Ogled vira Elipsa

{{drugi pomeni}}
[[Slika:Elipse.svg|thumb|right|250px|Elipsa]]

'''Elípsa''' ali '''pákróg''' je v [[matematika|matematiki]] sklenjena [[ravnina|ravninska]] [[matematična krivulja|krivulja]] ovalne oblike, pri kateri je [[vsota]] [[razdalja|razdalj]] katerekoli [[Točka (geometrija)|točke]] od [[gorišče|gorišč]] F<sub>1</sub> in F<sub>2</sub> stalna. Elipsa je ena od [[stožnica|stožnic]].
== Slika ==
Na sliki so:
* a velika polos,
* b mala polos,
* AB '''velika os''' (<math>\overline{AB}=2a</math>),
* CD '''mala os''' (<math>\overline{CD}=2b</math>),
* točke A, B, C in D so temena elipse in
* F<sub>1</sub> ter F<sub>2</sub> pa '''gorišči''' elipse.

Gorišči sta od središča o oddaljeni za <math>c=e \cdot a=\sqrt{a^2-b^2}</math>. Če z r<sub>1</sub> in r<sub>2</sub> označimo razdalji od gorišč F<sub>1</sub> in F<sub>2</sub> do točke X na elipsi (modri črti) sta njuni dolžini <math>r_1=a-ex</math> in <math>r_2=a+ex</math>, tako da velja <math>r_1+r_2=2a</math>
== Parametrizacija ==

Če koordinatni osi sovpadata z osema elipse, je kanonična oblika enačba elipse:
: <math>\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 </math>

parametrična oblika enačbe elipse pa je
: <math>x = a\,\cos t</math>
: <math>y = b\,\sin t</math>

:<math>0 \leq t < 2\pi</math>

== Izsrednost (ekscentričnost) ==

: <math>e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}</math>

== Polarne koordinate ==

: <math>r (1 + e \cos \theta) = l \,</math>,  kjer je <math>l = \frac{b^2}{a}</math>.

== [[Ploščina]] ==

: <math> S = \pi ab\,\! . </math>

== [[Obseg]] ==

: <math>o = 4aE(e)=
2 \pi a
\left[1 - 
\left(\frac{1}{2}\right)^2 e^2 - 
\left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \frac{e^4}{3} -
\left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\right)^2 \frac{e^6}{5} -
\cdots \right] \,\! ,
</math>

kjer je E(e) popolni [[eliptićni integral|eliptični]] [[integral]] [[popolni eliptični integral druge vrste|druge vrste]].

[[Srinivasa Ajangar Ramanudžan|Ramanudžanov]] približek iz leta 1914:

: <math> o \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right] \,\! . </math>

Še en približek:

: <math> o \approx \pi\sqrt{2(a^2+b^2)} \,\! </math>

== Kvadratna forma ==

Če elipsa ni v središčni legi in je zavrtena, jo zapišemo s [[kvadratna forma|kvadratno formo]]:

: <math>ax^2 + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 \,\! . </math>

Če forma nima člena z <math>xy</math>, torej <math>b=0</math>, elipsa ni zavrtena:

: <math>ax^2 + cy^2 + dx + ey + f = 0 \,\! . </math>

Če forma nima člena z <math>x</math>, torej <math>d=0</math>, elipsa ni premaknjena v smeri osi x:

: <math>ax^2 + cy^2 + ey + f = 0 \,\! . </math>

Če forma nima člena z <math>y</math>, torej <math>e=0</math>, elipsa ni premaknjena v smeri osi y:

: <math>ax^2 + cy^2 + f = 0 \,\! . </math>

Iz te forme se izpelje zgornja kanonična oblika.

=== Identifikacija ===

Če določena kvadratna forma predstavlja elipso, preverimo tako, da koeficiente forme vstavimo v matriki:

: <math>A=\begin{bmatrix} a & b & d \\ b & c & e \\ d & e & f \end{bmatrix}</math>

in

: <math>B=\begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}</math>

Forma predstavlja elipso natanko takrat, ko velja: <math>|A| \ne 0,\quad |B|>0,\quad \frac{|A|}{a+c}<0</math>

pri čemer je <math>|A|=acf+2bde-fb^2-cd^2-ae^2</math> in <math>|B|=ac-b^2</math>

=== Središče elipse ===

Središče elipse je rešitev sistema enačb:

: <math> 2ax+2by+d=0 \,\! , </math>

: <math> 2bx + 2cy + e = 0 \,\! , </math>

z rešitvijo

: <math> x=\frac{-dc}{2b^2+2ac-be} \,\! </math>

: <math> y=-\frac{e+2bx}{2c} \,\! . </math>

=== Kot vrtenja ===

Kot, za katerega je elipsa s poljubnim središčem zavrtena, je

: <math>\varphi=\frac{1}{2}\mathrm{ctg}^{-1}\left(\frac{c-a}{2b}\right)</math>. Če je <math>b=0</math> je <math>\varphi=0^\circ</math>

== Glej tudi ==

* [[elipsoid]] (trorazsežni analogon elipse)
* [[sferoid]] (elipsoid, nastal kot vrtenina)
* [[sploščen sferoid]]
* [[superelipsa]] (posplošitev elipse, katere oblika je bolj podobna kvadratu)
* [[hiperbola]]
* [[parabola]]

{{math-stub}}

{{-}}

{{ravninske krivulje}}

[[Kategorija:Stožnice]]
{{normativna kontrola}}