Ogled vira Gradient

{{infinitezimalni račun}}
'''Gradiênt''' je v [[matematika|matematiki]] diferencialna operacija, definirana nad [[skalarno polje|skalarnim]] ali [[vektorsko polje|vektorskim poljem]], ki pove, v kateri smeri se polje najbolj spreminja. Gradient se označuje z oznako »grad« ali simbolom <math> \nabla \!\, </math> ([[nabla]]).

== Gradient skalarnega polja ==
=== Kartezični koordinatni sistem ===

V trirazsežnem [[kartezični koordinatni sistem|kartezičnem koordinatnem sistemu]] se gradient zapiše kot:

: <math> \nabla f = \begin{pmatrix}
{\frac{\partial f}{\partial x}},  
{\frac{\partial f}{\partial y}}, 
{\frac{\partial f}{\partial z}}
\end{pmatrix} \!\, . </math>

Pri tem je <math> f(\mathbf{r}) \!\, </math> skalarno polje, odvisno od [[krajevni vektor|krajevnega vektorja]] <math> \mathbf{r} = (x, y, z) \!\, </math>, oznake <math> \partial \!\, </math> pa označujejo [[parcialni odvod|parcialne odvode]] po vsaki od koordinat.

=== Splošni krivočrtni koordinatni sistem ===
=== Cilindrični koordinatni sistem===

V [[cilindrični koordinatni sistem|cilindričnem koordinatnem sistemu]] se gradient skalarnega polja <math> f(\mathbf{r}) \!\, </math> izraža kot:

: <math> \nabla f = 
\frac{\partial f}{\partial r} \mathbf{e}_{r} +
\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \varphi} \mathbf{e}_{\varphi} +
\frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{e}_{z} \!\, . </math>

Pri tem je <math> \mathbf{r} = (r, \varphi, z) \!\, </math> krajevni vektor, izražen v cilindričnem koordinatnem sistemu, <math> \mathbf{e}_{r} \!\, </math>, <math> \mathbf{e}_{\varphi} \!\, </math> in <math> \mathbf{e}_{z} \!\, </math> pa [[enotski vektor]]ji v smeri vsake od koordinatnih osi.

=== Sferni koordinatni sistem ===

V [[sferni koordinatni sistem|sfernem koordinatnem sistemu]] se gradient skalarnega polja <math> f(\mathbf{r}) \!\, </math> izraža kot:

: <math> \nabla f = 
\frac{\partial f}{\partial r} \mathbf{e}_{r} +
\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta} \mathbf{e}_{\theta} +
\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi} \mathbf{e}_{\varphi} \!\, . </math>

Pri tem je <math> \mathbf{r} = (r, \theta, \varphi) \!\, </math> krajevni vektor, izražen v sfernem koordinatnem sistemu, <math> \mathbf{e}_{r} \!\, </math>, <math> \mathbf{e}_{\theta} \!\, </math> in <math> \mathbf{e}_{\varphi} \!\, </math> pa enotski vektorji v smeri vsake od koordinatnih osi.

== Gradient vektorskega polja ==

== Glej tudi ==

{{div col|colwidth=27em}}
* [[vektorska analiza]]
* [[divergenca]], [[rotor]]
{{div col end}}

== Viri ==

* {{citat|last1= Kuščer|first1= Ivan|authorlink1= Ivan Kuščer|last2= Kodre|first2= Alojz|authorlink2= Alojz Kodre|date= 1994|title= Matematika v fiziki in tehniki|id= |publisher= [[Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije|DMFA]]|location= Ljubljana|pages= 56–62|isbn= 961-212-033-1|cobiss= 41287936}}

{{math-stub}}

{{normativna kontrola}}

[[Kategorija:Vektorska analiza]]