Elipsa

Elipsa

Elípsa ali pákróg je v matematiki sklenjena ravninska krivulja ovalne oblike, pri kateri je vsota razdalj katerekoli točke od gorišč F₁ in F₂ stalna. Elipsa je ena od stožnic.

Slika

Na sliki so:

• a velika polos,
• b mala polos,
• AB velika os ($\overline{AB}=2a$),
• CD mala os ($\overline{CD}=2b$),
• točke A, B, C in D so temena elipse in
• F₁ ter F₂ pa gorišči elipse.

Gorišči sta od središča o oddaljeni za $c=e\cdot a=\sqrt{a^2-b^2}$. Če z r₁ in r₂ označimo razdalji od gorišč F₁ in F₂ do točke X na elipsi (modri črti) sta njuni dolžini $r_1=a-ex$ in $r_2=a+ex$, tako da velja $r_1+r_2=2a$

Parametrizacija

Če koordinatni osi sovpadata z osema elipse, je kanonična oblika enačba elipse:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

parametrična oblika enačbe elipse pa je

$x=a\cos t$

$y=b\sin t$

$0\le t<2\pi$

Izsrednost (ekscentričnost)

$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$

Polarne koordinate

$r(1+e\cos \theta )=l$, kjer je $l=\frac{b^2}{a}$.

Ploščina

$S=\pi ab.$

Obseg

$o=4aE(e)=2\pi a[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2{e}^2-{\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)}^2\frac{e^4}{3}-{\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)}^2\frac{e^6}{5}-\cdots ],$

kjer je E(e) popolni eliptični integral druge vrste.

Ramanudžanov približek iz leta 1914:

$o\approx \pi [3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}].$

Še en približek:

$o\approx \pi \sqrt{2(a^2+b^2)}$

Kvadratna forma

Če elipsa ni v središčni legi in je zavrtena, jo zapišemo s kvadratno formo:

$a{x}^2+2bxy+c{y}^2+dx+ey+f=0.$

Če forma nima člena z $xy$, torej $b=0$, elipsa ni zavrtena:

$a{x}^2+c{y}^2+dx+ey+f=0.$

Če forma nima člena z $x$, torej $d=0$, elipsa ni premaknjena v smeri osi x:

$a{x}^2+c{y}^2+ey+f=0.$

Če forma nima člena z $y$, torej $e=0$, elipsa ni premaknjena v smeri osi y:

$a{x}^2+c{y}^2+f=0.$

Iz te forme se izpelje zgornja kanonična oblika.

Identifikacija

Če določena kvadratna forma predstavlja elipso, preverimo tako, da koeficiente forme vstavimo v matriki:

$A=\left[\begin{array}{ccc}a& b& d\\ b& c& e\\ d& e& f\end{array}\right]$

in

$B=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right]$

Forma predstavlja elipso natanko takrat, ko velja: $|A|\ne 0,|B|>0,\frac{|A|}{a+c}<0$

pri čemer je $|A|=acf+2bde-f{b}^2-c{d}^2-a{e}^2$ in $|B|=ac-b^2$

Središče elipse

Središče elipse je rešitev sistema enačb:

$2ax+2by+d=0,$

$2bx+2cy+e=0,$

z rešitvijo

$x=\frac{-dc}{2b^2+2ac-be}$

$y=-\frac{e+2bx}{2c}.$

Kot vrtenja

Kot, za katerega je elipsa s poljubnim središčem zavrtena, je

$\phi =\frac{1}{2}{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}}^{-1}\left(\frac{c-a}{2b}\right)$. Če je $b=0$ je $\phi =0^{\circ }$

Glej tudi

• elipsoid (trorazsežni analogon elipse)
• sferoid (elipsoid, nastal kot vrtenina)
• sploščen sferoid
• superelipsa (posplošitev elipse, katere oblika je bolj podobna kvadratu)
• hiperbola
• parabola