Fourierova transformacija

Primer uporabe Fourierove transformacije je določanje sestavin zvoka. Ta slika je rezultat uporabe transformacije konstantnega Q (s Fourierjem povezane transformacije) na valovno akorda C-dur na klavirju. Prvi trije vrhovi na levi ustrezajo frekvencam osnovne frekvence akorda (C, E, G). Preostali manjši vrhovi so visokofrekvenčni prizvoki teh osnovnih tonov..

Predloga:Multiple image Fourierova transformacija (točneje zvezna Fourierova transformacija ; izgovorjava:Predloga:IPA)) je matematična metoda s področja Fourierove analize, ki aperiodični signal razčleni na neprekinjen spekter. Funkcija, ki opisuje ta spekter, se imenuje tudi Fourierova transformacija ali spektralna funkcija. Gre za integralsko transformacijo, poimenovano po matematiku Jeanu Baptistu Josephu Fourieru. Fourier je leta 1822 uvedel Fourierovo vrsto, ki pa je definirana le za periodične signale in vodi do diskretnega frekvenčnega spektra.Predloga:Annotated image

Obstaja kar nekaj primerov uporabe, za katere je treba za Fourierovo transformacijo uporabiti računalnik. V ta namen je na voljo diskretna Fourierova transformacija ali hitra Fourierova transformacija.

Definicija

Naj bo $f\in L^1({ℝ}^n)$ integrabilna funkcija, kjer $L^1$ imenovan Lebesgueov prostor. (Zvezna) Fourierova transformacija $ℱf$ od $f$ je definirana z

$(ℱf)(y)=\frac{1}{{\sqrt{2\pi }}^n}\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}y\cdot x}\mathrm{d}x$

in ustrezna inverzna transformacija je:

$f(x)=\frac{1}{{\sqrt{2\pi }}^n}\underset{{ℝ}^n}{\int }(ℱf)(y){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}y\cdot x}\mathrm{d}y.$

Pri tem sta $\mathrm{d}x$ in $\mathrm{d}y$ so $n$ -dimenzionalna prostorska elementa, $\mathrm{i}$ imaginarna enota, $y\cdot x$ pa standardni produkt vektorjev $y$ in $x$.

Normalizacijska konstanta v literaturi ni dosledna. V teoriji psevdodiferencialnih operatorjev in pri obdelavi signalov se faktor $1/(2\pi {)}^{n/2}$ v transformaciji pogosto izpušča, tako da inverzna transformacija ustrezno dobi na začetek faktor $1/(2\pi {)}^n$. Transformacija je tako:

$(ℱf)(y)=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}y\cdot x}\mathrm{d}x,$

$f(x)=\frac{1}{(2\pi {)}^n}\underset{{ℝ}^n}{\int }(ℱf)(y){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}y\cdot x}\mathrm{d}y.$

Faktor na začetku faktor preprečuje neposredno uporabo Plancherelovega izreka, ker potem Fourierova transformacija ne daje več unitarne preslikave $L^1({ℝ}^n)\cap L^2({ℝ}^n)$ in tako se spremeni moč signala. Vendar, kot pri vseh ortogonalnih transformacijah, je to mogoče zlahka kompenzirati s substitucijo (ponovno skaliranje abscise) in zato ne predstavlja temeljne težave. Točno to predlaga literatura o obdelavi signalov in sistemski teoriji: prehod od naravne frekvence h kotni frekvenci $\omega =2\pi y$ (ki vključuje faktor):

$f(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }(ℱf)(y){\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}y\cdot x}\mathrm{d}y=\underset{{ℝ}^n}{\int }(ℱf)(y){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega \cdot x}\mathrm{d}y.$

Realna inačica Fourierove transformacije se imenuje Hartleyjeva transformacija. Za realne funkcije $f$ Fourierovo transformacijo lahko nadomestimo s sinusno in kosinusno transformacijo.

Zgledi uporabe

Stiskanje podatkov za digitalno komunikacijo

Stiskanje digitalnih podatkov s pomočjo Fourierove transformacije je osrednja tehnologija na področju komunikacije, izmenjave podatkov in pretakanja medijev na (mobilnem) internetu.

Tabele pomembnih Fourierovih transformacij

Naslednje tabele prikazujejo nekaj zaprtih Fourierovih transformacij. Funkciji f(x) in g(x) označimo njuni Fourierovi transformaciji s f̂ in ĝ. Vključene so samo tri najpogostejše konvencije. Morda bi bilo koristno opaziti, da podaja vnos 105 razmerje med Fourierovo transformacijo funkcije in izvirno funkcijo, ki jo je mogoče razumeti kot povezavo Fourierove transformacije in njenega obrata.

Funkcionalne relacije, enorazsežne

Fourierove transformacije v tej tabeli se lahko najdejo pri Predloga:Harvtxt or Predloga:Harvtxt.

	Funkcija	Fourierova transformacija asbscisa je unitarna običajna frekvenca	Fourierova transformacija unitarna, kotna frekvenca	Fourierova transformacija< ne-unitarna, kotna frekvenca	pripombe
	$f(x)$	$\begin{array}{cc}& \hat{f}(\xi )\triangleq {\hat{f}}_1(\xi )\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-i2\pi \xi x}dx\end{array}$	$\begin{array}{cc}& \hat{f}(\omega )\triangleq {\hat{f}}_2(\omega )\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-i\omega x}dx\end{array}$	$\begin{array}{cc}& \hat{f}(\omega )\triangleq {\hat{f}}_3(\omega )\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-i\omega x}dx\end{array}$	Definiticije
101	$af(x)+bg(x)$	$a\hat{f}(\xi )+b\hat{g}(\xi )$	$a\hat{f}(\omega )+b\hat{g}(\omega )$	$a\hat{f}(\omega )+b\hat{g}(\omega )$	Linearnost
102	$f(x-a)$	$e^{-i2\pi \xi a}\hat{f}(\xi )$	$e^{-ia\omega }\hat{f}(\omega )$	$e^{-ia\omega }\hat{f}(\omega )$	Pomik v časovni domeni
103	$f(x)e^{iax}$	$\hat{f}(\xi -\frac{a}{2\pi })$	$\hat{f}(\omega -a)$	$\hat{f}(\omega -a)$	Pomik v frekvenčni domeni, dualno vrstici 102
104	$f(ax)$	$\frac{1}{|a|}\hat{f}\left(\frac{\xi }{a}\right)$	$\frac{1}{|a|}\hat{f}\left(\frac{\omega }{a}\right)$	$\frac{1}{|a|}\hat{f}\left(\frac{\omega }{a}\right)$	Skalirano v časovni domeni. Če je $|a|$ velik, se $f(ax)$ koncentrira na 0 in $\frac{1}{|a|}\hat{f}\left(\frac{\omega }{a}\right)$ razširi in zniža.
105	$\widehat{f_n}(x)$	${\hat{f}}_1(x)\stackrel{{ℱ}_1}{⟷}f(-\xi )$	${\hat{f}}_2(x)\stackrel{{ℱ}_2}{⟷}f(-\omega )$	${\hat{f}}_3(x)\stackrel{{ℱ}_3}{⟷}2\pi f(-\omega )$	Ista transformacija dvakrat zapored, x po prvi transformaciji nastopi namesto frekvence (ξ or ω).
106	$\frac{d^{n}f(x)}{d{x}^n}$	$(i2\pi \xi {)}^n\hat{f}(\xi )$	$(i\omega {)}^n\hat{f}(\omega )$	$(i\omega {)}^n\hat{f}(\omega )$	Odvod n-tega reda. Predloga:Math je Schwartzova funkcija
	$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(\tau )d\tau$	$\frac{\hat{f}(\xi )}{i2\pi \xi }+C\delta (\xi )$			Integracija. Opomba: $\delta$ je Diracova delta funkcija in $C$ povprečna (DC) vrednost $f(x)$, tako da je $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(f(x)-C)dx=0$
107	$x^{n}f(x)$	${\left(\frac{i}{2\pi }\right)}^n\frac{d^n\hat{f}(\xi )}{d{\xi }^n}$	$i^n\frac{d^n\hat{f}(\omega )}{d{\omega }^n}$	$i^n\frac{d^n\hat{f}(\omega )}{d{\omega }^n}$	To je dualno vrstici 106
108	$(f*g)(x)$	$\hat{f}(\xi )\hat{g}(\xi )$	$\sqrt{2\pi }\hat{f}(\omega )\hat{g}(\omega )$	$\hat{f}(\omega )\hat{g}(\omega )$	Izraz Predloga:Math pomeni konvolucijo Predloga:Mvar in Predloga:Mvar — to pravilo je t.i. konvolucijski teorem
109	$f(x)g(x)$	$(\hat{f}*\hat{g})(\xi )$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}(\hat{f}*\hat{g})(\omega )$	$\frac{1}{2\pi }(\hat{f}*\hat{g})(\omega )$	To je dualno 108
110	For Predloga:Math purely real	$\hat{f}(-\xi )=\overline{\hat{f}(\xi )}$	$\hat{f}(-\omega )=\overline{\hat{f}(\omega )}$	$\hat{f}(-\omega )=\overline{\hat{f}(\omega )}$	Hermitska simetrija Predloga:Math zahteva kompleksni konjugat.
113	Za imaginarno Predloga:Math	$\hat{f}(-\xi )=-\overline{\hat{f}(\xi )}$	$\hat{f}(-\omega )=-\overline{\hat{f}(\omega )}$	$\hat{f}(-\omega )=-\overline{\hat{f}(\omega )}$	Predloga:Math pomeni kompleksni konjugat.
114	$\overline{f(x)}$	$\overline{\hat{f}(-\xi )}$	$\overline{\hat{f}(-\omega )}$	$\overline{\hat{f}(-\omega )}$	[[<kompleksna konjugacija]], generalizacija 110 in 113
115	$f(x)\cos (ax)$	$\frac{\hat{f}(\xi -\frac{a}{2\pi })+\hat{f}(\xi +\frac{a}{2\pi })}{2}$	$\frac{\hat{f}(\omega -a)+\hat{f}(\omega +a)}{2}$	$\frac{\hat{f}(\omega -a)+\hat{f}(\omega +a)}{2}$	Slledi iz 101 in 103 s pomočjo Eulerjeve formule: $\cos (ax)=\frac{e^{iax}+e^{-iax}}{2}.$
116	$f(x)\sin (ax)$	$\frac{\hat{f}(\xi -\frac{a}{2\pi })-\hat{f}(\xi +\frac{a}{2\pi })}{2i}$	$\frac{\hat{f}(\omega -a)-\hat{f}(\omega +a)}{2i}$	$\frac{\hat{f}(\omega -a)-\hat{f}(\omega +a)}{2i}$	Sledi iz 101 in 103 s pomočjo Eulerjeve formule: $\sin (ax)=\frac{e^{iax}-e^{-iax}}{2i}.$

Kvadratno integrabilne funkcije, enorazsežne

Fourierove transformacije v tej tabeli je najti v Predloga:Harvtxt, Predloga:Harvtxt, ali Predloga:Harvtxt.

	Funkcija	Fourierova transformacija asbscisa je unitarna običajna frekvenca	Fourierova transformacija unitarna, kotna frekvenca	Fourierova transformacija< ne-unitarna, kotna frekvenca	pripombe
	$f(x)$	$\begin{array}{cc}& \hat{f}(\xi )\triangleq {\hat{f}}_1(\xi )\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-i2\pi \xi x}dx\end{array}$	$\begin{array}{cc}& \hat{f}(\omega )\triangleq {\hat{f}}_2(\omega )\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-i\omega x}dx\end{array}$	$\begin{array}{cc}& \hat{f}(\omega )\triangleq {\hat{f}}_3(\omega )\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{-i\omega x}dx\end{array}$	Definicije
Predloga:Anchor 201	$\mathrm{rect}(ax)$	$\frac{1}{|a|}\mathrm{sinc}\left(\frac{\xi }{a}\right)$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\mathrm{sinc}\left(\frac{\omega }{2\pi a}\right)$	$\frac{1}{|a|}\mathrm{sinc}\left(\frac{\omega }{2\pi a}\right)$	Pravokotni pulz in normalizirana sinc funkcija, definirana kot Predloga:Math
202	$\mathrm{sinc}(ax)$	$\frac{1}{|a|}\mathrm{rect}\left(\frac{\xi }{a}\right)$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\mathrm{rect}\left(\frac{\omega }{2\pi a}\right)$	$\frac{1}{|a|}\mathrm{rect}\left(\frac{\omega }{2\pi a}\right)$	Dualno vrstici 201.
203	${\mathrm{sinc}}^2(ax)$	$\frac{1}{|a|}\mathrm{tri}\left(\frac{\xi }{a}\right)$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\mathrm{tri}\left(\frac{\omega }{2\pi a}\right)$	$\frac{1}{|a|}\mathrm{tri}\left(\frac{\omega }{2\pi a}\right)$	Predloga:Math je trikotna funkcija
204	$\mathrm{tri}(ax)$	$\frac{1}{|a|}{\mathrm{sinc}}^2\left(\frac{\xi }{a}\right)$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}{\mathrm{sinc}}^2\left(\frac{\omega }{2\pi a}\right)$	$\frac{1}{|a|}{\mathrm{sinc}}^2\left(\frac{\omega }{2\pi a}\right)$	Dualno vrstici 203.
205	$e^{-ax}u(x)$	$\frac{1}{a+i2\pi \xi }$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }(a+i\omega )}$	$\frac{1}{a+i\omega }$	Funkcija Predloga:Math je Heavisidov prag in Predloga:Math.
206	$e^{-\alpha x^2}$	$\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}{e}^{-\frac{(\pi \xi {)}^2}{\alpha }}$	$\frac{1}{\sqrt{2\alpha }}{e}^{-\frac{{\omega }^2}{4\alpha }}$	$\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}{e}^{-\frac{{\omega }^2}{4\alpha }}$	Za unitarne Fourierove tranasformacije je torej Predloga:Math svoja lastna transformacija - do multiplikatorja Predloga:Mvar. Da to velja, mora biti Predloga:Math.
208	$e^{-a|x|}$	$\frac{2a}{a^2+4{\pi }^2{\xi }^2}$	$\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{a}{a^2+{\omega }^2}$	$\frac{2a}{a^2+{\omega }^2}$	Za Predloga:Math. Fourierova transformacija eksponentne padajoče funkcije je Lorentzova funkcija .
209	$\mathrm{sech}(ax)$	$\frac{\pi }{a}\mathrm{sech}\left(\frac{{\pi }^2}{a}\xi \right)$	$\frac{1}{a}\sqrt{\frac{\pi }{2}}\mathrm{sech}\left(\frac{\pi }{2a}\omega \right)$	$\frac{\pi }{a}\mathrm{sech}\left(\frac{\pi }{2a}\omega \right)$	Hyperbolična funkcija si je lastna Fourierova transformacija
210	$e^{-\frac{a^2{x}^2}{2}}{H}_n(ax)$	$\frac{\sqrt{2\pi }(-i{)}^n}{a}{e}^{-\frac{2{\pi }^2{\xi }^2}{a^2}}{H}_n\left(\frac{2\pi \xi }{a}\right)$	$\frac{(-i{)}^n}{a}{e}^{-\frac{{\omega }^2}{2a^2}}{H}_n\left(\frac{\omega }{a}\right)$	$\frac{(-i{)}^n\sqrt{2\pi }}{a}{e}^{-\frac{{\omega }^2}{2a^2}}{H}_n\left(\frac{\omega }{a}\right)$	Predloga:Math je Hermiteov polinom Predloga:Mvartega reda. Če velja Predloga:Math, so Gauss-Hermiteove funkcije lastne funkcije Fourierovega operatorja. Enačba se poenostavi na 206 za Predloga:Math.

Dvorazsežne funkcije

	Function	Fourier transform unitary, ordinary frequency	Fourier transform unitary, angular frequency	Fourier transform non-unitary, angular frequency	Remarks
400	$f(x,y)$	$\begin{array}{cc}& \hat{f}({\xi }_x,{\xi }_y)\triangleq \\ & \iint f(x,y)e^{-i2\pi ({\xi }_{x}x+{\xi }_{y}y)}dxdy\end{array}$	$\begin{array}{cc}& \hat{f}({\omega }_x,{\omega }_y)\triangleq \\ & \frac{1}{2\pi }\iint f(x,y)e^{-i({\omega }_{x}x+{\omega }_{y}y)}dxdy\end{array}$	$\begin{array}{cc}& \hat{f}({\omega }_x,{\omega }_y)\triangleq \\ & \iint f(x,y)e^{-i({\omega }_{x}x+{\omega }_{y}y)}dxdy\end{array}$	Spremenljivke Predloga:Mvar, Predloga:Mvar, Predloga:Mvar, Predloga:Mvar so realna števila. Področje integrala je celotna ravnina.
401	$e^{-\pi (a^2{x}^2+b^2{y}^2)}$	$\frac{1}{|ab|}{e}^{-\pi (\frac{{\xi }_x^2}{a^2}+\frac{{\xi }_y^2}{b^2})}$	$\frac{1}{2\pi |ab|}{e}^{-\frac{1}{4\pi }(\frac{{\omega }_x^2}{a^2}+\frac{{\omega }_y^2}{b^2})}$	$\frac{1}{|ab|}{e}^{-\frac{1}{4\pi }(\frac{{\omega }_x^2}{a^2}+\frac{{\omega }_y^2}{b^2})}$	Obe funkciji sta gaussovi, lahko da brez prostornine = 1
402	$\mathrm{circ}\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$	$\frac{J_1\left(2\pi \sqrt{{\xi }_x^2+{\xi }_y^2}\right)}{\sqrt{{\xi }_x^2+{\xi }_y^2}}$	$\frac{J_1\left(\sqrt{{\omega }_x^2+{\omega }_y^2}\right)}{\sqrt{{\omega }_x^2+{\omega }_y^2}}$	$\frac{2\pi J_1\left(\sqrt{{\omega }_x^2+{\omega }_y^2}\right)}{\sqrt{{\omega }_x^2+{\omega }_y^2}}$	Funkcija je definirana Predloga:Math za Predloga:Math, sicer pa = 0. Rezultat je porazdelitev amplitud za Airyjev disk

Glej tudi

• diskretna Fourierjeva transformacija
• Fourierova transformacija za signale z diskretnim časom
• hitra Fourierova transformacija
• inverzna hitra Fourierova transformacija

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld
• Predloga:YouTube