Gradient

Predloga:Infinitezimalni račun Gradiênt je v matematiki diferencialna operacija, definirana nad skalarnim ali vektorskim poljem, ki pove, v kateri smeri se polje najbolj spreminja. Gradient se označuje z oznako »grad« ali simbolom $\mathrm{\nabla }$ (nabla).

Gradient skalarnega polja

Kartezični koordinatni sistem

V trirazsežnem kartezičnem koordinatnem sistemu se gradient zapiše kot:

$\mathrm{\nabla }f=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\end{array}\right).$

Pri tem je $f(𝐫)$ skalarno polje, odvisno od krajevnega vektorja $𝐫=(x,y,z)$, oznake $\partial$ pa označujejo parcialne odvode po vsaki od koordinat.

Cilindrični koordinatni sistem

V cilindričnem koordinatnem sistemu se gradient skalarnega polja $f(𝐫)$ izraža kot:

$\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial r}{𝐞}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \phi }{𝐞}_{\phi }+\frac{\partial f}{\partial z}{𝐞}_z.$

Pri tem je $𝐫=(r,\phi ,z)$ krajevni vektor, izražen v cilindričnem koordinatnem sistemu, ${𝐞}_r$, ${𝐞}_{\phi }$ in ${𝐞}_z$ pa enotski vektorji v smeri vsake od koordinatnih osi.

Sferni koordinatni sistem

V sfernem koordinatnem sistemu se gradient skalarnega polja $f(𝐫)$ izraža kot:

$\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial r}{𝐞}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }{𝐞}_{\theta }+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial f}{\partial \phi }{𝐞}_{\phi }.$

Pri tem je $𝐫=(r,\theta ,\phi )$ krajevni vektor, izražen v sfernem koordinatnem sistemu, ${𝐞}_r$, ${𝐞}_{\theta }$ in ${𝐞}_{\phi }$ pa enotski vektorji v smeri vsake od koordinatnih osi.

Glej tudi

• vektorska analiza
• divergenca, rotor

Viri

• Predloga:Citat