Ogled vira Jacobijeva matrika in determinanta

{{Infinitezimalni račun}}
'''Jacobijeva matrika''' (oznaka <math> J \,</math> ali <math> J_f (x_1, \dots, x_n) \,</math>) je [[matrika]], ki jo sestavljajo [[parcialni odvod|parcialni odvodi]] prvega reda [[vektor]]ja.

[[Determinanta]], ki jo dobimo iz Jakobijeve matrike, se imenuje '''Jacobijeva determinanta'''.

Imenujeta se po [[Nemci|nemškem]] [[matematik|matematiku]] [[Carl Gustav Jacob Jacobi|Carlu Gustavu Jacobu Jacobiju]] (1804 – 1851). 

Matrika ima obliko:
:<math>J=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial y_m}{\partial x_n}  \end{bmatrix} \, </math>.

V matriki i-ta vrstica odgovarja [[gradient]]u i-te komponente funkcije <math> y_i \,</math> ali <math>\left(\nabla y_i\right) \,</math>. 

[[Determinanta|Determinanto]] [[kvadratna matrika|kvadratne]] Jacobijeve matrike včasih imenujejo tudi ''jakobian'' <ref>[http://mathworld.wolfram.com/Jacobian.html Jacobian na MathWorld]</ref>. V literaturi se pogosto uporablja isti izraz tudi za transponirano matriko zgornje matrike.

== Jacobijeva matrika ==
Če je dana [[preslikava]] <math>\mathbf{f}:\R^n\to\R^m, \mathbf{f}=(f_1, \ldots ,f_m), _i = f_i(x_1, \ldots , x_n), i = 1, \ldots , m \,</math> in so v neki [[Točka (geometrija)|točki]] <math> x \,</math> dani vsi prvi [[parcialni odvod|parcialni odvodi]], potem je dana tudi Jacobijeva matrika [[razsežnost|razsežnosti]] <math> m \times n \,</math>.
Jacobijeva matrika neke [[funkcija|funkcije]] določa orientacijo [[tangentna ravnina|tangentne ravnine]] na funkcijo v dani točki. Tako Jacobijeva matrika posplošuje [[gradient]] skalarne funkcije večjega števila spremenljivk.

Jacobijevo matriko označujemo z
: <math>J_f \quad \quad \,</math> ali 
: <math>Df \quad \quad \,</math> ali
: <math>\textstyle\frac{\partial f}{\partial x} \quad \quad \,</math> ali 
: <math>\textstyle\frac{\partial(f_1, \ldots, f_m)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)} \quad \quad \,</math>.

== Primer ==
=== Primer 1 ===
Za primer poglejmo pretvorbo [[sferni koordinatni sistem|sfernih koordinat]] <math> (r, \theta, \phi) \,</math> v [[kartezični koordinatni sistem|kartezični koordinatni sistem]] <math> (x_1, x_2, x_3) \,</math> pretvorba je dana s funkcijo <math> f:R^{+}\times [0, \pi] \times [0, 2 \pi] \to R^3 \,</math> s komponentami
:<math> x_1 = r\, \sin\theta\, \cos\phi \,</math>
:<math> x_2 = r\, \sin\theta\, \sin\phi \,</math>
:<math> x_3 = r\, \cos\theta. \,</math>.
Jacobijeva matrika je
:<math>J_f(r,\theta,\phi) =\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial x_1}{\partial r} & \dfrac{\partial x_1}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x_1}{\partial \phi} \\[3pt]
\dfrac{\partial x_2}{\partial r} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \phi} \\[3pt]
\dfrac{\partial x_3}{\partial r} & \dfrac{\partial x_3}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x_3}{\partial \phi} \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 
	\sin\theta\, \cos\phi &  r\, \cos\theta\, \cos\phi  & -r\, \sin\theta\, \sin\phi \\
	\sin\theta\, \sin\phi &  r\, \cos\theta\, \sin\phi  &  r\, \sin\theta\, \cos\phi \\ 
	\cos\theta            &  -r\, \sin\theta            &             0                               
\end{bmatrix}. </math>.

Determinanta je enaka <math> r^2 \sin\theta \,</math>.

=== Primer 2 ===
Poiščimo Jacobijevo matriko za funkcijo <math> f: R^3 \to R^4 \,</math> za komponente
:<math> y_1 = x_1 \, </math>
:<math> y_2 = 5x_3 \, </math>
:<math> y_3 = 4x_2^2 - 2x_3 \, </math>
:<math> y_4 = x_3 \sin(x_1) \, </math>.

V tem primeru se dobi Jacobijeva matrika
:<math>J_f(x_1,x_2,x_3) =\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_3} \\[3pt]
\dfrac{\partial y_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_3} \\[3pt]
\dfrac{\partial y_3}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_3} \\[3pt]
\dfrac{\partial y_4}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_3} \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_2 & -2 \\ x_3\cos(x_1) & 0 & \sin(x_1) \end{bmatrix}. </math>.

Iz tega se vidi, da Jacobijeva matrika ni vedno kvadratna.

== Jacobijeva determinanta ==

Kadar je <math> m = n \,</math> je Jacobijeva matrika [[kvadratna matrika|kvadratna]] in zanjo lahko določimo [[determinanta|determinanto]]. To determinanto imenujemo Jacobijeva determinanta, ki jo včasih imenujemo tudi ''jakobian''.

=== Primer Jacobijeve determinante ===
Jacobijeva determinanta za funkcijo <math> f:R^3 \to R^3 \,</math> s komponentami 
:<math>\begin{align}
  y_1 &= 5x_2 \\
  y_2 &= 4x_1^2 - 2 \sin (x_2x_3) \\
  y_3 &= x_2 x_3
\end{align}</math>
je
:<math>\begin{vmatrix}
  0 & 5 & 0 \\
  8 x_1 & -2 x_3 \cos(x_2 x_3) & -2x_2\cos(x_2 x_3) \\
  0 & x_3 & x_2
\end{vmatrix} = -8 x_1 \cdot \begin{vmatrix}
  5 & 0 \\
  x_3 & x_2
\end{vmatrix} = -40 x_1 x_2.</math>.
 
== Opombe in sklici ==
{{opombe}}

== Glej tudi ==

* [[seznam vrst matrik]]

== Zunanje povezave ==

* [http://myyn.org/m/article/jacobian-matrix/ Jacobijeva matrika] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090924225239/http://myyn.org/m/article/jacobian-matrix/ |date=2009-09-24 }} {{ikona en}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Jacobian.html Jacobijeva matrika] na [[MathWorld]] {{ikona en}}
* [http://planetmath.org/encyclopedia/JacobianMatrix.html Jacobijeva matrika] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100620113821/http://planetmath.org/encyclopedia/JacobianMatrix.html |date=2010-06-20 }} na [[PlanetMath]] {{ikona en}}
* [http://www.ltcconline.net/greenl/courses/202/multipleIntegration/jacobians.htm Jacobian] {{ikona en}}

[[Kategorija:Matrike]]
[[Kategorija:Determinante]]
[[Kategorija:Diferencialni račun]]