebišova]] in razdelal metodo z učinkovito računanje Dirichletove funkcije η. Če je:

: <math> d_{k} = n\sum_{i=0}^{k} \frac{(n+i-1)!4^{i}}{(n-i)!(2i)!} \!\, </math>

potem je:

: <math> \eta (s) = -\frac{1}{d_{n}} \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^{k}(d_{k}-d_{n})}{(k+1)^{s}}+\gamma_{n} (s) \!\, , </math>

kjer je za <math>\Re (s) \ge \frac{1}{2}\, </math> člen napake γ<sub>n</sub> omejen z:

: <math> |\gamma_{n} (s)| \le \frac{3}{(3+\sqrt{8})^{n}} (1+2|\Im (s)|)\exp(\frac{\pi}{2}|\Im (s)|) \!\, . </math>

Faktor <math>3+\sqrt{8}\approx 5,8\, </math> v meji napake nakazuje, da Borweinova vrsta konvergira precej hitro, ko se ''n'' povečuje.

== Značilnosti ==

Dirichletova funkcija <math>\eta\, </math> je povezana z Riemannovo funkcijo ζ in [[Dirichletova funkcija lambda|Dirichletovo funkcijo λ]] kot:

: <math> \frac{\eta (s)}{2^{s} -2} = \frac{\zeta (s)}{2^{s}} = \frac{\lambda (s)}{2^{s}-1} \!\, </math>

in:

: <math> \eta (s) = \zeta (s) - 2 \lambda (s) \!\, . </math>

=== Posebne vrednosti ===

: <math> \eta (-1) = \frac{1}{4} = 0,25 \!\, , </math> Abelova vsota vrste [[1 − 2 + 3 − 4 + ···]].
: <math> \eta (0) = \frac{1}{2} = 0,5 \!\, , </math> Abelova vsota [[Grandijeva vrsta|Grandijeve vrste 1 − 1 + 1 − 1 + ···]].
: za celo število ''n'' > 1, če je ''B''<sub>''n''</sub> ''n''-to [[Bernoullijevo število]], potem velja zveza:
:: <math> \eta (1-n) = \frac{2^{n}-1}{n} B_{n} \, . </math>

In še nekatere vrednosti:

: <math> \eta (1/2) = - \left( \sqrt{2} - 1 \right) \zeta(1/2) = 0,604898643421 \ldots \!\, , </math> {{OEIS|id=A113024}}.
: <math> \eta (1) = \ln 2 = 0,693147180559 \ldots \!\, , </math> [[alternirajoča harmonična vrsta|alternirajoča harmonična vrsta 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ···]] {{OEIS|id=A002162}}.
: <math> \eta (3/2) = - \frac{1}{2} \left( \sqrt{2} - 2 \right) \zeta(3/2) = 0,765147024625 \ldots \!\, . </math>
: <math> \eta (2)  = \frac{\pi^{2}}{12} = 0,822467033424 \ldots \!\, , </math> {{OEIS|id=A072691}}.
: <math> \eta (5/2) = - \frac{1}{4} \left( \sqrt{2} - 4 \right) \zeta(5/2) = 0,867199889012 \ldots \!\, . </math>
: <math> \eta (3)  = \frac{3}{4} \zeta(3) = 0,901542677369 \ldots \!\, , </math> {{OEIS|id=A197070}}.
: <math> \eta (7/2) = - \frac{1}{8} \left( \sqrt{2} - 8 \right) \zeta(7/2) = 0,927553577773 \ldots \!\, . </math>
: <math> \eta (4)  = \frac{7\pi^{4}}{720} = 0,947032829497 \ldots \!\, . </math>
: <math> \eta (5)  = \frac{15}{16} \zeta(5) = 0,972119770446 \ldots \!\, . </math>
: <math> \eta (6)  = \frac{31\pi^{6}}{30240} = 0,985551091297 \ldots \!\, . </math>
: <math> \eta (7)  = \frac{63}{64} \zeta(7) = 0,992593819922 \ldots \!\, . </math>
: <math> \eta (8)  = \frac{127\pi^{8}}{1209600} = 0,996233001852 \ldots \!\, .  </math>
: <math> \eta (9)  = \frac{255}{256} \zeta(9) = 0,998094297541 \ldots \!\, . </math>
: <math> \eta (10) = \frac{73\pi^{10}}{6842880} = 0,999039507598 \ldots \!\, . </math>
: <math> \eta (11) = \frac{1023}{1024} \zeta(11) = 0,999517143498 \ldots \!\, . </math>
: <math> \eta (12) = \frac{1414477\pi^{12}}{1307674368000} = 0,999757685143 \ldots \!\, . </math>

Splošna oblika za soda pozitivna cela števila je:

: <math> \eta (2n) = (-1)^{n+1} \frac{B_{2n}\pi^{2n}(2^{2n-1} - 1)} {(2n)!} \!\, . </math>

Za liha pozitivna cela števila velja zveza :

: <math> \eta (2n+1) = \left(1 - \frac{1}{2^{2n}} \right) \zeta(2n+1), \qquad (n \ge 1) \!\, . </math>

== Odvajanje ==

[[Odvod]] po parametru ''s'' je za <math>s \ne 1\, </math> dan v splošnem:

: <math> \eta' (s) \equiv \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \eta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\ln n}{n^{s}} = 2^{1-s}\ln (2) \zeta (s)+(1-2^{1-s}) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \zeta (s) \!\, , </math>

in posebej:

: <math> \eta' (1) \equiv \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \eta (1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\ln n}{n} = \gamma \ln 2 - \frac{1}{2} \ln(2)^{2} = 0,159868903742 \ldots \!\, , </math> {{OEIS|id=A091812}}.

== Glej tudi ==

* [[1 − 2 + 3 − 4 + ···]]+

== Sklici ==

{{sklici|3}}

== Viri ==

{{refbegin|2}}
* {{navedi arXiv|last1= Amdeberhan|first1= T.|last2= Glasser|first2= M. L.|last3= Jones|first3= M. C.|last4= Moll|first4= V. H.|last5= Posey|first5= R.|last6= Varela|first6= D.|arxiv= 1004.2445|class= math.CA|year=2010|title= The Cauchy–Schlomilch Transformation}}
* {{citat|last1= Borwein|first1= Peter|authorlink1= Peter Borwein|url= http://www.cecm.sfu.ca/personal/pborwein/PAPERS/P155.pdf|title= An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function|journal= Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc.|date= 2000|volume= 27|issue= |pages= 29–34|accessdate= 2015-07-04|archive-date= 2011-07-26|archive-url= https://web.archive.org/web/20110726090927/http://www.cecm.sfu.ca/personal/pborwein/PAPERS/P155.pdf|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Conrey|first1= J. Brian|authorlink1= Brian Conrey|title= More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line|journal= [[Journal für die Reine und Angewandte Mathematik|J. Reine angew. Math.]]|volume= 399|year= 1989|pages= 1–16|url= http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002206781|doi= 10.1515/crll.1989.399.1|mr= 1004130}}
* {{citat|last1= Gourdon|first1= Xavier|last2= Sebah|first2= Pascal|url= http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetaevaluations.pdf|title= Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function|year= 2003|format= PDF|accessdate= 2015-07-04|language= en}}
* {{citat|last1= Jensen|first1= J. L. W. V.|journal= L'intermédiaire des Mathématiciens|volume= II|year= 1895}}
* {{citat|last1= Knopp|first1= Konrad|authorlink1= Konrad Knopp|title= Theory and Application of Infinite Series|year= 1990|origyear= 1922|publisher= Dover|isbn= 0-486-66165-2}}
* {{citat|last1= Landau|first1= Edmund|authorlink1= Edmund Landu|title= Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band|location= Berlin|date= 1909}} (Druga izdaja Chelsea, New York, 1953, str.&nbsp;160, 933)
* {{citat|last1= Lindelöf|first1= Ernst Leonard|authorlink1= Ernst Leonard Lindelöf|title= Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions|year= 1905|publisher= Gauthier-Villars}}
* {{citat|last1= Milgram|first1= Michael S.|arxiv= 1208.3429|year= 2013|title= Integral and Series Representations of Riemann’s Zeta Function, Dirichlet’s Eta Function and a Medley of Related Results|journal= Journal of Mathematics|volume= 2013|issue=|doi= 10.1155/2013/181724}}
* {{citat|last1= Sondow|first1= Jonathan|authorlink1= Jonathan Sondow|arxiv= math/0209393|title= Zeros of the Alternating Zeta Function on the Line R(s)=1|journal= Amer. Math. Monthly|date= 2003|volume= 110|issue= |pages= 435–437}}
* {{citat|last1= Sondow|first1= Jonathan|arxiv= math.CO/0211148|title= Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula|year= 2005|journal= Amer. Math. Monthly|volume= 112|issue= |pages= 61–65}}
* {{citat|last1= Sondow|first1= Jonathan|title= A Simple Counterexample to Havil's "Reformulation" of the Riemann Hypothesis|journal= Elemente der Mathematik|date= 2012|volume= 67|issue= |pages=61-67|arxiv= 0706.2840}}
* {{citat|last1= Titchmarsh|first1= Edward Charles|authorlink1= Edward Charles Titchmarsh|title= The theory of the Riemann zeta-function|publisher= The Clarendon Press Oxford University Press|edition= 2.|isbn= 978-0-19-853369-6|mr= 882550|year= 1986}}
* {{citat|last1= Widder|first1= David Vernon|authorlink1= David Vernon Widder|title= The Laplace Transform|publisher= Princeton University Press|year= 1946|page= 230}}
{{refend}}

[[Kategorija:Funkcije zeta in L-funkcije]]