Jacobijeva matrika in determinanta

Predloga:Infinitezimalni račun Jacobijeva matrika (oznaka $J$ ali $J_f(x_1,\dots ,x_n)$) je matrika, ki jo sestavljajo parcialni odvodi prvega reda vektorja.

Determinanta, ki jo dobimo iz Jakobijeve matrike, se imenuje Jacobijeva determinanta.

Imenujeta se po nemškem matematiku Carlu Gustavu Jacobu Jacobiju (1804 – 1851).

Matrika ima obliko:

$J=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n}\end{array}\right]$.

V matriki i-ta vrstica odgovarja gradientu i-te komponente funkcije $y_i$ ali $\left(\mathrm{\nabla }{y}_i\right)$.

Determinanto kvadratne Jacobijeve matrike včasih imenujejo tudi jakobian . V literaturi se pogosto uporablja isti izraz tudi za transponirano matriko zgornje matrike.

Jacobijeva matrika

Če je dana preslikava $𝐟:{ℝ}^n\to {ℝ}^m,𝐟=(f_1,\dots ,f_m){,}_i=f_i(x_1,\dots ,x_n),i=1,\dots ,m$ in so v neki točki $x$ dani vsi prvi parcialni odvodi, potem je dana tudi Jacobijeva matrika razsežnosti $m\times n$. Jacobijeva matrika neke funkcije določa orientacijo tangentne ravnine na funkcijo v dani točki. Tako Jacobijeva matrika posplošuje gradient skalarne funkcije večjega števila spremenljivk.

Jacobijevo matriko označujemo z

$J_f$ ali

$Df$ ali

$\frac{\partial f}{\partial x}$ ali

$\frac{\partial (f_1,\dots ,f_m)}{\partial (x_1,\dots ,x_n)}$.

Primer

Primer 1

Za primer poglejmo pretvorbo sfernih koordinat $(r,\theta ,\varphi )$ v kartezični koordinatni sistem $(x_1,x_2,x_3)$ pretvorba je dana s funkcijo $f:R^{+}\times [0,\pi ]\times [0,2\pi ]\to R^3$ s komponentami

$x_1=r\sin \theta \cos \varphi$

$x_2=r\sin \theta \sin \varphi$

$x_3=r\cos \theta .$.

Jacobijeva matrika je

$J_f(r,\theta ,\varphi )=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial x_1}{\partial r}& \frac{\partial x_1}{\partial \theta }& \frac{\partial x_1}{\partial \varphi }\\ \frac{\partial x_2}{\partial r}& \frac{\partial x_2}{\partial \theta }& \frac{\partial x_2}{\partial \varphi }\\ \frac{\partial x_3}{\partial r}& \frac{\partial x_3}{\partial \theta }& \frac{\partial x_3}{\partial \varphi }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \varphi & r\cos \theta \cos \varphi & -r\sin \theta \sin \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi & r\cos \theta \sin \varphi & r\sin \theta \cos \varphi \\ \cos \theta & -r\sin \theta & 0\end{array}\right].$.

Determinanta je enaka $r^2\sin \theta$.

Primer 2

Poiščimo Jacobijevo matriko za funkcijo $f:R^3\to R^4$ za komponente

$y_1=x_1$

$y_2=5x_3$

$y_3=4x_2^2-2x_3$

$y_4=x_3\sin (x_1)$.

V tem primeru se dobi Jacobijeva matrika

$J_f(x_1,x_2,x_3)=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}& \frac{\partial y_1}{\partial x_2}& \frac{\partial y_1}{\partial x_3}\\ \frac{\partial y_2}{\partial x_1}& \frac{\partial y_2}{\partial x_2}& \frac{\partial y_2}{\partial x_3}\\ \frac{\partial y_3}{\partial x_1}& \frac{\partial y_3}{\partial x_2}& \frac{\partial y_3}{\partial x_3}\\ \frac{\partial y_4}{\partial x_1}& \frac{\partial y_4}{\partial x_2}& \frac{\partial y_4}{\partial x_3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 5\\ 0& 8x_2& -2\\ x_3\cos (x_1)& 0& \sin (x_1)\end{array}\right].$.

Iz tega se vidi, da Jacobijeva matrika ni vedno kvadratna.

Jacobijeva determinanta

Kadar je $m=n$ je Jacobijeva matrika kvadratna in zanjo lahko določimo determinanto. To determinanto imenujemo Jacobijeva determinanta, ki jo včasih imenujemo tudi jakobian.

Primer Jacobijeve determinante

Jacobijeva determinanta za funkcijo $f:R^3\to R^3$ s komponentami

$\begin{array}{cc}{y}_1& =5x_2\\ y_2& =4x_1^2-2\sin (x_2{x}_3)\\ y_3& =x_2{x}_3\end{array}$

je

$\left|\begin{array}{ccc}0& 5& 0\\ 8x_1& -2x_3\cos (x_2{x}_3)& -2x_2\cos (x_2{x}_3)\\ 0& x_3& x_2\end{array}\right|=-8x_1\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 0\\ x_3& x_2\end{array}\right|=-40x_1{x}_2.$.

Glej tudi

• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Jacobijeva matrika Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en
• Jacobijeva matrika na MathWorld Predloga:Ikona en
• Jacobijeva matrika Predloga:Webarchive na PlanetMath Predloga:Ikona en
• Jacobian Predloga:Ikona en