Ogled vira Fourierova transformacija

[[File:CQT-piano-chord.png|thumb|Primer uporabe Fourierove transformacije je določanje sestavin zvoka. Ta slika je rezultat uporabe transformacije konstantnega Q (s Fourierjem povezane transformacije) na valovno akorda C-dur na klavirju. Prvi trije vrhovi na levi ustrezajo frekvencam osnovne frekvence akorda (C, E, G). Preostali manjši vrhovi so visokofrekvenčni prizvoki  teh osnovnih tonov..]]

{{multiple image
| total_width       = 300
| align             = right
| image1            = Sine voltage.svg
| image2            = Phase shift.svg
| footer            =
Rdeča sinusna krivulja [[sine wave|sinusoid]] se lahko opiše z amplitudo vrha (1), razdaljo med vrhovoma  (2), [[root mean square|RMS]] (3),  [[valovna dolžina|valovno dolžino]] (4). Rdeča in modra sinusoida sta zamaknjeni za fazno razliko {{mvar|θ}}.
}}
'''Fourierova transformacija''' (točneje '''zvezna Fourierova transformacija''' ; izgovorjava:{{IPA|[fuʁie]}})) je matematična metoda s področja Fourierove analize, ki aperiodični signal razčleni na neprekinjen spekter. Funkcija, ki opisuje ta spekter, se imenuje tudi '''Fourierova transformacija''' ali '''spektralna funkcija'''. Gre za integralsko transformacijo, poimenovano po matematiku [[Joseph Fourier|Jeanu Baptistu Josephu Fourieru]]. Fourier je leta 1822 uvedel [[Fourierova vrsta|Fourierovo vrsto]], ki pa je definirana le za periodične signale in vodi do diskretnega frekvenčnega spektra.{{Annotated image
| caption=zgornja vrsta kaže enotni impulz kot funkcijo časa ({{math|''f''(''t'')}}) in njegovo Fourierovo translmacijo kot funkcijo frekvence ({{math|''f̂''(''ω'')}}). Spodnja vrstica prikazuje zakasnjeni enotni impulz kot funkcijo časa ({{math|''g''(''t'')}}) in njegovo Fourierjevo transformacijo kot funkcijo frekvence ({{math|''ĝ ''(''ω'')}}). [Zakasnitev v časovni domeni pomeni kompleksni fazni premik v frekvenčni domeni. 
| image=Fourier_unit_pulse.svg
| image-width = 300
| annotations =
{{Annotation|20|40|<math>\scriptstyle f(t)</math>}}
{{Annotation|170|40|<math>\scriptstyle \hat{f}(\omega)</math>}}
{{Annotation|20|140|<math>\scriptstyle g(t)</math>}}
{{Annotation|170|140|<math>\scriptstyle \hat{g}(\omega)</math>}}
{{Annotation|130|80|<math>\scriptstyle t</math>}}
{{Annotation|280|85|<math>\scriptstyle \omega</math>}}
{{Annotation|130|192|<math>\scriptstyle t</math>}}
{{Annotation|280|180|<math>\scriptstyle \omega</math>}}
}}

Obstaja kar nekaj primerov uporabe, za katere je treba za Fourierovo transformacijo uporabiti računalnik. V ta namen je na voljo diskretna Fourierova transformacija ali hitra Fourierova transformacija.

== Definicija ==

Naj bo <math>f \in L^1(\R^n)</math> integrabilna funkcija, kjer <math>L^1</math> imenovan Lebesgueov prostor. (Zvezna) Fourierova transformacija <math>\mathcal{F}f</math> od <math>f</math> je definirana z

: <math>(\mathcal{F}f)(y)
 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}^{\ n}}
   \int_{\R^n} f(x)\,\mathrm e^{-\mathrm{i} y \cdot x} \,\mathrm{d} x</math>

in ustrezna inverzna transformacija je:

: <math>f(x)
 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}^{\ n}} \int_{\R^n} (\mathcal{F}f)(y)\, \mathrm e^{\mathrm{i} y \cdot x} \,\mathrm{d} y\;.</math>

Pri tem sta <math>\mathrm{d} x</math> in <math>\mathrm{d} y</math> so <math>n</math> -dimenzionalna prostorska elementa,  <math>\mathrm{i}</math> imaginarna enota,  <math>y \cdot x</math> pa standardni produkt vektorjev <math>y</math> in <math>x</math>.

Normalizacijska konstanta v literaturi ni dosledna. V teoriji psevdodiferencialnih operatorjev in pri obdelavi signalov se  faktor <math>1/(2\pi)^{n/2}</math>  v transformaciji pogosto izpušča, tako da inverzna transformacija ustrezno dobi na začetek faktor <math>1/(2\pi)^n</math>. Transformacija je tako:

: <math>
(\mathcal{F}f)(y)
 = \int_{\R^n} f(x)\, \mathrm e^{-\mathrm{i} y \cdot x} \,\mathrm{d} x\;,
</math>
: <math>
f(x)
 = \frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\R^n} (\mathcal{F}f)(y)\, \mathrm e^{\mathrm{i} y \cdot x} \,\mathrm{d} y\;.
</math>

Faktor na začetku faktor preprečuje neposredno uporabo Plancherelovega izreka, ker potem Fourierova transformacija ne daje več unitarne preslikave <math>L^1( \mathbb{R}^n)\cap L^2( \mathbb{R}^n)</math> in tako se spremeni moč signala. Vendar, kot pri vseh ortogonalnih transformacijah, je to mogoče zlahka kompenzirati s substitucijo (ponovno skaliranje abscise) in zato ne predstavlja temeljne težave. Točno to predlaga literatura o obdelavi signalov in sistemski teoriji: prehod od naravne frekvence h kotni frekvenci <math>\omega=2\pi y</math> (ki vključuje faktor):

:
: <math>
f(x)
 = \int_{\R^n} (\mathcal{F}f)(y)\, \mathrm e^{2\pi \mathrm{i} y \cdot x} \,\mathrm{d} y\;
= \int_{\R^n} (\mathcal{F}f)(y)\, \mathrm e^{\mathrm{i} \omega \cdot x} \,\mathrm{d} y\;.
</math>

Realna inačica Fourierove transformacije se imenuje Hartleyjeva transformacija. Za realne funkcije <math>f</math> Fourierovo transformacijo lahko nadomestimo s sinusno in kosinusno transformacijo.

== Zgledi uporabe ==

=== Stiskanje podatkov za digitalno komunikacijo ===

Stiskanje digitalnih podatkov s pomočjo Fourierove transformacije je osrednja tehnologija na področju komunikacije, izmenjave podatkov in pretakanja medijev na (mobilnem) internetu. <ref>{{Internetquelle|autor=Martin Donner|url=https://www.musikundmedien.hu-berlin.de/de/medienwissenschaft/medientheorien/hausarbeiten_essays/pdfs/fourier-neue-medien-web.pdf|titel=Fouriers Beitrag zur Geschichte der Neuen Medien|werk=Humboldt-Universität zu Berlin|datum=2006|zugriff=2021-07-30|sprache=de}}</ref>

=== Tabele pomembnih Fourierovih transformacij ===

Naslednje tabele prikazujejo nekaj zaprtih Fourierovih transformacij. Funkciji f(x) in g(x) označimo njuni Fourierovi transformaciji s f̂ in ĝ. Vključene so samo tri najpogostejše konvencije. Morda bi bilo koristno opaziti, da podaja vnos 105 razmerje med Fourierovo transformacijo funkcije in izvirno funkcijo, ki jo je mogoče razumeti kot povezavo Fourierove transformacije in njenega obrata. 

==== Funkcionalne relacije, enorazsežne ====

Fourierove transformacije v tej tabeli se lahko najdejo pri {{harvtxt|Erdélyi|1954}} or {{harvtxt|Kammler|2000|loc=appendix}}.

{| class="wikitable"
! !! Funkcija !! Fourierova transformacija<br /> asbscisa je unitarna običajna frekvenca !! Fourierova transformacija<br /> unitarna, kotna frekvenca  !! Fourierova transformacija< <br /> ne-unitarna, kotna frekvenca !! pripombe
|-
|
|<math> f(x)\,</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\xi) \triangleq \hat f_1(\xi) \\&= \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i 2\pi \xi x}\, dx \end{align}</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\omega) \triangleq \hat f_2(\omega) \\&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i \omega x}\, dx \end{align}</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\omega) \triangleq \hat f_3(\omega) \\&= \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i \omega x}\, dx \end{align}</math>
|Definiticije
|-
| 101
|<math> a\, f(x) + b\, g(x)\,</math>
|<math> a\, \hat{f}(\xi) + b\, \hat{g}(\xi)\,</math>
|<math> a\, \hat{f}(\omega) + b\, \hat{g}(\omega)\,</math>
|<math> a\, \hat{f}(\omega) + b\, \hat{g}(\omega)\,</math>
|Linearnost
|-
| 102
|<math> f(x - a)\,</math>
|<math> e^{-i 2\pi \xi a} \hat{f}(\xi)\,</math>
|<math> e^{- i a \omega} \hat{f}(\omega)\,</math>
|<math> e^{- i a \omega} \hat{f}(\omega)\,</math>
|Pomik v časovni domeni
|-
| 103
|<math> f(x)e^{iax}\,</math>
|<math> \hat{f} \left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right)\,</math>
|<math> \hat{f}(\omega - a)\,</math>
|<math> \hat{f}(\omega - a)\,</math>
|Pomik v frekvenčni domeni, dualno vrstici 102
|-
| 104
|<math> f(a x)\,</math>
|<math> \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\xi}{a} \right)\,</math>
|<math> \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\omega}{a} \right)\,</math>
|<math> \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\omega}{a} \right)\,</math>
|Skalirano v časovni domeni. Če je <math> {|a|} </math> velik, se <math> f(a x)\,</math> koncentrira na 0 in<br><math> \frac{1}{|a|}\hat{f} \left( \frac{\omega}{a} \right)\,</math><br>razširi in zniža.
|-
| 105
|<math> \hat{f_n}(x)\,</math>
|<math> \hat f_1(x) \ \stackrel{\mathcal{F}_1}{\longleftrightarrow}\  f(-\xi)\,</math>
|<math> \hat f_2(x) \ \stackrel{\mathcal{F}_2}{\longleftrightarrow}\  f(-\omega)\,</math>
|<math> \hat f_3(x) \ \stackrel{\mathcal{F}_3}{\longleftrightarrow}\ 2\pi f(-\omega)\,</math>
|Ista transformacija  dvakrat zapored, ''x'' po prvi transformaciji nastopi namesto frekvence (''ξ'' or ''ω'').
|-
| 106
|<math> \frac{d^n f(x)}{dx^n}\,</math>
|<math> (i 2\pi \xi)^n \hat{f}(\xi)\,</math>
|<math> (i\omega)^n \hat{f}(\omega)\,</math>
|<math> (i\omega)^n \hat{f}(\omega)\,</math>
|Odvod n-tega reda.
{{math|''f''}} je [[Schwartz space|Schwartzova funkcija]]
|-
|
|<math>\int_{-\infty}^{x} f(\tau) d \tau</math>
|<math>\frac{\hat{f}(\xi)}{i 2 \pi \xi} + C \, \delta(\xi)</math>
|
|
|Integracija.<ref>{{navedi splet |date=2015 |orig-date=2010 |title=Integracija kot lastnost Foourierove transformacije |url=https://www.thefouriertransform.com/transform/integration.php |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20220126171340/https://www.thefouriertransform.com/transform/integration.php |archive-date=2022-01-26 |access-date=2023-08-20 |website=The Fourier Transform .com}}</ref> Opomba: <math>\delta</math> je [[Diracova delta funkcija]] in <math>C</math> povprečna ([[DC component|DC]]) vrednost <math>f(x)</math>, tako da je <math>\int_{-\infty}^\infty (f(x) - C) \, dx = 0</math>
|-
| 107
|<math> x^n f(x)\,</math>
|<math> \left (\frac{i}{2\pi}\right)^n \frac{d^n \hat{f}(\xi)}{d\xi^n}\,</math>
|<math> i^n \frac{d^n \hat{f}(\omega)}{d\omega^n}</math>
|<math> i^n \frac{d^n \hat{f}(\omega)}{d\omega^n}</math>
|To je dualno vrstici 106
|-
| 108
|<math> (f * g)(x)\,</math>
|<math> \hat{f}(\xi) \hat{g}(\xi)\,</math>
|<math> \sqrt{2\pi} \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)\,</math>
|<math> \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)\,</math>
|Izraz {{math|''f'' ∗ ''g''}} pomeni [[convolution|konvolucijo]] {{mvar|f}} in {{mvar|g}} — to pravilo je t.i. [[convolution theorem|konvolucijski teorem]] 
|-
| 109
|<math> f(x) g(x)\,</math>
|<math> \left(\hat{f} * \hat{g}\right)(\xi)\,</math>
|<math> \frac{1}\sqrt{2\pi}\left(\hat{f} * \hat{g}\right)(\omega)\,</math>
|<math> \frac{1}{2\pi}\left(\hat{f} * \hat{g}\right)(\omega)\,</math>
|To je dualno 108
|-
| 110
|For {{math|''f''(''x'')}} purely real
|<math> \hat{f}(-\xi) = \overline{\hat{f}(\xi)}\,</math>
|<math> \hat{f}(-\omega) = \overline{\hat{f}(\omega)}\,</math>
|<math> \hat{f}(-\omega) = \overline{\hat{f}(\omega)}\,</math>
|Hermitska simetrija {{math|{{overline|''z''}}}} zahteva kompleksni konjugat.
|-
| 113
|Za imaginarno {{math|''f''(''x'')}} 
|<math> \hat{f}(-\xi) = -\overline{\hat{f}(\xi)}\,</math>
|<math> \hat{f}(-\omega) = -\overline{\hat{f}(\omega)}\,</math>
|<math> \hat{f}(-\omega) = -\overline{\hat{f}(\omega)}\,</math>
|{{math|{{overline|''z''}}}} pomeni kompleksni konjugat.
|-
| 114
| <math> \overline{f(x)}</math>|| <math> \overline{\hat{f}(-\xi)}</math> || <math> \overline{\hat{f}(-\omega)}</math> || <math> \overline{\hat{f}(-\omega)}</math> || [[<kompleksna konjugacija]], generalizacija 110 in 113
|-
|115
|<math> f(x) \cos (a x)</math>
|<math> \frac{ \hat{f}\left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right)+\hat{f}\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)}{2}</math>
|<math> \frac{\hat{f}(\omega-a)+\hat{f}(\omega+a)}{2}\,</math>
|<math> \frac{\hat{f}(\omega-a)+\hat{f}(\omega+a)}{2}</math>
|Slledi iz 101 in 103 s pomočjo Eulerjeve formule:<br><math>\cos(a x) = \frac{e^{i a x} + e^{-i a x}}{2}.</math>
|-
|116
|<math> f(x)\sin( ax)</math>
|<math> \frac{\hat{f}\left(\xi-\frac{a}{2\pi}\right)-\hat{f}\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)}{2i}</math>
|<math> \frac{\hat{f}(\omega-a)-\hat{f}(\omega+a)}{2i}</math>
|<math> \frac{\hat{f}(\omega-a)-\hat{f}(\omega+a)}{2i}</math>
|Sledi iz 101 in 103 s pomočjo Eulerjeve formule:<br><math>\sin(a x) = \frac{e^{i a x} - e^{-i a x}}{2i}.</math>
|}


=== Kvadratno integrabilne funkcije, enorazsežne ===

Fourierove transformacije v tej tabeli je najti v {{harvtxt|Campbell|Foster|1948}}, {{harvtxt|Erdélyi|1954}}, ali {{harvtxt|Kammler|2000|loc=priloga}}.
{| class="wikitable"
! !! Funkcija !! Fourierova transformacija<br /> asbscisa je unitarna običajna frekvenca !! Fourierova transformacija<br /> unitarna, kotna frekvenca  !! Fourierova transformacija< <br /> ne-unitarna, kotna frekvenca !! pripombe
|-
|
|<math> f(x)\,</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\xi) \triangleq \hat f_1(\xi) \\&= \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i 2\pi \xi x}\, dx \end{align}</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\omega) \triangleq \hat f_2(\omega) \\&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i \omega x}\, dx \end{align}</math>
|<math>\begin{align} &\hat{f}(\omega) \triangleq \hat f_3(\omega) \\&= \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i \omega x}\, dx \end{align}</math>
|Definicije
|-
|{{anchor|rect}} 201
|<math> \operatorname{rect}(a x) \,</math>
|<math> \frac{1}{|a|}\, \operatorname{sinc}\left(\frac{\xi}{a}\right)</math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2 \pi a^2}}\, \operatorname{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right)</math>
|<math> \frac{1}{|a|}\, \operatorname{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right)</math>
|Pravokotni pulz in  ''normalizirana'' [[sinc funkcija]], definirana kot {{math|1=sinc(''x'') = {{sfrac|sin(π''x'')|π''x''}}}}
|-
| 202
|<math> \operatorname{sinc}(a x)\,</math>
|<math> \frac{1}{|a|}\, \operatorname{rect}\left(\frac{\xi}{a} \right)\,</math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\, \operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)</math>
|<math> \frac{1}{|a|}\, \operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)</math>
|Dualno vrstici 201. 
|-
| 203
|<math> \operatorname{sinc}^2 (a x)</math>
|<math> \frac{1}{|a|}\, \operatorname{tri} \left( \frac{\xi}{a} \right) </math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\, \operatorname{tri} \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right) </math>
|<math> \frac{1}{|a|}\, \operatorname{tri} \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right) </math>
| {{math|tri(''x'')}} je trikotna funkcija 
|-
| 204
|<math> \operatorname{tri} (a x)</math>
|<math> \frac{1}{|a|}\, \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\xi}{a} \right) \,</math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}} \, \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right) </math>
|<math> \frac{1}{|a|} \, \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right) </math>
| Dualno vrstici 203.
|-
| 205
|<math> e^{- a x} u(x) \,</math>
|<math> \frac{1}{a + i 2\pi \xi}</math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2 \pi} (a + i \omega)}</math>
|<math> \frac{1}{a + i \omega}</math>
|Funkcija {{math|''u''(''x'')}} je [[Heaviside step function|Heavisidov prag]] in {{math|''a'' > 0}}.
|-
| 206
|<math> e^{-\alpha x^2}\,</math>
|<math> \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\, e^{-\frac{(\pi \xi)^2}{\alpha}}</math>
|<math> \frac{1}{\sqrt{2 \alpha}}\, e^{-\frac{\omega^2}{4 \alpha}}</math>
|<math> \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\, e^{-\frac{\omega^2}{4 \alpha}}</math>
|Za unitarne Fourierove tranasformacije je torej {{math|''e''<sup>−''αx''<sup>2</sup></sup>}} svoja lastna transformacija - do multiplikatorja {{mvar|α}}. Da to velja, mora biti {{math|Re(''α'') > 0}}.
|-
| 208
|<math> e^{-a|x|} \,</math>
|<math> \frac{2 a}{a^2 + 4 \pi^2 \xi^2} </math>
|<math> \sqrt{\frac{2}{\pi}} \, \frac{a}{a^2 + \omega^2} </math>
|<math> \frac{2a}{a^2 + \omega^{2}} </math>
|Za {{math|Re(''a'') > 0}}. Fourierova transformacija [[Laplaceova porazdelitev|eksponentne padajoče funkcije]] je [[Lorentzova funkcija ]].
|-
| 209
|<math> \operatorname{sech}(a x) \,</math>
|<math> \frac{\pi}{a} \operatorname{sech} \left( \frac{\pi^2}{ a} \xi \right)</math>
|<math> \frac{1}{a}\sqrt{\frac{\pi}{2}} \operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \omega \right)</math>
|<math> \frac{\pi}{a}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \omega \right)</math>
|[[Hyperbolična funkcija]] si je lastna Fourierova transformacija
|-
| 210
|<math> e^{-\frac{a^2 x^2}2} H_n(a x)\,</math>
|<math> \frac{\sqrt{2\pi}(-i)^n}{a} e^{-\frac{2\pi^2\xi^2}{a^2}} H_n\left(\frac{2\pi\xi}a\right)</math>
|<math> \frac{(-i)^n}{a} e^{-\frac{\omega^2}{2 a^2}} H_n\left(\frac \omega a\right)</math>
|<math> \frac{(-i)^n \sqrt{2\pi}}{a} e^{-\frac{\omega^2}{2 a^2}} H_n\left(\frac \omega a \right)</math>
|{{math|''H<sub>n</sub>''}} je  [[Hermiteov polinom]] {{mvar|n}}tega reda. Če velja {{math|''a'' {{=}} 1}}, so Gauss-Hermiteove funkcije [[eigenfunkcija|lastne funkcije]] Fourierovega operatorja. Enačba se poenostavi na 206 za {{math|''n'' {{=}} 0}}.
|}

=== Dvorazsežne funkcije ===
{| class="wikitable"
! !! Function !! Fourier transform <br /> unitary, ordinary frequency !! Fourier transform <br /> unitary, angular frequency !! Fourier transform <br /> non-unitary, angular frequency !! Remarks
|-
|400
|<math> f(x,y)</math>
|<math>\begin{align}& \hat{f}(\xi_x, \xi_y)\triangleq \\ & \iint f(x,y) e^{-i 2\pi(\xi_x x+\xi_y y)}\,dx\,dy \end{align}</math>
|<math>\begin{align}& \hat{f}(\omega_x,\omega_y)\triangleq \\ & \frac{1}{2 \pi} \iint f(x,y) e^{-i (\omega_x x +\omega_y y)}\, dx\,dy  \end{align}</math>
|<math>\begin{align}& \hat{f}(\omega_x,\omega_y)\triangleq \\ & \iint f(x,y) e^{-i(\omega_x x+\omega_y y)}\, dx\,dy  \end{align}</math>
|Spremenljivke {{mvar|ξ<sub>x</sub>}}, {{mvar|ξ<sub>y</sub>}}, {{mvar|ω<sub>x</sub>}}, {{mvar|ω<sub>y</sub>}} so realna števila. Področje integrala je celotna ravnina.
|-
|401
|<math> e^{-\pi\left(a^2x^2+b^2y^2\right)}</math>
|<math> \frac{1}{|ab|} e^{-\pi\left(\frac{\xi_x^2}{a^2} + \frac{\xi_y^2}{b^2}\right)}</math>
|<math> \frac{1}{2\pi\,|ab|} e^{-\frac{1}{4\pi}\left(\frac{\omega_x^2}{a^2} + \frac{\omega_y^2}{b^2}\right)}</math>
|<math> \frac{1}{|ab|} e^{-\frac{1}{4\pi}\left(\frac{\omega_x^2}{a^2} + \frac{\omega_y^2}{b^2}\right)}</math>
|Obe funkciji sta gaussovi, lahko da brez prostornine = 1
|-
|402
|<math> \operatorname{circ}\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)</math>
|<math> \frac{J_1\left(2 \pi \sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}\right)}{\sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}}</math>
|<math> \frac{J_1\left(\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}\right)}{\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}}</math>
|<math> \frac{2\pi J_1\left(\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}\right)}{\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}}</math>
|Funkcija je definirana {{math|1=circ(''r'') = 1}} za {{math|0 ≤ ''r'' ≤ 1}}, sicer pa = 0. Rezultat je porazdelitev amplitud za  [[Airyjev disk]]
|}

== Glej tudi ==

* diskretna Fourierjeva transformacija
* Fourierova transformacija za signale z diskretnim časom
* hitra Fourierova transformacija
* inverzna hitra Fourierova transformacija


== Sklici ==

{{sklici|4}}

== Viri ==

== Zunanje povezave ==

* {{MathWorld|id=FourierTransform|title=Fourier Transform}}
* {{YouTube|spUNpyF58BY|Was ist eine Fourier-Transformation? Eine visuelle Einführung|2023-04-15}}

{{normativna kontrola}}

[[Kategorija:Integralske transformacije]]
[[Kategorija:Harmonska analiza]]